四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案
高等数学教材微积分课后答案
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高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导,得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0,解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数,得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此,函数在x = -2和x = 2/3处取得极值,极大值为0,极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0,说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数;当-2 < x < 2/3时,f'(x) < 0,说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像,可以得到函数的单调性为:在(-∞, -2)上递增,在(-2, 2/3)上递减,在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数,得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0,解得x = ln6。
然后带入原函数,得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此,函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0,说明函数在(-∞, ln6)上为增函数;当x > ln6时,f'(x) < 0,说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像,可以得到函数的单调性为:在(-∞, ln6)上递增,在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理,首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
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6 (12分)一质量为m的物体,最初静止于x0处,在力F=-k/x2 的作用下沿直线运动,试求物体在任意位置x处的速度.
7 (13分)质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作, 它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm.试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程.
3 求下列不定积分(共50分): (1) (2)
(3)
(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
4 用级数展开计算下列积分的近似值(计算前三项)(共20 分):
(1) (2)
5 (5分)甲乙两船同时从一码头出发,甲船以30km/h的速度向北 行驶,乙船以40km/h的速度向东行驶,求两船间距离增加的速度为多 少?
2012年四川大学690高等数学(微 积分、级数)考研真题
2013年四川大学690高等数学(微 积分、级数)考研真题
2014年四川大学690高等数学(微 积分、级数)考研真题
2015年四川大学690高等数学(微 积分、级数)考研真题
2016年四川大学690高等数学(川大学690高等数学(微 积分、级数)考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式(共20分): (1)ax (2)sin(x/2) (3) (4)ln(1+x) (5)1/(1+x)
2 求下列平面图形的面积(共30分): (1)曲线y=x3与y轴和直线y=1所围成的图形; (2)曲线y=x2与y=2-x2所围成的图形.
目 录
2012年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题 2013年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题 2014年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题 2015年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题 2016年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题 2017年四川大学690高等数学(微积分、级数)考研真题
四川大学微积分1-2(2016)B卷
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4.设空间曲面: z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成,方向指向外侧,计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5.求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A,以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3.设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证:二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组,求
y(1),
z(1) .
第 1 页,共 2 页 试卷编号:
2.设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成,计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3.设平面闭曲线 L: y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1),计算曲线积分
四川大学期末考试试题(闭卷) (2015-2016 学年第 2 学期) B 卷
课程号:201138040 适用专业年级:
课序号: 学生人数:
课程名称:微积分(I)-2 任课教师:
成绩:
印题份数:
学号:
姓名:
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定(修 订)》,郑重承诺:
2.二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u
微积分课后题答案习题详解
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微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立.证:而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时,有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0; (2) lim n →∞2!n n =0.证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. (2)因为22222240!1231n n n n n<=<-,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +,n =1,2,…;(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证:(1)略。
微积分(二)综合练习题1答案
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故条件收敛。
5.判断级数 的敛散性。
解: 且 ∴交错级数收敛。
6.设D由x = 2, y = x, 及x y = 1围成,求。 解:
7.计算二重积分计算二重积分 ,其中 。
解:
8.求方程满足初始条件的特解。 解:特征方程为 ,所以特征根为,是两个相等实根,所以通解为
,满足初始条件的特解为。
四、应用题(本题8分): 某公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入(万元)与电视广告费
五、证明题:(本题6分) 已知 (,求证: (1) 若收敛,则收敛。 (2) 若发散,则发散。 证明:(1) 若收敛,则也收敛, 由已知,得 即 由比较判别法知: 若收敛, 则也收敛,即收敛。 (大收则小收)
(2)由(1)得 由比较判别法知:若发散,则发散。(小发则大发)
二、单项选择(每小题2分,共10分):
1.若函数与分别为与的可微函数,且,则(D).
(A)+
(B) +
(C)++ (D) +
2.若为区域,则=( C ).
