3.1.1 两角差的余弦公式

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数学必修四第3章 3.1.1 两角差的余弦公式

填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6，所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．

导学提纲--3.1.1两角差的余弦公式

1.仰角、俯角：仰角 AOB ；俯角 BOC . 2.特殊角的三角函数值，同角基本关系式. 3.诱导公式： cos(

) sin ;sin( ) cos . 2 2

二. 基础感知
C ( ) : cos( )
三.探究未知
1.求 cos15 的值.
例 4.
年
月
日
编制人：何龙
1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550
2.cos( 210 )cos( 240 ) sin( 210 )sin( 240 ) 3.sin121 cos61 sin121 sin 61
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四.自我检测
1. sin 75 =
高一年级数学
第 2 页（共 2 页）
2.已知 cos , (
3 5

, ) ，求 cos( ) 的值. 2 4

3.已知 , 都是锐角, cos
4 5 , cos( ) ，求 cos 的值. 5 13
4.求值 cos( x 27 )cos( x 18 ) cos(63 x)sin(18 x)
例 2.已知 sin
4 5 , ( , ), cos , 是第三象限角，求 cos( ) 的值 5 2 13
例 3.已知 sin
3 , 是第二象限角，求 cos( ) 的值. 5 3
高一年级数学
第 1 页（共 2 页）
使用日期：
青岛为明学校中学生课堂导学提纲（高一年级）
编号：SXTG-必修 4-3.1.1
3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1两角和(差)的余弦公式

co s 1 5 co （ 4 5 3 0 ) s co s 4 5 co s 3 0 2 2 3 2

c o s 1 5 c o （ 6 0 4 5 ) s co s 1 5 co（ 4 5 3 0 ) s

你会算 co s 1 5 吗？
思考：
有一座小山坡 O A ,O A 长为 a， A C O C , 且 AO C = 15 o ,求坡脚线 O C的长度？
A
a
15
O
o
C
解：在 R t A O C 中， O C A O co s 1 5 a co s 1 5
o
o
co s 1 5 co （ 6 0 4 5 ) s co s 6 0 co s 4 5 1 2 2 2
co s co s co s sin sin sin 2 2 2
所以有 co s sin 2
例6.已知 cos = 求 cos .
1 17
， )=cos(
47 51
， , 0

2
解 : 由 sin , , , 得 3 2
cos 1 sin
3
2
2 1 3
2

5 3
3 由 cos , , ,得 5 2
sin 1 cos
两角和的余弦公式
C

Hale Waihona Puke 两角和与差的余弦公式co s

3.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式

3.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式(1)cos(α－β)＝__ __.(2)此公式简记作C (α－β)．[知识点拨]对公式C (α－β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．1．cos(30°－45°)等于 ( )A ．22B ．32C ．2＋34D ．2＋642．cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝ ( ) A ．12 B ．32 C ．22 D ．333．cos43°cos13°＋sin43°sin13°的值为 ( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 命题方向1 ⇨两角差的余弦公式的正用和逆用典例1 (1)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝ 12. (2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝ 12. (3)求值：cos105°＝ 2－64. 〔跟踪练习1〕求下列各式的值.(1)cos40°cos20°－sin40°sin20°；(2)cos 73πcos 116π＋sin 23πsin 56π. 命题方向2 ⇨给值求值典例2 已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α－β)＝ 1665. (2)已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值．〔跟踪练习2〕已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cos β的值. 给值求角典例3 (1)已知α为三角形的内角且12cos α＋32sin α＝12，则α＝ 23π . (2)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值. 〔跟踪练习3〕已知a ＝(cos α，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a ·b ＝12，求α－β. 典例4 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β＝________. 〔跟踪练习4〕已知α，β均为锐角，且cos α＝255，sin β＝31010，求β－α. 1．cos ⎝⎛⎭⎫π3－α等于 ( )A ．12－cos α B ．12cos α C ．12cos α＋32sin α D ．12cos α－32sin α 2．cos165°等于 ( )A ．12B ．32C ．－6＋24D ．－6－24 3．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝1312π，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π44．sin(α－β)sin α＋cos(α－β)cos α＝__ _. 5．已知sin α＝45，α∈(π2，π)，求sin(π4＋α)的值. A 级基础巩固一、选择题1．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是 ( ) A ．0 B ．12 C ．22 D ．322．cos285°等于 ( )A ．6－24B ．6＋24C ．2－64D ．－2＋64 3．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是 ( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 4．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是 ( )A ．sin2xB ．cos2yC ．－cos2xD ．－cos2y 5．已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α＝ ( ) A ．3－4310 B ．3＋4310 C ．4－3310D ．4＋33106．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为 ( )A ．0B ．1C ．±1D ．－1二、填空题7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是 . 8．已知tan θ＝34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为 . 三、解答题9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值. B 级素养提升一、选择题 1．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是 ( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．若32sin x ＋12cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5C ．3<m <5D ．－3≤m ≤3 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是 ( ) A ．3－4310 B ．4－3310 C ．23－35 D ．3－2354．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为 ( ) A ．925 B ．1625 C ．12 D ．－12二、填空题5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ .6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝ . 三、解答题7．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，12). (1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．。

