虚位移原理的一般解题步骤与注意问题
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解平面桁架杆件内力的虚位移原理求解平面桁架杆件内力的虚位移法就是通过对一个平面桁架杆件分别在不同的横截面处作轴力作用，从而求出在相互之间的杆件的虚位移及节点内部力，以此作为最终求解这个结构内力的手段。
该原理具有可操作性好、局部支座独立性强、保守性好等特点，是解决桁架杆件内力不确定性和复杂性的有效方法。
具体步骤如下：一、选取横截面在选取横截面时，首先确定受力过程，即在该结构中确定各结构件的受力情况或作用力方向。
根据力学原理，如果在任意结构单元面上作当量的力和力矩都是等价的，那么就可以合理的在该杆件的横截面上选取合理的横截面去分析这一结构横截面单元的内力。
二、确定虚力系数接下来，我们需要根据上一步确定的受力情况，确定每一横截面上的虚力系数。
虚力系数是根据横截面单元元素的面积、材料的刚度等诸多因素而确定的。
虚力系数的计算公式是：Q=m*b/d，其中m为横截面单元的面积，b和d为杆件的刚度，以及杆件的厚度。
三、计算横截面的虚力根据已经确定的虚力系数，就可以求出每一横截面单元上的虚力，即就可以由横截面上的受力确定每一单元上的虚力值。
四、求解节点上的抗力根据虚位移原理及上面确定的横截面单元虚力，就可以求出这个桁架杆件上每个节点处的抗力。
该原理指出：节点处的抗力可以由所有横截面单元虚力的总和相加得到，即按下式求解：F1=Q1-Q2+Q3-Q4，其中Q1指的是横截面1上的虚力，Q2指的是横截面2上的虚力，以此类推。
五、求解内力最后，根据以上分析，就可以求出该平面桁架杆件上每个节点处的抗力，从而求出这个结构的主/副矩，悬臂梁杆件的弯矩、压弯构件的压力矩、支座上反力等内力。
通过分析可以看出，平面桁架杆件内力的虚位移法是解决桁架结构内力问题的有效方法，具有可操作性好、局部支座独立性强、保守性好等特点，在实际工程中得到广泛应用。
虚位移原理
yB 0
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，
这一坐标完全确定了此质点系的位置。
以后我们也称系统的位置为位形。
§15-2 约束和约束方程 约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面 的曲面方程：
xB r sin l sin
考虑到有关系，所以有 r sin l sin ，所以有
xB r sin r costg
上面式子给出了A，B 两点虚位移的投影δxA ，δyA 、δxB与虚位移δφ的 关系。
§15-3 虚位移·自由度
确定虚位 移间的关系
对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并不是充分的（参阅刚化原理）。 非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用
在于： 一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束反
力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动力与约束所许可位 移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。
x2 y2 z2 l2
§15-3 虚位移·自由度
虚位移 自由度
5-3虚位移原理
出现任何约束反力。
虚位移原理给出了区别质系的真实平衡位置与约
束所容许的可能平衡位置的准则或判据 。
虚位移原理可求解质系的各类平衡问题：
系统在给定位置平衡时主动力之间的关系
求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力
解题步骤
1. 确定研究对象：整体 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析：
作用三个力 Pi ，求平衡时 Pi 与 Si (i 1,2,3) 的关系 (设液体为不可压缩的)。
P1
P2
S2
S3
S1
Байду номын сангаас
P3
无穷多个质点组成的非刚体的平衡
解
塞i 的虚位移为 δri ，方向如图。 液体不可压缩
δr3
S δr 0
i 1 i i
3
P1
P2
1 ( S1δr1 S 2δr2 ) S3
(P 1 P 2 )δr 2 W P 1 (tan tan ) δr 3y 0
P 1 P 2
W P 1 (tan tan )
P1
δr1
1
3
δr2
2
P2
W δr3
例4
在压缩机的手轮上作用一力矩 M。手轮轴的两端各 有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和 B，这两 个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框， 如图所示。 此菱形框的点 D固定 不动，而点C连接在 压缩机的水平压板上。 求当菱形框的顶角等 于2 时，压缩机对被 压物体的压力。
例5
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
理论力学课件 虚位移原理
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
第8章 虚位移原理2
=
1 2
Plδ
ϕ
2
Q δ r2 = δ rB
则
δ ′WPr2
=
r P2
⋅
δ
rrB
=
Pδ rB
δ ′WFrT′ = FrT′ ⋅δ rrB = −
2 2
FTδ
rB
（3）写出虚功方程
δ ′WPr1 + δ ′WPr2 + δ ′WPr3 + δ ′WFrT + δ ′WFrT′ = 0
1 2
Plδ ϕ1
•例
机构由六根长杆和两根短
杆 组 成 ， 长 杆 长 2 a， 短 杆
长a，各杆之间用铰链相连
它在顶部受力P的作用，问
下部力Q的大小为多少才
能使系统处于平衡状态。
图中 θ 为已知角。
r Q
r P
A θ
θ
θ
B
C
−
r Q
解： 解析法
yA = 7a sinθ δ yA = 7a cosθδθ xC = a cosθ δ xC = −a sinθδθ xB = −a cosθ δ xB = a sinθδθ
（1）几何法：根据约束的几何关系（虚位移投影定理） ，找出各点虚位移之间的关系
（2）解析法：用广义坐标表示主动力作用点的坐标，然 后将广义坐标变分，求各点的虚位移
4. 列出虚功方程，并求解。
已知：曲柄处于水平位置。
求：平衡时的力偶M = ?
