固体物理答案第四章
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0. 0 17 1 0 J 7 6 7 .1 6-0 1 J 9 4.75eV
4.4 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
c 2. 2 0. 3 8 毫 5T 摩 7开 焦 T尔
若一个摩尔的钾有 N61023个电子，试求钾的费米温度
T F 和德拜温度 Θ D。
解： 低温下，金属摩尔热容量为 C V eC V eC V ανT b3 T
粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密 度的表示式。
解：电子在方匣中运动，设其势函数V(x)0，则薛定谔方程
可写为
282mE0
(1)
h2
令 8h 2 2 m E 2k242(kx 2ky 2kz 2)
(2)
x,y,zx yz
(3)
代入(1)式可得
d2x
dx2
2kx2x
0
d2y
可得
θ D 15π 2 4 b 1 R 3 15 2 8 2.. 3 1 5 J m 1 3 0 7 Jm 4 k o 3 4 k o 4 l.4 1 1 l13 4 91 k .1
4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面
Ek 22m k1212 m k2222 m k3232
第四章 金属自由电子论
4.1 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量
Ekx,ky 2 2m kx 2ky 2
（1）求能量E到E+dE之间的状态数；
（2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。
解：（1）由周期性边界条件得
kx
2π nx L
ky
2π ny L
沿
kx
,ky
轴相邻两代表点的间距为
乘上状态的密度 V （V为晶体体积）。得椭球内所含状态数 4π 3
为 Z E3π V 2 381 m m 2m 312E32
因为能量 E~EdE之间的状态数即是 k 空间中半径在
k~kdk之间球壳体积的1/8内所包含的状态数，这样，如计
入自旋，E~EdE之间的状态数
dZ 28V14k2dk8k2Vdk
8
从(2)式知道， E h 2 k 2 2m
于是， dZ4V2m h3 3/2E1/2dE
状态密度为 g(E )d dE Z 4V2m h3 2/3E 1/2
(6)
另一方面，若应用周期性边界条件
x y
x y
L L
x y
x y
z
z
L
z
z
则从(3)(4)两式可得行波解
Ai2 e kxxkyykzz
波矢各分量分别为
kx
nLx,ky
nLy,kz
nz L
(7)
nx ,ny ,nz 取正负整数，电子的能量仍然表示为
Eh 2 2m k22 h m 2(kx 2ky 2kz2)
2π L
。
因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k~kdk面积元
dkdkxdky中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz2 L2dk2 L22πkdk
2π
2π
又
2k 2 E
2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
从(7)式知道，在 k 空间中，每个状态代表点所占体积为
111 1 LLL V
因而 k空间中的状态密度为V，计入自旋，E~EdE之间的
状态数为
dZ4V2m3/2E1/2dE
h3
故状态密度
g(E )d dE Z 4V2m h3 3/2E 1/2
(8)
对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求 出的状态密度表示式是一样的。
4.3 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对 零度时锂的电子气的费米能量 E F(以电子伏特表示）。
解：
EF0
2 3nπ2 2m
23
体心立方
n
2 a3
又 1. 0 1 6 3 0J 4S m9.11031kg
a3.51 010 m 所以
E F 012 . 9 1 0 .3 1 0 6 1 2 4 J 3 0 2 k 1 S 2 g 3 3 .1 5 2 1 03 0 m 3 3.2 1 234
求能量E~EdE 之间的状态数。
解： 因为
Ek 22m k1212 m k2222 m k3232
能量为E的等能面的方程式可写为
k12 k22 k32 1 2m1E 2m2E 2m3E
2
2
2
椭球的体积为
4 3 π 2 2 1 E m 1 2 2 2 2 E m 1 2 2 2 3 E m 1 2 4 3 π 81 m m 2 m 3 3 1 2 E 3 2
因
ν
b
Zπ 2 R
2T
0 F
12 R π 4
5
θ
3 D
RN 0kB8.3J 1m 44 o k1 l Z1
所以
π2 12
R R
2T π4
பைடு நூலகம்
0 F
2.08
5
θ
3 D
2.57
T F 0 π 2 2 ν R 32 . 2 1 8 24 .m .3 0 1 m 1 3 m 8 J 0 k 4 2 m oJ 4 k l o 1 1l .1 9 4 k 0 7
4π
L2
2π
m2 dEL π2m 2 dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN fEdz
在绝对零度时
fE01
EEF EEF
N EF 0 0
L π2 m 2dEL π2 m 2 EF 0
则
EF 0 πL 22m Nπm 2n4h π2m N2L
4.2 设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由
式中波矢的各分量分别为
kx
2 nL x,ky
2 nL y ,kz
nz 2L
(5)
这里 nx ,ny ,nz 为任意正整数，因而 kx ,ky ,kz 也只取正值。
由(5)式得知，k间中一个状态代表点所占体积为 111 1 2L 2L 2L 8V
V L3 代表金属体体积。
由上式知道，k 空间中的状态密度等于8V。
dy2
2ky
2y
0
(4)
d2z
dz2
2kz
2z
0
应用驻波边界条件：
( 0 , y , z ) ( x , 0 , z ) x , y , 0 0
( L , y , z ) ( x , L , z ) x , y , L 0
