华大新高考联盟2021届高三1月教学质量检测理科数学试题及参考答案
华大新高考联盟2021届高三1月理科数学试题
18.已知四边形 为等腰梯形, , 沿对角线将 旋转,使得点 至点 的位置,此时满足 .
(1)判断 的形状,并证明;
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
19.已知动圆 过定点 ,且在 轴上截得的弦长为 .
(1)求动圆 的圆心点 的轨迹方程 ;
(2)过点 的动直线与曲线 交于 两点,平面内是否存在定点 ,使得直线 分别交 于 两点,使得直线 的斜率 ,满足 ?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
A.492B.382C.185D.123
5.函数 在区间 上不单调,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知 ,且满足 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7.已知正方体 ,点 在线段 上,当 最大时,四棱锥 的体积与正方体的体积比为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的短轴长为8,点 为其两个焦点,点 为椭圆上任意一点, 的内切圆面积最大值为 ,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.如图是某四棱锥的三视图,其中正视图是边长为2的正方形,侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.如图,在扇形 中, ,点 为 的中点,点 为阴影区域内的任意一点(含边界),若 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
11.关于函数 ,下列说法错误的是( )
华大新高考联盟2018届高三1月理科数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若 为 的共轭复数 是虚数单位),则 的虚部为( )
2021-2022学年华大新高考联盟高三上学期教学质量测评数学试卷(理科)(1月份)(含答案解析)
2021-2022学年湖北省华大新高考联盟高三上学期教学质量测评数学试卷(理科)(1月份)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集U=R,集合A={x|x(2x−9)>0},B={x|x>1},则(∁U A)∩B=()A. {x|x>92} B. {x|x≥92} C. {x|1<x≤92} D. {x|1<x<92}2.已知公式e ix=cosx+isinx;根据此公式,i⋅eπ4i=()A. √22+√22i B. −√22+√22i C. √22−√22i D. −√22−√22i3.已知命题p:∃x∈R,x2+6x=−10,命题q:∀x∈R,sin2x+cos2x<32,则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. p∨(¬q)C. (¬p)∧(¬q)D. (¬p)∧q4.如图是国家统计局2021年11月发布的全国居民消费价格的涨跌幅情况,现有如下说法:①2021年10月份,全国居民消费价格的同比和环比均呈现增涨趋势;②2020年10月至2021年10月,全国居民消费价格同比增涨的月份个数是下跌的5倍;③从2020年10月至2021年10月中任取1个月,全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为1013;则上述说法正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.研究显示,某地区实施人工降雨以后降水量超过200mm的概率为23.现在由于干旱,要对该地区连续4天使用人工降雨,则在这4天中至少有2天降水量超过200mm的概率为()A. 23B. 89C. 13D. 16276.已知实数a,b,c满足1.5a=3.1,5b=0.1,c=log416log2e2,则()A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示;将函数f(x)图象的横坐标伸长到原来的6倍后,再向左平移π4个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在()上单调递减.A. [−6π,−5π]B. [2π,4π]C. [4π,6π]D. [−4π,−3π]8.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为()A. 4√25πB. 4√28πC. 5√24πD. 2√25π9.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,若在双曲线C的渐近线上存在点M,使得∠AMB=90°,则双曲线C的离心率的取值范围为()A. [3√55,+∞) B. (1,3√55] C. [√5,+∞) D. (1,√5]10.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,2AA1=3AB=12,点M是线段BB1的中点,点N是线段DD1上靠近D的三等分点,若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1被过点A1,M,N的平面所截,则所得截面的周长为()A. 10+8√2B. 10+7√2C. 9+8√2D. 9+7√211. 我们可以将正整数18分解成两个正整数的乘积,共有1×18,2×9,3×6这三种形式,其中3×6是这三种分解中两数差的绝对值最小的一种,称3×6为18的最佳分解;当p ×q(p,q ∈N ∗)是正整数n 的最佳分解时,我们定义函数f ∗(n)=|p −q|,例如f ∗(18)=|6−3|=3,f ∗(6)=|2−3|=1;基于上述事实,下列说法错误的是( )A. f ∗(20)>f ∗(16)B. 若f ∗(n)=3,则n 的值可以是154C. ∑f n i=1∗(4i)=0D. ∑f n i=1∗(2i −1)=8212. 已知2021lna =a +m ,2021lnb =b +m ,其中a ≠b ,若ab <λ恒成立,则实数λ的取值范围为( )A. [(2021e)2,+∞) B. [20232,+∞) C. [20212,+∞) D. [(2021e)2,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知向量a ⃗ =(−2,3),b ⃗ =(3,−1),c ⃗ =(2,λ),若(2a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −c ⃗ ),则λ=______. 14. (2√x 34−x)7的展开式中x 6的系数为______.15. 已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =4,acosC+ccosAcosC+√2b =0,bsin(A +3π2)−acos(B +π)=b 2c,则C =______,△ABC 的面积为______.16. 已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为M ,N ,右焦点为F ,点P ,Q 在椭圆C 上,P ,Q 异于M ,N ,且关于原点对称,点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标.若点A(0,y A ),B(0,y B )分别在直线MP ,MQ 上,记四边形MAFB 的面积为S ,若S ≥λ恒成立,则实数λ的取值范围为______. 三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17. 