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射影平面
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
给平行线添加交点！
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.2 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
定理1.16 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
给平行线添加交点！
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.2 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
定理1.16 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
[高等教育]射影平面
![[高等教育]射影平面](https://img.taocdn.com/s3/m/8b526b3c48d7c1c708a14594.png)
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 2.1 射影平面
三、射影平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 2.1 射影平面
三、射影平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线 课件
做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因 此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂 直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影 与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影 图形的面积．
4．两个定理 (1)定理 1：圆柱形物体的斜截口是 椭圆 ． (2)定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线 的圆锥面．任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行 时，记 β＝0)，则 ①β>α，平面 π 与圆锥的交线为 椭圆 ． ②β＝α，平面 π 与圆锥的交线为 抛物线 ． ③β<α，平面 π 与圆锥的交线为 双曲线 ．
3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为 A′(A′不在BC上)． (1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60°时，AB，AC与平面α所成的角分别是 30°和45°时，求cos∠BA′C. 解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C， ∴A′B2＋A′C2<AB2＋AC2＝BC2. ∴cos ∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2<0. ∴∠BA′C为钝角． ∴△A′BC为钝角三角形．
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设AA′＝1，则A′B＝ 3，A′C＝1，AC＝ 2，AB＝2，
∴BC＝ AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝ 6－2 2，
cos
∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2＝
6－ 3
3 .
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因 此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂 直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影 与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影 图形的面积．
4．两个定理 (1)定理 1：圆柱形物体的斜截口是 椭圆 ． (2)定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线 的圆锥面．任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行 时，记 β＝0)，则 ①β>α，平面 π 与圆锥的交线为 椭圆 ． ②β＝α，平面 π 与圆锥的交线为 抛物线 ． ③β<α，平面 π 与圆锥的交线为 双曲线 ．
3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为 A′(A′不在BC上)． (1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60°时，AB，AC与平面α所成的角分别是 30°和45°时，求cos∠BA′C. 解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C， ∴A′B2＋A′C2<AB2＋AC2＝BC2. ∴cos ∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2<0. ∴∠BA′C为钝角． ∴△A′BC为钝角三角形．
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设AA′＝1，则A′B＝ 3，A′C＝1，AC＝ 2，AB＝2，
∴BC＝ AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝ 6－2 2，
cos
∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2＝
6－ 3
3 .
第二章射影平面
第二章射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。
然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。
§1 射影直线与射影平面1.1 中心射影与无穷远元素定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。
A′叫做A从O投射到a′上的对应点。
OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。
显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。
选取射心不同，就会得到不同的中心射影。
如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。
在欧氏平面上，中心射影不是一一的。
如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。
同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。
点P和Q′叫影消点。
类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。
而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。
另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。
１为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。
于是，我们约定：约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。
平面上原有的点称为有穷远点。
由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。
另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。
这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。
约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。
平面内原有的直线称为有穷远直线。
可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。
约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。
空间中原有平面叫有穷远平面。
定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。
平行射影 课件
如果梯形 ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平 行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则 梯形 ABCD 在平面 α 上的平行射影仍是梯形．
答案：一条线段或一个梯形
归纳升华 1．投影方向不同，同一个图形的平行射影也有所不 同；图形的平行射影与投影方向和投影平面有关． 2．正射影是平行射影中投影线与投影面垂直时的一 种特殊情况．
2．几何图形在平面上的平行射影
设直线 l 与平面 α 相交，把直线 l 的方向称为投影方 向．过点 A 作平行于 l 的直线，必与平面 α 交于点 A′， 那么把点 A′称作点 A 沿直线 l 的方向在平面 α 上的平行 射影，一个图形上各点在平面 α 上的平行射影所组成的 图形称作该图形的平行射影．正射影是平行射影的特例．
归纳升华 1．确定一个点在平面内的正射影的方法：过该点作 平面的垂线，则垂足是该点在平面内的正射影． 2．垂足位置的确定：利用立体几何知识及相关结论， 与线、面垂直的判定定理、性质定理相结合，通过论证确 定．
3．平面图形在一个平面内的正射影由该图形上各点 在平面内的正射影组成．
类型 2 平行射影的判定及应用 [典例 2] 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，若梯形不在 平面 α 内，则它在平面 α 上的平行射影是________． 解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向， 则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段．
温馨提示 1.两条相交直线的平行射影是两条相交 直线或一条直线.2.两条平行直线的平行射影不一定是平 行直线，有可能是两条平行直线或一条直线或两个点．
