与名师对话 高三文科数学第一轮复 习 第九章 解析几何 第五节 椭圆(一)
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版
长轴 A1A 2 的长为 2a
|F1F2|=2c
e= ∈(0,1)
c2=a2-b2
第四页，共48页。
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称中心:原点
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B 2(b,0)
;短轴 B 1B2 的长为 2b
2
1+4
解得 k
2
5
=16,故
√5
k=± 4 .
第十五页，共48页。
--1616
考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解题心得1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数
2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点
所组成的焦点三角形中的数量关系.
25
16
第十七页，共48页。
-18-18
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)3
解析: (1)如图,设椭圆的左焦点为F',
则|AF|= 22 + (2√3)2 =4=|AF'|,
|PF|+|PF'|=2a=6.
∵|PA|-|PF'|≤|AF'|,
∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6-|PF'|≤4+6+4=14,当且仅
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件新人教A版
焦点的距离之和,2c 是焦距,从而与焦点三角形联系起来.
考点1
考点2
考点3
-21-
(4)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值, 而是得出a与c的关系,从而求得e,一般步骤如下:
①建立方程:根据已知条件得到齐次方程Aa2+Bac+Cc2=0; ②化简:两边同时除以a2,化简齐次方程,得到关于e的一元二次方
+
������ 2 4
=1.
关闭
关闭
解析 答案
-11-
关闭
考(点11)由椭考圆点2 的定考义点3 知|PF1|+|PF2|=2a,������������1 ⊥ ������������2,
故则|(P|PFF1|12|++||PPFF考22||点)2=2-|21F|P1FF2椭1||2|=P圆4F的c22|=,定4义c2,及其标准方程 所所所C上以以以例(2的���|)1���P2已△(|F一���P1���知1���)F���|1已点|���1P点���|2|知,FP且=M2F|F=是12���21���||2,���P=F���圆b1F422是a⊥1.E|2|:-P���椭(4���xF���c+���圆222=|1=C).42若12b:+×2������y△������.2222b=+P2=8F������上������b221=F2=的21的9(动.a面>点b积>,点0为)F的9(,1则两,0b个),=O焦为点坐,P标为原椭点圆.,
9.5 椭圆
知识梳理 双基自测
12
知识梳理
-2-
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的 焦点 .
【与名师对话】高考数学总复习 9-5 椭圆课件 文 新人教A版
2．椭圆的标准方程及其几何意义
条件
2
2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0 x y a2＋b2＝1(a>b>0)
2
y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
标准方程 及图形
范围 对称性
|x|≤|y|≤b
曲线关于 x轴、
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于 x轴 、
y轴、原点 对称
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数 列，则该椭圆的离心率是 4 A. 5 2 C.5 3 B. 5 1 D.5 ( )
解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－ 3 b ，消去b整理得5c ＝3a －2ac，即5e ＋2e－3＝0，∴e＝ 5 或
2 2 2 2
考纲要求 1.掌握椭圆的 定义、几何图 形、标准方程 及简单性质． 2．理解数形 结合的思想． 3．了解椭圆 的简单应用， 了解椭圆的实 际背景.
考情分析 椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热 点，几乎每年必考．尤其是离心率问题是各地高考考查的 重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义， 几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力．如 2012年课标卷4、江西卷8等．在解答题中考查较为全面， 在考查对椭圆基本概念与性质理解及应用的同时，又考查 直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问 题的迁移能力及数形结合思想、转化与化归思想．如2012 年陕西卷20、天津卷19、安徽卷20等． 预测：2013年仍将以求椭圆的方程和研究椭圆的性质以及 直线与椭圆的位置关系为主，仍要重视数形结合的思想、 方程的思想．函数思想和化归思想在解题中的指导作用、 对运算能力的培养．在复习备考中予以高度关注.
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文(含解析)苏教版(最新整理)
｛ 解析：由已知得
5－k＞0， k－3＞0，，5－k≠k－3. 解得 3＜k＜5 且 k≠4.
3
（江苏专版）2020 版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第五节 椭圆教案 文（含解析）苏教版
答案：（3,4）∪（4，5)
错误! 错误!
