自主招生不等式(附答案)
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案
2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
自主招生考试常用不等式
自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
一道自主招生不等式问题的加强及证明
即 ／（） ．ｎ—— ２ｚ ——————ｎ＋２ ｚ ２—－ ｌ ——— ——．ｅ．￣ ］ —ｘ—— （————－ｍ ———． （——）— — ６ｆ —— － ——一 — — —— － ） ［ｎ — —
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与 加 强［］ 数 学 通 讯 ２ １ ，（ 半 月 ） Ｊ． ００９下 ．
（ 稿 日期 ：Ｏ Ｏ Ｏ — ５ 收 ２１—９２）
是“ 天上掉 下个林 妹妹 ” 本 文 笔者 用 构造 函数 的 ， 方法 来 证 明该 不 等 式 ， 开 文 Ｅ ｉ神 秘 证 明 的 揭 ｌ
面 纱． 证 明 设 厂ｚ （ ）： （ — Ｘ ） — ） 则 ｚ 。（ ，
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文 ［ ］将 此 不 等 式 加 强 并 证 明 了 如 下 不 １
等式 ： 若ｚ， ， １ ２ …… ， ｚ 为小 于 Ｉ 的正数 且 １ ｚ ＋ｚ
＋ … ＋ 一 ｌ 则 ，
ｆ）［ ］递 ，［， 上 减 Ｅ， （在。 上 增在 ｚ 递 ，ｘ ｘ ， ｚ ２ ］
＋ ｚ 一 Ｉ，
ｏ 知ｇ ｇ） ０ 以 ， （ （ ＜ ， 娩∈（，， 易 ）１ 所 １ 故 ）
／（ ） Ｒ上有 ３ ｚ在 个零点 ｚ ， ，ｚ其大小关系为 ｚ，
ｚ＜０ 。 ＜ ＜ ｚ ＜ １由导函数 ／（） ， 的图象知
求证：
＋
＋ … ＋
” 一 ｚ
＞ ４ ．
故上述 不 等式 可 化为
上
．
— ≥ 二 ［ｎ ３ ， —多 ｌ ） ］ 二 ｊ 一’
Ｘ；－ － Ｘ３
厂（ ） （ —３ 。（ ｚ ： １ ｘ ）ｍ—ｚ ＋ 一ｚ 即ｆ （ ） ） ， ｚ 一
不等式单招试题答案
不等式单招试题答案一、选择题1. 若 $a > 0$，$b < 0$，则下列不等式正确的是（）。
A. $a + b > 0$B. $a + b < 0$C. $a - b > a$D. $a - b < a$答案：C解析：由于$a > 0$，$b < 0$，显然$a + b$的和小于$a$，故A、B选项错误。
又因为$a$为正数，$b$为负数，所以$a - b$一定大于$a$，故选C。
2. 对于实数$x$，若$x^2 - 3x + 2 < 0$，则$x$的取值范围是（）。
A. $(1, 2)$B. $(0, 3)$C. $(2, 3)$D. $(1, 3)$答案：C解析：将不等式$x^2 - 3x + 2 < 0$进行因式分解，得到$(x - 1)(x- 2) < 0$。
由此可知，$x$的取值应在两个根1和2之间，故选C。
3. 已知$a, b, c$为正实数，且满足$a + b + c = 1$，求证：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$证明：由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）可知，对于任意正实数$a, b, c$，有：$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geqslant (1 + 1 + 1)^2$$代入已知条件$a + b + c = 1$，得到：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$二、填空题4. 若$x, y$满足$x^2 + y^2 = 4$，则$x^2y + xy^2$的最大值为______。
答案：4解析：由题意知$x^2 + y^2 = 4$，根据平方和的性质，$x^2y +xy^2$的值不会超过$(x^2 + y^2)(y + x)$的一半，即$4(x + y)$的最大值的一半。
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题04 不等式及不等式组(word版含答案)
专题04 不等式及不等式组一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1 5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5 7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4 8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1 9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1 10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5 11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3 12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为元．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．22．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：专题04 不等式及不等式组参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意得：，两式相加得：2a＝150，解得：a＝75，故选：B．4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，∵不等式组的负整数解只有1个，∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得≤a＜1，故选：A．5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：由题意得，≥0，则或，解得x＞3或1≤x≤2，所以不等式的解集是x＞3或1≤x≤2．故选：C．