类比探究专题训练

类比探究专题训练
1. 已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别在射线
OA ，OB 上，连接PC ，PD ． （1）发现问题
如图1，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是_________． （2）探究问题
如图2，点C ，D 在射线OA ，OB 上滑动，且∠AOB =90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
图1
C
B
A O
D
M P
图2
D O
B
P
M A C
2. 如图，AD ∥BC ，若∠ADP =∠α，∠BCP =∠β，射线OM 上有一动点P ．
（1）当点P 在A ，B 两点之间运动时，∠CPD 与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，O 三点不重合），请你直接写出∠CPD 与∠α，∠β之间的数量关系．
备用图
O
N M
D C
B
A
3. 已知：如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于C ，D 两点，直线d
与直线a ，b 分别相交于A ，B 两点，点P 在直线AB 上运动（不与A ，B 两点重合）．
（1）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，总有：∠CPD =∠PCA +∠PDB ，请说明理由；
（2）如图2，当点P 在线段AB 的延长线上运动时，∠CPD ，∠PCA ，∠PDB 之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上运动时，∠CPD ，∠PCA ，∠PDB 之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？
图1
d D
C B A
P a
b
c 图2
c b
a
P A B C D
d 图3
c b
a
P A B
C D
d
4. 综合与实践：（1）如图，已知：在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，
AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ．小明观察图形特征后猜想线段DE ，BD 和CE 之间存在DE =BD +CE 的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由．
（2）如图，将（1）中的条件改为：△ABC 为等边三角形，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =60°，请问结论DE =BD +CE 是否成立？并说明理由．
（3）如图，若将（1）中的三角形变形为一般的等腰三角形，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角，D ，A ，E 三点都在直线m 上．问：满足什么条件时，结论DE =BD +CE 仍成立？直接写出条件即可．
E
D
C
B
A
m
图1
B
D A C
E
m
图2
m
A B
C
D
E
图3
5. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于
D ，B
E ⊥MN 于E ．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，△ADC 和△CEB 全等吗？请说明理由．
（2）聪明小亮发现，当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，可得DE =AD +BE ，请你说明其中的理由．
（3）小亮将直线MN 绕点C 旋转到图2的位置，线段DE ，AD ，BE 之间存在着什么的数量关系，请写出这一关系，并说明理由．
的
图1
E
D
C
B
A
M
N 图2
E
D
C B
A
M
N
6. 阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB =10，BC =8．求AC 边上的中线BD
的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE =BD ，连接CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______________；中线BD 的取值范围是_______________．
（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中∠ABM =NBC =∠90°，连接MN ，探索BD 与MN 的关系，并说明理由．
图1
E
D C B
A
N
M
图2
A
B
C D 图3
N
M
D C B
A
7. 乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧！点C 是直线
l 1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC 任意摆放，其中直角顶点C 与点C 重合，过点A 作直线l 2⊥l 1，垂足为点M ，过点B 作l 3⊥l 1垂足为N ．
（1）如图1时，线段BN ，AM 与MN 之间的数量关系是__________________（不必说明理由）；
（2）当直线l 2，l 3，位于点C 的右侧时，如图2，判断线段BN ，AM 与MN 之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l 2，l 3，位于点C 的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN ，AM ，MN 之间的数量关系．
图1
图2
图3
l 3N
M
l 1
l 2
A
B
C
l 3
C B
A
l 2
l 1
M
N
l 3
l 2
l 1
M
N
8. （1）如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是边
BC ，CD 上的点，且∠EAF =1
2
∠BAD ．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的
数量关系：____________；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边
BC ，CD 上的点，且∠EAF =1
2
∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出
证明过程；
（3）在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD
所在直线上的点，且∠EAF =1
2
∠BAD ．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间
的数量关系：______________．
图1
F
E D C
B
A
A
B
C
D E F
图2
A
B
C
D
备用图
A
B
C
D
备用图
9.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的
交点，通过分析发现∠BOC=90°+1
2
∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，
∴∠1+∠2=1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
(180°-∠A)=90°-
1
2
∠A，
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-1
2
∠A)=90°+
1
2
∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO 的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO 和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
图1C
B
A
O
12
图2
C
B
A
O
D 图3
E
D
O
A
B C
图4
D
C
B
A
O
10. （1）如图1，已知四边形ABCD 为长方形，∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好
交于CD 边上的点E ，试判断：AB ___________AC +BD （填﹥，﹤或=）； （2）如图2，已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，且CD ⊥AC 试探究AB ，AC 与BD 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD ⊥AC ”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由．
图1
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图2
图3
A
B
C
D
E
11. 已知：如图所示，直线MN ∥GH ，另一直线交GH 于A ，交MN 于B ，且
∠MBA =80°，点C 为直线GH 上一动点，过点C 的直线交MN 于点D ，且∠GCD =50°．
（1）如图1，当点C 在点A 右边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线交于点P ，求∠BOC 的度数；
（2）如图2，当点C 在点A 右边且点D 在点B 右边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线交于点P ，求∠BPC 的度数；
（3）当点C 在点C 左边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线所在直线交于点P ，请直接写出∠BPC 的度数，不说明理由．
图1
图2
图3
D
C
B
A
M
N
G
H
P P
H G
N
M
A
B
C
D
H
G
N
M
A
B
12. 如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，
以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF ，连接CF ． （1）若AB =AC ，∠BAC =90°．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探究CF 与BD 的数量关系和位置关系，并说明理由．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想．
（2）如图3，若AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，∠BCA =45°，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BC 的位置关系，并说明理由．
图1
D
C B
A
F
图2
A
B
C
图3
D
C B
A
F
13. 已知△ABC 是直角三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，分别过
点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，E ．
（1）如图1，当点B ，C 位于直线l 同侧时，证明：△ABD ≌△CAE ． （2）如图2，若点B ，C 在直线l 的异侧，其他条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？请说明理由．
（3）图形变式：如图3，锐角△ABC 中，AB =AC ，直线l 经过点A ，点
D ，
E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果∠CEA =∠ADB = ∠BAC ，请找到图中的全等三角形，并直接写出线段ED ，EC ，DB 的数量
关系．
的
图1
l
A B
C
D
E
图2
E
D C
B
A l
l
图3
E
C
A D
B
14. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）观察与思考：
如图1，若AB ∥CD ，点P 在AB ，CD 外部，∠BPD ，∠B ，∠D 之间的数量关系为__________________． （2）猜想与证明：
①将点P 移到AB ，CD 内部，如图2，则∠BPD ，∠B ，∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；
②在图2中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图3，则∠BPD ，∠B ，∠PDQ ，∠BQD 之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）拓展与应用：
在图4中，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =___________．
图1
A B C
D
O
P
A
B
C
D P
图2
A
B C D
P Q
图3
A
B C
D
E
F 图4
15. 已知直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．
（1）如图1，∠BME ，∠E ，∠END 的数量关系为______（直接写出答案）； （2）如图2，∠BME =m °，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，EQ ∥NP ，求 ∠FEQ 的度数（用含m 的式子表示）；
（3）如图3，点G 为CD 上一点，∠BMN =n ∠EMN ，∠GEK =n ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于点H ，探究∠GEK ，∠BMN ，∠GEH 之间的数量关系（用含n 的式子表示）．
图1
图2
图3
A B
C D
M
E
N
F
Q P
N
M
E D
C
B
A K
H G
A B
C
D
E N M。