地球物理计算方法 第四章方程求根的迭代法

图4-7 埃特金加速方法计算流程
4.2 迭代过程的加速
4.2.3 一点注记
可以是多样的，例如令
，此时对应的迭代公式是
，一般说此种迭代公式不一定会收敛，或者收敛速度慢。
运用此加速技术，该迭代函数
，此时公式（10）
]
可以化简为：
，
1 是导数
该简化式是牛顿迭代公式的一种简化形式。
的某个估计值。
4.3 牛顿法
4.1.5 迭代过程的收敛性
一种具有实用价值的迭代方法，不但要收敛，还需要较快的收敛速度。所谓迭代过 程的收敛速度，是指在接近收敛时迭代误差的下降速度。
如果迭代误差
∗
当 → ∞时成立
→
（ 0常数）
则称迭代过程是p阶收敛的.特别地，p=1时称线性收敛， p=2时称平方收敛。
对于在根 ∗邻近收敛的迭代公式
在实际应用迭代法时，通常首先在根 ∗的邻近考察。如果存在邻域
:
∗ ，使迭代过程对于任意初值 ∗ 均收敛，则这种在根的邻域所具有的
收敛性被称为局部收敛性。
定理 2. 设(x)在x=(x) 的根 ∗邻域内有连续的一阶导数，且| ′ ∗ | 1成立，则
迭代过程
在 ∗邻域具有局部收敛性。[证明见板书]
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.3 压缩映像原理
定理1. 设(x)在[a, b]上具有连续的1阶导数，且满足下列两项条件， (1) 对于任意x [a, b]，总有(x) [a, b].
(2) 存在0≤L<1,使对于任意x[a,b]都有| ′ | L，
则迭代过程 误差估计式，
对任意初值 ∈ , 均收敛于方程
|∗
|
1 |
|
1
的根 ∗.且有下列 (7)
此时，求方程的根x*只能借助数值方法给出满足一定精度的近似解。 问题2. 115 ? （教材第137页 例6，牛顿法） 迭代法是一种逐次逼近法，它使用一个固定的迭代公式反复修改根的近似 值，使其不断精确化，直至得到满足精度要求的解。 迭代法求根的过程分为两步，第一步先提供根的某个猜测值，即迭代初 值，然后利用迭代公式将其逐步加工成满足精度要求的解。
，由于 ∗
∗
式中 介于 与 ∗之间，故有
→ ′ ∗ ， →∞
这样，若 ′ ∗ 0，则该迭代过程仅为线性收敛. 若 ′ ∗ 行泰勒展开有，
0，将
在 ∗处进
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.5 迭代过程的收敛性
注意到 由上式知，
∗
∗
2
,∗
∗
∗
→
， →∞
这表明， ( ∗) 0, ( ∗) 0时迭代过程为平方收敛.
第4章 方程求根的迭代法
1 迭代过程的收敛性
迭代法的思想 压缩映像原理 迭代收敛速度
2 迭代过程加速
迭代公式的改进 埃特金（Aitken）加速算法
3 牛顿法及牛顿下山法 4 弦截法 5 例题选讲
数值分析简明教程
引言
问题1. 设多项式函数 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,其中an,an-1,…,a0均为实 数，且an 0.当 n5 时人们已经不能用解析表达式给出方程f(x)=0的解。
此时解得 ∗
̅
其实质是将 与 加权平均得到第k+1次迭代表达式
=̅
总结起来，加工后的计算过程为：
迭代 ̅
改进 = ̅
以上迭代公式可以合并为： 1
例3.[自己阅读并理解]
1
∗
[4.2.9]
[4.2.10]
4.2 迭代过程的加速
4.2.2 埃特金算法
目的：消除求导数的弊端(L的实质是导数值).
设将迭代值 ̅
再迭代一次，又得
̅
由于
∗
∗− ̅
将它与[4.2.9]联立，消去未知的L，则有
∗− ̅
∗−
∗
∗− ̅
由此得
∗
̅
2̅
可以看出以上新改进的公式不再含有导数信息，但需
百度文库
要每次迭代需要计算两次迭代中间值 ̅ 和 。
具体计算公式如下：
迭代 ̅
迭代
̅ 改进
̅ 2̅
4.2.2 埃特金算法
4.2 迭代过程的加速
例4. 见教材
|∗
|
|
|
(8)
1
[证明见板书].
注：根据估计式(7)，只要相邻两次迭代值 ， 的偏差充分小，就能保证
确，因此可用|
| 来控制迭代过程。
足够准
4.1.3 压缩映像原理
4.1 迭代过程的收敛性
例1 求方程的
1 0唯一正根.
[见板书]
是 否
图4-6 迭代法的算法流程
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.4 迭代过程的局部收敛性
以线性迭代函数(x)为例来进行考察。可以看出，图4-2和4-4中迭代收敛，图4-3和45迭代发散。
迭代收敛的充要条件： | | || .
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.3 压缩映像原理 设x*为方程x=(x)的根，则依据微分中值定理有，
x*-xk+1= (x*)- (xk)=’()(x*-xk) 式中 是x*与xk之间的一点。若存在0≤L<1使得对于任意x[a,b]，都有| ’(x)|≤L,则有
y
f(b)
f(x0)
a x1
b1
a1 f(x1) x0
f(a)
x b
数值分析简明教程
4.1 迭代过程的收敛性
f(x)=0的根。
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图4-1 迭代过程的几何图形解释
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.2 线性迭代函数启示 具有收敛性的方法才具有实际应用的价值，那么如何才能保证迭代的收敛性呢？
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引言
以二分法为例
设函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,根据连续函数性质，f(x)在[a,b]内一定有实的零 点，即方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。现假定它在[a,b]内有唯一单实根x*。
二分法实现思路（板书）
二分法的基本思想：逐步将有根区间分半，通过 判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，使其 充分小，从而求出满足精度的根x*的近似值。
定理3. 设 在 φ 的根 ∗邻近有连续的二阶导数，且
| ′ ∗ |<1
则 ’ ∗ 0时迭代过程 =
为线性收敛；而当 ( ∗) 0, ( ∗) 0
为平方收敛.
4.2 迭代过程的加速
4.2.1 迭代公式的加工(加速迭代过程) 设xk是根 ∗的某个近似值，用迭代公式校正一次得到 = 假设 在所考察的范围内改变不大，其估值为 ，则有 ∗- ̅
|x*-xk+1|≤L|x*-xk| 据此反复递推，对于迭代误差ek=|x*-xk|则有： ek ≤Lke0 由于0≤L<1，因而ek0(k ∞),即迭代收敛.
需要指出的是上述推导过程，应该保证一切迭代值xk全部落在区间[a,b]内，为此要 求对于任意x[a,b]总有(x) [a,b].
4.1 迭代过程的收敛性