(A) 4
(B) 15
(C) 60
(D) 84
3.在下列级数中,唯有( A )是发散的。
(A)
(B)
(C)
(D)
大一高数微积分下册答案
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第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续,n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=,并取小区间左端点1i x -,作乘积1()i b af x n --⋅,则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义,20d x x =⎰2,1x -=⎰2π,sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续,且()d 0b af x x =⎰,则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析:arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰,则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰,则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析:4()f x =[]0,1上的最大值是2,最小值是0,所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈,则2()(21)e x x f x x -'=-,令()0f x '=,得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ,最小值为14e -,从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理,存在一点[,]a b η∈,使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰,即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知,()f x 在[,]b η上连续,在(,)b η内可导,且有()()f f b η=,根据罗尔定理,存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂,使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰,则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数,且31()d x f t t x -=⎰,则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰,则10()d f x x =⎰3π.析:设10()d f x x A =⎰,则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()0f x >,则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析:设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰,则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=;若方程有两个根,不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立,这与()0f x >矛盾, 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰,其中()f x 是连续函数,则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则,得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=,()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=,得驻点0x =,又(0)10I ''=>,所以0x =是()I x 得极小值点,极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰,证明:20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰,两边对x 求导,得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰,即0()d sin xf t t x =⎰,令2x π=,得20()d sin12f t t ππ==⎰,即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续,则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩,则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数,()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析:令a b x y +-=,则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数,()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数,()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数,()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数,()F x 必为单调增函数 析:(B)反例:()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例:()1,()f x F x x ==(D)反例:212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数,证明:02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰,即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数),()g x 为偶函数. (1)证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰;(2)利用(1)的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===,令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+,则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++,所以 ()F x A =(常数),又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==,即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ,则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰,则0()d f x x π=⎰2. 析:0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰(被积函数为偶函数)方法一 :122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二:166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数,证明:000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析:1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散,0211d x x-⎰也发散。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
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∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微,则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ,
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) , 即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ,
r2 +1 = 0,
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ,
特征根为 r1, 2 = ±i ,故对应的齐次方程的通解为 易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解:设 S 0 为平面: x + y ≤ 2, z = 0 方向向下, Ω 为 S + S 0 围的立体,
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ,
用极坐标表示: 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ,其中 f 具有连续二阶偏导数,求 ∂x∂y= x
解: 令 u =2 x − y, v =y sin x , 则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
大学微积分-各章节习题-多元函数微积分习题答案
