四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案

解 因(ln(1 + x)) =
1 1+x =
+ x)
∞ n 1 n+1 n=0 (−1) 1+n x
当x = −1时,原级数为两个调和级数之和,发散.当x = 1时,原级数为两个收敛的交 错级数之和,收敛.展开式成立的区间为(−1, 1].
2.arcsinx
解 因(arcsinx) = 所以arcsinx =
+1−
√
解 发散。因调和级数发散。
+
解 两个收敛的等比级数的和也收敛.
∞ n2 n=1 n2 +1
解 级数的通项极限为1， 不为零， 级数发散. 附加题 y +2 1 z −2 1.求通过直线 x− 2 = −3 = 2 且垂直于平面3x + 2y − z − 5 = 0的平面方程. 解 法一、 平面束方程(−3x − 2y − 1) + λ(x − z + 1) = 0
1.
解 级数的通项极限不存在， 级数发散.
3. √ ∞ n=1 ( n √
解 Sn = 四、 判别下列级数的敛散性.
1. 2. 3.
∞ 1 n=1 3n ∞ 1 n=1 ( 2n 1 3n )
n) √ √ √ √ √ 2−1 + 3 − 2 + · · · + n + 1 − n= n + 1 − 1→ ∞, 级数发散.
数
∞ n=1 un 的绝对值级数
别法的极限形式知， 级数 b3n 四、 证明：limn→∞ n !a n = 0 . 证 考察级数
=limn→∞
|u n | ∞ n=1 |un |的通项也满足limn→∞ 1 = ρ.由正项级数的比较判 n2 ∞ | u | 收敛， 从而原级数绝对收敛。 n=1 n
dz x 解 已知h(x, z ) = 0z 是x的函数， 且 dx = −h hz .
1
dy dz 再由g (x, y.z ) = 0知道y 也是x的函数， 且gx + gy dx + gz dx =0 dy dx
=−
dy 最后由u = f (x, y )知u是x的函数，du dx = fx + fy dx . 3. 求 L (ex siny − 2y )dx + (ex cosy − 2)dy , 其中L为上半圆周(x − a)2 + y 2 = a2 , y ≥ 0, 沿逆时针方向。 解 P = ex siny − 2y , Q = ex cosy − 2, ∂Q ∂x x = ex cosy , ∂P ∂y = e cosy − 2. L+L1
x) gx +gz (− h hz gy
添加辅助线段L1 : y = 0, x从0到2a, 构成封闭曲线.则由格林公式 1 2 2 2 2 2 D 2dxdy =2 2 πa = πa , 其中D : (x − a) + y ≤ a , y ≥ 0.
x L (e siny
=
− 2y )dx + (ex cosy − 2)dy = πa2 −
1 ， 不为零， 级数发散。 解 当a ≤ 1时， 原级数的通项的极限分别为1，2 1 1 1 当a > 1时，1+an < an ,而级数 an 收敛(公比小于1的等比级数),所以原级数收敛.
3.
∞ π n=1 sin 2n .
2n = 1,而等比级数 解 因为limn→∞ π 2n 原级数收敛。 二、 判别下列级数的收敛性.
sin
π
∞ π n=1 2n 收敛,
由比较判别法的极限形式知
1.
∞ 2n n! n=1 nn .
n+1 =limn→∞ 解 由比值判别法limn→∞ uu n nn − 1 =limn→∞ 2 (n+1)n =2e < 1.
2(n+1) (n+1)! (n+1)(n+1) 2n n! nn
原级数收敛。
2.
∞ n 2n−1 . n=1 ( 3n−1 )
解 由根值判别法limn→∞ 原级数收敛。
3. 4.
∞ n=1 n+1 n .
√ n
un =limn→∞ ( 3nn −1 )
2n−1 n
=1 9 <1
解 级数通项的极限为1， 不为零.原级数收敛。 解 当a = 1时级数的通项趋于无穷，极限不存在。级数发散。当a = 1时，由比 1 1 lnn+3 a+ n n 1 0 1 n+1 值判别法limn→∞ uu = lim ) =ae = a ( .当a < 1时，原级数发散， n →∞ 1 lnn +2 n a+ a+ 1
(1). (2).