3．椭圆的定义 平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫 做椭圆． 温馨提示 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱 两底面平行，截面是圆，当平面与圆柱两底面不平行时， 截面是椭圆．
射影的有关概念及定理PPT课件
课题:斜线在平面内的
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组
1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜
线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
A
（1） OB=OCAB=AC
射影的长短斜线段的长短
OB>OCAB>AC
（2 ）AB=ACOB=OC
B
AB>ACOB>OC
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
； ；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组
1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜
线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
A
（1） OB=OCAB=AC
射影的长短斜线段的长短
OB>OCAB>AC
（2 ）AB=ACOB=OC
B
AB>ACOB>OC
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
； ；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の
167;13射影平面
图形Σ
作对偶变换
图形Σ'
互为对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例
(1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集) l(P)
(2)' 线束(共点线集)
L( p)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形：n个点(其中无 三点共线)及其两两顺次连线 构成的图形.
§ 1.3 射影平面
一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 三、射影坐标变换 四、实射影直线(一维实射影空间)
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
实射影平面
三维实向量类: RP2 , (RP2 )*
复射影平面
三维复向量类: CP2 , (CP2 )*
实-复射影平面
将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间)，即带有虚元素的实射影平面
Desargues定理画图过程演示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的 纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理
今日作业 P.35: 1(图1.19, 1.22); 4; 5
祝同学们国庆节快乐！
The Class is over. Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
若两个三点形对应边的交点共线， 则称这对对应三点形具有透视轴， 透视轴也称为Desargues 线.
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
问题 存在透视中心 存在透视轴？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2.1射影平面
Ｃ
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与 无穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就 叫做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和 无穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理 应用举例
例2 证明：三角行的三中线点共.
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
今 天 作 业
P28 : ５
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格定理
德萨格(Desargues)定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于 一点，则对边的交点在一直线上.
A
X
C
Y
C
B
A
B Z
O
A
X
C
B Z Y
C
B
A
o
L
A
l
L
A
X
C
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与 无穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就 叫做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和 无穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理 应用举例
例2 证明：三角行的三中线点共.
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
今 天 作 业
P28 : ５
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格定理
德萨格(Desargues)定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于 一点，则对边的交点在一直线上.
A
X
C
Y
C
B
A
B Z
O
A
X
C
B Z Y
C
B
A
o
L
A
l
L
A
X
C
射影平面
定义 通常点和无穷远点统称拓广点, 记作P,Q,…; 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为仿射直线, 记作 l,m,…; 添加无穷远直线后的平面称为仿射平面, 记作.
定义 如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与 无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面 就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称 这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也 称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理 如果两个三点形对应 顶点的连线交于一点，则对应边的 交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面 如图，设这个平面是 。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如 果它们共面，则这个平面必须是 ，于是 S, S' 就在 上，这 与 l 为异面直线矛盾）。
定义 如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与 无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面 就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称 这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也 称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理 如果两个三点形对应 顶点的连线交于一点，则对应边的 交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面 如图，设这个平面是 。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如 果它们共面，则这个平面必须是 ，于是 S, S' 就在 上，这 与 l 为异面直线矛盾）。
21射影平面
德萨格定理的逆定理：
如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则 对应顶点的连线交于一点.
定义1.11 如果两个三点形对应边的交点共线，则
这条直线叫做透视轴．如果两个三点形对应 顶点的连线共点，则这个点叫做透视中心．
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
应用举例
例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为 AD, BE, CF. 而 BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做 无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷 远直线(通常直线)
约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷 远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平 面或普通平面．
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.
３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个一一对应？
如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则 对应顶点的连线交于一点.
定义1.11 如果两个三点形对应边的交点共线，则
这条直线叫做透视轴．如果两个三点形对应 顶点的连线共点，则这个点叫做透视中心．
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
应用举例
例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为 AD, BE, CF. 而 BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做 无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷 远直线(通常直线)
约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷 远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平 面或普通平面．
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.