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20XX年复习资料大学复习资料专业:班级:科目老师:日期:1、解: (,)()f x y x y x y y +-=+[]1()()()2x y x y x y =++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2、解:22cos (,)1x e y f x y x y =++在点(1,0)连续 '221cos cos0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++ 3、解:原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅ 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解:若(,)z f x y =可微,则,z z x y∂∂∂∂存在, 反之成立,故偏导数存在是可微必要条件5、解:()xy dz e ydx xdy =+在(1,1) '()dz e dx dy =+6、解:(1)2(,1)1()z x x x x ϕ=++=2()1x x x ϕ∴=--(2)222(,)1z x y x y y x x =++--(3)212z xy x x∂=+-∂ 7、解:22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ ∴定义域{}2222(,)R D x y r x y =<+< 8、解:'2'4,2x y f x a y f xy b =++=+又(1,1)0f =,'(1,1)0y f =即410a ++=,20b +=5,2a b ∴=-=-9、解:令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z ==(2)z x x z ∂=-∂,z y y z ∂=-∂ (3)22231(0)z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂ 20XXXX 、解:方程两边全微分:2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+-(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--=∴23dx dy dz +=,2123z x =,2223z y = 故22122z z x y += 20XXXX 、解:令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy =-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂- 20XXXX 、解:(1)画出积分区域D(2)交换二次积分次序:原式=I=2100(,)y dy f x y dx ⎰⎰20XXXX 、解:(1)画出积分区域D(2)选择积分次序:为了不分片先对y 分积分,后对x 积分原式=221121()x dx x d y -⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰ 20XXXX、解:(1)画出积分区域D (2)为了不分片先对x 分积分,后对y 积分 原式=2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰ =11530011118535315y y +=+=⎰⎰ 20XXXX 、解:(1)画出12D D D += 1:01,02D y x y ≤≤≤≤ 2:13,03D y x y ≤≤≤≤-(2)交换积分次序I =()2302x x dx f x y dy -⋅⋅⎰⎰ 20XXXX 、解:(1)画出积分域D(2)交换积分次序I =21120sin sin y y o y y y dy dx x dy y y y=⋅⎰⎰⎰ =110sin cos o dy dy y +=⎰⎰ 111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-20XXXX 、解:(1)画出积分区域D(2)改用极坐标定限,计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰ 22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰ 42411cos 28ππθ=-= 20XXXX 、解:(1)画出12D D D +=(2)改用极坐标定限,计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰ 201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R R e e ππ--=⋅-=- 20XXXX 、解:(1)化为无条件极值 22()z x z x =+-一元函数的极值(2)'22(2)0x z x x =--=, 440,1x x -==''40xx z =>极小值221(21)2z =+-= 注:22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+= '20y F y x y λ=+=→=代入约束条件2x y +=得驻点1,1x y ==。
四川大学微积分(下)第9章4
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一、重积分的元素法
二重积分的元素法:若要计算的某个量 U 对于平面 闭区域 D 具有可加性(即当闭区域 D 分成许多小闭区 域时,所求量 U 相应地分成许多部分量,且 U 等于部 分量之和),并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时,相应地部分量可近似地表示为 f .x; y/d 的 形式,其中 .x; y/ 在 d 内。这个 f .x; y/d 称为所求量 U 的元素,记为 dU ,所求量的积分表达式为 U D
三重积分的元素法:若要计算的某个量 U 对于空间 闭区域 ˝ 具有可加性(即当闭区域 ˝ 分成许多小闭区 域时,所求量 U 相应地分成许多部分量,且 U 等于部 分量之和),并且在闭区域 ˝ 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时,相应地部分量可近似地表示为 f .x; y; z/d 的形式,其中 .x; y; z/ 在 d 内。这个 f .x; y; z/d 称为 所求量 U 的元素,记为 dU ,所求量的积分表达式为
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片,占有 xOy 面上的闭区域 D,在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/,
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片,占有 xOy 面上的闭区域 D,在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/,假定 .x; y/ 在 D 上连 续,
2 2
例 2 求由曲面 x C y D az 和 z D 2a (a > 0)所围立体的表面积。 p p 5 5 1 解 AD 2C 6 a2 . 6
p
x2 C y2
三、质心
三、质心
平面薄片的质心:
三、质心
平面薄片的质心: 设 xOy 平面上有 n 个质点,
三、质心
大一微积分下册经典题目及解析
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微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题:(1)若yxxy y x y x f tan),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2)若xy y x y x f 2),(22+=,则(2,3)________,(1,)________yf f x-==(3)若)0()(22 y yy x xyf +=,则__________)(=x f (4)若22),(y x xy y x f -=+,则____________),(=y x f(5)函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________(6)函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ (8)函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限: (1)xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明:极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点(0,0)处是否连续?为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =,则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; (2)设)(y x e z xy+=,则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; (3)设zyxu =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; (4)设x y axc z tan =,则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z(5)设zyx u )(=,则________2=∂∂∂y x u ; (6)设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在,则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =,求函数在(1,1)点的二阶偏导数4。
大学数学微积分下微分方程 试题 答案
![大学数学微积分下微分方程 试题 答案](https://img.taocdn.com/s3/m/b9cca2ce0912a2161579299d.png)
y 2 y 10 y 0
.
(19)方程 y 3y 2 y ex cos 2x 的特解形式为(
A ).
(A) ex (C1 cos 2x C2 sin 2x) ;
(B) C1ex cos 2x ;
(C) xex (C1 cos 2x C2 sin 2x) ;
(D) C2ex sin 2x .
齐次微分方程通解 c1 cos 2x c2 sin 2x …………4 分
又微分方程的一个特解为 1 x2 1 …………6 分
24
因而非齐次通解为
c1
cos
2x
c2
1 4
………8
分
将初始条件代入上式得 特解为 1 cos 2x 1 sin 2x 1 x2 1 …………9 分
f (x) 2 cos x sin x x2 2 .……6 分
( 16 ) 微 分 方 程 xy y xex 满 足 初 始 条 件 y(1) 0 的 特 解 为
x 1ex
.
x
(16)求微分方程 y 4 y 2x2 满足 y(0) 0, y(0) 1 的特解.
【解】 特征方程 r2 4 0 …………2 分
由 y 2ex (x2 1)e2x 2ex e2x x2e2x ,可知
y1(x) ex , y2 (x) e2x , y* x2e2x , 因而 r1 1, r2 2 为特征根. 原方程通解为
…………….2 分
y C1ex C2e2x x2e2x . 故 a (1 2) 3, b 1 2 2 .
……………..4 分 ……………..6 分
将 y* x2e2x 代入 y 3y 2 y (cx d )e2x 可得
e2x (4x2 8x 2) 3e2x (2x2 2x) 2x2e2x (cx d ) e2x ,化简得 2x 2 cx d ,
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)
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L
7.微分方程 xy′ + y = x2 满足 y(3) = 4 的特解为
.
