06 统计学 假设检验

z检验的p-值：
检验统计量为z统计量的p-值计算公式， 表示检验统计量 的抽样数据，则p-值的计算方法如下：
如果 ： ， p-值=2
如果
如果
：
，
p-值=
p-值=
： ， H 1 0
pz z0
H 1 0 H 1 0
pz z 0
pz z 0
解：第一步：作出假设。
:ρ> 30%。 H1 H0 以上的备选假设是企业自我声明的结论，我们希望该企业 说的是实话。因此使用右侧检验。 :ρ =30%，
第二步：构造z检验统计量。
第三步：确定拒绝域。 显著水平α=0.05，查标准正态分布表得临界值： =1.645，拒绝域是z>1.645。
可用z作为检验统计量。
z
X 0

n
~ N 0,1
第三步：确定显著性水平。 通常显著水平由实际问题确定，我们这 里取α=0.05，左侧检验，拒绝域安排 在左边，查标准正态分布表得临界值： -z =-1.645， 拒绝域是z<-1.645。
α – Zα 0
第四步：计算检验统计量的数值。 样本平均数 X 248 ，n=50,代入检验 统计量得：
:μ=μ0 ，
H1：μ≠μ0 H1 ：μ＜μ0 H1 ：μ＞μ0
(2) H0 :μ≥μ0 ， (3) H0 :μ≤μ0
，
1、正态总体均值的检验-方差已知
构造检验统计量
x 0 Z n 当原假设H0 :μ=μ0为真时，统计量服从
N(0.1)，给定显著水平α ，查标准正 态分布表得临界值，按检验规则判断。
pz z 0
。查标准正态分布表得：
第五步：判断。
p-值小于给出的显著性水平(0.05)，拒绝原假设，接受备 选假设，与例1的结论相同。
ｔ＜tα(n-1)，接受H0
ｔ≤－tα（n-1） ,拒绝H0 ； ｔ ＞-tα(n-1) ，接受H0
H0
ｔ≥tα(n-1) ，拒绝H0 ；
（1）H0

:μ=μ0 ，
H1：μ≠μ0 H1 ：μ＞μ0
(2) H0 :μ=μ0 ， H1:μ＜μ0 (3) H0 :μ=μ0
，

但是，在大样本场合(样本容量n大于 30时)，t-统计量与标准正态分布统 计量近似，通常用z检验代替t检验。
构造一个统计量来决定是“接受原假设，拒绝备 选假设”，还是“拒绝原假设，接受备选假设”。 对不同的问题，要选择不同的检验统计量。检验 统计量确定后，就要利用该统计的分布以及由实 际问题中所确定的显著性水平，来进一步确定检 验统计量拒绝原假设的取值范围，即拒绝域。在 给定的显著性水平α下，检验统计量的可能取值范 围被分成两部分：小概率区域与大概率区域。小 概率区域就是概率不超过显著性水平α的区域，是 原假设的拒绝区域；大概率区域是概率为1-α的区 域，是原假设的接受区域。
第一步：确定原假设与备选假设。 <250
H 0 ：
=250；H 1
：
以上的备选假设是总体均值小于 250毫升，因为消费者协会希望通过 样本数据推断出厂商的欺骗行为(大 于250毫升一般不会发生)。因此使 用左侧检验。
第二步：构造出检验统计量。
我们知道，如果总体的标准差已知，则正态总体(正常情 况下，生产饮料的容量服从正态分布)的抽样平均数，也 服从正态分布，对它进行标准化变换，可得到：
第六章 假设检验
第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 非参数检验
第一节 假设检验概述
一、假设检验的基本概念
1、假设检验与区间估计的差别主要在于：区间估计是用 给定的大概率推断出总体参数的范围，而假设检验是以小 概率为标准，对总体的状况所做出的假设进行判断。假设 检验与区间估计结合起来，构成完整的统计推断内容。假 设检验分为两类：一类是参数假设检验，另一类是非参数 假设检验。
三、p-值检验
p-值检验就是通过计算p-值，再将它与显著性水平α作比 较，决定拒绝还是接受原假设。所谓p-值就是拒绝原假设 所需的最低显著性水平。p-值判断的原则是：如果p-值小 于给定的显著性水平α，则拒绝原假设；否则，接受原假 设。或者，更直观来说就是：如果p-值很小，拒绝原假设， p-值很大，接受原假设。请大家注意的是这里的p-值是指 概率，不要与成数指标相混淆。
检验规则：
(1) H0
:μ=μ0 ，
α/ 2 1–α α/ 2
H1：μ≠μ0