研究显示,越来越多的“996”上班族下班后通过慢跑强身健体,慢跑属于一种有氧运动,可以消耗人体大量热量,坚持慢跑可以促进新陈代谢,增加肺活量以及增强心脏功能,提升人体免疫力,因此深受青年人喜爱.如图统计了小明这100天每天慢跑的时间情况(单位:分钟).(1)求m 的值;(2)如表是小明的同事小强本月前7次慢跑的时间情况;由散点图可知,小强的慢跑次数x 和慢跑时间y(单位:分钟)之间线性相关,(1)求y 关于x 的线性回归方程y ˆ=b ˆx +a ˆ,其中b ˆ、a ˆ使用分数形式表示;(2)根据①中的运算结果预测小强第9次的慢跑时间是否会超过小明这100天慢跑的平均时间.次数x1 2 3 4 5 6 7慢跑时间y(单位:分钟) 15 18 27 23 20 29 36 参考公式:在线性回归方程y ˆ=b ˆx +a ˆ中,b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b ̂x −.18. 如图所示,在四棱锥P −ABCD 中,△PAD 是面积为√3的等边三角形,AD//BC ,AB =AD =CD =12BC ,二面角P −AD −B 为直二面角.(1)若平面PAB ∩平面PCD =l ,求证:l ⊥AD ;(2)若点E 为线段AC 上靠近A 的三等分点,求直线PE 与平面PBC 所成角的余弦值.19. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=25,a 2+a 5+a 10=31. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ; (2)若b n ={2a n ,n 为奇数,1a n a n+2,n 为偶数,求数列{b n }的前2n −1项和T 2n−1.20. 已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点为F ,过点(m,0)且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点.(1)当k =2且p =2m 时,|AB|=15,求抛物线C 的方程;(2)已知横坐标为−p2的点D 在直线l 上,若对任意正数m ,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|FD|2⋅cos∠AFB 恒成立,求k 的值.21. 已知函数f(x)=e x +12x 2+ax . (1)若a =−1,求函数f(x)的单调区间; (2)若a ∈[0,1],求证:32f(x)>−7. 参考数据:ln3≈1.099,ln4≈1.386.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数),曲线C 1与x 轴的正半轴交于点A ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2:θ=θ0(ρ>0).(1)求点A 的坐标以及曲线C 1的极坐标方程; (2)将曲线C 1向左平移一个单位后得到曲线C 3,若θ0=2π3,点B 为C 2,C 3的交点,若直线AB 与曲线C 3交于B ,D 两点,求|AB|⋅|AD|的值.23. 已知函数f(x)=|4x +a|−|4x +a 2|. (1)若a =2,求不等式f(x)+12x <1的解集;(2)若∃x ∈R ,∃a ∈[0,2],使得f(12x)>m 能成立,求实数m 的取值范围.参考答案及解析1.答案:C解析:由已知可得集合A={x|x>92或x<0},则∁U A={x|0≤ x≤92},所以(∁U A)∩B={x|1<x≤92},故选:C.先求出集合A以及A的补集,再根据交集的定义即可求解.本题考查了集合的运算关系,涉及到不等式的求解,考查了学生的运算能力,属于基础题.2.答案:B解析:因为公式e ix=cosx+isinx;则i⋅eπ4i=i⋅(cosπ4+isinπ4)=i⋅(√22+√22i)=−√22+√22i,故选:B.根据公式以及复数的运算性质化简即可求解.本题考查了复数的运算性质,涉及到新定义的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题.3.答案:D解析:对于命题p:由于x2+6x+10=(x+3)2+1≥1,故x2+6x=−10无解,故命题p为假命题;对于命题q:∀x∈R,sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)<32,故命题q为真命题;故p∧q为假命题,p∨(¬q)为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∧q为真命题;故选:D.直接利用三角函数的关系式的变换,真值表,命题真假的判定求出结果.本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,真值表,命题真假的判定,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.4.答案:C解析:根据题意,依次分析3个说法:对于①,2021年10月份,全国居民消费价格的同比和环比都是正数,即同比和环比均呈现增涨趋势,正确;对于②,由图表可得:同比增涨的月份有10个,下降的月份有3个,错误;对于③,在2020年10月至2021年10月的13个月中,全国居民消费价格的同比呈现增涨的有10个月, 则从2020年10月至2021年10月中任取1个月,全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为1013,③正确;其中正确的有2个; 故选:C .根据题意,依次分析3个说法是否正确,综合可得答案.本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,注意同比、环比的定义,属于基础题.5.答案:B解析:研究显示,某地区实施人工降雨以后降水量超过200mm 的概率为23. 现在由于干旱,要对该地区连续4天使用人工降雨, 则在这4天中至少有2天降水量超过200mm 的概率为:P =C 42(23)2(13)2+C 43(23)3(13)+C 44(23)4=89.故选:B .利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式直接求解.本题考查概率的求法,考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.答案:B解析:∵1.5a =3.1,5b =0.1, ∴a =log 1.53.1,b =log 50.1, ∵log 1.53>log 1.51.52=2,∴a >2, ∵log 50.1<log 51=0,∴b <0, ∵c =log 416log 2e 2=22log2e=1log2e=ln2,且ln1<ln2<lne ,∴0<c <1, ∴a >c >b , 故选:B .先把指数式化为对数式,求出a ,b ,再利用对数函数的性质进行求解.本题主要考查了指数式与对数式的互化,考查了利用对数函数的性质进行比较大小,是基础题.。
【数学】华大新高考联盟1月联考数学理科试卷