二、解答题 (每小题 9 分,共 36 分)
1.设曲面Σ 为 z =
,求 . ∫∫ x2 + y2 (x2 + y2 1)
(20 xy + 17 y2 )dS
Σ
2.设曲面Σ 为 z = 1 − x2 − y2 ,方向为上侧,求 ∫∫ x2dydz + y2dzdx + . 5z3dxdy Σ 第 1 页,共 2 页
.
解:原式=
´ 2π
0
dθ
´π
0
dϕ
´1
0
r2
·
Ω
r2 sin ϕdr
=
2π
·
2
·
1 5
=
4 π.
´5
T、设L是y = x2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线,则 ydx + xdy = N
L
解´ y:dx曲+线x积dy分=与−路´02径d无x +关´,−31选2d择y 折=线−2l
2.在椭圆抛物面 z = x2 + y2 与平面 z = 20围成的空间区域中内置一个长方体,假设该长方
20
4
体的一个面位于z = 20上,长方体的其它面都与某个坐标平面平行,求长方体的体积的最大值.
五、证明题 (7 分)
设区域 D 为 x2 + y2 1, I = ∫∫ sin( x2 + y2 )5/2dxdy ,求证: D
三、综合题 (每小题 9 分,共 18 分)
1.讨论函数
f
( x,
y)
=
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2016年期末真题试卷(含答案)
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四川大学期末考试试卷A(2015‐2016年第二学期)科目:微积分II 课程号: 考试时间:120分钟注:请将答案写在答题纸对应的方框内,否则记0分。
一、 填空(每小题3分,共18分)1. 22011xy xy y x -+→→lim=41. 2. 设0=-,则--),,(x z z y y x F x z ∂∂= 0232313≠---'''''',F F F F F F . 3. 若0d ,则d 022=+⎰⎰xx y t t t t e sin )(cos x yd d = 22y ex x cos )(sin cos - . 4. 函数y x 在),(01取极y xy x y x f +-+-=222),( 小 值. 5. 21)'(的通解是 ''y y +=))sin(ln(21C x C y +-= .6. 若区域D 由0=x ,0=y ,21=+y x ,1=+y x 围成,且,y x d 12,y x d d 12,+∈Z n ,依从小到大的顺序给321I I I ,,排序为 ⎰⎰++=D n y x y x I d d 121)][ln(⎰⎰+=DI 2+n y ]x [d I 3⎰⎰=Dx [sin(++n y )]231I I I << .二、 计算题(每小题8分,共48分)1. 求x x 的通解.e y y x sin ''432+=-解:齐次问题的特征方程为1, 1012-==⇒=-λλλ,则齐次问题的通解为。
x x e C e C y -+=21特解可分解为,x e y y 23=-''x x y y sin ''4=-的特解之和。
x e y y 23=-''的特解为,x e 2x x y y sin ''4=-的特解为)cos sin (x x x +-2,则所求方程的通解为。
微积分课后习题答案
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微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科,它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中,课后习题是非常重要的一环。
通过做习题,我们可以巩固课堂上所学的知识,提高自己的解题能力。
然而,有时候我们可能会遇到一些难题,无法找到正确的解答。
因此,本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案,希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。
一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。
解答:将x代入函数f(x)的表达式中,得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。
因此,当x趋近于2时,函数f(x)的极限为13/9。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。
解答:将x代入函数f(x)的表达式中,得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。
此时,函数f(x)的极限不存在。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。
解答:根据导数的定义,导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。
将函数f(x)代入该定义中,得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。
化简后可得f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。
解答:微分df(x) = f'(x)dx。
将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中,得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解答:根据定积分的定义,定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx,其中Δx = (b - a)/n,xi为区间[a, b]上的任意一点。
四川大学《微积分(I)-1》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷及解答
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四川大学期末考试试题(闭卷)(2020——2021学年第 1 学期)A卷课程号:201137050 课序号:课程名称:微积分(Ⅰ)-1 任课教师:成绩:试卷编号:(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号:20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分,共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-;;;;;.(832)二、计算题每小题分,共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为,,12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时,,……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此,原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设,求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设,两边同乘并在区间,上积分,得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续,且,求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设,求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先, …………….. 2分 由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分,共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导,且,若,求,的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知,当时,因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以,当时,,从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==, …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时,,无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时,()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减,,,.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时,令,得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时,,严格单减;当时,,严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而,2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分,共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解 区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点,,,,,求经过且与坐标面垂直的平面方程;求经过的直线方程;将直线绕轴旋转一周,求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解 平面的法矢量,,设所求平面上任意一点为,,,则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=,,,即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:,故在区间,上任取一点,做垂直于轴的截面,面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分,第小题分,共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数,,满足,证明:存在,,使得;若同时还满足,则存在不同的,,,使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令,则,,由罗尔定理知,在,内至少存在,()0()0.F f ξξ'==使得,即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在,,使得,即12[0][](0)ξξππηη在区间,,,上分别由罗尔定理即得:在,内存在两个不同的点,, 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足:,,证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知, …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。
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= 1 2 .所以R = 2,原级
∞ n1 n=1 (−1) n 收
∞ 1 n=1 n 发散.当t
= −2即x = −1时,级数为
解
=( 2.
