概率论与数理统计 第七章辅导

H （3）对给定的 α ， 0 的拒绝域为
X − µ0 S/ n > t α / 2 ( n − 1)
（4）查表知 t α / 2 (n − 1) = t 0.025 (19) = 2.093 ）
1 20 1 20 2 1 2 2 2 x = ∑ xi = 0.673S = , ( ∑ xi − nx ) = (9.267− 20× 0.673 ) = 0.011 20 i=1 n −1 i=1 19
n 枪弹甲： 枪弹甲： 1 = 110 样本均值 x = 2805 ，样本标准差 s1 = 120 .41 ， n 枪弹乙： 枪弹乙： 2 = 100 ，样本均值 y = 2680，样本标准差 s 2 = 105
设枪弹速度服从正态分布，在显著水平（ 设枪弹速度服从正态分布，在显著水平（ α = 0.05 ） 问甲种枪弹的速度是否比乙种枪弹速度快？ 下，问甲种枪弹的速度是否比乙种枪弹速度快？
有
[解] 因为 解
X P > uα = α 2 /4 2
α
又已知 P{ X
X P > u α = P 2 X > u α = α 2 / 4 2 2
> 1.29} = P 2 X > 2.58 = α
二、典型例题
例1．一个矩形的宽与长之比为0.618会给人们一 一个矩形的宽与长之比为0.618会给人们一 0.618 个美好的感觉。某厂生产的矩形工艺品， 个美好的感觉。某厂生产的矩形工艺品，其框 架的宽与长之比服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) µ, σ 2 > 0 均未知。现随机抽取20 20个产品测量其比值为 均未知。现随机抽取20个产品测量其比值为
m − np 0 > uα } < α np 0 (1 − p 0 )
m − np 0 np 0 (1 − p 0 )
V0 =
> uα
= 3.17
184 − 384 × 0.4 384 × 0.4 × 0.6
的样本， 例5设 X 1 , X 2 , L , X 25 是来自总体 X ~ N ( µ ,4 2 ) 的样本， 设 未知， 其中 未知，检验假设 H0 : µ ≤ µ0 , H1 : µ > µ0 ，若 的拒 µ X − µ0 > C H0 绝域为 试确定常数 C ，使检验的显著水平
S = 0 . 105
T0 = = 2.391 故 0.105 / 20 根据样本值计算的结果有 T0 = 2.391 > 2.093 = t 0.05 (19) 2 于是在显著水平α = 0.05 下拒绝 H 0 ，认为 µ ≠ 0.618
0.673 − 0.618
例2．某厂生产的蓄电池使用寿命 X 服从正态分布， 服从正态分布， 均未知， µ, N (µ, σ 2 ) ， σ 2 > 0 均未知，该产品说明书上写明其
3．某学生参加体育培训结束时，其跳远成绩近似服 ．某学生参加体育培训结束时， 从正态分布。鉴定成绩是均值为576cm，标准差为 从正态分布。鉴定成绩是均值为 ， 8cm，若干天后对学生独立抽测10次，得跳远成绩数 ，若干天后对学生独立抽测 次 ）：578， ， 据（cm）： ，572，580，572，568，570，572， ）： ， ， ， ， ， 570，596，584。问该学生跳远成绩水平与稳定性是 ， ， 。 否与鉴定成绩有显著差异？（ 否与鉴定成绩有显著差异？（α = 0.05 ） 4．某厂生产轴套，每批数量很大，出场标准是废品 ．某厂生产轴套，每批数量很大， 只轴套， 率不得超过0.02。现从一批中随机取400只轴套 率不得超过0.02。现从一批中随机取400只轴套，测 量内径，发现有12只不合格 只不合格， 量内径，发现有 只不合格，问是否应让这批产品 出厂？ 出厂？ （α = 0.05 ） 5．为了比较两种枪弹的速度（m/s），在相同条件 ．为了比较两种枪弹的速度（ ），在相同条件 ）， 下独立进行速度测定， 下独立进行速度测定，计算得样本均值和样本方差 如下： 如下：