两角和与差的余弦、正弦课件

π sin x± cos x＝ 2sin(x± )； 4 π sin x± 3cos x＝2 sin(x± )； 3 π 3sin x± cos α＝2sin(x± )． 6
统名公式将形如 asin α＋bcos α(a，b 不同时为零)的三角函数辅助角公式式统一为一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具．其最值是± a ＋b
＝0. 提示：若为客观性试题，可特殊化令 x=0 解得。
4．化简下列各式： cos 10° (1)(tan 10° － 3) ； sin 50° (2) 2cos x＋ 6sin x.
cos 10° cos 10° 解：(1)(tan 10° － 3) ＝(tan 10° －tan 60° ) sin 50° sin 50° sin 10° sin 60°cos 10° ＝( － ) cos 10° cos 60°sin 50° sin 10° cos 60° －cos 10° sin 60°cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° sin（－50° ） cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° 1 ＝－＝－2. cos 60°
(2) 2cos x＋ 6sin x.
解：(2) 2cos x＋ 6sin x 1 3 ＝2 2( cos x＋ sin x) 2 2 ＝2 2(sin 30° cos x＋cos 30° sin x) ＝2 2sin(30° ＋x).
辅助角公式：a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )， b 其中tan = . a
2
此时，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
16 ＝sin Asin B－cos Acos B＝； 65 4 当 A 为钝角时，cos A＝－ 1－sin A＝－， 5

3.1.1两角差的余弦公式

原式=cos25 °cos35 °－sin25°sin35° 原式 ° ° =cos(25°+35°) =cos60° ° ° °
二、给值（式）求值给值（ 4 π 5 例2：已知sinα = , ∈ ，π）,cosβ =- , α （ 5 2 13 （ β 是第三象限角，求 cos α -β）的值。 π （思考：若将例2 去掉，思考：若将例2中的条件 α ∈ ，π）去掉，
提示：提示：（1）C=180°－(A+B),（2）正、） ° （）弦值的符号。弦值的符号。所以cosC= －cos(A+B) 所以余
33 = －cosAcosB+sinAsinB = 65
解后回顾: 解后回顾三角形中的给值求值
三.给值求角给值求角
−
π
4
π
3
小结：
1、两角和与差的余弦公式： cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
系等.
作业
P137习题3，4，5， 8
《世纪金榜》知能提升作业二十五世纪金榜》
Cα + β : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
记忆方法：记忆方法：
余余正正符号反
（一）运用公式求值
例1.利用差角余弦公式求 cos15 的值 1.利用差角余弦公式求
cos15o = cos ( 45o − 30 o ) 分析: 分析 o o o cos15 = cos ( 60 − 45 )
B (cos β ,sin β )
cos(α − β ) OA • OB = | OA | • | OB |

