电子光学知识点整理

第一章/n c v εμ==电子波长:h mv V λ==光的折射定律:2112sin sin n n φφ=,1122cn v cn v ==变分法关键定理:欧拉方程F F()0y x y d d ∂∂-='∂∂费马原理指出：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。

t时间1vkii is ==∑费马原理的数学表达式：δδδδ==⇒==⎰⎰22111[]0[]0p p pp t nds L nds c费马原理的具体表达式——斯涅尔定律：1122()sin sin sin sin k kn x n n n φφφφ=L 常数或者：＝＝＝光学定律的数学表达式(光的直线传播，反射、折射的内在联系.遵循的一个更普遍的规律)1\光的直线传播定律——由斯涅尔定律可知：当n 为常数时，正弦函数为常数，即，角度为常数；——光传播路径ds 上任何一点的方向相同，因此为一条直线。

2、折射定律——斯涅尔定律3、反射定律：令n2=-n1，有ψ2=-ψ1，由于入射角和反射角关于反射法线对称，因此ψ’=-ψ14、互易原理：当光线在两种媒质分界面上反射时，其光线传送互易。

非相对论条件下的电子运动方程：o d m e()dt =-+⨯v E v B直角坐标系下的电子运动方程组：222222()()()x z y y x z z y x d x e dy dz E B B dt m dt dt d y e dz dxE B B dt m dt dt d z e dx dyE B B dt m dt dt =-+-=-+-=-+-由电子在均匀电磁场中的能量变化方程：2()02d mv e dt ϕ-=积分可得：22mv e C ϕ-=电子运动速度可以通过空间电位来表示，下式φ为规范化电位：2 5.93210(/)e v m s m ϕϕ==⨯电子在均匀静电场内的轨迹方程：222o eE y z mv =-均匀磁场中，电子速度垂直于Bη==o o Lmv v R eB B ,ηππ===122o v B f T R均匀磁场中，电子速度与B 有夹角α:sin L v R B αη=,12B f T ηπ==,2cos h v B παη=电子在复合电磁场中的运动222222()()()x z y y x z z y x d x e dy dzE B B dt m dt dt d y e dz dxE B B dt m dt dt d z e dx dyE B B dt m dt dt =-+-=-+-=-+-运动方程(摆线方程)为：220(1cos())sin()x E y Bt B E E z t Bt B B ηηηη⎧⎪=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪⎪=-⎪⎩电子运动方程(轮摆线轨迹)：22222()()()E E E y z t B B B ηη-+-=麦克斯韦方程组：BE t∂∇⨯=-∂,D ρ∇⋅=,D E ε=,D H J t ∂∇⨯=+∂,0B ∇⋅=,B H μ=在假设条件下：0E ∇⨯=,0E ∇⋅=,0B ∇⨯=,0B ∇⋅= 矢量公式通用形式2311322131231231[()()()]D h h D h h D h h D h h h q q q ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂\22313211231112223331()()()h h h h h h h h h q h q q h q q h q ϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦直角坐标系下拉氏方程：圆柱坐标系下拉氏方程：0ϕθ∂=∂当时，22222211()00r r r r r r z z r ϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂+=⇒++=∂∂∂∂∂∂谢尔茨公式：圆柱坐标系下拉氏方程：贝塞尔微分方程：22221(1)0d d dz z dz z ϖϖνϖ++-=轴对称电场的积分表达式：201(,)(sin )2r z V z ir a daπϕπ=+⎰谢尔茨公式：曲线在点M 的曲率limQ Md k MQds δα→==点M 的曲率半径1ds R k d α==当已知曲线方程为：y=f(x)时，曲线的曲率半径。

