第四章 谱与紧算子

可以验证 F ( z ) 是一个整函数，而且
| F ( z ) |≤|| Rz ( A) ||≤
1 ， | z |>|| A || 。 | z | − || A ||
4
所以 F(z)是有界整函数。由 Liouville 定理，F(z)必为常数。 但是
| z |→∞
lim F ( z ) = 0 ， 所 以 F(z) 必 恒 为 零 ， 再 由 f 的 任 意 性 ， Rz ( A) = 0 。 但
令 x(t ) =
n
∑d
k =1
k
f k (t ) ，代入(*)得
∑f
k =1
k
n ⎡ n b ⎤ (t ) ⎢ ∑ ∫ g k ( s) f l ( s)ds dl ⎥ = λ ∑ d k f k (t ) ， k =1 ⎣ l =1 a ⎦
所以
∑ [∫
l =1
n
b
a
g k ( s) fl ( s)ds ] dl = λ d k ， k = 1, 2,
第四章
§1 有界线性算子的谱
谱与紧算子
问题: 设 X , Y 为赋范线性空间， A ∈ B( X , Y ) （1） Ax − λ x = y ，即 ( A − λ I ) x = y （2） Ax − λ x = 0 ，即 ( A − λ I ) x = θ 何时有解？ 定义： 设 A ∈ B( X , Y ) ，若存在算子 B ∈ B(Y , X ) 使 AB = IY 和 BA = I X ，则称 A 是可逆 的，B 称为 A 的逆算子，记为 A
n =0
由于 || S ||= lim || S n ||≤ lim
n →∞ n →∞
∑ || A ||k = lim
k =0
n
1− || A ||n +1 1 。 = n →∞ 1− || A || 1− || A ||
定理
设 X ≠ {θ } 为一个 Banach 空间， A ∈ B( X ) 。那么
3
(1)
λ ∈ C ， | λ |>|| A || ，则 λ ∈ ρ ( A) 且
Rλ ( A) = ( A − λ I ) −1 = ∑
n=0 ∞
An
λ
n +1
， || Rλ ( A) ||≤
1 | λ | − || A ||
(2) 对于 λ0 ∈ ρ ( A) ， ⎨λ ∈ C || λ − λ0 |<
x = x0 + g ， g ∈ N ( A − λ I ) 。
二 正则点与谱
定义 设 X 为一个 Banach 空间， A ∈ B( X ) 。若 A − λ I 是可逆的，则称 λ 为 A 的一个正
2
则点， ρ ( A) = A 的正则点 为 A 的豫解集；若 A − λ I 是不可逆的，则称 λ 是 A 的一个谱 点。显然线性算子的特征值是它的谱点，称为点谱，记算子 A 的所有点谱（特征值）的集 合为 σ p ( A) ， 则 σ p ( A) ⊆ σ ( A) 。 注意线性算子的点谱可能是空集。 记σ （A）= A 的谱点 为 A 的谱。 显然 定理
( I − A) −1 = ∑ An = I + A + A2 +
n =0
∞
|| ( I − A) −1 ||≤
1 。 1− || A ||
证明： 对于整数 n > 1 ， 令 S n = 一个 Cauchy 序列。 事实上，对 m > n > 1 ，
∑A
k =0
n
k
= I + A + A2 +
= An ，则 {Sn }n =0 为 B( X ) 中的
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ 1 ⎪ ⎬ ⊂ ρ ( A) 。 || Rλ0 ( A) || ⎪ ⎭
(3) 任取 f ∈ ( B ( X ) ) ， || f ||≤ 1 。
*
假设 σ ( A) = ∅ ， 定义
F ( z ) = f ( Rz ( A)) = f (( A − zI ) −1 ) ， z ∈ ρ ( A) = C 。
−1 ∞ 1⎛ A⎞ An = − ⎜ I − ⎟ = −∑ n +1 ， λ⎝ λ⎠ n=0 λ −1
|| Rλ ( A) ||≤
1 。 | λ | − || A || 1 ， || Rλ0 ( A) ||
(2) 令 | λ − λ0 |<