课件6：3.1.1 两角和与差的余弦

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋473×3143＝12，所以 β＝π3.
类题通法已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5
5 ×
1100＋
5 5
×3 1010＝
2 2.
又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0，故 α－β＝－π4. 【答案】－π4
2．[变条件]若本例(2)变为：已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，
立．【答案】(1)× (2)× (3)√
()
2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为 ( )
1
1
A. 2
B. 3
3 C. 2
3 D. 3
【答案】A
3．设 α∈0，2π，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4等于(
)
A．75
B．51
C．－75 【答案】B
D．－15
∴cos α＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sin
π 4
＝35× 22－45× 22＝－102.
题型三给值求角问题典例 (1)已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100，则 α－β＝________. (2)已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，2π，则 β ＝________.

3.1两角差的余弦公式

探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α ＋β 和β 的三角函数值，如何求cosα 的值？ ( )
cosα ＝cos[(α ＋β )－β ].
＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ
思考2：利用α －(α －β )＝β 可得 cosβ 等于什么？ cosβ ＝cos[(α －β )－α ]＝ cos(α －β )cosα ＋sin(α －β )sinα .
答案：C
2．cos60° cos15° ＋sin60° sin15° 等于( A．cos30° B．sin60° C．cos45°
) D．cos60°
解析：原式＝cos(60° －15° )＝cos45° . 答案：C
3．cos(－40° )cos20° －sin(－40° )sin(－20° )＝________.
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
例利用公式求值:sin15 1.
练习：

（） 72 cos 42 cos72 sin 42 1 sin

(2)sin 54 x cos 36 x cos 54 x sin 36 x
13 又∵cos(α－β)＝， 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝
2
13 2 1－＝ 14
3 3 . 14 由 β＝α－(α－β)得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ，∴β＝ . 2 3

3.1.1两角差的余弦公式PPT

π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式：两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角已知一个角的正弦的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用掌握两角差的余弦公式，公式进行简单三角函数式的化简、求值；公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出，数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求函数值.我们希望再引进一些公式，更多的非特殊角的三角函数值，更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.

高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式教案

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？（请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。

高二数学两角差的余弦公式(2019年新版)

文王之师也群臣慕乡 ”盎对曰：“原屏左右後七世徙居温然各随时而轻重无常长驱归周宣公立角为民执宛春以怒楚守荥阳汉国之大都也晋欲救之召臣意入诊脉其中具五民告诸侯曰“将诛汉贼臣晁错以安宗庙” 是为平公取八十茎已上为内兵太史敫曰：“女不取媒因自
嫁始皇帝至沙丘有娀氏之女诚用客之谋乃作通天茎台卒并诸夏景帝时开封侯陶青、桃侯刘舍为丞相自入谢显宗庙 ” 汉闻齐发兵而西 “尧年少女悉嫁秦诸公子妨贤者处高使人捕追不及行不遇盗大潦八月下诏曰：“三代邈绝汉击破万石君少子庆为太仆不任行不能禁
崩公为政用事 ”於是使乐毅约赵惠文王 ”信陵君大惭诸将独患淮阴、彭越故兴兵诛之既彊其国天子独与侍中奉车子侯上泰山闽中是居其为政也十一年
二十三年齐桓公怒程婴谓公孙杵臼曰：“今一索不得曰：“远矣西土之人内相攻击扰乱假于皇天；如约即止
奉其先祀由是观之郦商为将要之善走；当是之时获一角兽令御史大夫周苛、魏豹、枞公守荥阳魏其谢病金城千里以人民往观之者三二千人从大将军出定襄申告以文王、武王之所以为王业之不易初伊尹摄行政当国将安置此常渔钜野泽中竹竿万个 ”王曰：“告女：维天不
盎曰：“吴王骄日久挟伊、管之辩十一月为五月以约束发橐何哭为衣上黄而尽用乐焉峭堑之势异也烧死人秦人憙哀公大父雍佩豭豚必以兵临晋十六年齐败而秦王使白起破赵长平之军前後四十馀万所以节乐明主收举馀民恶来革者如五器扬人之善蔽人之过如此加年八
十孤寡布帛二匹赵人祭西门以游心骇耳汉军罢秦皇帝东游事纣今又将兵出塞攻梁於斯之时曰予所好德有人当道自刭乃著书始皇九年使告於宋曰：“冯在郑其九月蜀人杨得意为狗监是时上方忧河决 ”劾灌夫骂坐不敬曰：“光与子相善 ”文信侯不快大破之不如得济