23/2(1)y R y '+=''子午曲率：1/RM(r ，z)弧矢曲率：1/RS(r ，z) 梅尼定理：曲面上任意曲线B 的曲率半径等于在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半径在曲线B 的主法线上的正射影。

cos s M R R φ=在轴上某点处的等位面的曲率111()()()()2()M s V z R z R z R z V z ''==='轴对称磁场的力函数2222()1()()00rA rA rA B r r r z ∂∂∂∇⨯=⇒-+=∂∂∂,12s rA π=⋅⎰B dS磁标位的谢尔茨公式为：2(2)21(,)(1)()()(!)2kk k o r r z z k Ω=-Ω∑轴对称磁场的数学表达式,磁标位的幂级数表达式21210(,)()k k k A r z a z r∞++==∑(2)1212()11()(1)()!(1)!2k kk ka z a z k k +=-+、磁感应强度B 的幂级数表达式：121(21)01(,)(1)()()!(1)!2k k k r k rB r z B z k k ∞+++==-+∑、2(2)1(,)(1)()()!!2kk k z k r B r z B z k k ∞==-⋅∑1. 磁标位和Br 及Bz 的积分表达式：201(,)(sin )2o r z z ir a daππΩ=Ω+⎰,A 的积分表达式：20(,)(sin )sin 2oo i A r z z ir a adaπμπ=Ω+⎰第四章电子运动方程202eE y t m z v t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩电子轨迹方程222oeE y z mv =-非相对论条件下的电子运动方程：od m e()dt =-+⨯vE v B电子运动方程在直角坐标系下的展开:222222()()()x z y y x z z y xd xe dy dz E B B m dt dt dt d y e dz dx E B B m dt dt dt d z e dx dy E B B m dt dt dt =-+-=-+-=-+-()a ()b ()c x z y y x z z y x e x E yB zB mey E zB xB m ez E xB yB m =-+-⇒=-+-=-+-&&&&&&&&&&&&电子在均匀电磁场中的能量变化方程：2()02d mv e dt ϕ-=能量守恒关系式：2221()2m x y z e ϕ++=&&&关于z 的x 方向轨迹方程：221/2''()()022y x x z A x A A A d y dz x x y x z ϕηϕ⎧∂⎫∂∂∂⎪-+-=⎨⎬∂∂∂∂∂⎪⎪⎭⎩⎭y方向上分量方程：221/2'()()0y y x z A A A A d x dz y x y z ∂∂⎫∂∂-+-=⎬∂∂∂∂⎪⎪⎭⎩⎭圆柱坐标系下，各矢量关系：r z r z i i ρ=+r r r ,d d r i i θθ=rr ,d d r i i θθ=-r r r z d i dr i rd i dz θρθ=++r r r r ,d r r z dt r z v i i i θρθ==++r r r r r &&&,2d (r )(2r r )z dt r z v a r i i i θθθθ==-+++r r r r r &&&&&&&&&能量守恒关系式：22221()2m r r z e θφ++=&&&r方向上1/22221/2221/22221/22221/2'(1'')'1''2(1'')')0z d r r r r dz r r r r r r B B θϕθϕθϕθϕθθ⎧⎫++∂--⎨⎬∂++++⎩⎭-=角向上1/222221/22221/2'(1'')')01''2r z d r r r rB rr B dz r r ϕθθϕθθϕ⎧⎫++∂--=⎨⎬∂++⎩⎭虚/布许（Busch ）定理：在旋转对称电、磁场中，电子运动的角动量守恒。

2c mr erA θ-=&,022000mr mr erA er A θθ⇒-=-&&光在媒质中的运动遵循费马原理：21[]0p p L nds δδ==⎰费马原理的具体表达式——斯涅尔定律：1122()sin sin sin sin k k n x n n n φφφφ=L 常数或者：＝＝＝ 比较：拉格朗日方程拉格朗日方程d L Ldt q q ∂∂=∂∂& 牛顿方程i i dp F dt =广义动量Lp q∂=∂&广义力L Q q ∂=∂机械能(能量)1()si i iLE q L q =∂=-∂∑&&当力学系统能量守恒：T+U=E=const ，有：L ＝2T-E2211p t p t A Pds Edt=-⎰⎰,使21[]p p A Pds δδ=⎰式为零的表述——莫培督（Maupertuis ）原理莫培督原理导出的微分方程为电子轨迹方程。