6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5【解答】解：，由①得x＜a﹣1，由②得x≥4，∵不等式组有解，∴解集应是4≤x＜a﹣1，则a﹣1＞4，即a＞5，实数a的取值范围是a＞5．故选：C．7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v＝可得两地距离：s＝v×120，普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，即：s普+s城＝s，所以：v×80+nv×20＝s，所以：v×80+nv×20＝v×120，解得：n＝2．故选：A．8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1【解答】解：，由不等式①，得x＜﹣2，由不等式②，得x≥a﹣1，∵关于x的不等式组无解，∴a﹣1≥﹣2，解得a≥﹣1，故选：C．9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1【解答】解：A、设x＝﹣1.4，[2x]＝[﹣2.8]＝﹣3，2[x]＝﹣4，所以A选项错误；B、设x＝﹣1.8，则[﹣x]＝1，﹣[x]＝2，即[﹣x]≠﹣[x]，所以B选项错误；C、设x＝y＝1.8，对A，[x+y]＝[3.6]＝3，[x]+[y]＝1+1＝2，所以C选项错误．D、设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1，故D选项正确．故选：D．10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5【解答】解：解不等式3﹣2x≤1，得：x≥1，解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，则不等式组的解集为1≤x＜m，∵不等式组的整数解的和为10，∴不等式组的整数解为1、2、3、4，则4＜m≤5，故选：B．11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3【解答】解：由ax+2a﹣3＞0得，ax＞3﹣2a，当a＞0时，不等式的解集为x＞，对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＜﹣1，解得，a＞3；当a＝0时，不等式无解，舍去；当a＜0时，不等式的解集为x＜，∵对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＞1，解得，a＞1（与a＜0矛盾，舍去）；综上，a＞3．故选：B．12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3【解答】解：解不等式|x|＜3得﹣3＜x＜3，解不等式x+1＞0，得x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故选：C．二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为460元．【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和，∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等，即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占，∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为：：＝8：5：5，设总共有a盒茶叶，∴成本为×500a+×420a+×380a＝a（元），销售额应为×（1+16%）a＝a（元），清明香的销售额为640××（1﹣）a＝a（元），另外两种茶的销售总额为a﹣a＝a（元），设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，因此可建立方程xa+×（640+x）•a＝a，解得x＝460，因此滴翠剑茗单价最低为460元，故答案为：460．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于2﹣4．【解答】解：∵x＜0，∴3x+≤﹣2＝﹣4，∴2+3x+≤2﹣4，当且仅当3x＝时等号成立，取得最小值2﹣4．故答案为：2﹣4．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）【解答】解：设a种坚果每100克的成本价为x元，c种坚果每100克的成本价为y元，由于乙种坚果营养袋每袋的成本利润率为25%，则5﹣（2x+1+2y）＝25%（2x+1+2y），∴x+y＝，则甲种坚果营养袋每袋的成本价为x+3+y＝元，乙种坚果营养袋每袋成本价为2x+2y+1＝4元，甲种坚果营养袋每袋售价为（1+）×＝6元，设商场销售甲种坚果m袋、乙种坚果n袋，由于两种坚果营养袋的销售利润率为，则，∴9m＝4n，∴m：n＝4：9，即商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9，故答案为：4：9．16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是m≥或m＜﹣2．【解答】解：当x⩾2时，mx﹣1＝2x﹣4，∴（m﹣2）x＝﹣3，∴，∴2﹣m＞0且，∴，当x＜2时，mx﹣1＝4﹣2x，∴（m+2）x＝5，，∴，解得m＜﹣2 或，综上所述或m＜﹣2，故答案为或m＜﹣2．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为9：40．【解答】解：设公司对A村、B村、C村进行增加投资的数额分别为3x，3x，8x，则增加投资的的总额为14x，设公司原来向C村投资数额为2c，向A村投资的数额为a，向B村投资的数额为b，∵新投资总额是对C村投资额的倍，∴a+b+2c＝×2c，∴a+b＝5c．∴该公司对三个村的投资总额为a+b+2c＝7c．∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，∴．化简，得：．∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为：＝＝．故答案为：9：40．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是3≤a＜4．