机密★启用前华大新高考联盟2020届高三1月教学质量测评理科数学本试题卷共4页,23题(含选考题),全卷满分150分.考试问时120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题上,草稿纸和答题卡上的非答题区域的无效.3.填空题和解答题的作答,用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4,选考题的作答,先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}31|{<<-=y y M ,}0)72(|{≤-=x x x N ,则=N M YA.)3,0[B.]27,0( C.]27,1(- D.∅ 2. 设复数满足2|3|=-z ,在复平面内对应的点为),(b a M ,则M 不可能为 A.)3,2(B.)2,3(C.)0,5(D.)1,4( 3. 已知46=a ,214log 45=b ,9.2)31(=c ,则 A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.b a c >>4. 2019年10月1日.为了庆祝中华人民共和国成立70周年,小明、小红、小金三人以国庆为在主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路".为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了同话,得到回复如下:小明说:“鸿福齐天”是我制作的小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的小金说:“兴国之路"不是我制作的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“鸿福齐天”的制作者是A.小明B.小红C.小金D.小金或小明5. 函数20cos sin )(2x x x x x f +=在]2,0()0,2[ππY -上的图像大致为6. 为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A 、B 、C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有A.24B.36C.48D.647. 已知向量)1,(m a =,)2,1(-=b ,若b b a ⊥-)2(,则a 与b 夹角的余弦值为A.13132-B.13132C.65136-D.651368. 框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决.例如,为了计算一姐数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入151=x ,162=x ,183=x ,204=x ,225=x ,246=x ,257=x ,则图中空白框中应填人A.7,6S S i =>B.7,6S S i =≥ C.S S i 7,6=> D.S S i 7,6=≥9. 记等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,若4010=S ,56=a ,则A.3=dB.1210=aC.28020=SD.41-=a10. 已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为1F ,2F ,点),(11y x P ,),(11y x Q --在椭圆C 上,其中01>x ,01>y ,若||2||2OF PQ =,33||||11≥PF QF ,则椭圆C 的离心率的取值范围为A.]216,0(- B.]26,0(- C.]13,22(- D.]13,0(- 11. 关于函数|)321cos(|4|)321sin(|4)(ππ+++=x x x f ,有下述三个结论: ①函数)(x f 的一个周期为2π; ②函数)(x f 在]43,2[ππ上单词递增; ③函数)(x f 的值域为]24,4[.其中所有正确结论的编号是A.①②B.②C.②③D.③12. 已知四棱锥ABCD S -中,四边形ABCD 为等腰梯形,BC AD //,︒=∠120BAD ,SAD ∆是等边三角形,且32==AB SA ,若点P 在四棱锥ABCD S -的外接球面上运动,记点P 到平面ABCD 的距离为d ,若平面SAD ⊥平面ABCD ,则d 的最大值为 A.113+ B.213+ C.115+ D.215+二.填空题,本题共4小距.每小题5分,共20分.13. 已知函数x e x m x f 2)12()(3-+=,若曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线与直线024=-+y x 平行,则=m __________.14. 设n S 为数则}{n a 的前n 项和,若752-=n n a S ,则=n a __________.15. 由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示,估算月经济损失的平均数为m ,中位数为n ,则=-n m__________.16. 已知双曲线C )0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分 别为1F 、2F ,直线l 是双曲线C 过第一、三象限的渐近线,记直线l 的倾斜角为α,直线l 'x y ⋅=2tanα,l M F '⊥2,垂足为M ,若M 在双曲线C 上,则双角线C 的离心率为__________.三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22.23题为击考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共6分17. (12分) 已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,设24sin sin sin 3sin sin 3sin sin 22+=+CB A BC C B . (1)求A tan 的值;(2)若C B sin 3sin 2=,且22=∆ABC S ,求a 的值.18. (12分)如图所示,在三棱柱111C B A ABC -中,ABC ∆为等边三角形,A BB BAB 11∠=∠,O B A AB =11I ,⊥CO 平面11A ABB ,D 是线段11C A 上靠近1A 的三等分点.(1)求证:1AA AB ⊥;(2)求直线OD 与平面11ACC A 所成角的正弦值.19. (12分)记抛物线C )0(22>=p px y 的焦点为F ,点D ,E 在抛物线C 上,且直线DE 的斜率为1,当直线DE 过点F 时,4||=DE .(1)求抛物线C 的方程;(2)若)2,2(G ,直线DO 与EG 交于点H ,=+,求直线HI 的斜率.20. (12分)已知函数x x e x f x cos 2)(--=.(1)当)0,(-∞∈x 时,求证:0)(>x f ;(2)若函数)1ln()()(++=x x f x g ,求证:函数)(x g 存在极小值.21. (12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在A 市与B 市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为m 2,现规划在每个路口处种植一棵杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为21. (1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:是否有%9.99的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有X 个路口种植杨树,求X 的分布到以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为M ,求证:≥M 3 )2)(1(--m m m .(二)选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22. 【选修4-4坐标系与参数方程】(10分)在平面直角生标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θ为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ααρ222sin 4cos 4+=. (1)求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程;(2)若直线kx y l =:与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点,且||2||OQ OP =,点M 的坐标为)0,2(,求MPQ ∆的面积.23. 【选修4-5:不等式选讲】(10分)已知0>a ,0>b ,0>c .(1)求证:22444224)(b a b a ab b b a a ++≥+-; (2)若1=abc ,求证:ac bc ab c b a ++≥++333.。