A − λ I = A − λ0 I + λ0 I − λ I = ( A − λ0 I ) ( I − (λ − λ0 )( A − λ0 ) −1 ) = ( A − λ0 I ) I − (λ − λ0 ) Rλ0 ( A)
{
}
{
}
ρ ( A) = C − σ ( A) 。
(1)
λ ∈ ρ ( A) ⇔ N ( A − λ I ) = {θ } ， R( A − λ I ) = X 。
(2) X 为有限维时， λ 为 A 的正则的点 ⇔ N ( A − λ I ) = {θ } 或 R ( A − λ I ) = X 证明略 定理（Von Neumann）设 X 为一个 Banach 空间， A ∈ B( X ) 。 若 || A ||< 1 ，则 I − A 是可逆 的，并且
A : D( A) → C[0,1] ,
( Ax)(t ) = − x ''(t ) ,
x(t ) ∈ D( A)
则 A 是一个线性（无界）算子。 由 Ax = λ x ⇔ − x '' = λ x ⇔ x ''+ λ x = 0 可知道
x(t ) = a cos λ t + b sin λ t ， 对任意的 a, b ∈ R 。
定义 设 A ∈ B ( X ) ，λ ∈ R ， 若存在非零向量 x ∈ X 使 Ax = λ x 或 ( A − λ I ) x = θ ， 称λ 为 线性算子 A 的一个特征值，x 为对应特征值 λ 的一个特征向量。 例1
D( A) = { x(t ) ∈ C[0,1] | x ''(t ) ∈ C[0,1], x(0) = x(1)} .
综上所述， σ ( p ( A)) = p (σ ( A)) 。
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§2 Hilbert 空间上的紧算子
在微分方程的研究中, 关于 Fredholm 方程
b
λ x(t ) − ∫ k (t , s ) x( s )ds = f (t )
a
(1) (2)
λ x(t ) − ∫ k (t , s) x( s )ds = 0
b n
, f n (t ) ， g1 (t ), g 2 (t ),
n b
, g n (t ) ∈ X ，令
( Ax)(t ) = ∫ [∑ f k (t ) g k ( s )]x( s )ds = ∑ [ ∫ g k ( s ) x( s)ds] f k (t ) ， x(t ) ∈ X
a k =1 k =1 a
因为 | (λ − λ0 ) Rλ0 ( A) |< 1 ， 所以
(
)
( A − λ I ) −1 = ( A − λ0 I ) −1 ( I − (λ0 − λ ) Rλ0 ( A)) −1 = Rλ0 ( A)∑ (λ − λ0 ) n Rλ0 ( A) n
n =0
∞
这样 ⎨λ ∈ C || λ − λ0 |<
, n 。记 ckl = ∫ g k ( s ) fl ( s )ds ，C = ( ckl ) ，
a
b
d = (d1 , d 2 ,
征值。
, d n )T ，则有 (C − λ )d = 0 。所以 λ 为 A 得特征值当且仅当 λ 为矩阵 C 得特
结论：若 λ 为 A 得一个特征值， x0 为 ( A − λ I ) x = f 的一个特解，则 ( A − λ I ) x = f 的通 解为
, kn
使 得
l , k1 , k2 ,
p ( z ) − λ = a ( z − λ1 ) k1
( z − λn ) kn
，
所
以
p( A) − λ I = a( A − λ1 I ) k1 A − λ1 I ,
( A − λn I ) kn 。 由 于 p ( A) − λ I 不 可 逆 ， 所 以 ，
, A − λn I 必 至 少 有 一 个 是 不 可 逆 的 ， 记 A − λi I 不 可 逆 ， 1 ≤ i ≤ n 。 所 以
λi ∈ σ ( A) ，而 p (λi ) = λ ，故 λ = p(λi ) ∈ p(σ ( A)) 。这样就得到，σ ( p( A)) ⊂ p(σ ( A)) 。
当
λ ≠ (2nπ ) 2 ， n ∈ Z ，时，A 在 D(A)中没有特征向量；