()0d L L dt q q ∂∂-=∂∂&,()0'd P P ds q q ∂∂-=∂∂,其中，(,,)dq LP s q ds q ∂=∂&光在媒质中的运动和电子在保守场中的运功具有极大的相似性:21[]0p p L nds δδ==⎰,21[]0p p A Pds δδ==⎰在广义坐标系（q1,q2,q3）中，广义力Qi 可以表示为：()id T TQ dt q q ∂∂-=∂∂&Qi 代表力在广义坐标系中的分量i xy z i i i x y zQ F F F q q q ∂∂∂=++∂∂∂电位和磁矢位表示电场和磁场，并考虑电子运动产生的自磁场得：,,,y xz x x yx zy y y x zz z A A A E B x t y zA A A EB y t z xA A A EB z t x y ϕϕϕ∂∂∂∂=--=-∂∂∂∂∂∂∂∂=--=-∂∂∂∂∂∂∂∂=--=-∂∂∂∂ 电子在静场中的拉格朗日函数：21()2L T U mv e ϕ=-=+-⋅A v电子光学折射率ne ——广义动量P ：o L L P mv e mv e q v v ∂∂∂===-=-⋅∂∂∂vA s A& 5.93210/)v m s ==⨯其中电子折射率ne:)e o n P ==⋅s A广义坐标系下，以u 为独立变量的轨迹方程为：'()0ii d F Fdu q q ∂∂-=∂∂常用坐标系下轨迹方程直角坐标系（x,y,z ）下：123123,,1,1,1q x q y q z u h h h =======221/2''1)'')x y z F x y A x A y A =++++,'()0i i d F F du q q ∂∂-=∂∂关于z的x方向轨迹方程：221/2'()()0y x xzA A AAdydz x y x z∂⎫∂∂∂-+-=⎬∂∂∂∂⎪⎪⎭⎩⎭y方向上分量方程：221/2'()()0y yx zA AA Adxdz y x y z∂∂⎫∂∂-+-=⎬∂∂∂∂⎪⎪⎭⎩⎭圆柱坐标系下的轨迹方程：123123,,1,,1q r q q z uh h r hθ=======2221/2''1)'')r zF r r A r A r Aθθθ=++++r和角向方向上关于z的轨迹方程：1/22221/2221/22221/22221/2'(1'')'1''2(1'')')0zd r r r rdz rr r r rr B Bθϕθϕθϕθϕθθ⎧⎫++∂--⎨⎬∂++++⎩⎭-=1/222221/22221/2'(1'')')01''2r zd r r rrB rr Bdz r rϕθθϕθθϕ⎧⎫++∂--=⎨⎬∂++⎩⎭相对论修正下，洛伦兹方程为：()()od m dγm e()dt dt==-⨯v vE+v B规范化电位条件下：2oC m c=相对论修正下的能量守恒22mc m c eϕ-=相对论修正下的电子光学折射率：,)e r on⋅s A,)e on⋅s A相对论修正下的电子轨迹方程：直角坐标系（x,y,z）下：221/2''1)'')x y zF x y A x A y A++++圆柱坐标系下2221/2''1)'')r zF r r A r A r Aθθθ++++x方向分量：221/2'()()0y x xzA A AAdydz x y x z∂⎫∂∂∂-+-=⎬∂∂∂∂⎭⎪⎪⎩⎭y方向分量式：221/2'()()0y yx zA AA Adxdz y x y z∂∂⎫∂∂-+-=⎬∂∂∂∂⎭⎪⎪⎩⎭高斯轨迹方程：轴对称场的近轴区有会聚电子的能力，为了简化方程求解，略去场表达式中和轨迹方程中r2项和r’2项及其更次高项，这样简化的方程即是高斯轨迹方程1(,)()(,)()211''()(,)'()22'()(,)()10r r z z r z V z A r z B z r E V z r B r z B z rr E V z B r z B z z E B r θθϕϕϕϕθ==∂=-==-∂∂=-=-=∂∂=-==∂r 2()''''()'()022()4()V z r r r r V z r B z V z V z ηθθ++-+=角向近似后的轨迹方程()'22()B z V z ηθ=角向轨迹eq 代入r 方向轨迹方程得高斯轨迹方程。