2021年高三1月模拟数学理试题 含解析
2021年高三1月模拟数学理试题含解析一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】试题分析:因为,所以对应的点的坐标是,所以在第二象限,故选B.考点:1、复数的乘法运算;2、复平面.2.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:使有意义,必须满足,,,故选B.考点:1、函数的定义域;2、集合的交集运算.3.设向量,, 若方向相反, 则实数的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得:,解得:,当时,,,此时,方向相同,不符合题意,舍去;当时,,,此时,方向相反,符合题意.所以实数的值是,故选D.试题分析:考点:1、向量的坐标运算;2、平行向量(共线向量).4.一算法的程序框图如图1,若输出的, 则输入的的值可能为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】试题分析:由程序框图知:.当时,,解得:(舍去);当时,,解得:()或(),当时,或(舍去),所以输入的的值可能是,故选C .考点:1、框图;2、分段函数.5.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,所得图象的函数解析式是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】试题分析:将函数的图象向左平移个单位,得到函数sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,再向上平移个单位,得到函数的图象.所得函数的函数解析式是,故选A .考点:1、三角函数的图象变换;2、诱导公式;3、倍角公式.6.用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:① 若, , 则∥; ② 若∥, ∥, 则∥;③ 若∥, ∥, 则∥; ④ 若, , 则∥.其中真命题的序号是( )A .① ②B .② ③C .① ④D .② ④【答案】D【解析】试题分析:若, , 则∥或与相交或与异面,所以①是假命题;平行于同一直线的两条直线平行,所以②是真命题;若∥, ∥, 则∥或与相交或与异面,所以③是假命题;若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以④是真命题.故选D .考点:空间点、线、面的位置关系.7.已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点 的直线与双曲线的右支相交于,两点,且点的横坐标为,则△的周长为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】试题分析:因为,所以,因为点的横坐标为,所以轴,由,解得,所以,因为点、在双曲线上,所以,,所以1122F QF F QF Q P +=P +=P ==,所以△的周长为11F QF Q P ++P ==,故选A . 考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的弦长;3、焦点三角形的周长.8.已知映射.设点,,点是线段上一动点,.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】试题分析:因为点,,所以线段的方程为(),设,则,因为点是线段上一动点,所以(),所以点的对应点的轨迹是一段圆弧,且圆心角为,所以点的对应点所经过的路线长度为,故选B . 考点:1、映射;2、轨迹方程;3、弧长.二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分)(一)必做题(9~13题)9.不等式的解集是 .【答案】【解析】当,即时,不等式恒成立;当,即时,不等式可化为,化简得,解得或,或,故所求不等式的解集是.试题分析:考点:绝对值不等式10.已知数列是等差数列,且,则的值为.【答案】28【解析】试题分析:因为,所以,所以.考点:等差数列的性质11.在平面直角坐标系中,设不等式组所表示的平面区域是,从区域中随机取点,则的概率是.【答案】【解析】试题分析:作出可行域如图所示:不等式组所表示的平面区域是图中正方形,则正方形的面积是.从区域中随机取点,使,则点落在图中阴影部分.在中,,,所以阴影部分的面积是,故所求的概率是.考点:1、线性规划;2、几何概型.12.由,,,…,这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是.【答案】280【解析】试题分析:当十位数字为,千位数字为时,四位数的个数是;当十位数字与千位数字为,时,四位数的个数是;当十位数字与千位数字为,时,四位数的个数是,故所求的四位数的个数是.考点:排列与组合13.已知函数, 则12340292015201520152015f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 【答案】-8058【解析】试题分析:因为()()()2sin 32sin 23f x f x x x x x ππ+-=+-+-+--⎡⎤⎣⎦ ,所以12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4029140294029480582201520152f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点:1、函数值;2、推理与证明.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图2,圆的直径,直线与圆相切于点,于点D ,若,设,则______.OD EC BA【答案】 【解析】试题分析:因为直线与圆相切于点,所以,因为是圆的直径,所以,在中,,在中,,所以,故.考点:1、弦切角;2、直径所对的圆周角.15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中,设曲线与的交点分别为,,则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .【答案】【解析】试题分析:曲线的普通方程为,曲线的普通方程为,所以的方程为,又易知的垂直平分线斜率为,经过圆的圆心,所以的垂直平分线的方程为,即为,或化成.考点:1、极坐标方程与直角坐标方程互化;2、两圆的公共弦所在直线方程. 三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)已知函数R,是函数的一个零点.(1)求的值,并求函数的单调递增区间;(2)若,且,,求的值.【答案】(1),Z;(2).【解析】试题分析:(1)由是函数的一个零点得,代入,用辅助角公式化简,得,利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间;(2)先将已知条件进行化简,再利用求出和的值,进而展开,代入数值.试题解析:(1)解:∵是函数的一个零点,∴ . …………………………………………1分∴ . ………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由,Z,得,Z,………………………………………………5分∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分(2)解:∵,∴.∴ . ………………………………………………7分∵ ,∴ . ………………………………………………8分∵,∴.