2 H 0 : σ 2 ≥ σ 0 = 52 , H1 : σ 2 < 52
2 σ0 2 < χ 1−α ( n − 1)
i =1
( n − 1) s 2
2 χ 0 .90 ( 44 ) = 32 .487
χ
2 0
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( n − 1) s
2
2 2 （4）根据样本值计算结果 χ 0 = 31.79 < χ 0 (44) = 32.487，所 以拒绝 H ，在显著水平 α = 0.10下，认为用新机
σ
2 0
= i =1
∑
45
(xi − x)2 52 =
794 . 75 75
= 31 . 79
器投入生产，标准差有显著减小。 器投入生产，标准差有显著减小。 例4某公司营销空调产品。四月份在3000个销售对象 某公司营销空调产品。四月份在3000个销售对象 3000 40%的销售对象提出增加空调订货计划 的销售对象提出增加空调订货计划。 中，有40%的销售对象提出增加空调订货计划。到六 月份这一比例看来又有增加的迹象。 月份这一比例看来又有增加的迹象。为此营销部任 384个销售对象作调查 其中184 个销售对象作调查， 184个明确提出增加 选384个销售对象作调查，其中184个明确提出增加 订货计划，问空调订货计划有无显著增加 有无显著增加？ 订货计划，问空调订货计划有无显著增加？（α = 0.10 ）
第七章 假设检验
一、主要内容 了解假设检验的基本思想， 1．了解假设检验的基本思想，知道假设检 验可能产生的两类错误， 验可能产生的两类错误，掌握假设检验的基本 步骤； 步骤； 2．熟练掌握一个正态总体均值与放差和两 个正态总体的均值差与方差比假设检验方法； 个正态总体的均值差与方差比假设检验方法； 掌握关于总体分布的假设检验方法—— 3．掌握关于总体分布的假设检验方法—— χ 2 检验法。 检验法。
参考答案
H 判断结果： 1． o : µ ≥ µ 0 = 19, H 1 : µ < 19 ，判断结果：在 α = 0.05下拒绝
H0
，认为处理后的废水合格。 认为处理后的废水合格。
H 2． o : µ ≤ µ 0 = 0.5, H 1 : µ > 0.5 ，判断结果：在 α = 0.05 下拒绝 ． 判断结果： H0
[解] 因为在显著水平 α 下，H 0 拒绝域为 即 σ
X − µ 0 > uα
0
α = 0.05 。
X − µ0 > u0 σ0 / n
n
与已知 X
− µ0 > C
比较， 比较，可知
> u 0 .05 4 25 = 1 .65 × 4 = 1 .32 5
C = uα
σ0
n
当时， 所以 C = 1.32 当时，可使检验的显著水平为α = 0.05。 例6设总体服从正态分布 N ( µ ,2 2 ) ，x1 , x 2 , L , x16 是 设总体服从正态分布 该总体的一个样本值。 该总体的一个样本值。已知假设 H 0 : µ = 0, H 1 : µ ≠ 0
µ 3．判断结果：在 α = 0.05 下， ．判断结果：
σ 2 都无显著差异 和
x1 , x 2 , L , x 20 ，经过计算得 20 x i = 13.466, 20 x i2 = 9.267 ∑ ∑
能否认为 X 的均值 µ 为0.618?