[题组练透] x2 1．与椭圆 9 ＋错误!＝1 有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________． 解析：由椭圆错误!＋错误!＝1，得 a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5,∴该椭圆的焦点坐标为 （± 5，0）．设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1,a′＞b′＞0，则 c′＝错误!，又错误!＝错误!， 解得 a′＝5。∴b′2＝25－5＝20,∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋2y02 ＝1。 答案：错误!＋错误!＝1 2．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0）,点 F 关于直 线 y＝错误!x 的对称点在椭圆 C 上，求椭圆 C 的标准方程． 解:设点 F 关于 y＝错误!x 的对称点为 P(x0，y0)， 又 F(1，0)，所以错误!解得错误!
［由题悟法］
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点 P 满足椭圆的定 义，便可直接求解其轨迹方程
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常
求焦点三角形 利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中 PF1＋PF2＝2a 两 边平方是常用技巧
求最值
方程为________． 解析：直线 x－2y＋2＝0 与 x 轴的交点为(－2,0），即为椭圆的左焦点,故 c＝2。 直线 x－2y＋2＝0 与 y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故 b＝1,所以 a2＝b2＋c2＝5，
高三数学(文)一轮复习(课件+课时跟踪训练)第九章 平面解析几何 (5)
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
第16页
第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
吃 |BF2|＝4a＝8.
透
教
材 夯
[答案] 8
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
第17页
第九章 第五节
)
吃
透
13
525
教 材
A. 3 B. 3 C.3 D.9
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
第14页
第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
吃 透 教
∴椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
材
夯 双
高考概览
吃
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解
透
教 材
圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
第3页
第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
第4页
高考总复习·课标版·数学（文）
吃透教材 夯双基
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A
设椭圆的左、右焦点为 F1,F2,上顶点为 A,已知正方形的边长为 2,则 |AF1|=|AF2|=a=2,|F1F2|= 2√2,c=b=√2,所以椭圆 E 的标准方程为
������ 2 4
+
������ 2 2
=1.
解析
关闭
C
答案 答案
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
������2 ������2 4.若方程 + =1 5-������ ������-3
∈(0,1)
a,b,c 的关系 c2=a2-b2
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆.( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其 中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( )
+
x2 b2
=1(a>b>0)
-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 长轴 A1A2 的长为 2a 为 2b |F1F2|= 2c e=
������ ������
-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) ;短轴 B1B2 的长
2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第5节椭圆新人教A版
值为9.故选C.
2 研考点 精准突破
考点一 椭圆的定义及其应用
2 2
例 1(1)(2023·全国甲,文 7)设 F1,F2 为椭圆 C: 5 +y =1 的两个焦点,点 P 在 C 上,
若1 ·2 =0,则|PF1|·|PF2|=( B )
A.1
解析 由椭圆
B.2
C.4
64
48
变式探究
(变条件)若将本例题条件中的“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”,其余
不变,则动圆圆心M的轨迹方程为
2
2
+ =1
25
9
.
解析 设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(r-3)=10>8=|C1C2|,所以点
M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,b2=a22
微点拨当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M不存在.
2.椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点跟着分母大的跑
标准方程
2
2
2
+ 2 =1
(a>b>0)
图形
2
2
+
2
=1
2
(a>b>0)
-a≤x≤a -b≤y≤b
-b≤x≤b -a≤y≤a
范围
对称性 对称轴为 坐标轴 ,对称中心为 原点
解析 由于椭圆的焦点在 x
,则它的标准方程是
2
轴上,所以设它的标准方程为 2
椭圆的定义知 c=2,
2a=
2
5
(2 + 2)
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件文
()
A. x 2 + y 2 =1
32
C. x 2 + y 2 =1
12 8
B.x 2 +y2=1
3
D.x 2 +y 2 =1
12 4
(3)已知F1、F2是椭圆C: ax 22 +b y 22 =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一
点,且 P F ⊥1 P .F若2 △PF1F2的面积为9,则b=
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
长轴A1A2的长为⑦ 2a ;短轴B1B2的长为⑧ 2b |F1F2|=⑨ 2c e= c ,e∈ (0,1)
a
c2= a2-b2
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x a
2 0 2
+y
2
a2
2-2 已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的
一个动点,那么| P F +1 P |F的2 最小值是 (
)
A.0 B.1
C.2 D.2 2
答案 C 设P(x0,y0),则 P F =1 (-1-x0,-y0), P =F 2(1-x0,-y0),
∴ P F +1 P =F 2(-2x0,-2y0),
(2)由题意及椭圆的定义知4a=4 ,3则a= ,又3 =c c= ,3∴c=1,∴b2=2,
a 33
∴C的方程为 x 2 + y 2 =1.