∞ n−1 . n=1 nx n−1 = ∞ (xn ) s(x) = ∞ n=1 nx n=1 ∞ x 1 n n=1 x ) =( 1−x ) = (1−x)2
第一节 级数的概念与性质
一、 (1) 对级数 ∞ 则( ). n=1 un , 若limn→∞ un = 0 , ∞ A. 必收敛; B. 必发散; C.不能判断 n=1 un 的收敛性; D. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 0
(2) 若级数
∞ 则级数 n=1 un 收敛于S, ∞ n=1 (un
2.
∞ n 2n−1 . n=1 ( 3n−1 )
解 由根值判别法limn→∞ 原级数收敛。
3. 4.
∞ n=1 n+1 n .
√ n
un =limn→∞ ( 3nn −1 )
2n−1 n
=1 9 <1
解 级数通项的极限为1, 不为零.原级数收敛。 解 当a = 1时级数的通项趋于无穷,极限不存在。级数发散。当a = 1时,由比 1 1 lnn+3 a+ n n 1 0 1 n+1 值判别法limn→∞ uu = lim ) =ae = a ( .当a < 1时,原级数发散, n →∞ 1 lnn +2 n a+ a+ 1
1.
解 级数的通项极限不存在, 级数发散.
3. √ ∞ n=1 ( n √
解 Sn = 四、 判别下列级数的敛散性.
1. 2. 3.
∞ 1 n=1 3n ∞ 1 n=1 ( 2n 1 3n )
n) √ √ √ √ √ 2−1 + 3 − 2 + · · · + n + 1 − n= n + 1 − 1→ ∞, 级数发散.
n+1 n+1
∞ ln(n+2) n=1 (a+ 1 )n , (a n
> 0).
当a > 1时, 原级数收敛。
2
5.
∞ n+1 n . n=1 (−1) 3n−1 ∞ n n=1 3n−1 .用
解 交错级数的绝对值级数 ∞ = n=1 un un+1 n+1 1 得limn→∞ un =limn→∞ 3n = 3 < 1,原级数收敛且绝对收敛。
1 , 不为零, 级数发散。 解 当a ≤ 1时, 原级数的通项的极限分别为1,2 1 1 1 当a > 1时,1+an < an ,而级数 an 收敛(公比小于1的等比级数),所以原级数收敛.
3.
∞ π n=1 sin 2n .
2n = 1,而等比级数 解 因为limn→∞ π 2n 原级数收敛。 二、 判别下列级数的收敛性.
→ (−3 + λ)x + (−2)y + (−λ)z + λ − 1 = 0.
与已知平面垂直得到(−3 + λ)3 + (−2)2 + (−λ)(−1) = 0→ λ = 所求平面方程为x − 8y − 13z + 9 = 0
13 4 .
u = f (x, y ) ∂g du 2. 设函数u(x)由方程组 g (x, y, z ) = 0 所确定, 且 ∂y = 0, ∂h ∂z = 0试求 dx . h(x, z ) = 0
解 因(ln(1 + x)) =
1 1+x =
+ x)
∞ n 1 n+1 n=0 (−1) 1+n x
当x = −1时,原级数为两个调和级数之和,发散.当x = 1时,原级数为两个收敛的交 错级数之和,收敛.展开式成立的区间为(−1, 1].
2.arcsinx
解 因(arcsinx) = 所以arcsinx =
+1−
√
解 发散。因调和级数发散。
+
解 两个收敛的等比级数的和也收敛.
∞ n2 n=1 n2 +1
解 级数的通项极限为1, 不为零, 级数发散. 附加题 y +2 1 z −2 1.求通过直线 x− 2 = −3 = 2 且垂直于平面3x + 2y − z − 5 = 0的平面方程. 解 法一、 平面束方程(−3x − 2y − 1) + λ(x − z + 1) = 0
dz x 解 已知h(x, z ) = 0z 是x的函数, 且 dx = −h hz .