δ rB
解：一个自由度系统，取OA
转过的角度θ 为广义坐标。
当研究对象为有弹簧连接的刚体系统，或变形体时，式
中的主动力
r Fi
(i = 1,2,Ln)是全部作虚功的力，有内力也有
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架是指由桁架杆件组成的平面结构，它是一种比较常见的结构类型，在建筑工程中有广泛应用。
平面桁架杆件内力的虚位移原理是指用来求解平面桁架杆件内力的方法。
虚位移原理是基于桁架结构的平衡原理，根据桁架结构的挠度方程可以求解桁架杆件的虚位移。
求解虚位移的步骤如下：
1.确定桁架杆件的位置关系和支座约束条件，并根据桁架
的几何形状建立坐标系。
2.确定桁架的荷载状态，根据桁架的荷载状态确定桁架的
内力状态。
3.建立桁架的节点虚位移表，并根据节点虚位移表解出桁
架杆件的虚位移。
4.根据桁架杆件的虚位移和杆件的截面尺寸计算杆件的内
力。
在求解平面桁架杆件内力的过程中，需要注意桁架的几何形状、
荷载状态、支座约束条件等因素，并根据这些因素建立相应的计算模型。
在求解过程中，还要注意桁架杆件的截面尺寸、杆件材料的弹性模量等因素，以保证计算结果的准确性。
虚位移原理是一种通用的求解平面桁架杆件内力的方法，在建筑工程中有广泛应用。
但是，在实际应用中，还要注意桁架杆件的几何形状、荷载状态、支座约束条件等因素的变化，并作出相应的调整。
虚位移法的原理与应用
虚位移法的原理与应用1. 简介虚位移法（Virtual Displacement Method）是一种经典的结构力学分析方法。
它基于平衡原理和位移相容性原理，用虚位移原理来求解结构受力和变形问题。
本文将介绍虚位移法的原理以及其在实际工程中的应用。
2. 虚位移法的原理虚位移法的基本思想是，一个静力学问题可以通过最小化系统总势能来得到结构的相应。
虚位移法假设结构的位移场可以通过一个虚位移函数来表达，在满足边界条件的情况下，构建系统的虚功原理，可以得到结构的平衡方程。
具体来说，虚位移法的原理包括以下几个步骤：2.1 建立虚位移函数首先，建立一个虚位移函数，其满足边界条件以及位移相容性。
虚位移函数通常是一个多项式或三角函数形式。
2.2 计算系统总势能利用虚位移函数和受力情况，计算系统的总势能，可以通过对虚功原理的应用来得到。
2.3 最小化总势能将系统总势能对虚位移函数的系数进行变分，并令其为0，得到一组代数方程。
解这组方程可以得到结构的平衡方程。
2.4 求解结构响应由平衡方程，可以求解结构的受力分布和位移场分布。
3. 虚位移法的应用虚位移法广泛应用于各种结构的力学分析和设计中。
以下列举了一些虚位移法的应用领域：3.1 静力学分析虚位移法可以用于求解各种静力学问题，如梁、柱、桁架等结构的受力分析。
通过建立适当的虚位移函数，可以得到结构的内力分布和位移场。
3.2 动力学分析虚位移法也可以扩展到动力学分析中。
通过将虚位移函数与时间相关联，并结合动力学方程，可以求解结构的动态响应。
3.3 结构优化设计虚位移法可以用于结构的优化设计。
通过变分原理和虚功原理，可以最小化系统总势能，得到最优的结构形状和尺寸。
3.4 轴对称问题对于轴对称问题，虚位移法是一种非常有效的分析方法。
通过在径向和周向方向上引入合适的虚位移函数，可以求解轴对称结构的受力和位移问题。
4. 总结虚位移法是一种基于虚功原理的结构力学分析方法。
通过建立虚位移函数和最小化系统总势能，可以得到结构的平衡方程和响应。
虚位移原理
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM Ell源自P1 αBC
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
C
M A
DP a
3-8刚体体系的虚位移原理
虚位移 — 非定常约束情况
f x1 ,, x3 N , t 0
微分
f r1 ,, rN , t 0
实位移或可能位移 d f x1 ,, x3 N , t 0
f f f dx1 dx3 N dt 0 （非齐次） x1 x3 N t
由虚功原理得
YB
P rG YB rB P rH 0 5 YB P 4 P
H
D
P
A
P
E
G
B
rG
F
rB
rH
rC
b
虚位移原理
例 惰钳机构由六根长杆和两根 短杆组成，长杆长2a，短杆 长 a，各杆之间用铰链相连 。它在顶部受力 P 的作用， 问下部力 Q 的大小为多少才 能使系统处于平衡状态。图 中 为已知角。
x
A
rB 2 rD l2
y
rD rB
D
B
例4
广义坐标表示的虚位移
O
再取
0, 0
rC
rA