32
(3)∵|PF1|+|PF2|=2a, P F ⊥1 P ,F 2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第5节 椭圆
2
2 +2 -42
cos∠F1AF=cos∠F1AB,由余弦定理得
整理得a2=3c2,
所以b2=a2-c2=2c2=2,
所以c2=1,a2=3,
所以 M
2
的方程为
3
2
+ =1.故选
2
A.
2·
=
2 3 2
3
2
+( ) -( )
2
3
2·
例(1)(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:
9
上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(
A.13
B.12
C.9
D.6
2
+ 4 =1 的两个焦点,点M在C
)
2
(2)(2021全国甲,文16)已知F1,F2为椭圆C: 16
2
+ 4 =1 的两个焦点,P,Q为C上
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积
2
2
2
因为-1≤y≤1,所以当
5
值为2.
2
2
2
2
1 2 25
+2)+6=-4(y+4) + 4 .
1
25
2
y=- 时,|PB| 取得最大值,且最大值为 ,所以|PB|的最大
4
4
(方法 2)由题意可设 P( 5cos θ,sin θ)(θ∈R),又 B(0,1),
则|PB|2=5cos2θ+(sin θ-1)2=5cos2θ+sin2θ-2sin θ+1=-4sin2θ-2sin θ+6,
为
.
高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文苏教版
第五节 椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点．集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)当2a ＞F 1F 2时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜F 1F 2时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质[小题体验]1．已知椭圆x 29＋y 24＝1的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案：122．已知直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2.直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝13．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．(2019·无锡一中月考)已知椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，则m ＝________.解析：∵椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，∴当焦点在x 轴时，(13－m )－(m －2)＝9，解得m ＝3； 当焦点在y 轴时，(m －2)－(13－m )＝9，解得m ＝12. 答案：3或122．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)考点一 椭圆的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆x 29＋y 24＝1，得a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为(±5，0)．设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，a ′＞b ′＞0，则c ′＝5，又c ′a ′＝55，解得a ′＝5.∴b ′2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案：x 225＋y 220＝12．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，求椭圆C 的标准方程．解：设点F 关于y ＝12x 的对称点为P (x 0，y 0)，又F (1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－1＝－2，y 02＝12×x 0＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝45.又点P 在椭圆上，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧925a 2＋1625b2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝95，b 2＝45，则椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1.3．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P (－23，0)，Q(0,2)两点；(2)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的焦点且经过点(2，－3)．解：(1)由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上， 所以a ＝23，b ＝2，所求椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 所以所求椭圆焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋3b2＝1，解得a 2＝4＋23，b 2＝3＋23或a 2＝4－23，b 2＝3－23(舍去)， 所以椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 23＋23＝1.[谨记通法]求椭圆标准方程的 2种常用方法考点二 椭圆的定义及其应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F 1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，半焦距c ＝1，因为H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上，所以2a ＝HF 1＋HF 2＝ ＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫21032＋ －2＋⎝⎛⎭⎪⎫21032＝6. 所以a ＝3，b ＝22，故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，所以PF 2＝x 1－2＋y 21＝ x 1－2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－32. 因为0＜x 1＜3，所以PF 2＝3－13x 1.在圆x 2＋y 2＝b 2中，M 是切点， 所以PM ＝OP 2－OM 2＝x 21＋y 21－8＝ x 21＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8＝13x 1. 所以PF 2＋PM ＝3－13x 1＋13x 1＝3.同理，Q F 2＋Q M ＝3， 所以F 2P ＋F 2Q ＋P Q ＝3＋3＝6. 因此△PF 2Q 的周长是定值6.[由题悟法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[即时应用]1．已知椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是椭圆上的点，且△PF 1F 2的周长是4＋22，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2()2，0， ∴椭圆的焦距为F 1F 2＝2 2. ∵△PF 1F 2的周长是4＋22， ∴PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝4＋22， 可得PF 1＋PF 2＝4.根据椭圆的定义，可得2a ＝PF 1＋PF 2＝4，∴a ＝2， 又∵c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝2，可得a 2＝4，b 2＝2. 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1―→⊥PF 2―→，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝4c 2，所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝4c 2，所以2PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以PF 1·PF 2＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×2b 2＝b 2＝9.所以b ＝3.答案：3考点三 椭圆的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有： (1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (3)焦点三角形的研究．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围1．(2019·连云港调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若F 1A ⊥OB ，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵F 1A ⊥OB ，∴b 2a 2c ·－b 2a c＝－1，可得a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝6－22(负值舍去)． 答案：6－222．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a代入椭圆方程得－c2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以e＝c a＝22. 答案：22角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围 3．若方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：∵方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －5＞0，a －5＞2，解得a＞7.∴实数a 的取值范围是(7，＋∞)． 答案：(7，＋∞)4．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________． 解析：x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k＞2，解得0＜k ＜1.