∴ . ………………………………………………9分∵ ,∴ . ……………………………………………10分∴ …………………………………………11分. ………………………………………………12分考点:1、函数的零点;2、辅助角公式;3、三角函数的单调性;4、诱导公式;5、同角三角函数的基本关系;6、两角和的正弦公式.17.(本小题满分12分)广州某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表)和频 率分布直方图(如图).图3日销售量/个a a a a a表1将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求,的值.(2)求在未来连续3天里,有连续..2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率;(3)用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1),;(2);(3)分布列见解析,.【解析】试题分析:(1)利用计算出,的值;(2)计算日销售量都高于100个与日销售量不高于50个的概率,即可求出在未来连续3天里,有连续..2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率;(3)先分析确定随机变量的所有可能取值,再计算各个取值的概率,即可得其分布列,利用数学期望公式求数学期望.试题解析:(1)解:,. …………………………2分(2) 解:设表示事件“日销售量高于100个”,表示事件“日销售量不高于50个”,表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”.,,. ………………………………………………………5分(3)解:依题意,的可能取值为,,,,且. ……………………6分,,,,…………10分∴的分布列为……………………………………11分∴. ……………………………………12分考点:1、频率分布直方图;2、频率分布表;3、概率;4、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.(本小题满分14分)如图,四边形是正方形,△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,点是的中点,点是边上的任意一点.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的正弦值.图4E FD C BAP【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)由已知可得,,,先证平面,得到,再证平面,得到,进而证平面,即可得;(2)先建立空间直角坐标系,再计算平面和平面的法向量,进而可算出二面角的平面角的余弦值,利用,即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析:(1)证明:∵是的中点,且,∴ . ……………………………………………1分∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,∴ ,.∵ ,平面,平面,∴ 平面.∵ 平面,∴ . ……………………………………2分∵ 四边形是正方形,∴ .……………………………………3分∵ ,平面,平面,∴ 平面.∵ 平面,∴ .………………………………………………………4分∵ ,平面,平面,∴ 平面. ………………………………………………………5分∵ 平面,∴ .………………………………………………………6分HEF D C BAP(2)解法1:作于,连接,∵ ⊥平面,平面∴ .………………………………………………………7分∵ ,平面,平面,∴ ⊥平面. ………………………………………………………8分∵ 平面,∴ .……………………………………………………9分∴∠为二面角的平面角. …………………………………………………10分设正方形的边长为,则,,在Rt△中,,…………………11分在Rt△中,,,………………12分在Rt△中, . ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分zyxEFD CBAP解法2:以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,.……………7分∴,.设平面的法向量为,由得…………………8分令,得,∴ 为平面的一个法向量. …………………………………………9分∵ 平面,平面,∴ 平面平面.连接,则.∵ 平面平面,平面,∴ 平面. ………………………………………………10分∴ 平面的一个法向量为. ………………………………………………11分设二面角的平面角为,则. ……………………………………………12分∴.………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分考点:1、线线垂直、线面垂直;2、二面角.19.(本小题满分14分)已知数列的前项和满足:,为常数,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,设,且数列的前项和为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)利用,即可得数列的通项公式;(2)先将代入,化简,再放缩,进而得到,即可得与的大小关系.试题解析:(1)解:∵,∴ . ………………………………………1分当时,, ………………………………………3分得, ………………………………………………4分 ∴ 数列是首项为,公比也为的等比数列. ………………………………………5分 ∴. ……………………………………………6分(2)证明:当时,, ………………………………………………7分∴. …………………………8分由,, ………………………………………………10分∴. …………………………………………… 11分 ∴ 122231111111333333n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………13分 ∵ ,∴ ,即. …………………………………………………14分考点:1、数列的通项公式;2、数列求和;3、不等式证明;4、放缩法.20.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,且经过点.圆.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆C 有且只有一个公共点,且与圆相交于两点,问是否成立?请说明理由.【答案】(1);(2)不成立.【解析】试题分析:(1)由离心率为,可得:,由椭圆经过点,可得:,即可得椭圆的方程;(2)先将直线的方程与椭圆的方程联立,可得,利用,可得,再求出点的坐标,进而可得点不是线段的中点,即可得不成立.试题解析:(1)解:∵ 椭圆过点,∴ . …………………………………………1分 ∵, …………………………………………2分∴.…………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分(2)解法1:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点,∴方程组(*)有且只有一组解.由(*)得.……………………………………6分从而,化简得.① …………………7分,. ……………9分∴ 点的坐标为. ……………………………………10分由于,结合①式知,∴. ……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点,∴方程组(*)有且只有一组解.由(*)得.……………………………………6分从而,化简得.① …………………7分,…………………………………………………8分由于,结合①式知,设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . ……………………………………10分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分∴点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线.21.