2 2
当 λ = (2nπ ) ， n ∈ Z 时， sin 2nπ t 和 cos 2nπ t 均为 A 关于特征值 (2nπ ) 的特征向量。
1
例2
设 X = C[a, b] ， f1 (t ), f 2 (t ),
∞
|| S m − S n ||=||
k = n +1
∑
m
A ||≤
k
k = n +1
∑ || A || =
k
m
|| A ||n +1 (1− || A ||m − n ) 1− || A ||
<
|| A ||n +1 →0， （ m, n → ∞ ） 1− || A ||
由 B( X ) 为一个 Banach 空间可知存在 S ∈ B( X ) 使 lim || S n − S ||= 0 ，所以 S =
n →∞
定理 设 X 为一个复的 Banach 空间， A ∈ B( X ) ，对于任意的复多项式 p ( z ) ， 则有
σ ( p( A)) = { p (λ ) | λ ∈ σ ( A)} 。
证明：对于任意的 λ ∈ σ ( A) ，由于 p ( z ) − p (λ ) 可以分解为 ( z − λ )q ( z ) 可知
−1
= B。
注： 作为映射，可逆的充分必要条件是既单又满，但有界线性算子可逆条件要强，即它作 为映射的逆存在且有界。
Y 是同数域上的 Banach 空间，A ∈ B( X , Y ) 。 若 N ( A) = {θ } , R ( A) = Y , 逆算子定理： 设 X，
则 A 必可逆。
一 特征值与特征向量
则 A ∈ B( X ) 。 对于任意的 λ ∈ C ，由 Ax − λ x = 0 可得
∫
n
b
a
[∑ f k (t ) g k ( s)]x( s )ds − λ x(t ) = 0 ，
k =1 b
n
∑ [∫
k =1
a
g k ( s )x( s)ds ] f k (t ) − λ x(t ) = 0
I = ( A − λ I ) Rz ( A) = 0 ，矛盾！
所以 σ ( A) ≠ ∅ 。
定义 注
A ∈ B( X ) ， rσ ( A) = max{| λ | | λ ∈ σ ( A)} ， 称 rσ ( A) 为 A 的谱半径。
rσ ( A) ≤|| A || 。 rσ ( A) = lim n || An ||
（*）
当 λ = 0 时，任何使
∑ [∫
k =1
n
b
a
g k ( s) x( s )ds ] f k (t ) = 0 的 x(t ) 都是特征向量，运用正交性可知
λ = 0 是 A 的特征值。
当 λ ≠ 0 时，由(*), x(t ) =
n
∑[∫ λ
k =1
1
n
b
a
g k ( s) x( s )ds] f k (t ) ，
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ 1 ⎪ ⎬ ⊂ ρ ( A) || Rλ0 ( A) || ⎭ ⎪
(3)
σ ( A) ≠ ∅
证明：(1)由已知， λ ≠ 0 ，
ห้องสมุดไป่ตู้
A A⎞ ⎛ A − λ I = −λ ⎜ I − ⎟ ， || ||< 1 λ λ⎠ ⎝
由 Von Neumann 定理， A − λ I 可逆且 ( A − λ I )
n →∞
∑A
n=0
∞
n
。
又因为
( I − A) Sn = I − An +1 = Sn ( I − A) ， lim( I − A) S n = I − lim An +1 = I = lim S n ( I − A)
n →∞ ∞ n →∞ n →∞
所以 I − A 可逆，且 ( I − A)
−1
= S = ∑ An 。
p( A) − p(λ ) I = ( A − λ I )q( A)
由 A − λ I 是 不 可 逆 的 ， ( A − λ I )q ( A) = p ( A) − p (λ ) I 也 是 不 可 逆 的 ， 从 而 可 知
p(λ ) ∈ σ ( p( A)) 。
对
λ ∈ σ ( p( A)) ， 由 代 数 基 本 定 理 ， 存 在 互 异 的 复 数 a, λ1 , λ2 , , λn 及 正 整 数