【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式组恰有四个整数解，∴这4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，∴﹣4＜﹣a≤﹣3，∴3≤a＜4，故答案为：3≤a＜4．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝7．【解答】解：将方程的解代入方程得：，解得：，∴a+b＝3+4＝7，故答案为：7．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，∴原方程变形为：5x+4y＝99，∴x＝，∴99﹣4y是5的倍数，∴当y＝1时，x＝19，∴是原方程的解；（2）∵5x+4y＝99有整数解，∴，，，，，∴原方程有5组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．【解答】解：①当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：由＜1，∴c＞3②当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：c＝3，有无数多解；③当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6＝c，解得：，得：1＜c⩽3④当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6＝c，解得：由，得：c⩾1故当c＞3时，原方程恰有两解：当1＜c＜3时，原方程恰有两解：故答案为：c＞3或1＜c＜322．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：【解答】解：（1），①×2﹣②得﹣x＝﹣2，解得x＝2，把x＝2代入①得y＝﹣1，元方程组的解是；（2）去分母得：2x＞12﹣3（x﹣1），去括号得：2x＞12﹣3x+3，移项，合并同类项得：5x＞15，系数化为1得：x＞3．。
第四讲 不等式2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义
第四讲 不等式知识要点不等式章节是一个相对综合的章节，会与方程、函数相结合进行考核.一般的题型为，解不等式，证明不等式，求最大值和最小值等.在这个章节中我们要学习一些在初中能力范围内可以接受的重要不等式.不等式222a b ab +≥（a 、b 为实数）是不等式中最基本最重要的一个，它有许多变形，如：222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()24a b ab +≥，()()2222a b a b +≥+ ()20a b ab b a +≥>，),02a b a b +≥>.不等式222a b ab +≥或2a b +≥ ()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，即知当a 、b 、c 均为正实数时必有：3333a b c abc ++≥.或把a 、b 、c3a b c ++≥例题精讲1. 已知n 、k 均为正整数，且满足不等式761311n n k <<+．若对于某一给定的n ，只有唯一的一个k 使不等式成立，求所有符合要求的n 中的最大数和最小数．2. 已知x 、y 、z 为非负数，且满足323y z x +=+，343y z x +=-．求334w x y z =-+的最大值和最小值．3. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学？ 4. 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围．5. 关于x 的不等式52x x a -≤+的解包含了不等式x a ≥，求a 的取值范围．6. 解不等式2251132x x x x ++>+-． 7. 已知直线y kx b =+过点()2,1P -，且与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，当AOB △面积最小时，求k 与b 的值． 8. 如果0x ≥并且2x ≠，则()234114816x x x ⎛⎫+-⎪--⎝⎭的最大值为______．9. 在ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ，试证在AEF △、BDF △、CDE △中至少有一个面积不大于14ABC S △． 10. 设1a ，2a ，…，n a 为不同的正整数，求证：122221111212n a a a n n+++≥+++． 11. 证明：()()()22222ab cd a cbd +≤++．（柯西不等式二元形式）12. 若3451x y z ++=（x 、y 、z 为实数），求222325x y z ++的最小值．（利用柯西不等式）习题巩固13. 已知关于x 的不等式组()21413x ax x -<+⎧⎪⎨+>⎪⎩．（1）若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解．14. 代数式()()22261224231836xy x y x x y y -++-+++的最小值为多少？15. 设a 、b 是正整数，且满足5659a b ≤+≤，0.90.91ab<<，求22b a -的值． 16. 在实数范围内解方程()()()22212832x yz xyz +++=．17. 在坐标系平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图象上找出满足y x ≤的所有整点(),x y ，并说明理由．18. 证明：（1）()22,0b a b a b a+≥>； （2）()222,,0a b c a b c a b c b c a++≥++>．19. 已知x 、y 、z 为正实数且3x y z ++≤ 20. 证明：()444a b c abc a b c ++≥++．21. 设,,0a b c >，证明：()2222a b b c c a z x y xy yz zx c a b+++++≥++． 22. 已知,,0a b c >，1a b +=，求证：()222ax by ax by +≥+．23. 已知,,0a b c >，且1a b c ++=，证明：()()()1118a b c abc ---≥．24. 设a b ≥，c d ≥，证明：()()12ac bd a b c d +≥++． 