(本小题满分14分)已知函数,R .(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;(3)在(2)的条件下, 证明:.【答案】(1)当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增.(2);(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,再对函数求导,进而令导函数为零,得到方程,对方程是否有实数根进行讨论,即可得函数的单调性;(2)将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根,结合(1),即可得的取值范围;(3)先将化简,再令, ,进而可证,即可得. 试题解析:(1)解: 函数的定义域为,, ………………………………………………1分令, 得, 其判别式,① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;………………………2分② 当, 即时, 方程的两根为,,………………………3分若, 则, 则时, , 时, ,此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ………………………4分若,则, 则时, ,时, ,时, ,此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令, ,则, ………………………………………………10分由于, 则, 故在上单调递减. ………………………11分故. ………………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴. ………………………………………………14分考点:1、用导数判断函数的单调性;2、参数的取值范围;3、用导数证明不等式.728162 6E02 渂34135 8557 蕗 32180 7DB4 綴331287 7A37 稷26014 659E 斞G24590 600E 怎22888 5968 奨S36283 8DBB 趻Y35390 8A3E 訾。
解析2022届华大新高考联盟2021-高三上学期1月教学质量测评数学(文)试卷及答案
2022届华大新高考联盟2021-高三上学期1月教学质量测评数学(文)试题一、单选题1.()1i -⋅的共轭复数为( )A .iB .iC iD i答案:B根据复数的运算法则化简得到()1i i -⋅=,结合共轭复数的概念,即可求解.由题意,复数()1i i -⋅=,故所求共轭复数为i . 故选:B .2.已知全集()(){}340U x x x =∈+-<Z ,集合{}0,1,3,A =,{}1,0,2B =-,则() UA B ⋃=( )A .{}1,0,1,2,3-B .{}1,0,2-C .{}2,1,0,2--D .{}1,2-答案:C化简得{}2,1,0,1,2,3U =--,求出{} U2,1,2A =--即得解.解:依题意,()(){}{}{}340342,1,0,1,2,3U x x x x x =∈+-<=∈-<<=--Z Z , 故{} U2,1,2A =--,则(){} U2,1,0,2A B ⋃=--.故选:C .3.下图是国家统计局2021年11月发布的全国居民消费价格的涨跌幅情况,现有如下说法:①2021年10月份,全国居民消费价格的同比和环比均呈现增涨趋势;②2020年10月至2021年10月,全国居民消费价格同比增涨的月份个数是下跌的5倍; ③从2020年10月至2021年10月中任取1个月,全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为1013. 则上述说法正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3答案:C根据折线图和古典概型的概率判断每一个选项即得解.解:2021年10月份,全国居民消费价格的同比和环比的涨幅均为正数,故①正确;2020年10月至2021年10月,全国居民消费价格同比增涨的月份有10个,下跌的月份有3个,故②错误;2020年10月至2021年10月,全国居民消费价格同比增涨的月份有10个,下跌的月份有3个,所以全国居民消费价格的同比呈现增涨的概率为1013.故③正确. 故选:C .4.已知命题:p x ∃∈R ,2610x x +=-,命题:q x ∀∈R ,3sin 2cos 22x x +<,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ∨⌝C .p q ⌝∧⌝D .p q ⌝∧答案:D先判断命题,p q 的真假,再利用复合命题的真假判断得解. 解:方程26100x x ++=的Δ3641040=-⨯=-<,故26100x x ++=无解,则命题p 为假;而π3sin 2cos 22sin 2242x x x ⎛⎫+=+≤< ⎪⎝⎭,故命题q 为真;故命题p q ∧、p q ∨⌝、p q ⌝∧⌝均为假命题,p q ⌝∧为真命题. 故选:D .5.若x ,y 满足约束条件252030x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,则25z x y =-的最大值为( )A .13B .25C .33D .427-答案:B根据题意作出可行域,进而根据z 的几何意义求得答案. 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.观察可知,当直线25z x y =-过点B 时,z 有最大值;联立230x y y +=⎧⎨+=⎩,解得53x y =⎧⎨=-⎩,则25z x y =-的最大值为25,故选:B .6.已知实数a ,b ,c 满足1.5 3.1a=,50.1b=,422log 16log e c =,则( ) A .c a b >> B .a c b >> C .b a c >> D .c b a >>答案:B先通过对数的运算性质和换底公式将c 化简,进而通过中间量0和1并结合对数函数的单调性确定出a ,b ,c 的范围,然后比较出大小.依题意,()1.5log 3.11,a =∈+∞,()5log 0.1,0b =∈-∞,()2422222log 4211ln 20,1ln e log e log e log e ln 2c =====∈,故a c b >>. 故选:B .7.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >,0>ω,π2ϕ<的部分图象如图所示;将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后,再向左平移π4个单位,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 在( )上单调递减.A .[]6π,5π--B .[]2π,4πC .[]4π,6πD .[]4π,3π--答案:D由函数()f x 的图象,求得()f x 的解析式,再根据图象变换,求得函数()1π2cos 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解. 