所以实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)角度三：焦点三角形的研究5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆C 的短半轴长有关． 解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥14，即e ≥12.又0＜e ＜1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短半轴长有关．[通法在握]1．应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[演练冲关]1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为______．解析：当9＞4－k ＞0，即－5＜k ＜4时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，所以5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， 所以－k －54－k＝45，解得k ＝－21，所以k 的值为1925或－21. 答案：1925或－212．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 因为在Rt △PF 1F 2中，PF 1＝b 2a，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以2ac b2＝ 3.又因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0， 解得e ＝33或e ＝－3， 又因为e ∈(0,1)，所以e ＝33. 答案：333．(2019·南京一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝13，则椭圆C 的离心率为________．解析：∵PF 2⊥F 1F 2，cos ∠PF 1F 2＝13，F 1F 2＝2c ，∴PF 1＝6c ，PF 2＝42c ，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴6c ＋42c ＝2a ， ∴椭圆C 的离心率e ＝2c 2a ＝13＋22＝3－2 2.答案：3－2 2考点四 直线与椭圆的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32.过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M .已知点B (1,0)，直线PB 交l 于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．解：(1)因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2. 又因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且－2＜x 0＜2, x 0≠1，则x 204＋y 20＝1.因为MB 是PN 的垂直平分线，所以点P 关于点B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以x 0＝2－m .由A (－2,0)，P (x 0，y 0)， 可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0m ＋x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0m ＋x 0＋2. 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x0－1·y 0m ＋x 0＋2m －1＝－1， 即y 20m ＋x 0－x 0＋m －＝－1.因为x 204＋y 20＝1.所以x 0－m ＋x 0－m －＝1.因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133.因为m ＞2，所以m ＝5＋133.[由题悟法]直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．[即时应用](2018·南通、扬州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22.A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP ―→＝2AO ―→. (1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP ―→＝m BC ―→，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值．解：(1) 因为OP ―→＝2AO ―→，而P (2，2)，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，代入椭圆方程，得1a 2＋24b 2＝1，①又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②，得a 2＝2，b 2＝1.故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． 因为OP ―→＝2AO ―→，所以P (－2x 1，－2y 1)，因为BP ―→＝m BC ―→，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x 2＝m x 3－x 2，－2y 1－y 2＝m y 3－y 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1.代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m x 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2＋y 21b 2＋m －2m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22a 2＋y 22b 2－m －m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2a 2＋y 1y 2b 2＝1，③ 因为A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ④因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b2＝0. ⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋m －2m 2＝1，解得m ＝52.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝6，∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b 2＝27.所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝13．椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＋PF 2＝22，F 1F 2＝2.由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， 解得PF 1·PF 2＝43.故△F 1PF 2的面积S ＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则P Q 的最大值是________．解析：已知圆心C (0,2)，P Q ≤PC ＋C Q ＝1＋C Q ，故只需求C Q 的最大值即可． 设Q(x ，y )，则 C Q ＝x 2＋y －2＝－y2＋y －2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＋272. ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，C Q max ＝272＝362， ∴ P Q max ＝1＋362.答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89， 所以e ＝c a ＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－125．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝52－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：∵F 为椭圆的右焦点，OF ＝2，∴c ＝ 2.设椭圆方程为x 2b 2＋2＋y 2b2＝1(b ＞0)，∵A ，B 是椭圆的两个顶点，∴A ()b 2＋2，0，B (0，b )．又∵C 是AB 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋22，b 2.由OC 的延长线交椭圆于点M ，MF ⊥OA ，得M ⎝⎛⎭⎪⎫2，b 2b 2＋2.∵k OM ＝k OC ，∴b 2b 2＋22＝b2b 2＋22，∴b ＝2，故所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上， 所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2 ＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2 ＝4a ＝16， 所以a ＝4. 又离心率e ＝ca ＝22， 所以c ＝22， 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2019·句容月考)离心率e ＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e ＝13，焦距为4，∴c ＝2，a ＝6，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1.答案：x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且△P Q F 2的周长为8，求椭圆C 的方程；(2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，求实数λ的取值范围．解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝Q F 1＋Q F 2＝2a ， 从而△P Q F 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且在椭圆上， 所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q(x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3.因为e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A .