等比数列的项和

1
4
4
（2）已知a 3 , s 9 ,求a 与q。
3 23 2
1
3. 如图，画一个边长为 2cm 的正方形,
再将这个正方形各边的中点相连得到
作
第 2 个正方形,依此类推,这样一共画了
业
10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和
布
(二) 选做题: 二、思考作业：
求数列
123 ,,,
4
,
2 4 8 16
公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另 外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.
就内容的人文价值上来看，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、 归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好 载体． 二、教学目标
突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣， 鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点， 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
四、教学方法
利用计算机辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
重点：教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课 作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的推 导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.
突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式 运用；（二）过程与方法线:特殊到一般→ 错位相减法等→灵活运用转化、方程思想；（三） 能力线：观察能力→合作交流、解决问题能力→灵活运用能力。
难点：等比数列的前 n 项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数 学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等 差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的 概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位 相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.
从整理知识提升到强化方法。 6．作业布置弹性化．
通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．延伸到生活当中，让学 生充分体会数学的实际应用价值。
八．课后反思： 本节课是在等比数列通项公式的基础上进一步学习等比数列的前 n 项和公式，从总的课
堂效果来看，有值得保留的经验也有应该改进的不足。
S n
qS
a a a a
1
2
3
n1
a a a a
n
2
3
4
n
a n
aq n
(1 q)S a a q
n
1
n
S n
a a
1
n
1q
q
q1
题
na 1
q1
方法 2：累加法
到创新，有 利于学生的 知识迁移和 能力提高．
Sn a1 a2 a3 an1 an
a2 a1q a3 a2q
情
造积极、和
谐的学习气
境 氛，使学生
产生学习心
理倾向，并
进一步了解
数学来源于
生活．
1. 师生共同探讨解决情境问题 2. 学生分组合作探究：由前 30 项和类比推广前 N 项和公式 领悟数学应
3. 教师总结补充
用价值
一般等比数列前 n 项和：Sn a1 a2 a3 an1 an ?
即 Sn a1 a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1 ?
六．板书设计：（课件左侧体现）
公式一： 公式二：
2.2.5 等比数列的前 n 项和（一）
一．情境设计 二．公式推导 三．公式解析 四．巩固提高 五．小结
七、教学设计说明 1．情境设置生活化.
本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生 学生初步了解“数学来源于生活”， 采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积 极的学习气氛，激发学生的探究欲. 2．问题探究活动化．
探
方法 1：错位相减法 方案一
S
n
qS
a 1 a n
q
1
a 1
q a
q
1
a q2 1
2 a
a qn2 1
q3 a qn
1
1
a q n1 1
1 aq 1
n
(1 q)Sn a1 a1q n
究
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
q 1
na1
q 1
错位相减法方案二：
从特殊到一 般,从模仿
问
归纳：
a (1 qn )
S 1
n
1q
a aq S 1 n
n 1q
(q 1)
当q 1时 S na
n
1
Sn
a1
(1 qn 1q
)
q1
或
na1
q1
S n
a
a
1
n
1q
q
q1
na1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
q1
通过学生个 别学习，互 相讨论，揭 示知识的内 在联系. 通 过生生、师 生间的探 讨、合作， 培养学生的 洞察力．增 强学生思维 的严谨性.
依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和 公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决 问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想 及转化思想，优化思维品质． 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇 于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称 美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点
五、教学过程
教学过程
设计意图
【漫画演示】
依托市场经
话说猪八戒自西天取经回到了李老庄，从李员外手里接
下了李老庄集团，摇身变成了 CEO．可好景不长，没过多久 济背景，结 便遇上了金融危机，受金融危机的影响，集团资金周转不灵 而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟 合当前全球
空一口答应：“行！我每天投资 100 万元，连续一个月（30 天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你 金融危机，
必须返还给我 1 元，第二天返还 2 元，第三天返还 4 元…… 运用学生熟 即后一天返还数为前一天的 2 倍．”八戒听了，心里打起了小
算盘：“第一天：支出 1 元，收入 100 万；第二天：支出 2 元， 悉的人物编
收入 100 万，第三天：支出 4 元，收入 100 万元；……哇， 发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又 拟故事，以
1
(1
2n
)
（）
疑
1 (2)
n+1
②1 2 22
23
2n
1 (1 2n ) 1 2
（）
③若 c 0 且 c 1，则
c2[1 (c2 )n ] c2 c4 c6 c2n 1 c2
（）
剖析公式中 的基本量及 结构特征， 识记公式.