自招链接25. 如果关于x 的不等式组7060x m x n -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么，适合这个不等式组的整数对(),m n 共有多少对？ 26. 下凸函数的定义：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭恒成立，则称()f x 为正凸函数． 已知()f x 为下凸函数，对于()()()()121211f bx b x bf x b f x +-<+-⎡⎤⎣⎦． ①（1）当14b =时，求证①式． （2）当13b =时，求证①式．参考答案1. 因为761311n n k <<+，所以111367n k n +<<， 即5667k n <<，可写成5667n nk <<．因为对于给定的n 、k 值是唯一的，所以65276n n -≤，从而242n ≤，84n ≤． 当84n =时，代入5667n n k <<得7072k <<，71k =是唯一解，所以n 的最大值是84． 又由5667k n <<，显然7n >．当8n =时，代入5667n n k <<，得266637k <<，k 没有整数解． 当9n =时，代入5667n n k <<，得157727k <<，k 也无正整数解． 当10n =，11，12时，代入5667n n k <<，均无k 整数解． 当13n =时，代入5667n n k <<，得51101167k << 有唯一整数解11k =，符合要求． 所以13n =是满足条件的最小值．综上所述，n 的最大值是84，n 的最小值是13．2. 把含三个未知数的方程组转化为关于y 和z 的二元方程组，根据x 、y 、z 为非负数来确定x 的取值范围，w 全用x 表示，从而求得w 的最大值和最小值．由323343y z x y z x +=+⎧⎨+=-⎩，解得14573z xx y =-+⎧⎪-⎨=⎪⎩．因为x 、y 、z 均为非负数，所以0x ≥，0y ≥，0z ≥，于是1405703z x xy =-+≥⎧⎪-⎨=≥⎪⎩． 解得1547x ≤≤，所以334357416269w x y z x x x x =-+=-+-+=-． 由1547x ≤≤得56727w -≤≤，所以，w 的最大值是677（当57x =，0y =，137z =时取到），w 的最小值是52-（当14x =，1312y =，0z =时取到）．3. 方法一：设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得283031365a b c ++=，怎样解三元一次不定方程？运用放缩法，从求出a b c ++的取值范围入手． 因为()28283031365a b c a b c ++<++=，得36513.0428a b c ++<<， 所以13a b c ++≤．因为()31283031365a b c a b c ++>++=，得36511.731a b c ++>>， 所以12a b c ++≥，因此12a b c ++=或13．当13a b c ++=时，得231b c +=，此方程无正整数解，故13a b c ++≠， 所以12a b c ++=．故，三个小组共有12名同学． 方法二：三组的核桃总数是365个（联想一年是365天），甲组同学每人有28个（联想一年只有2月份有28天），乙组同学每人有30个（联想一年只有4、6、9、11月，一共4个月），丙组同学每人有31个（联想一年只有1、3、5、7、8、10、12月，一共7个月）． 所以，三个小组共有14712++=名同学．4. 方法一：可以通过零点分段法，解得4a ≥． 方法二：可以利用绝对值的几何意义．因为1x +、3x -分别表示数轴上的点x 到点1-和3的距离，所以13x x ++-表示数轴上的某个点到1-和3的距离和，无论怎么移动，某个点到1-和3的距离和为4，所以4a ≥．5. 由已知，得()()2252x x a -≤+，()()252250a x a ++-≥⎡⎤⎣⎦．当52a =-时，解集是任意解，包含x a ≥． 当52a >-时，522a x -≥，要包含x a ≥，则必有522a a -≥，解得54a ≥．当52a <-时，522ax -≤，不能包含x a ≥．所以54a ≥或52a =-．6. 原不等式222222513223200323232x x x x x x x x x x x x +++-+-⇔->⇔>+-+-+-()()()()22221232002331x x x x x x x x +-+-⇔<⇔<---+ ()()()()221310x x x x ⇔+--+<．所以原不等式的解集是21x -<<-或132x <<． 在因式分解前，为增强直观性，可将分子、分母最高项的系数都化为正数，然后再进行因式分解，否则比较容易出错．另外，如图4-1最后求解可以用数轴标根穿线法，原则是“奇穿偶不过”，即因式的指数为奇数时，画线时让线穿过去；当因式的指数为偶数时，穿线让曲线与x 轴相切．7. 因为直线y kx b =+过点()2,1P -，所以12k b =-⨯+，21b k =+． 所以直线与x 轴负半轴交于点21,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴正半轴交于点()0,21B k +． 因为210210k kk +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，所以0k >． 所以1211121222224222AOB k S k k k k k k+=⋅-⋅+=++≥⋅=△， 当且仅当122k k =，即12k =时，等号成立． 所以当AOB △面积的最小值为4时，12k =，2b =．8. 式子比较复杂，观察发现可以约分，先化简： 原式2221244x x x x +=+++-．第二个分式直接就有最大值，就是不知道能否取到，先放着，我们来研究第一个分式：分子分母都存在变量，无法判断最值，用分式的性质． 第一个分式的分子分母同时除以()2x +：原式142x x =++．想到基本不等式，则原式1114422222x x =≤=-++-+．其实我们还可以利用万能的判别式法：设2224x y xx +=++，化为一元二次方程：()221420yx y x y +-+-=． 算出判别式：212410y y ∆=-++≥，即()()21610y y -+≤，则1162y -≤≤．所以，原式113244≤+=，当0x =时，等号成立，所以最大值为34．9. 