-Zα/2
Zα/2
(2) H0 :μ=μ0 ， H1:μ＜μ0
α – Zα 0
(3) H0 :μ=μ0 H1 ：μ＞μ0
，
α
0
Zα
检验规则：
(1) H0 :μ=μ0 ， H1：μ≠μ0
∣Z ∣≥Zα/2
，拒绝H0；∣Z
z X 0 248 250 4 50 3.54 1.645

n
第五步：判断。
检验统计量的样本取值落入拒绝域。 拒绝原假设，接受备选假设，认为有 足够的证据说明该种纸包饮料的平均 容量小于包装盒上注明的250毫升， 厂商有欺诈之嫌。
检验步骤
1
根据具体问题的要求，建立总体假设H0，H1 选择统计量,确定H0为真时的抽样分布 给定显著性水平α， 当原假设H0为真时，求出临界值。 计算检验统计量的数值与临界值比较
2
3
4
2、正态总体均值的检验-方差已知
构造检验统计量
x 0 t s n 当原假设H0 :μ=μ0为真时，统计量服从自
由度n-1的t分布。给定显著水平α ， 查标准正态分布表得临界值，按检验
规则判断。
检验规则：
(1) H0
:μ=μ0 ，
α/ 2 1–α α/ 2
H1：μ≠μ0

-tα/2
z
第四步：计算检验统计量的数值。 样本成数p=220/600=0.37，总体 假设的成数ρ =0.3,代入z检验统计量 得：
z p n
1

0.37 0.3
0.3 1 0.3 / 600
3.5
第五步：判断。
检验统计量的样本取值z=3.5>1.645， 落入拒绝域。拒绝原假设，接受备选 假设，认为样本数据证明该企业声明 属实。
三、检验功效
在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯取伪错误的概 率也要尽可能地小，或者说，不取伪的概率1-β应尽可能 增大。1-β越大，意味着当原假设不真实时，检验判断出 原假设不真实的概率越大，检验的判别能力就越好；1-β 越小，意味着当原假设不真实时，检验结论判断出原假设 不真实的概率越小，检验的判别能力就越差。可见1-β是 反映统计检验判别能力大小的重要标志，我们称之为检验 功效或检验力。
2、假设检验的基本思想
假设检验可以用小概率原理解释。 小概率原理：即指概率很小的事件在一次试验中实几乎不 可能发生。 如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不支持这 一假设的小概率事件A在一次试验中是几乎不可能发生的； 要是在一次试验中事件A发生了，就有理由怀疑这一假设 的真实性。
第二节
总体参数检验
一、单侧检验与双侧检验
α/ 2 -Zα/2
1–α
α/ 2 Zα / 2
α – Zα 0 0
α Zα
双侧检验
左侧检验
右侧检验
用单侧检验还是双侧检验，使用左侧 检验还是右侧检验，决定于备选假设 中的不等式形式与方向。与“不相等” 对应的是双侧检验，与“小于”相对 应的是左侧检验，与“大于”相对应 的是右侧检验。
二、参数检验
参数检验都是先对样本所属总体的性 质作出若干的假定，或对总体的分布 形状加以限定，然后对总体的有关参 数情况进行统计假设检验。因此，参 数检验又称为限定分布检验。如在总 体服从正态分布条件下，对其均值进 行检验。下面通过具体例子来说明参 数检验方法。
（一）总体均值的检验
考虑下面三种类型： （1) H0
例2：某汽车轮胎厂声称，该厂生产的 轮胎的平均使用寿命在一定的重量和 正常行驶条件下高于25 000公里的国 家标准。对一个由16个轮胎组成的随 机样本进行测试，得到的平均值和标 准差分别为27 000公里和5 000公里。 假定轮胎使用寿命近似服从正态分布， 试问是否可以相信厂家的说法。
总体成数的检验
例：利用p-值检验重新检验例1。
解：
第一、第二步与例1完全相同，故省略之。 第三步：计算样本统计的数值。 样本平均数 ，n=50，代入检验统计量得：
X 248
X 0 248 250 4 50
z0

n

3.54
第四步：计算p-值。 使用左侧检验，p-值= p-值=[1-F(3.54)]/2 =(1-0.999 8)/2 =0.000 1
∣＜Zα/2 ，接受H0
(2) H0 :μ=μ0 ， H1 :μ＜μ0
Z ≤ –Zα ，拒绝H0 ； Z ＞–Zα ，接受H0
(3) H0 :μ=μ0 ， H1 ：μ＞μ0
Z ≥ Zα ，拒绝H0 ； Z ＜ Zα ，接受H0
在例1中，按历史资料，总体的标准差 是4毫升。我们通过检验总体均值是否 等于250毫升，来判断饮料厂商是否 欺骗了消费者。程序如下：
例1：消费者协会接到消费者投诉，指控品牌纸包装饮料 存在容量不足，有欺骗消费者之嫌。包装上标明的容量为 250毫升。消费者协会从市场上随机抽取50盒该品牌纸包 装饮品，测试发现平均含量为248毫升，小于250毫升。 这是生产中正常的波动，还是厂商的有意行为？消费者协 会能否根据该样本数据，判定饮料厂商欺骗了消费者呢？
当样本容量较大时，下列统计量服从标准正态分布：
z p