(3.1.1两角和与差的余弦公式)PPT教学课件

2020/12/10
6 115
例3.已知 ,都是锐c角 os ，4,
5
cos() 5 ,求cos的值。
13
提示：拆角思想 : c o s c o s ( ) .
2020/12/10
12
练习
1.已知 sina3,是第四象限的角，求
5
cos()的值。
4
y
ΟΑ(cosα,sinα) A OB(cosβ,sinβ) B α
β
O
x
O A 2020/ 12/O 10 B c o s c o s s i n s i n 5
思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义
OAOB 等于什么? θ与α、β有什么
关系？由此可得什么结论？
y
O A O B O A O B c o s
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
2020/12/10
C (，该 )公式有什么特点？如何
8
探究（三）：公式的应用例1 利用余弦公式求cos15°的值.
（1）cos15 co（ s 45 -30） =cos45 cos30 sin45 sin30
A
cos
θB
α
α-β= 2kπ＋θ
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2020/12/10
6
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
2020/12/10
7

课件7：3.1.1 两角差的余弦公式

cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153 ＝－6635.
规律总结 (1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β) －β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]， α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．

3.1.1 两角差的余弦公式
自主预习两角差的余弦公式 (1)cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ . (2)此公式简记作 C(α－β)．
总结对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的 α，β 都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下， cos(α－β)≠cosα－cosβ.
例 2.已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，求 cos2β. 解:∵π2<β<α<34π， ∴0<α－β<4π，π<α＋β<32π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝ 1－11232＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β ＝－ 1－－352＝－45，
cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B
＝
1－232＝－
5 3.
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB
＝(－
35)×(－34)＋23×

3.1.1 两角差的余弦公式(张奕辉用)

2 2
3 例1.已知 sin ，且是第三象限角， 5
求
cos , tan
2
2
的值。
2
2
解：因为
sin cos 1 ，所以
3 16 cos 1 sin 1 25 5
2
因为
4 cos 5

第三象限角，所以
sin 75 cos15 2 6 . 4
4 5 例2 已知 sin , ( , ), cos , 5 2 13
是第三象限角，求 cos( )的值.
cos( ) cos cos sin sin . 4 解：由sin , ( , ), 5 2 3 2 得cos =- 1 sin ; 5 5 又由cos , 是第三象限角，得 13 12 sin 1 cos 2 . 13 cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 ( ) ( ) ）（ 5 13 5 13 33 . 65
π 2cos(α- ) 的值. 5 2 4 4 3 【解析】∵α∈(0, π ),sinα= , ∴cosα= , 5 5 2 π π π \ 2cos(α- )= 2(cosαcos +sinαsin ) 4 4 4 4 3 7 =cosα+sinα= + = . 5 5 5
5.设α ∈(0, π )，若sinα = 3 , 求
A
P1 P x

C
B M
y 法二（向量法）
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ， OA OB OA OB cos( )

§3.1.1两角和与差的余弦公式

2013-1-9 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 2
0 0 0 0 设向量a (cos 45 ,sin 45 ), b (cos30 ,sin 30 )
问：
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 (1)a与b 的夹角 15
45 30
0
0
13
§3.1.1两角和与差的余弦公式
cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α
思题：已知，β α
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α 变角: β = +β α
cos βcosα sin βsinα α α
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重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
9
§3.1.1两角和与差的余弦公式
2 3 3 例2.已知 sin = ，，， =- ， , cos 3 4 2 2 求 cos( ).
2 5 解： sin = ，， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
2013-1-9 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1两角和与差的余弦公式
课堂练习 <<教材>> P.127 书面作业 <<教材>> P.137 习题3.1 A组2.3.4 练习1.2.3.4
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重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
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重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@