根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象,可得2A =,311ππ3π41264T =-=, 则2ππT ω==,则2ω=,故()()2cos 2f x x ϕ=+;由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得()π2π3k k Z ϕ+=∈,解得()π2π3k k Z ϕ=-+∈,因为π2ϕ<,可得π3ϕ=-,所以()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后,得到1π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再向左平移π4个单位后,得到()1π2cos 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1π2ππ2π,34k x k k Z ≤-≤+∈,解得3π15π6π6π,44k x k k Z +≤≤+∈, 令1ππ2π2π,34k x k k Z -+≤-≤∈,解得9π3π6π6π,44k x k k Z -+≤≤+∈, 所以函数()g x 单调递增区间为9π3π[6π,6π],44k k k Z -++∈,单调递减区间为3π15π[6π,6π],44k k k Z ++∈, 所以函数()g x 在[]6π,5π--上先增后减,在[]2π,4π上先减后增, 在[]4π,6π上单调递增,在[]4π,3π--上单调递减. 故选:D .8.半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为( )A 42B 42C 52D 22答案:C根据题意可以得出二十四等边体的外接球半径为2a ,进而求出其外接球体积,然后十四等边体可以看成一个长方体加上四个四棱锥拼接而成的几何体,求出其体积,最后求出体积比. 设2MN a =,则二十四等边体的外接球半径为2a , 其外接球体积为()3334432ππ2π333R a a =⨯=,二十四等边体可以看成一个长方体加上四个四棱锥拼接而成的几何体, 故所求体积344022222223V a a a a a a =⨯⨯+⨯⨯⨯=,52故选:C .9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点()0,2A b ,若点P 在双曲线C 上,且224F P F A →→=,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A .11y = B .214y = C .21y = D .21y =根据224F P F A →→=求出()3,8P c b -,代入双曲线的方程化简即得解. 解:依题意,得()2,2A b F c →=-,()2244,8F P F A c b →→==-,因为2(,0)F c ,所以()3,8P c b -,代入22221x y a b-=中,得()()2222381c b a b --=,得22965c a =,即22569b a =,则2143b a =, 则双曲线C 的渐近线方程为2143y x =±. 故选:B .10.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12312AA AB ==,点M 是线段1BB 的中点,点N 是线段1DD 上靠近D 的三等分点,若正四棱柱1111ABCD A B C D -被过点1A ,M ,N 的平面所截,则所得截面的周长为( ) A .1082+ B .1072+C .982+D .972+答案:B先证明截面四边形1A MQN 为平行四边形,再求出截面的边长相加即得解. 解:作出图形如图所示.延长1C C 至Q ,使得1CQ =,连接MQ ,NQ ,则截面四边形1A MQN 为平行四边形; 记MQ 与BC 交于点R ,NQ 与CD 交于点P , 则142A N =15A M =,223332MR +=22810233NP ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2245133PR ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,故所得截面的周长为115105324233A M MR PR PN A N ++++=+++1072+11.我们可以将正整数18分解成两个正整数的乘积,共有118⨯,29⨯,36⨯这三种形式,其中36⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的一种,称36⨯为18的最佳分解;当(),p q p q *⨯∈N 是正整数n 的最佳分解时,我们定义函数()f n p q *=-,例如()18633f *=-=,()6231f *=-=;基于上述事实,下列说法错误..的是( ) A .()()2016f f *>* B .若()3f n *=,则n 的值可以是154 C .()140nii f =*=∑D .()1012182i f i =*-=∑答案:D根据函数()||f n p q *=-的定义算出每一个函数值即可判断答案. 依题意,()201f *=,()160f *=,故A 正确;因为1542711=⨯⨯,故1541154=⨯,154277=⨯,154722=⨯,1541114=⨯,观察可知,B 正确;因为24222i i i i ==⋅,i *∈N ,故()40if *=,则()140nii f =*=∑,故C 正确;()101210246010122161870i f i =*-=+++++++++=∑,故D 错误.故选:D .12.若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .[)1,-+∞ B .[)1,+∞C .1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .[),e +∞答案:B 等价于2ln 42x a x x x x≥-+-,设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-,利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.解:依题意,2ln 42x a x x x x≥-+-, 设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-,则()224ln 3x x x f x x---+=', 令()24ln 3h x x x x =---+,故()21420h x x x x'=---<, 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减,而()10h =, 故当()0,1x ∈时,()0f x '>,当()1,x ∈+∞时,()0f x '<, 故函数()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()max ()11==f x f ,则1a ≥. 故选:B . 二、填空题13.调查显示,某地区共享电动车的使用者中,年龄在50岁以上的占15%,共900人,年龄在25-50岁之间的有4500人,其余使用者的年龄均在25岁以下.现按照分层抽样的方法在所有使用者中随机抽取40人,调查他们对共享电动车的使用感受,则年龄在25岁以下的用户抽取的人数为______. 答案:4求出年龄在25岁以下的用户所占比例即得解. 解:依题意,所有使用者的人数为90060000.15=人, 故年龄在25-50岁之间的用户所占比例为45000.756000=, 则年龄在25岁以下的用户所占比例为10.150.750.1--=, 故所抽取的人数为400.14⨯=. 故答案为:414.已知向量()2,3a →=-,()3,1b →=-,则a b →→+与b →夹角的余弦值为______.求出a b →→+的坐标,再利用向量的夹角公式求解. 依题意,()1,2a b →→+=,故a b →→+与b →夹角的余弦值为||a b b a b b →→→→→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==+⋅15.已知点()00,A x y 在椭圆22:14x C y +=上,其中00x >,00y >,直线l 过点A 且与椭圆C 仅有1个公共点,直线l 与x 、y 轴分别交于点(),0M M x ,()0,M N y ,则当OMN 的面积最小时,直线l 的斜率为______. 答案:12-0.5- 设直线l 的方程为()0,0y kx m k m =+<>,联立直线和椭圆的方程由=0∆得到2214k m +=,再写出三角形面积的表达式利用基本不等式求解.