注意此公式的使用条件是c2≠1
通过给出常
3．对公式的再认识． (1)、对公比 q 的分类讨论 (2)、公式中 n 的理解
等比数列的前n 项和
福鼎三中 雷运入
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修⑤
一、教材分析 从教材的课程设置上来看，等比数列的前 n 项和是第二章第五节的内容，它是“等差数列
的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在
好的方面有： 1.《西游记后传》的漫画故事引入极大的提高了学生的学习热情，用一个漫画故事引入
并结合多媒体课件的展示，学生投入课堂的积极性一下子就提高了起来，为课堂开展探究活 动打下了很好的基础。
2.在推导等比数列前 n 项和公式的时候，先解决情境中的特殊的等比数列前 30 项和，然 后进一步类比推广到 N 项，使得学生对于一般等比数列前 n 项和的公式推导能自主进行。 不足的方面有：
见错误的公 式应用，让 学生自主发 现错误，使 学生进一步 认识公式， 体现数学学 习的严谨性
演练二：公式深化应用
1.已知{a }是等比数列，请完成下表： n
题号 a1 q
n
an
Sn
熟练公式运 用，着重强 调公式的选 择.
(1 1
1
巩
)
2
2
3
(2
32
24
)
让学生进一
固
(3
2
32 22
步认识到数
)
的前n项的和.
置
想一想生活中你还遇到哪些与数列有关的问题。 你
能用所学的知识来解决吗？
纳进一步延 伸到思想方 法提炼，把 数学的学习 作为提高学 生数学素养 和文化水平 的有效途 径. 布置必做题 与选做题的 弹性作业以 使各个层次 的学生都有 所发展.思 考作业延伸 到生活当 中，让学生 充分体会数 学的实际应 用价值。
创 嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？” 【教师提问】
趣引思,激
(1)假如你是李老庄集团企划部的李参，请你帮八戒分析一 发学生学习
设 下，按照悟空的投资方式，30 天后，八戒能吸纳多少投资？
又该返还给悟空多少钱？
热情. 营
(2) S30 1 2 22 23 229 (观察数字特征，引出课题)
演练一：
1．公式的简单直接应用
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 ，则 Sn
3
________
Sn
2 [1 ( 1 )n ] 33
1 1
1 (1)n 3
3
辨
n （2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn ___ _____
析
2．判断是非：
（ 2）n
质
①
1
2
4
8
(2)n1
提
2．有资料表明，2000 年我国工业废弃垃圾 7.4×108t， 每吨占地 1m2，环保部门每回收或处理 1t 废旧物资，相当于
学来源于生
消灭 4t 工业废弃垃圾．如果环保部门 2002 年共回收处理了 活并应用于
高 100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增 20%． (1)2010 年能回收多少吨废旧物资？
生活，生活
(2)从 2002 年到 2010 年底，共能回收多少吨废旧物资? 中处处有数
学．
反
小结：
从知识、思想、方法三个方面进行总结． 思
从知识的归
拓 广
一、书面作业：
(一) 必做题：课本 P61 习题 2.5 第 1. 3. 题
1。在等比数列{a }中， n
（1）已知a 1,a 64,求q与s ;
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程 的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验 数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能 力，培养学生思维的发散性和严谨性. 3．辨析质疑结构化．
为了追求课堂过程由等比数列前 N 项和源于生活，应用于生活的完整性，最后追加了一 道应用题，使得本节课的容量过大。又为了完成整个设计的教学，压缩了给学生自主探究的 时间。使得整节课变成了教师讲得多讲得赶，而学生思考和自主探究略少了。课后想来有些 得不偿失，如果能把最后一道应用题做为学生的课后思考题，我想这节课的效果会更好一些。
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过 总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块， 优化知识体系. 4．巩固提高梯度化．
演练二中采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆 用进一步提高学生运用知识的能力；应用题是加强学生的应用意识。. 5．思路拓广数学化．