３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个一一对应？
射影平面
例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的 交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.
射影直线和射影平面PPT课件
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注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
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例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
O
记 : '
O投射中心
(O ') (射心）
OP 投射线 P ' π 上的点P 在π'上的像
A
Hale Waihona Puke aPMxP a
A
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P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π‘ 到π的中心射影
三条特殊的直线：
x '自对应直线(不变直线)
u , U u, OU // '，
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P, 经中心投影后， l1与l2的对应直线分别为l1与l2，
由于射影对应保持结合性不变，
所以影消点P 的对应点为l1与l2的交点，O P
即 P点。 由于l1与l2相交于无穷远点，
所以l1 // l2
l1 l2 m l1
P l2
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例2：单比不是射影不变量。
点与直线的关联 关系
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一、无穷远点
约定一： (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点， 此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)， 记作P∞
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.
为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)， 记作P
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
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例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
O
记 : '
O投射中心
(O ') (射心）
OP 投射线 P ' π 上的点P 在π'上的像
A
Hale Waihona Puke aPMxP a
A
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P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π‘ 到π的中心射影
三条特殊的直线：
x '自对应直线(不变直线)
u , U u, OU // '，
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P, 经中心投影后， l1与l2的对应直线分别为l1与l2，
由于射影对应保持结合性不变，
所以影消点P 的对应点为l1与l2的交点，O P
即 P点。 由于l1与l2相交于无穷远点，
所以l1 // l2
l1 l2 m l1
P l2
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例2：单比不是射影不变量。
点与直线的关联 关系
第8页/共35页
一、无穷远点
约定一： (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点， 此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)， 记作P∞
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.
为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)， 记作P
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平面上任二直线总相交
４、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. ５、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
在射影平面上，可 以证明：
I，II为同一区域 III，IV为同一区域
§ 1 射影直线和射影平面
１.3 图形的射影性质
定义1.7 经过中心射影(透视对应)后 图形的不变性(量)叫做图形的射影性质 (不变量).
例 证明
(1)相交于形消线的二直线必射影成平行 直线
(2)单比不是射影不变量
§ 1 射影直线和射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个一一对应
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做 无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷 远直线(通常直线)
约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷 远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平 面或普通平面．
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
点列与线束
定义1.8 点列(同 一直线上点的集合)
定义1.9 线束(平面上过 同一点的直线的集合)
记为: l(A,B,C,…)
底
元素
记为: O(a,b,c,…)
中心
元素
§ 1 射影直线和射影平面
统称为无穷远元素.
例１ 证明一组平行平面相交于一条无穷
远直线．
l
§ 1 射影直线和射影平面
三、仿射直线；仿射平面
定义1.3 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后,便得到一条新 直线, 我们将它叫做仿射直线.
定义1.4 在欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面.
四、仿射直线、仿射平面的模型
1、仿射直线
一、中心射影
目标： 改造空间，使得中心射影成为一一对应 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
} 两条相异直线确定惟一一个点(交点)
点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1 射影直线和射影平面
二、无穷远元素
约定 (1) 在平面内对于任何一组平行线引入惟一一个点叫做 无穷远点，此点在组中每一之线上而不在此组之外的任何直线 上.无穷远点记以P∞，为区别起见，平面上原有的点称为非无穷 远点或普通点．
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.
３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质 2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
第二章 射影平面
本章地位 本章内容
学习平面射影几何的基础
定义射影平面，rgues透视定理
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1.1 : l l'
O投射中心(O l l ')
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线(见例1)； 过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于惟一直线
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.2 无穷远点,无穷远直线,无穷远平面
(1)仿射直线的封闭性
P
欧氏直线：向两个方向无限伸展
仿射直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
四、仿射直线、仿射平面的模型
2、仿射平面
(1)仿射平面的封闭性(从两个方面理解) (2)仿射平面的拓扑模型
§ 1 射影直线和射影平面
Ｃ
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与无 穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就叫 做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和无
穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个一一对应？
给平行线添加交点！
§ 1 射影直线和射影平面