∞ cosnx n=1 n2 1 ,知原级数绝对收敛。 n2 ∞ n−1 1 n=1 (−1) n−lnn 是交错级数。n−1 lnn
解 是变号级数。由| cosnx |< n2
1 解 > n 知原级数的绝对值级数发散。再因交错级数的通项单 调递减趋于零， 由莱布尼兹判别法， 原级数收敛,且为条件收敛。
1 b,
R = b, 收敛区间
3.
∞ 1 n=1 2n n (x
− 1)n
∞ 1 n n=1 2n n t .ρ
解 令t = x − 1,原级数转化为 数收敛区间为(−1, 3). 当t = 2即x = 3时,级数为 敛.所以收敛域为[−1, 3). 二、 求和函数.
1.
= limn→∞
1 2n+1 n+1 1 2n n
2.
∞ 1 n n=1 an +bn x , (a
> 0, b > 0) =limn→∞
an +bn an+1 +bn+1
解 ρ = limn→∞
1 an+1 +bn+1 1 xn an +bn
3
1 当a > b, ρ = a , R = a, 收敛区间为(−a, a).当a < b, ρ = 1 , R = a, 收敛区间为(−a, a). 为(−b, b).当a = b, ρ = a
n+1 n+1
∞ ln(n+2) n=1 (a+ 1 )n , (a n
> 0).
当a > 1时， 原级数收敛。
2
5.
∞ n+1 n . n=1 (−1) 3n−1 ∞ n n=1 3n−1 .用
解 交错级数的绝对值级数 ∞ = n=1 un un+1 n+1 1 得limn→∞ un =limn→∞ 3n = 3 < 1,原级数收敛且绝对收敛。
6.
∞ 1 n+1 n=1 (−1) ln(n+1) .
比值审敛法
∞ 1 1 解 交错级数的绝对值级数 ∞ n=1 un = n=1 ln(n+1) .用比较审敛法： ln(n+1) > ∞ 1 1 n+1 ,绝对值级数 n=1 ln(n+1) 发散.但是对交错级数本身，un 单调递减趋于零，由莱布 尼兹判别法， 原级数收敛,且为条件收敛。 三、 若limn→∞ n2 un 存在， 证明：级数 ∞ n=1 un 收敛. 1 证 设limn→∞ n2 un = ρ, 即ρ = limn→∞ u1n ,说明un 是 n 2 的同阶无穷小。 级
函数展开成幂级数
一、 将下列函数展开成x的幂级数, 并求展开式成立的区间.
1.(1 + x)ln(1 + x)
∞ n n n=0 (−1) x ,|x| < 1. x n n (1 + x)ln(1 + x) = (1 + x) 0 ∞ n=0 (−1) x dx=(1 ∞ n 1 n 1 n+1 + n+2 = ∞ n=0 (−1) 1+n x n=0 (−1) 1+n x n−1 [ 1 − 1 ]xn+1 . =x + ∞ n=1 (−1) n 1+n
(3).
解 是交错级数。 敛。
n ∞ n−1 2+(−1) 5 n=1 (−1) n4 2+(−1)n
n4
5
<
3
n4
5
知原级数的绝对值级数收敛。从而原级数绝对收
幂级数
一、 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.
1.
∞ 2n−1 2n−2 n=1 2n x
2(n+1)−2
x 2n+1 2 1 2 解 法一:limn→∞ | an+1 |=limn→∞ | 1 2 2n−1 x |= 2 |x| an x2n−2 √ √ 2 当1 2时级数收敛，当|x| > 2时级数发散。所以收敛半径R = 2 |x| < 1即|x| < √ √ √ √ ∞ n−1 2.当x = ± 2时,级数为 n=1 2 发散. 收敛区间为(− 2, 2). 2n−1 n−1 , 利用书P210定理2求解. 法二: 令t = x2 ,原级数转化为 ∞ n=1 2n t
+ un+1 )必( ).