回想起鸟头定理，可以得出这三个三角形的面积和原三角形面积之比，然后进行分析． 如图4-2所示，设BD m =，DC p =，CE q =，EA e =，AF f =，FB n =．因为22124m p m p a +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，同理有214f n c ⋅≤，214q e b ⋅≤， 于是111sin sin sin 222CDE AEF BDF S S S pq C ef A mn B ⋅⋅=⋅⋅⋅△△△ 11sin sin sin 648ab C bc A ca B ≤⋅⋅⋅ 314ABC S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△． 由此即知本题结论正确． 10.1211211a a +≥，2221222a a +≥，…，212n n a n a n+≥． 又因1a ，2a ，…，n a 为不同的正整数，于是不妨设121n a a a ≤<<<，故有11a ≥，22a ≥，…，n a n ≥，从而111a ≤，2112a ≤，…，11n a n ≤，即有121111112n a a a n+++≤+++， 所以由122221211111221212n n a a a n a a a n ⎛⎫+++++++≥+++ ⎪⎝⎭， 可得122221111212n a a a n n+++≥+++． 11. 证法一：()()()()2222220a cbd ab cd ad bc ++-+=-≥，等号当且仅当a bk =，c dk =时成立． 证法二：若220a c +=，则原式正确． 现设220a c +≠，考虑二次三项式：()()()()()222222220ax b cx d a c x ab cd x b d -+-=+-+++≥成立，故应有()()()22222440ab cd a cbd ∆=+-++≤，此式与原式等价．12. ())221345x y z =++=+(()222222325x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()22216325x y z =++，==或者1216y x z ===时取到，故最小值为116． 习题巩固13. 解不等式组得，当1a <时，解集为1341x a -<<--，当113a ≤≤时，解集为14x >-，当13a >时，解集为31x a >--． （1）显然1a ≥时，均不合题意．当1a <时，应有311a -≤-，得2a ≤-，所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a ≤-．（2）当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解． 当1a <时，依题意得3341a <-≤-，解之得104a <≤． 所以当104a <≤时，原不等式组的解集中恰有3个正整数解． 14. 原式()()()()2226122412318273xy x y x x y y =-++-++++-()()()()222612213693xy x y x x y y =-++-++++-．用换元的思想原式()()()()22222612213693x xyy x x y y =-++-++++-()()()()2222261223636x x y y x x y y =-++-+++．()()111ab a b a b +++=++的基本模型．原式()()()()2222236121233236x x y y x y ⎡⎤⎡⎤=-+++=-+++≥⨯=⎣⎦⎣⎦．当1x =，3y =-时，原式取到最小值为6．15. 因为0.90.91ab<<，a 、b 是正整数，所以0.90.91b a b <<． 因为5659a b ≤+≤，所以1.90.959b b b a b =+<+≤，560.91 1.91a b b b b ≤+<+=，所以611293119119b <<． 因为b 是正整数，所以30b =或31b =．当30b =时，由0.90.91b a b <<，得2727.3a <<，不存在这样的整数a ．当31b =时，由0.90.91b a b <<，得27.928.21a <<，由于a 是整数，因此28a =． 经检验，当28a =，31b =时确实满足已知条件．所以28a =，31b =，所以22177b a -=．16. 根据平均值不等式，有212x x +≥，22y +≥，28z +≥．故()()()2221283232x yz xyz xyz +++≥≥．上式中，前一个等号，当且仅当1x =，22y =，28z =时取到，第二个等号当且仅当x 、y 、z 为三个正数或者两负一正时取得，故得解为：1x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，1x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，1x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩17. 由y x ≤，得21810x x x -+≤，即21810x x x -+≤． （1）当0x ≥时，211180x x -+≤，解得29x ≤≤．对于这个范围内的x 的整数值，当2x =，4，7，9时，相应的y 均为整数值，此时满足条件的整点有()2,2、()4,3、()7,6、()9,9．（2）当0x <时，29180x x ++≤，解得63x -≤≤-．对于这个范围内的x 的整数值，当6x =-，3-时，相应的y 均为整数值，此时满足条件的整点有()6,6-、()3,3-．故满足条件的整点共有以上6个．18. （1）22b a b a +≥=．（2）222222222222b a b a c b c a b c a b c a b c b a b c a c ac ⎧+≥⎪⎪⎪+≥⇒+++++≥++⎨⎪⎪+≥⎪⎩．19. 利用()()22223a b ca b c ++≥++可有：()(22353x y z ≤+++≤⎡⎤⎣⎦．20. 反复运用222a b c ab bc ca ++≥++，即()444222222a b c a b b c c a ab bc bc ca ca ab abc a b c ++≥++≥⋅+⋅+⋅=++．21.()2222a b b c c a z x y xy yz zx c a b+++++-++2220⎫⎫⎫=-++≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭． 