常见的几种平面变换反射变换与旋转变换

3.求 y x2(x0)在M 1
1
0
0
1
1
M2
0
0
1
1
M3
0
0
0
1
M
4
1
1
0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵 M 对应的变换将 (1, 1) 与 ( 2 ,1)
分别变换成 ( 5 , 7 ) 与 (3, 6) （1）求矩阵M （2）求直线l:xy4在此变换下所变成的直线
l 的解析式.
co ssinx xco sysin x sin co s y xsinyco s y
旋转变换
M=
cos sin
sin
cos
0 1
1
0
,
0 -1
1
0
0 1
1 x
0
y
y x
T:xyxyyx
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中
设 a,b R
若M
a
1
0 b
定义的线性变换把直线
l:2xy70变换成另一直线 l:xy70
求a , b 的值.
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵
0
1
0
1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O (0 ,0 ),B (2 ,0 ),C (3 ,1 ),D ( 1 ,1 )
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
数学应用
例1 求出曲线 yx2 (x0) 在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的图形.
y
yx2 (x0)
1
O
1
x
-1
yx2 (x0)
数学应用
例2.求出直线 y 4 x 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
0
1
1
0
变: ylgx(x0)
y 10x y
ylgx (x0)
1
O
1
x
数学应用
例3.求直线l:2xy70在矩阵 M
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换； 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义； 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵) E
1 0
0
1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
作用下变换得到的图形.
3
1
0
1
思考1：若矩阵M
3
1
0 1
改为矩阵
A
3
1
1
1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A (1 α 2 β )1 A α 2 A β
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
学生活动
变式：
矩阵
1
0
0
1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T:yyy
温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a
0
0 1
N
1
0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x y
x y 2
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M 1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？
x x x
T1 :y y y
1
0
0 x 1 y
变换矩阵为 M
1
1
0
0
1
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M
2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
T
:
x
y
x
y
x
y
2
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伸压变换——
1
0
0
2
3 0
0
1
1 0
0
0
.5
问题情境
求圆C：(x2)2(y2)22在矩阵
M
1
0
0
1
作用下变换所得的曲线.
y
(x2)2(y2)22
(x2)2(y2)22
(2, 2)
(2,2)
O
x
两个几何图形有何特点？
问题情境
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x rc o s ( ) rc o s c o s r s in s in x c o s y s in y r s in ( ) r s in c o s rc o s s in y c o s x s in
心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向
为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋
转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转1800的变换相当于
关于定点作中心反射变换.
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1） 分别变换为（5，7）与（-3，6）. （1）求矩阵M；
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
作用下变换得到的曲线.
M
0 1
1
0
学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
0 1
1 0
作用下变换得到的
几何图形，并给出图示，其中
O (0 ,0 ),B (2 ,0 ),C (2 ,1 ),D (0 ,1 )
2.求出曲线 y
3
x
经M1
1
0
0 1
和
0
M
2
1
1 0
作用下变换得到的曲线.
学生活动
1
(2) M 3
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 原点对称的图形；
(3) M
4
0
1
1
0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x 对称的图形；
0 1把一个几何图形变换为与之关于
(4) M 5 1 0 直线 y x对称的图形；
构建数学
一般地，称形如 M 1,M2,M3,M4,M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.