A. 收敛于2S. B. 收敛于2S + u1 . C. 收敛于2S − u1 . D. 发散.
n 二、 已知级数的部分和Sn = n3+1 ， 试写出该级数， 并求其和. 3n 3n−3 3 解 因un = Sn − Sn−1 = n+1 − n = n(n+1) . n 其和为s = limn→∞ Sn = limn→∞ ( n3+1 )=3. 三、 由定义判别级数的收敛性. ∞ 1 n=1 (2n+1)(2n−1) 1 1 1 1 解 un = (2n+1)(2 n−1) = 2 [ 2n−1 − 2n+1 ], 1 1 1 1 1 Sn = 1 2 (1 − 3 + 3 − 5 ) + · · · + 2n−1 − 2n+1 1 =2 (1 − 2n1 +1 ) limn→∞ Sn = 1 2 .级数收敛。 n 2. ∞ n=1 (−1)
第一节 级数的概念与性质
一、 (1) 对级数 ∞ 则( ). n=1 un , 若limn→∞ un = 0 ， ∞ A. 必收敛; B. 必发散; C.不能判断 n=1 un 的收敛性; D. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 0
(2) 若级数
∞ 则级数 n=1 un 收敛于S， ∞ n=1 (un
x L1 (e siny
− 2y )dx + (ex cosy − 2)dy =πa2
常数项级数的审敛法
一、 用比较审敛法或极限敛法判别下列级数的收敛性.
1.
∞ 1+n n=1 n2 +1 1+n 1+n 因n 2 +1 > 1+2n+n2 ∞ 1 n=1 1+an , 源自文库a > 0)
解
2.
=
1 1 原级数发散。 1+n .而级数 n+1 发散，
b3n+3 (n+1)!an+1 b3n n!an b3n n→∞ n!an
n2
un+1 ∞ b3n n=1 n!an ,由比值判别法limn→∞ un =limn→∞
b3 a n+1 =0.原级数收敛。由收敛级数的必要条件知lim
= 0.
五、下列级数是交错级数还是一般的变号级数？讨论它们的敛散性，并对收敛级 数说明是绝对收敛还是条件收敛：.
x ∈ (−1, 1).
∞ 1 2n−1 . n=1 2n−1 x 1 2n−1 解 s(x) = ∞ n=1 2n−1 x 1 2n−1 ) = ∞ ( 1 x2n−1 ) s (x) = ( ∞ n=1 2n−1 x n=1 2n−1 2n−2 = 1 x = ∞ n=1 1 − x2 x 1 1+x s(x) = 0 1−x2 dx= 1 2 ln( 1−x ). 2 n−1 ,并求级数 ∞ n2 之和. 3. ∞ n=1 5n n=1 n x ∞ n−1 − nxn−1 ] 2 n − 1 解 s(x) = n=1 n x = ∞ n=1 [(n + 1)nx n+1 ) − (xn ) ]=( ∞ xn+1 ) − ( ∞ xn ) ] = ∞ n=1 n=1 n=1 [(x 2 x 1+x =( 1x ) − ( ) = −x 1− x (1−x)3 ∞ n2 1 1 15 n=1 5n = 5 s( 5 )= 32
→ (−3 + λ)x + (−2)y + (−λ)z + λ − 1 = 0.
与已知平面垂直得到(−3 + λ)3 + (−2)2 + (−λ)(−1) = 0→ λ = 所求平面方程为x − 8y − 13z + 9 = 0
13 4 .
u = f (x, y ) ∂g du 2. 设函数u(x)由方程组 g (x, y, z ) = 0 所确定， 且 ∂y = 0, ∂h ∂z = 0试求 dx . h(x, z ) = 0
= 1 2 .所以R = 2,原级
∞ n1 n=1 (−1) n 收
∞ 1 n=1 n 发散.当t
= −2即x = −1时,级数为
解
=( 2.
∞ n−1 . n=1 nx n−1 = ∞ (xn ) s(x) = ∞ n=1 nx n=1 ∞ x 1 n n=1 x ) =( 1−x ) = (1−x)2