可得驻波解为
A s2 i k x x n ) s2 i k ( y y n s 2 i k z z n
4.4 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
c 2. 2 0. 3 8 毫 5T 摩 7开 焦 T尔
若一个摩尔的钾有 N61023个电子，试求钾的费米温度
T F 和德拜温度 Θ D。
解： 低温下，金属摩尔热容量为 C V eC V eC V ανT b3 T
粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密 度的表示式。
解：电子在方匣中运动，设其势函数V(x)0，则薛定谔方程
可写为
282mE0
(1)
h2
令 8h 2 2 m E 2k242(kx 2ky 2kz 2)
(2)
x,y,zx yz
(3)
代入(1)式可得
d2x
dx2
2kx2x
0
d2y
可得
θ D 15π 2 4 b 1 R 3 15 2 8 2.. 3 1 5 J m 1 3 0 7 Jm 4 k o 3 4 k o 4 l.4 1 1 l13 4 91 k .1
4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面
Ek 22m k1212 m k2222 m k3232
第四章 金属自由电子论
4.1 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量
Ekx,ky 2 2m kx 2ky 2
（1）求能量E到E+dE之间的状态数；
（2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。
解：（1）由周期性边界条件得
kx
2π nx L
ky
2π ny L
沿
kx
,ky
轴相邻两代表点的间距为
乘上状态的密度 V （V为晶体体积）。得椭球内所含状态数 4π 3
为 Z E3π V 2 381 m m 2m 312E32
因为能量 E~EdE之间的状态数即是 k 空间中半径在
k~kdk之间球壳体积的1/8内所包含的状态数，这样，如计
入自旋，E~EdE之间的状态数
dZ 28V14k2dk8k2Vdk
8
从(2)式知道， E h 2 k 2 2m
于是， dZ4V2m h3 3/2E1/2dE
状态密度为 g(E )d dE Z 4V2m h3 2/3E 1/2
(6)
另一方面，若应用周期性边界条件
x y
x y
L L
x y
x y
z
z
L
z
z
则从(3)(4)两式可得行波解
Ai2 e kxxkyykzz
波矢各分量分别为
kx
nLx,ky
nLy,kz
nz L
(7)
nx ,ny ,nz 取正负整数，电子的能量仍然表示为
Eh 2 2m k22 h m 2(kx 2ky 2kz2)
2π L
。
因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k~kdk面积元
dkdkxdky中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz2 L2dk2 L22πkdk
2π
2π
又
2k 2 E
2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
从(7)式知道，在 k 空间中，每个状态代表点所占体积为
111 1 LLL V
因而 k空间中的状态密度为V，计入自旋，E~EdE之间的
状态数为
dZ4V2m3/2E1/2dE
h3
故状态密度
g(E )d dE Z 4V2m h3 3/2E 1/2
(8)
对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求 出的状态密度表示式是一样的。
4.3 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对 零度时锂的电子气的费米能量 E F(以电子伏特表示）。
解：
EF0
2 3nπ2 2m
23
体心立方
n
2 a3
又 1. 0 1 6 3 0J 4S m9.11031kg
a3.51 010 m 所以
E F 012 . 9 1 0 .3 1 0 6 1 2 4 J 3 0 2 k 1 S 2 g 3 3 .1 5 2 1 03 0 m 3 3.2 1 234
求能量E~EdE 之间的状态数。
解： 因为
Ek 22m k1212 m k2222 m k3232
能量为E的等能面的方程式可写为
k12 k22 k32 1 2m1E 2m2E 2m3E
2
2
2
椭球的体积为
4 3 π 2 2 1 E m 1 2 2 2 2 E m 1 2 2 2 3 E m 1 2 4 3 π 81 m m 2 m 3 3 1 2 E 3 2
因
ν
b
Zπ 2 R
2T
0 F
12 R π 4
5
θ
3 D
RN 0kB8.3J 1m 44 o k1 l Z1
所以
π2 12
R R
2T π4
பைடு நூலகம்
0 F
2.08
5
θ
3 D
2.57
T F 0 π 2 2 ν R 32 . 2 1 8 24 .m .3 0 1 m 1 3 m 8 J 0 k 4 2 m oJ 4 k l o 1 1l .1 9 4 k 0 7
4π
L2
2π
m2 dEL π2m 2 dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN fEdz
在绝对零度时
fE01
EEF EEF
N EF 0 0
L π2 m 2dEL π2 m 2 EF 0
则
EF 0 πL 22m Nπm 2n4h π2m N2L
4.2 设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由
式中波矢的各分量分别为
kx
2 nL x,ky
2 nL y ,kz
nz 2L
(5)
这里 nx ,ny ,nz 为任意正整数，因而 kx ,ky ,kz 也只取正值。
由(5)式得知，k间中一个状态代表点所占体积为 111 1 2L 2L 2L 8V
V L3 代表金属体体积。
由上式知道，k 空间中的状态密度等于8V。
dy2
2ky
2y
0
(4)
d2z
dz2
2kz
2z
0
应用驻波边界条件：
( 0 , y , z ) ( x , 0 , z ) x , y , 0 0
( L , y , z ) ( x , L , z ) x , y , L 0
可得驻波解为
A s2 i k x x n ) s2 i k ( y y n s 2 i k z z n