22. 利用柯西不等式得())()()222222ax by a b ax by ax by +=≤++=+．23. ()()()()()()1118a b c a b b c c a abc ---=+++≥． 24. 由已知()()0a b c d --≥，即有ac bd bc ad +≥+，或者()()()2ac bd ac bd bc ad a b c d +≥+++=++，易证命题成立． 自招链接25. 不等式组解得76m nx ≤<．因为x 只能取三个整数1x =，2，3． 故m 只能取17~这7个数，n 只能取1924~这6个数．所以一共6742⨯=对．26. （1）当14b =时，即证：()()121213134444f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭．不妨设12x x <，则12122x x x x +<<． ()1212221213224422x x x x f f x x f x x f +⎛⎫+⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭+=<⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()1212221111222222f x f x x x f f x f x +⎡⎤+⎛⎫=+<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()()121344f x f x =+． （2）当13b =时，留给读者思考．。
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)
2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。
由32z x y =-变形得322z y x =-。
要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。
由右图，易知 当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。
联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。
故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（ ）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值， 此时min 033z =-=-。
高二“自主招生、竞赛及高考”讲义四(不等式)
不等式真题精选2001已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定【答】（ A ）10. 不等式232log 121>+x 的解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．20021、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 22、 若1)2(log )2(log 44=-++y x y x ，则|x|-|y|的最小值是 。
3、 使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 。
20037．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．20043．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4]20051. 使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 A.36- B. 3 C. 36+ D. 620062. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1）当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2）进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.20071. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]13. 设∑=-+=n k n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。
初升高自主招生研讨—方程与不等式(答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（答案）【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______.【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=， 则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p+-=的根12,x x 满足44122x x +≤p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
初升高自主招生——方程与不等式(含答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程（1）含字母讨论（特别注意：一切实数解与无解的应用）（2）判别式与配方法（3）韦达定理（判别式前提、变形）（4）构造求参2、其他方程（分式方程、无理方程、高次方程、方程组等）（1）思想：降次、消元（2）换元法（整体思想、换元检验）（3）因式分解（猜、凑、待、除、添、拆）（4）技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关（1）分类讨论（2）公式展开（3）平方法4、不等式问题（1）一元二次不等式（2）均值不等式5、其他（1）整数根问题（韦达定理、初等数论、区间长度等）（2）新定义问题【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+ 【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________． 【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______. 【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p +-=的根12,x x 满足44122x x +≤，则p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