若平行于AF 且在y 轴上截距为3－ 2 的直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A ，可得AF 的斜率为－bc，则平行于AF 且在y 轴上截距为3－2的直线方程为y ＝－b cx ＋3－ 2.由该直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b 2c2＝1，解得b ＝c ，所以e ＝c a ＝12＝22. 答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26， 因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB 的最大值为22613. 答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥Q F ，C 为P Q 中点，线段P Q 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段P Q 不垂直x 轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线P Q 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线P Q 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0， 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1＞0， ①x 1x 2＝b 2－2k 2＋1＞0， ②Δ＝k 2－b 2＋＞0， ③由PF ―→·Q F ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0， 代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④ 由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b2k 2＋1，得C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb 2k 2＋1，b 2k 2＋1，所以线段P Q 的中垂线AB 的方程为y －b2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb 2k 2＋1. 令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1， 则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AFAO＝－x Ax A＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x A－1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b29b 4＋2b 2＋1， 所以S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3.所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线P Q 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。
2020与名师对话(文)椭圆(一)
第五节椭圆(一)高考概览：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想．[知识梳理]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质[辨识巧记]1．焦点三角形椭圆上的点P与焦点F1，F2若构成三角形，则称△PF1F2为焦点三角形．焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系．2．离心率与椭圆的形状因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以离心率e越大，则ba越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba 越大，椭圆就越圆．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 [解析] 由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.[答案] B3．(选修1－1P 42A 组T 1改编)若F 1(3,0)，F 2(－3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 2100＋y 29＝1C.y 225＋x 216＝1D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1[解析] 由题意可知，P 点轨迹为椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝10，a ＝5，c ＝a 2－b 2＝3，得b ＝4.所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1.故选A. [答案] A4．(选修1－1P 40例5改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－12 C ．2－ 2D.2－1[解析] 由题意可知，|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝22c . 因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴2c ＋22c ＝2a ， 解得ca ＝2－1.故选D. [答案] D5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是__________．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4. [答案] (3,4)∪(4,5)考点一 椭圆的定义及应用【例1】 (1)(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为____________________．(2)(2018·广东中山一中月考)已知椭圆C ：x 216＋y 28＝1，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，点P 在C 上且∠F 1PF 2＝π3，则△F 1PF 2的面积为________．(3)(2019·河南郑州三模)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．[思路引导] (1)|PC 1|＋|PC 2|为定值→定义法确定动点P 的轨迹为椭圆→确定椭圆方程(2)明确△F 1PF 2中的条件→解△F 1PF 2→求出△F 1PF 2的面积 (3)题目中条件与焦点有关→寻找另一焦点→应用定义 [解析] (1)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.(2)由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，c 2＝8， ∴a ＝4，c ＝22，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， |F 1F 2|＝4 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos π3＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝64－2|PF 1||PF 2|－322|PF 1||PF 2|＝12.解得|PF 1||PF 2|＝323，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin π3＝833.(3)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′. 因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |， 所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大． 此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.[答案] (1)x 225＋y 216＝1 (2)833 (3)855(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．[对点训练]1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12[解析] 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.故选C.[答案] C2．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12 [解析]如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.故选C.[答案] C考点二 椭圆的标准方程【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点； (2)经过两点(2,0)，(0,1)．[思路引导] (1)作判断→设方程→找关系→定结果 (2)定焦点→设方程→求系数→得结果[解] (1)解法一：(定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：(待定系数法)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入，可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)解法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴⎩⎨⎧4m ＝1，n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆标准方程的2种常用方法[对点训练]1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 2＝1B.y 216＋x 24＝1C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1[解析] 由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a ＝2b ，又椭圆经过点(2,0)，则若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝4，b ＝2，椭圆方程为y 216＋x 24＝1，故选C.[答案] C2．(2019·长沙市高三一模)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1D.y 24＋x 22＝1[解析] 由题意易知，b ＝c ＝2，故a 2＝b 2＋c 2＝4，从而椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C.