i =1
i =1
[解] （1）提出假设 H 0 : µ = µ 0 = 0.618, H1 : µ ≠ 0.618 X − µ0 T = ~ t ( n − 1) （2）选取检验统计量 S / n
{
}
所以
u α = 2 . 58
2
又 Φ ( 2.58 ) = 1 − 2 = 0.995 故知 α = 0.01 的值为0.01，犯第一类错 所以此检验的显著水平 α 的值为 ， 误的概率也是0.01。 误的概率也是 。
α
三、练习与答案
1．设废水厂某种有毒物质的含量 X 服从正态分布 ． 某厂要对该废厂进行处理， N ( µ , σ 2 )，某厂要对该废厂进行处理，要求某种有毒 σ 2 = 8.5(mg / L) 2 物质的浓度不超过 19(mg / L)。且已知方差
在显著水平为 α 时的拒绝域是 是样本均值， 的值是多少？ 是样本均值，问此检验的显著水平α 的值是多少？ 犯第一类错误的概率是多少？ 犯第一类错误的概率是多少？ 分析] [分析] H 0 的检验统计量为 X − 0 ~ N ( 0 ,1) ，若给定
2 / 16
1 16 X > 1.29, 其中 X = ∑ xi 16 i =1
0
[分析] 由题意知四月份空调增加订货计划的概率 分析] 是否增加， 为 p 0 = 0.40，问六月份增加订货计划 p 是否增加， 是否成立。为得到有说服力的判断， 即问 p > p 0 是否成立。为得到有说服力的判断，可 该问题是非正态分布。 提出假设 H 0 : p ≤ p 0。该问题是非正态分布。由于样 可视为很大， 本容量 n = 384 ，可视为很大，所以采用大样本方 法解决此问题。 法解决此问题。 Moivre-Laplace中心极限定理可知 中心极限定理可知： 由De Moivre-Laplace中心极限定理可知： 当 n > 50 近似地有
2
抽样检查得到10个数据，其样本直之和为 171(mg / L) 抽样检查得到 个数据， 个数据 处理后的废水是否合格？ ，问在显著水平 α = 0.05 下，处理后的废水是否合格？ 2．规定某种溶液中含水量不得超过 ．规定某种溶液中含水量不得超过0.5%，由它的 ，由它的10 个样品测定值计算出 x = 0.552%, S = 0.03% 。设溶液中 含水量服从正态分布， 含水量服从正态分布，在显著水平α = 0.05下分别检验 ；（2） （1）该溶液的含水量是否合格；（ ）该溶液含水量 ）该溶液的含水量是否合格；（ 的标准差是否超过0.04%？ 的标准差是否超过 ？
V = m − np 0 ~ N ( 0 ,1) np 0 (1 − p 0 )
本题
m = 184, n = 384, p 0 = 0.40
[解] （1）提出假设 （2）给定 α ，由 P{ ） 可知 H 0 的拒绝域为 （3）由样本值计算 ） 查表得
u 0.01 = 2.39
H 0 : p ≤ p 0 = 0.4, H 1 : p > p 0
标准差不超过0.9年 现随机抽取10只 标准差不超过0.9年。现随机抽取10只，得样本 0.9 10 标准差为1.2年 标准差为1.2年，在显著水平 （α = 0.05 ）下检 1.2 验厂方说明书上所写的标准差是否可信？ 验厂方说明书上所写的标准差是否可信？ [解] （1）提出假设
H （2） 0的拒绝域为
σ
2 H 0 : σ 2 ≤ σ 0 = 0 . 9 2 , H1 : σ 2 > 0 . 9 2
2 0 2 > χ α ( n − 1)
( n − 1) s 2
（3）查表得 2 计算 χ 0
2 χ 0 . 05 ( 9 ) = 16 . 919
=
(10 − 1)1 . 2 2 0 .9
2
= 16
（4）根据样本值计算结果 所以 H 0 相容，在显著水平 α = 0.05 下，认为厂 相容， 方说明书上写的标准差是可信的。 方说明书上写的标准差是可信的。
χ 02 = 16 < χ 02.05 (9) = 16.919 ，
例3．某厂用柱塞式填装机将胶水装入容量为250m的 某厂用柱塞式填装机将胶水装入容量为250m的 250m 瓶内。 瓶内。每瓶内胶水量是随机变量 X 假设服从正态 分布 N ( µ ,5 2 ) 。现研制一种新的填装机其装速比原 来的装速明显加快。 来的装速明显加快。现从用新机器所装的胶水瓶 中抽取45 45瓶 中抽取45瓶，测量知其胶水量为 x1 , x 2 , L , x 45 ，经 45 过计算得 ∑ ( x i − x ) 2 = 794 .75 ，试检验用新机器投入生 产，标准差是否有显著减少？ （ α = 0.10 ） 标准差是否有显著减少？ [解] （1）提出假设 （2） 0的拒绝域为 H （3）查表得 ）