高中自招试题数学答案及解析
高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其导数\( f'(x) \)。
答案：首先，根据导数的定义，我们对函数\( f(x) \)进行求导。
对于\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，其导数\( f'(x) \)为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即\( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)。
对于常数项1，其导数为0。
将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。
试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。
答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。
解析：交集是指两个集合中共有的元素。
在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。
试题三：若\( \sin(2x) = 2\sin(x) \)，求\( x \)的值。
答案：根据二倍角公式，我们知道\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。
将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于\( \sin(x) \neq 0 \)，我们可以除以\( 2\sin(x) \)得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着\( x \)的值是\( 2k\pi \)，其中\( k \)是整数。
解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。
通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到\( x \)的解。
试题四：解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
答案：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。
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第一部分奠基篇
不等关系
一、要点考点
1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：
（a、b为正数，当a = b时取等号）
⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①
②
（只需，
时取等号）；
（时取等号）
⑶绝对值不等式：
⑷柯西不等式：设则
等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.
⑸常用不等式的放缩法：①
②
2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于
③
二、技能方法
● 配方
● 比较
● 观察
● 等价转化
● 函数单调性
● 基本不等式
● 放缩
● 构造
● 数学归纳法
三、典型例题
例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设
分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）
A． B.
C． D. 无法确定
解析：
答案：
例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解析：
例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，
求证：．
证明：
例4、（复旦2004保送）求证：．
证明：
不等关系
——不等关系（1）【课后作业】
1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足
，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)
(3) (4)中是下凸函数的有
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.
4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.
不等关系
——不等关系（1）【课后作业】
1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足
，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)
(3) (4)中是下凸函数的有
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
答案：D
提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．
2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：C.
说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．
3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.
提示：
再利用基本不等式可得．
答案：36.
4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得
，即
从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。