解:设直线l 的方程为()0,0y kx m k m =+<>,联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得()()222148410k x kmx m +++-=, 故()()2222Δ64161140k m m k =--+=,化简可得2214k m +=;而221141111424222222OMNm m k Sm k k k k k k k ⎛⎫+=⋅⋅===+≥⨯⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当12k =-时等号成立,此时OMN 的面积最小.故答案为:12-三、双空题16.如图所示,四边形ABCD 是由等腰直角三角形BCD 以及直角三角形ABD 拼接而成,其中90ADB BCD ∠=∠=︒,4tan 23ABD ∠=,若2BC =,则cos ABD ∠=______,A 到C 的距离为______.答案:25; 10.(1)利用二倍角的正切公式求出1tan 2ABD ∠=,即得25cos ABD ∠= (2)先求出22BD =2AD =. 因为22tan 4tan 21tan 3ABD ABD ABD ∠∠==-∠,故1tan 2ABD ∠=(tan 2ABD ∠=-舍去); 而22sin 1cos 2sin cos 1ABD ABD ABD ABD ∠⎧=⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩,故25cos ABD ∠=因为BCD △是等腰直角三角形,故90BCD ∠=︒,2BC =, 故22BD =tan 2AD BD ABD =⋅∠= 在ACD △中,135ACD ∠=︒,由余弦定理得222cos13510AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=四、解答题17.研究显示,越来越多的“996”上班族下班后通过慢跑强身健体,慢跑属于一种有氧运动,可以消耗人体大量热量,坚持慢跑可以促进新陈代谢,增加肺活量以及增强心脏功能,提升人体免疫力,因此深受青年人喜爱.下表是小明的同事小强本月前7次慢跑的时间情况;由散点图可知,小强的慢跑次数x 和慢跑时间y (单位:分钟)之间线性相关.参考公式:在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中,()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. (1)求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆb 、ˆa 使用分数形式表示; (2)根据(1)中的运算结果预测小强第9次的慢跑时间.(运算结果保留4位有效数字) 答案:(1)399014ˆ7yx =+; (2)第9次的慢跑时间约为37.93分钟.(1)根据题意先求出,x y ,进而根据参考公式求出ˆˆ,ba ,然后求出线性回归方程; (2)结合(1),将9x =代入线性回归方程,进而得到答案. (1)依题意,得123456747x ++++++==,15182723202936247y ++++++==,()()()()()()()()71392613142531278iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯=∑,()()()()72222222132112328i i x x =-=-+-+-+++=∑,()()()717213914ˆiii ii x x y y bx x ==--==-∑∑,399021ˆ4447ˆay bx =-=-⨯=, 故所求回归直线方程为399014ˆ7yx =+. (2)将9x =代入399014ˆ7y x =+中,得3990531937.9314714y =⨯+=≈, 故可以预测小强第9次的慢跑时间约为37.93分钟.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且525S =,251031a a a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S ;(2)若24n n n b a +=+,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案:(1)21n a n =-,2n S n =; (2)124443n n T n n +-=++. (1)根据已知求出1,a d 即得数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S ;(2)由题得()234n n b n =++,再利用分组求和得解.(1)解:依题意,53525S a ==,35a =,故25103332731a a a a d a d a d ++=-++++=,解得2d =,故1321a a d =-=,故21n a n =-,21212n n S n n +-=⋅=. (2)解:依题意,()24234n n n n b a n +=+=++, 故()123447494234n n T n =+++++++++()()1124145234442143n n n n n n +-++⋅-=+=++-.19.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1AC BC =2AB =,45BAC ∠=︒,点1B 在平面ABC 的射影为点C .(1)求证:1AC BC ⊥;(2)若点D 在平面11ABB A 上运动,求CD 的最小值.答案:(1)证明见解析 6(1)证明AC ⊥平面11BCC B ,原题即得证;(2)CD 的最小值即为点C 到平面11ABB A 的距离h ,利用111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==求解.(1)证明:因为1B C ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,故1B C AC ⊥, 因为2AC 2AB =,45BAC ∠=︒; 由余弦定理,222cos 2BC AC AB AB AC BAC +-⋅⋅∠=,故222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥;又1BC B C C =,1,BC B C ⊂平面11BCC B ;故AC ⊥平面11BCC B ;而1BC ⊂平面11BCC B ,故1AC BC ⊥.(2)解:依题意,CD 的最小值即为点C 到平面11ABB A 的距离h ,因为1B C ⊥平面ABC ,故1B C AC ⊥,1B C BC ⊥,则12AB =,12BB =,又2AB =,故1ABB △为等边三角形,则122ABB S ==故1111112223C ABB A C ABB B ABC ABC V V V B C S ---===⨯⨯⨯=而111113C ABB A ABB A V h S -=⨯⨯=,故h = 20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点()0m ,且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点.(1)当2k =且2p m =时,15AB =,求抛物线C 的方程;(2)已知横坐标为2p -的点D 在直线l 上,若对任意正数m ,2cos FD FA FB AFB →→⋅=⋅∠恒成立,求k 的值.答案:(1)212y x =;(2)1k =±.(1)设直线:2p l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,联立直线和抛物线的方程得到22460x px p -+=,设()11,A x y ,()22,B x y ,利用韦达定理和抛物线的定义化简15AB =得6p ,即得解;(2)由题得2FA FB FD ⋅=,求出||,||,||FA FB FD 代入化简计算即得解。