[答案] C考点三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)由椭圆的方程研究其性质； (2)由椭圆的性质求参数的值或范围； (3)求离心率的值或范围． 角度1：由椭圆的方程研究其性质【例3－1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223[解析] 不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.故选C.[答案] C角度2：由椭圆的性质求参数的值或范围【例3－2】 (1)(2019·贵州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为( )A ．1B ．2 3C ．4D ．4 3 [思路引导] (1)列出方程表示椭圆的条件→结合已知条件列式→得解(2)设P (x 0，y 0)→根据PF →，P A →列式→根据x 0的范围求解[解析] (1)∵椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.故选A. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.故选C. [答案] (1)A (2)C角度3：求离心率的值或范围【例3－3】 (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·安徽皖南八校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若在直线x ＝2a 上存在点P 使得线段PF 1的垂直平分线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 [思路引导] (1)表示出点P 坐标→由k P A ＝36得a ，c 的关系式→求出离心率e(2)|PF 2|＝|F 1F 2|→|PF 2|≥2a －c →e 的范围[解析] (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 的坐标为(c ＋2c cos60°，2c sin60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e＝14，故选D.(2)∵直线x ＝2a 上存在点P 使线段PF 1的垂直平分线过点F 2，∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥2a －c ，∴2a ≤3c ，∴e ≥23.又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.故选B.[答案] (1)D (2)B(1)求椭圆离心率的3种方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．③数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．(2)椭圆中有关范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式关系．[对点训练]1．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( )A ．2B ．2或83 C ．2或6D ．2或8[解析] 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. [答案] D2．(2019·广州市高三毕业班综合测试)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 解法一：设P (x 0，y 0)，由题易知|x 0|<a ，因为∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即c 2>x 20＋y 20有解，即c 2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b 2－b 2a 2x 20，x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a 2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以e 2＝c 2a 2>12，解得e >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1，故选A.解法二：椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，故选A.[答案] A课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 要使方程x 25－m＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.[答案] B2．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5[解析] 连接PF 2，由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A.[答案] A3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D. 3[解析] 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 2|＝12×22×1＝ 2.故选A.[答案] A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13[解析] 以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝2ab a 2＋b2＝a ，整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2， 从而e 2＝c 2a 2＝23，椭圆的离心率e ＝ca ＝23＝63，故选A.[答案] A5．(2019·上海崇明一模)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.x225＋y25＝1 B.x230＋y210＝1C.x236＋y216＝1 D.x245＋y225＝1[解析]依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F′，连接PF′.由已知，半焦距c＝2 5.又由|OP|＝|OF|＝|OF′|，知∠FPF′＝90°.在Rt△PFF′中，|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a＝|PF|＋|PF′|＝4＋8＝12，所以a＝6，于是b2＝a2－c2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x236＋y216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题6．(2019·安徽黄山一模)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________.[解析]圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1,0)，一个顶点为A (3,0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.[答案] 137．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题9．F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆上的点到F 2的最近距离为4，最远距离为16.(1)求椭圆方程；(2)P 为该椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解](1)依题意知⎩⎨⎧a －c ＝4a ＋c ＝16，∴a ＝10，c ＝6. ∴b ＝8.∴所求椭圆方程为：x 2100＋y 264＝1. (2)∵∠F 1PF 2＝60°，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝144. ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|＝144. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60° ＝12×2563×32＝6433.10．(2019·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.能力提升练11．(2018·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23[解析] 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.[答案] C12．(2019·广西桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8[解析] 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →)max＝6.故选C. [答案] C13．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．[解析] 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．[答案] (－3,0)或(3,0)14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． [解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.拓展延伸练15．(2019·广东中山一模)设椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[解析] 如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||F A |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.故选B.[答案] B16．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 [解析] 设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24， ∴0<e <5－12.故选B. [答案] B。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基 础 知
[解] (1)解法一：(定义法)椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，
识
回 顾
－4)，(0,4)，即 c＝4.
课
后
由 椭 圆 的 定 义 知 ， 2a ＝ 3－02＋－ 5＋42 ＋
跟 踪
3－02＋－ 5－42，解得 a＝2 5.
训 练
核 心
由 c2＝a2－b2，可得 b2＝4.
