分类加法计数原理与分步乘法计数原理(公开课)

讲讲练练
1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日 文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多 少种不同的取法？
9×7＋9×5＋7×5＝143
2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} ．从A,B 中各取1个元 素作为点P(x,y) 的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？
例3：
某班级有男三好学生5人,女三好学生4人
(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同 的选法？
(2) 从中任选男、女三好学生各一人去参 加座谈会,有多少种不同的选法？
例4：某城市电话号码由8位组 成，其中从左边算起的第1位只用 6或8，其余7位可以从前10个自然 数0，1，2，…,9中任意选取，允
（1）从书架上任取一本，有多少种取法？ 分类 10+9+8
（2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？ 分步 10×9×8
3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？分类(按十位分) 8+7+6+5+4+3+2+1
4．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到 5楼共有多少种不同的走法？分步 3×3×3×3
例2：
两个袋子里分别装有40个红球与60个白球， 从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？
解：取一个白球和一个红球可以分成
两步来完成：
Leabharlann Baidu60
第一步从装白球的袋子里取一个白球，
个
有60种
第二步从装红球的袋子里取一个红球，
40 个
有40种
共60*40=2400
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白
球，从中任取一个球，有多少种取法？
解：取一个球的方法可以分成两类：
一类是从装白球的袋子里取一个白球
40 个
有40种取法；
另一类是从装红球的袋子里取一个红球
有60种取法。
60 个
因此取法种数共有 40+60=100（种）
问题2：如图,由A村去B村的道路有3
3×4＋4×3＝24 2×2＋2×2＝8
3．集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射有多
少个？ 3×3×3×3＝81
小结
作业：P12 1,2,3,4
条，由B村去C村的道路有2条。从A村
经B村去C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6
种不同的方法。
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
计数原理
导入新课 实际问题
从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路； 从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路， 问：从甲地到丁地有多少种走法？
甲地
乙地
丙地
丁地
要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理
分类计数原理与分步计数原理．
分类计数原理与分步计数原理
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三
位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每 一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）
1、分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有n类 办法,在第一类办法中有m1种不同的 方法,在第二类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共 有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
许数字重复。试问：该城市最多 可装电话多少？
练习1
1、书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同 的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同
的取法？ 4+3+2=9（种）
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有
多少种不同的取法？4 ×3 ×2=24（种）
点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编 号.
1
A1
1
2
A2
2
3
A3
3
4
A4
4
A
5
A5 9种
B
5 9种
6
A6
6
7
A7
7
8
A8
8
9
A9
9
6 × 9 =54
2、分步计数原理 （乘法原理）
做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
从甲地到乙 地有3条路， 从乙地到丁地 有2条路；从 甲地到丙地有 3条路，从丙 地到丁地有4 条路，问：从 甲地到丁地有 多少种走法？
实际问题
甲
乙
丙
丁
练习 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1
A1 D
A
C1
B1 C
B
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1
A
m2
B
……
mn
乘法原理看成“串联电路”
A m1
B m2 …... mn
判断下列用分类 还是分步原理，并说出式子 1、从5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职 方案有多少种？ 分步 5×4
2、三层书架上，上层放着10本不同的语文书，中层 放着9本不同的数学书，下层放着8本不同的英语书，
2、由数字1，2，3，4，5，6 可以组成多少个四位数？（各位 上的数字不重复）
6 ×5 ×4 ×3=360（个）
3、一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字， 这4个拨号盘可以组成多少 个四位数字的号码？
10 ×10 ×10 ×10=10 4
注意
有些较复杂的问题往往不是单纯 的“分类”“分步”可以解决的， 而要将“分类”“分步”结合起来 运用．一般是先“分类”，然后再 在每一类中“分步”， 综合应用分 类计数原理和分步计数原理．请看 下面的例题：