x
C
A
rB rD 2 rC l1
y
rD
rB
D
B
例5刚体平面运动的虚位移
rA= { rA1 ， rB1} rB = { rA2 ， rB2} （1）虚位移投影定理 刚体上两点的虚位移在 它们连线上的投影相等
n w fi ri fixxi fiyyi fizz
n i 1 i 1
元功：力在微小位移上的功。
某一约束的约束力在在质点系的任何虚位移上所做 的功之和等于零，则该约束称为理想约束。
8、虚位移原理
8、虚位移原理8.1内容提要虚位移原理是力学中普遍原理之一，它用分析的方法及位移与功的概念建立了任意质点系（不变形质点系及可变形质点系）平衡的必要与充分条件，所以这部分内容也可称为分析静力学。
虚位移原理给出的平衡条件，对于任意非自由质点系的平衡都是必要和充分的，为解决质系平衡问题提供了一种普遍而简便的方法，更为解决复杂质点系平衡问题提供了有效而简便的方法。
现将虚位移原理的理论要点归纳如表8-1所示。
表8-1 虚位移原理理论要点8.2解题要点8.2.1求解问题1、求解问题应用虚功原理，可求解平衡系统主动力之间的关系、系统的平衡位置以及约束反力等问题。
由于虚功方程中不包含约束反力，使得某些复杂的静力学问题就可以得到简便求解。
2、求虚位移的方法在虚位移原理解题中，正确分析并确定各主动力作用点的虚位移及其之间的关系，是解题的关键。
求虚位移的方法有几何法（虚速度法）和解析法。
（1）几何法（虚速度法）根据各刚体的几何关系及各点的速度关系来求虚位移之间的关系，习惯称为几何法。
对于定常约束，微小的实位移是虚位移中的一个，所以各点虚位移的关系，可用求实位移的关系的方法来求。
在运动学中，t d v r d ⋅=，因而两点微小位移大小之比等于两点速度大小之比。
把对应于虚位移的速度称为虚速度，则两点虚位移大小之比就等于两点速度大小之比。
这样，就把系统中各点虚位移间的几何关系转化为运动学中各点虚速度的关系，故称为虚速度法更为合理。
因此，可用运动学中各种求速度的方法求虚位移间的关系。
（2）解析法建立固定坐标系，把作虚功的主动力作用于点的直角坐标（x ，y ，z ）表示为广义坐标的函数，然后对坐标进行变分运算，即可求得各点虚位移的投影（δx ，δy ，δz ）。
3、虚位移原理的解题步骤（1）取研究对象，一般以不解除约束的整个系统为研究对象。
分析系统具有的自由度个数，以确定系统虚位移的组数，即虚功方程的个数。
（2）受力分析。
一般只分析主动力。
第十五章 虚位移原理
虚位移原理
质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制，可以在空 间自由运动， 它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力， 则这种质点系称为自由质点系。 例如，各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动， 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件，则这种质点系称为非自由质点系。例如，用 刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。在工程实际中，经常遇到的是非自由质点 系。 静力学中，以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件，称为矢量静力学（Vectorial statics）或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非充分的。 本章讨论的虚位移原理（Principle of virtual displacement） ，是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的 普遍原理，可称为分析静力学（Analytical statics） 。 §15-1 约束及其分类
f j ( x1 , y1 , z1 ; "; xn , y n , z n ) = 0
§15-2 1．虚位移（Virtual displacement）
( j = 1, 2, ", s )
（15-3）
虚位移与自由度
由于约束的限制，非自由质点或质点系中的质点，其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移，但也容许质点沿另一些方向的位移。因此，我们定义： 质点或质点系在给定位置（或瞬时） ，为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