考
点 突 破
所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
知 识 回
【例 1】 (1)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋
顾
4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相
课 后
外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( D )
跟 踪
训
核 心
A.6x42 －4y82 ＝1
B．4x82 ＋6y42 ＝1
练
考
点 突 破
C.4x82 －6y42 ＝1
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知 识
2．离心率与椭圆的形状
回
顾
因为 e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba2，所以离心率 e 越大，
课 后 跟 踪
核 心
则ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越
训 练
考 点
圆．
突
破
第9页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
知 识 回 顾
(1)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1有相同焦点；
课
(2)经过两点(2,0)，(0,1)．
后 跟
踪
训
练
核 心
[思路引导] (1)作判断→设方程→找关系→定结果．
考
点 突
(2)定焦点→设方程→求系数→得结果．
破
第29页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
基
础 知
“×”)
识 回 顾
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的 课
轨迹是椭圆．( × )
后 跟
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
踪 训
练
核
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭
踪 训
练
核 值范围为(－2，－1)∪(2，＋∞)．故选 D.
心
考
点
突
破
第12页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识 回
3．(选修1－1 P42A组T1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点
顾 P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( A )
课 后
点 突
故所求面积为 9tan30°＝3 3.故选 A.
破
第23页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识 回
椭圆定义的应用技巧
顾
课
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与 后
跟
两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭
踪 训
练
核 心
圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，
D．6x42 ＋4y82 ＝1
第18页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础 知 识 回
(2)(2019·福建三明期中)已知 P 是椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点，
顾
F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2
课 后
跟
面积为( A )
心
考 点
圆．( √
)
突 破
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
第10页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基 础 知 识
2．(2019·山西大学附属中学诊断)已知方程mx22＋m＋y2 2＝1
回
顾 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( D )
识
回 顾
＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝
课
8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.故选 C.
后 跟
踪
训
练
核 心
考 点 突 破
第28页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
考点二 椭圆的方程
基 础
【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
踪 训 练
核
心 考
－16，所以 c2＝8，即焦距 2c＝4 2.
点
突
破
第16页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知 识
回
顾
核心
考点突破
课 后 跟
踪
训
练
核 心
考
点
突
破
第17页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基 础
考点一 椭圆的定义及应用
跟 踪 训
核 点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，则 a＝8，c＝4，
练
心 考 点 突
∴b2＝48，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1.
破
第21页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
(2)解法一：由椭圆的标准方程可得 a＝5，b＝3，∴c＝
础
知 识
4.
回 顾
课 后
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
跟 踪
训
核
B．(－2，＋∞)
练
心 考
C．(－1,2)
点
突 破
D．(－2，－1)∪(2，＋∞)
第11页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识
回
顾
[解析] 椭圆的焦点在 x 轴上，∴m2>2＋m，即 m2－2－
课 后
跟
m>0，解得 m>2 或 m<－1.又∵2＋m>0，∴m>－2，∴m 的取
PF1F2 为焦点三角形．焦点三角形问题注意与椭圆定义、正
后 跟 踪
弦定理、余弦定理的联系．
训 练
核 心
(2)若点 P 为椭圆上的一点(除长轴端点外)，则椭圆焦点
考
点 突 破
三角形的面积公式 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sinθ＝b2tan2θ，其中
∠F1PF2＝θ.
第8页
第9章 第5节
第22页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础 知
把①两边平方得 t21＋t22＋2t1t2＝100，③
识
回 顾
由③－②得 t1t2＝12，
课
∴S△F1PF2＝12t1t2·sin∠F1PF2＝3 3.故选 A.
后 跟 踪 训
核 心 考
解法二：由于椭圆焦点三角形的面积公式为 S＝b2tan2θ， 练
破
解得ac＝ 2－1.故选D.
第15页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基 础 知
5．(2019·湖北联考)已知椭圆 C：ay22＋1x62 ＝1(a>4)的离心
识
回 顾
率是 33，则椭圆 C 的焦距是___4__2___．
课 后
跟
[解析] 由 e＝ac＝ 33得 a＝ 3c，所以 c2＝a2－b2＝3c2
踪 训
练
核 ＝12，则|AB|＝20－12＝8.故选 D.
心
考
点
突
破
第26页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知 识 回 顾
2．设 P 是椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点，M，N 分别是两圆： 课
(x＋4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点，则|PM|＋|PN|的最小
第6页
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
基 础 知 识 回 顾 核 心 考 点 突 破
第7页
高考总复习·课标版·数学(文) 课 后 跟 踪 训 练
第9章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础 知
1．焦点三角形
识
回 顾
(1)椭圆上的点 P 与焦点 F1，F2 若构成三角形，则称△ 课
基
础
知
识
回
顾
最新考纲：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及
课 后
跟
简单性质；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思
踪 训