1
dy dz 再由g (x, y.z ) = 0知道y 也是x的函数, 且gx + gy dx + gz dx =0 dy dx
=−
dy 最后由u = f (x, y )知u是x的函数,du dx = fx + fy dx . 3. 求 L (ex siny − 2y )dx + (ex cosy − 2)dy , 其中L为上半圆周(x − a)2 + y 2 = a2 , y ≥ 0, 沿逆时针方向。 解 P = ex siny − 2y , Q = ex cosy − 2, ∂Q ∂x x = ex cosy , ∂P ∂y = e cosy − 2. L+L1
数
∞ n=1 un 的绝对值级数
别法的极限形式知, 级数 b3n 四、 证明:limn→∞ n !a n = 0 . 证 考察级数
=limn→∞
|u n | ∞ n=1 |un |的通项也满足limn→∞ 1 = ρ.由正项级数的比较判 n2 ∞ | u | 收敛, 从而原级数绝对收敛。 n=1 n
x ∈ (−1, 1).
∞ 1 2n−1 . n=1 2n−1 x 1 2n−1 解 s(x) = ∞ n=1 2n−1 x 1 2n−1 ) = ∞ ( 1 x2n−1 ) s (x) = ( ∞ n=1 2n−1 x n=1 2n−1 2n−2 = 1 x = ∞ n=1 1 − x2 x 1 1+x s(x) = 0 1−x2 dx= 1 2 ln( 1−x ). 2 n−1 ,并求级数 ∞ n2 之和. 3. ∞ n=1 5n n=1 n x ∞ n−1 − nxn−1 ] 2 n − 1 解 s(x) = n=1 n x = ∞ n=1 [(n + 1)nx n+1 ) − (xn ) ]=( ∞ xn+1 ) − ( ∞ xn ) ] = ∞ n=1 n=1 n=1 [(x 2 x 1+x =( 1x ) − ( ) = −x 1− x (1−x)3 ∞ n2 1 1 15 n=1 5n = 5 s( 5 )= 32
1 b,
R = b, 收敛区间
3.
∞ 1 n=1 2n n (x
− 1)n
∞ 1 n n=1 2n n t .ρ
解 令t = x − 1,原级数转化为 数收敛区间为(−1, 3). 当t = 2即x = 3时,级数为 敛.所以收敛域为[−1, 3). 二、 求和函数.
1.
= limn→∞
1 2n+1 n+1 1 2n n
x L1 (e siny
− 2y )dx + (ex cosy − 2)dy =πa2
常数项级数的审敛法
一、 用比较审敛法或极限敛法判别下列级数的收敛性.
1.
∞ 1+n n=1 n2 +1 1+n 1+n 因n 2 +1 > 1+2n+n2 ∞ 1 n=1 1+an , (a > 0)
解
2.
=
1 1 原级数发散。 1+n .而级数 n+1 发散,
+ un+1 )必( ).
A. 收敛于2S. B. 收敛于2S + u1 . C. 收敛于2S − u1 . D. 发散.
n 二、 已知级数的部分和Sn = n3+1 , 试写出该级数, 并求其和. 3n 3n−3 3 解 因un = Sn − Sn−1 = n+1 − n = n(n+1) . n 其和为s = limn→∞ Sn = limn→∞ ( n3+1 )=3. 三、 由定义判别级数的收敛性. ∞ 1 n=1 (2n+1)(2n−1) 1 1 1 1 解 un = (2n+1)(2 n−1) = 2 [ 2n−1 − 2n+1 ], 1 1 1 1 1 Sn = 1 2 (1 − 3 + 3 − 5 ) + · · · + 2n−1 − 2n+1 1 =2 (1 − 2n1 +1 ) limn→∞ Sn = 1 2 .级数收敛。 n 2. ∞ n=1 (−1)
sin
π
∞ π n=1 2n 收敛,
由比较判别法的极限形式知
1.
∞ 2n n! n=1 nn .
n+1 =limn→∞ 解 由比值判别法limn→∞ uu n nn − 1 =limn→∞ 2 (n+1)n =2e < 1.
2(n+1) (n+1)! (n+1)(n+1) 2n n! nn
原级数收敛。
b3n+3 (n+1)!an+1 b3n n!an b3n n→∞ n!an
n2
un+1 ∞ b3n n=1 n!an ,由比值判别法limn→∞ un =limn→∞
b3 a n+1 =0.原级数收敛。由收敛级数的必要条件知lim
= 0.