6虚位移原理
E F
x C
x
δxC 2l sin δ , δxD (l b) sin δ , δxE (l b) sin δ
即 F1 (l b) F1(l b) 2 Fl ) sin δ 0
7、在图示机构中，曲柄OA 上作用一力偶，其矩为M，另在滑 块D 上作用水平力F。机构尺寸如图所示，不计各构件自重与 各处摩擦。求当机构平衡时，力F 与力偶矩M 的大小之间的关 系。（习题14-6）
xC
δ 0
5、在图示机构中，当曲柄OC绕轴O摆动时，滑块A沿曲柄 滑动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。已知：OC = a， OK = l，在点C处垂直于曲柄作用力F1；而在点B沿BA作用 力F2。（习题14-5）
用解析法解，选取 为广义坐标
y A l tan ，δy A l sec2 δ 虚位移方程 ( F1a)δ F2 δy A 0 F1aδ F2l sec 2 δ 0 因δ 0 F1a F2l sec 2 0 F2l F1 a cos 2
8 、图示机构在力与的作用下平衡，各杆的自重及各处的摩擦 不计。OD=BD=l1，AD=l2，试求F1/F2的值。（习题14-10）
x A l1 l 2 cos
y A l1 l 2 sin
xB 2l1 cos , xB 2l1 sin
b2 h2 虚位移方程 M P rB 0 即：M Pa tan . 0 tan h
0
M b2 h2 得: P ah
11、图示曲柄连杆机构中，曲柄 AB上作用有力偶 M ，滑块 C 上作用有力F，曲柄AB 与连杆BC 的长度均为L，不计所 有的重力和摩擦。若θ= 30°时机构处于平衡，试用虚位移 原理求此时M与F间的关系。（补充）
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解平面桁架是由若干个杆件和连接节点组成的结构系统。
在静力学中，我们需要确定杆件的内力分布，以便分析框架结构的稳定性和强度。
在这个过程中，虚位移原理是一种常用的求解方法。
虚位移原理是基于杆件内力是虚功平衡的原理。
根据虚功原理，任意一种变形状态下，根据外力做的虚功与内力做的虚功之和等于零。
在平面桁架中，变形可以由杆件的伸缩变形和节点的转动变形来描述。
假设在特定的荷载条件下，各杆件的长度变化为ΔL，各节点转动角为Δθ。
那么我们可以将每个杆件的内力分解为水平分力、垂直分力和弯矩。
根据虚功原理，我们可以得到以下方程：∑(F_x*ΔL+M*Δθ)=0∑(F_y*ΔL)=0这里，F_x和F_y表示水平和垂直分力，M表示弯矩。
上述两个方程是根据平衡条件得到的。
在求解过程中，通常将虚移位分解为水平和垂直方向的分量，即：ΔL_x=∂u/∂x*Δx+∂u/∂y*ΔyΔL_y=∂v/∂x*Δx+∂v/∂y*Δy其中u和v是位移函数，表示节点的水平和垂直位移，Δx和Δy是节点在x和y方向的位移增量。
通过将虚位移代入虚功方程，我们可以得到：∑(F_x*∆L_x+F_y*∆L_y+M*∆θ)=0这个方程称为平面桁架杆件内力求解的虚功原理方程。
通过这个方程，我们可以求解每个杆件的内力。
具体的求解过程可以分为以下几步：1.根据给定的初始条件，假设节点的位移增量Δx、Δy和Θ；2.对于每个节点，根据虚功方程计算杆件的水平力、垂直力和弯矩；3.根据每个杆件的几何特性和材料属性，计算杆件的伸缩变形和转动变形；4.根据计算得到的杆件力和变形，更新节点的位移增量；5.重复步骤2-4，直到计算收敛，即内力和位移增量不再变化。
通过以上步骤，我们可以求解平面桁架杆件的内力分布。
总结起来，平面桁架杆件内力的虚位移原理求解主要是基于虚功原理。
通过将虚位移代入虚功方程，结合平衡条件和杆件的几何特性和材料性质，可以求解出每个杆件的内力。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
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理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
虚位移原理与力学的变分原理
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
§1.2 虚功原理
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参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
7虚位移原理
有多组
2
虚位移：
满足约束方程且不考虑约束随时间变化的可能微小位移。
1、若约束定常， 无穷小可能位移就是虚位移， 例：斜面固定，物体只受重力作用， 则： 可能位移、实位移均是虚位移。
无穷小真实位移(速度)也是虚
位移之一。
例：斜面以速度v运动，物体只 2、若约束非定常 受重力作用，则真实位移、可能 位移、虚位移是什么？ 这时，可能位移是物体相对斜面的位移与 斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。
真实位移：满足运动微分方程 和约束方程的位移解，是真实 发生的位移，称为实位移。 可能位移：满足约束方程但不一
例：固定斜面上的物体只 受重力作用，求：真实位 移(速度)方向
真实位移(速度)
定满足运动微分方程的位移。
例：斜面上的物体 只受重力作用，求： 可能位移
dr dr dr
只有一组
dr
可能位移(速度)
平衡时主动力的虚功 之和为零
平衡： Fi FNi 0
(i 1,, n)
(F F
i 1
i
n n i 1 i i i 1
n
Ni
) ri 0
ri 0
ri Fi
i
F r F
Ni
FNi
|| 0
F
i 1
n
i
ri 0
9
F
i 1
P 2 cot Q 3
15
O
x
例题：若已知：
l1
m1
l1 l2 l
l2
m1 m2 m
y
m2
F
m2 g
F mg
求: 平衡时的位置
m1 g
第十六章 虚位移原理2
FDE = −13.66kN
再求F 再求 BC 10kN δϕA A B δyB D E
15kN δrE
r F BC r F CB
I
δϕEC
C
δxC
3 3 10 ⋅ lδϕ A + 15 lδϕ A − FCB ICδϕ EC = 0 2 2
CI cos 30° = EC = l
AE = 2l cos 30° = 3l
F
G
H
r F2
D
2a C
2a
D
D
FDx
D
D FDy
解： 1.求FDy 求
F1aδϕ A + F2 aδϕ D − FyD 2aδϕ D = 0
δϕ D = δϕ A
FDy = 1.5kN
r E F1
a A δrE B
δϕB δrB
δrF F δrC
G δrG δϕD 2a δrD
H
r F2
D
δϕA
δrE = 2aδϕ A = 2aδϕ B = δrF = δrG = δrC = 2aδϕ D
δϕ A = δϕ D
δyc = aδϕ A
FCy = −3kN
δrF F δrB G δrG H
F1aδϕ A + F2 aδϕ A + aδϕ A FCy = 0
r F1 δϕ B E
a δrE A δϕA 2a B
∂V =0 ∂θ 1 V = P(2l cos θ + h) + k (2l sin θ ) 2 2
(− 2Pl + 4kl
2
cos θ sin θ = 0
l A l
)
y
7虚位移原理
二. 虚位移的定义
虚位移定义为：在给定瞬时，质点或质点系在约束许可的 条件下，可能实现的任何微小位移。
◆ 虚位移必须是微小量，是无穷小量。 ◆ 虚位移必须是约束允许的。 ◆ 虚位移是针对给定瞬时。因为在不同瞬时，构成约束的 物体具有不同的位置或形状。 ●虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
●虚位移记号“ ”是数学上的等时变分符号，求变分时， 把时间“冻结”，t=0. 我们只讨论稳定约束，约束方程中不 含时间t ，因此，变分的计算与微分的计算完全一样。 ▲真实位移 ——实际发生的位移 ,它同时满足动力学方程、 初始条件和约束条件。 ▲可能位移——约束允许的位移，它只需满足约束条件。
约束方程：
y0
x2 y2 z2 l 2
§7-3 虚位移
一. ―虚位移”概念的引入 二. 虚位移的定义 三. 变分、微分的区别 四. 虚位移与实位移的区别 五. 自由度
§7-3 虚位移
一. ―虚位移”概念的引入
在静平衡问题中，质点系中各质点 都静止不动。我们设想，在某质点约束 允许的条件下，给它一个假想的极其微 小的位移。
三.变分、微分的区别？
● 微分是由于自变量的微小增量而引起的函数的微小增量。 ● 变分是由于函数本身的微小改变而引起的泛函数的改变。
( 泛函：函数、点、数的集合。定义域推广：函数、实数集合。)
● 等时变分：等时变分运算与微分运算类似，但t=0。 给定瞬时，时间“冻结”。 ● 求泛函的极值即变分问题。泛函的极值是某一函数。
约束实例
球面摆
y
O θ
l M
x
点M被限制在以固定点O
为球心、 l 为半径的球面上
z
x y z l
2 2 2
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浅析《虚位移原理》的一般解题步骤与应注意的问题
姓名：王晟学号：000572 班级：机05
这个学期的《工程力学》的学习中，大家最感到头疼的可能就是虚位移原理的一些题目了。
虚虚实实，有速度，还有加速度；分析起来特别麻烦，一不小心就容易弄错几个虚位移或弄丢几个虚位移。
考试的时候很容易丢分。
根据平时上课以及从教科书参考书上积累的知识，我将虚位移原理的有关知识总结一下，希望能够为大家提供一些不成熟的建议。
解题的一般步骤
（1） 根据题意，分清所分析的问题时属于哪一类的问题：
①求平衡问题；
②求约束反力或内力；
③判断平衡的稳定性。
对于求约束反力或内力的问题，首先应解除约束（求哪个反力或内力，解除与之对应的约束），用对应的反力或内力替代约束对系统的作用，从而将反力或内力“转化”为主动力。
每解除一个约束，系统相应增加一个自由度！
（2） 分析约束性质，画主动力的受力图。
在所研究的系统中，如有某些约束不是理想约束，应将这些约束的反力按主动力处理。
只画系统的主动力的受力图，这里的主动力应该包括：
①系统以外的物体对它的作用力；
②非理想约束的约束反力；
③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。
（3） 确定系统的自由度，应包括因杰出约束而增加的自由度。
选择合适的坐标（或线坐标、或角坐标）做系统的广义坐标。
对完整系统来说，广义坐标的数目等于自由度的数目！
（4） 给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：
①几何法：运用运动学中分析速度的方法（对于定常约束来说，虚位移之间的关系就是速度的关系），进行计算。
②解析法：先选定一个静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后，再对广义坐标取变分，进行计算。
（5） 建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。
（6） 写出系统的势能表达式，确定平衡位置，判断在平衡位置上，系统是处于稳定平衡还是非稳定平衡。
（此部分看题目需要）
应注意的问题
（1） 应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离对象，这是不同与其他分析方法的。
（采用虚位移原理解绗架问题也未尝不可，但并没有明显的效果。
如《理论力学》教材133页例5－13的第三种方法，就是采用了虚位移原理对分离
对象分析）
（2） 用虚位移原理求解具有摩擦的平衡问题时，摩擦力（包括摩擦力偶）的方向，只取决于系统的运动趋势，与所给的虚位移方向无关。
（3） 计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。
（4） 用分析法计算主动力的作用点的虚位移时，必须选择一静坐标系来建立点的坐标分析表达式，这个静坐标系最好固结在系统的一个不动的点上。
（5） 在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。
（6） 对于两个或两个以上的自由度的系统来说，可采用下述两种方法计算虚位移，建立虚功方程：
①各个自由度分别给出：先给某一广义坐标一虚位移（其他的广义坐标都没有虚位移），建立一个与此对应的虚功方程；然后，再给第二个广义坐标一虚位移（同样，其他的均无虚位移），建立第二个虚功方程，以此类推，从而可以建立与广义坐标数目相等的彼此独立的平衡方程。
如：《理论力学》98页例4－8中的几何法采用的即是这种方法。
各个自由度同时给出：同时给出所有的广义坐标以虚位移，求出各主动力作用点的虚位移与②各广义坐标虚位移各关系，建立一个包含全部广义坐标虚位移的虚功方程。
根据各广义坐标虚位移线性无关的原理，从这个虚功方程中可以派出与广义坐标数目相等的、彼此独立的平衡方程。
这两种方法所建立的平衡方程，在本质上是一样的，但是对于解题来说往往是分别给出各个自由度的方法显得更为直观，更为简便一些。
总结：以上便是我对虚位移原理的应用及其注意要点的一些总结。
由于篇幅问题，再加上本人绘图能力实在有限，所以没能列举例题，给大家造成了理解文章含义的不便，本人表示抱歉。
上述的一些算是个人心得体会都是从平时的解题与看例题中总结出来的，相信大家不会感到陌生！☺大家在解题的时候也可以再自己揣摩一下。
如果发现有什么不足错漏的地方 ，请随时和我联系，谢谢。
欢迎大家批评指正！E-mail:xiaoguai1014@。