实验数据处理方法

第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 1) 构造概率密度函数； 2) 构造似然函数； 3) 求似然函数的极大值。
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 （一）构造概率密度函数 物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数 实验的条件：分辨率、探测效率
J X K K
在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用BreitWigner公式描述：
BW m m0 i 2
：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量 （1）如果较小
2 BW (m m0 ) 2 2 4
实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响， ~ ，故 必须对理论公式进行修正
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
设对某物理系统进行了n次测量，x1、x2、…xn
ln L ( x | ) ln f ( xi | )
i 1 n
根据需要可对 L ( x | ) 进行变化： 1. 广义似然函数（Generalized Likelihood Function） 总事例数n也是随机变量，服从平均值为υ的泊松分布：


L( x | ) d x 1
(二) 最大似然原理
ˆ 应满足如下的条件： 未知参数的最佳估计值 ˆ 位于的允许取值范围； i. ˆ使L取极大值： ii. 对于给定的一组测量值，
ˆ) L( x | ) L( x |
7.1 最大似然原理 (三)估计值 ˆ的求法 似然方程： 极大值条件：
ML方法中所需的p.d.f
例：不变质量谱分析：e+e-J/K+K• 通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量 分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程 中产生的共振态的信息； • 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 1. 信号事例：
优点：n对θ增加了附加的限制 条件：ν必须能够精确确定
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 2. 数据分类情况下的似然函数
对实验数据进行分间隔处理，（如作成直方图）然后用ML方法对分类
后的数据进行处理。 优点：减小了数据量，使得对 L 的计算速度加快 缺点：由于将原 L 简化为少量的几个“平均”pdf的乘积，使得 参数估计的精度下降。 设将x的变化范围分成了N个间隔
2
ln f ( x , ) 0
i 1 i
n
(x | ) 极大值条件： lnL
2
0ˆ 如果有源自个位置参数， = {1, 2, …, k}
k阶似然方程
ln L( x | ) j j
ln f ( x , ) 0
i 1 i
n
3. 无偏性（unbiassedness）
ˆ) E( 在某些特殊情况下，ML估计式是无偏的，即 ˆ) ,但其偏差 o( 1 ) E( 在一般条件下，ML估计式不满足无偏性：
故当样本容量 n 时，ML估计式总是无偏的。
n
7.3 ML估计式的特性
4. 充分性（sufficiency） 如果θ的充分估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。
BW BW (m) R(m, m)dm
2 2
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 其中： (m)：效率函数，因(m)随m的变化较小，故(m)~常数 R(m,m´)：分辨率函数，真值为m时，获得测量值m´的概率
R(m, m) 1 2 2 exp[ 1 2 (m m ) ] 2
L =0 G (t | ) =0
5. 有效性（Efficiency） 如果θ的有效估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。 ln L 0 = A( )[t b( )] 充分必要条件 6. 渐近正态性（Asympototic normality） 在样本容量很大时，θ的ML估计值满足渐近正态分布，其平均值 为θ的真值θ0，方差为最小方差限（MVB）。
ni pi
：第i个间隔内的事例数
n
i 1
N
i
n
：某事例落入第i个间隔的概率
N个事例分布于N个间隔内，每个间隔内的事例数为n1、n2、…nN
的概率满足多项式分布：
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
L (n1 , n2
nN | ) n!
i 1 xi n
1 ni Pi ni
Pi Pi ( )
1 f back (m, ) ~ f ps (m, ) mmax mmin Nb i 1 b P ( x ) i i 1
fps(m,)：相空间函数 Pi(x)：i阶Legendre多项式
x 1 m mmin mmax mmin
bi：未知参数
7.3 ML估计式的特性
1. 参数变换不变性 ( ) 是θ的函数。如果用 ( ) 作为 设 ˆ 是参数的ML估计值， 参量来求LF的极大值，则所得θ的估计值亦为ˆ L L | ˆ 0 | ˆ L L | ˆ 0 | ˆ ( ) 如果 | ˆ 0 ，则有 ˆ) ˆ( ) ( 2. 一致性（consistency） 在一般条件下，ML估计值满足一致性条件，即 ˆ ，当 n 时。
n
j 1,2,, k
估计值： ˆ {ˆ ,ˆ ,,ˆ }
1 2 k
7.1 最大似然原理 极大值条件：二次矩阵U (ˆ) 是负定的(Negative definite)
2 ln L( x | ) ˆ U ij ( ) | ˆ i j
实验数据处理方法
：质量分辨率 因此，窄共振峰的p.d.f为

BW R(m, m)dm
2
2
1 Re(w( z )) 2
w( z ) e z erfc(iz ) z m m0 i 2 2 2
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 （1）如果较大，宽共振峰 因为>> ，所以R(m,m´)~ (m-m´) 如果在衰变过程中存在着多个宽共振，则可能存在仙湖干涉 的现象，设有Namp个相干的共振峰，则描述这些共振峰的 p.d.f为
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
如果衰变过程中：NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰，则m的pdf
f (m | ) m
k 1 N bw
1 2 m
k 1
Re(W ( z )) / C BW
2
BW1
N BW k 1
N amp

k 2
k 1 e i BWk
i=1 i=1
ti
n
1
ti
2
)0

1 n ˆ t i t n i 1 ln L n | ) 0 ˆ 2 2 ˆ

当 ˆ 时，LF取极大值。
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第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.3 ML估计式的特性
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
τ：粒子的平均寿命，为未知参数。K0的飞行时间ti
L L E c pc L：飞行距离，p：动量，E：能量，c：光速 ti
对于n个观测事例：
L (t | ) e t i 1
ln L =
n
n
1
i

( ln ) (
L ( x | ) f ( xi | ),
C amp
(1 k ) f back C back
其中：CBW、Camp、Cback为归一化常数，保证 f (m | )dm 1
k

：第k个窄共振峰事例数/总事例数 ：Namp个相干共振峰事例数/总事例数
BES分析软件BWFIT程序中使用的p.d.f
（二）构造似然函数
nN | ) nN | )
(2) 如果在某一间隔内的变化不是很大，则用 L (n1, n2
得到的θ的精度是可接受的
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 （三）求似然函数的极大值
1. 求解似然方程：
ln L = i i
ln f ( x
n
j
| ) 0,
i 1, 2


L ( x | ) G (t | ) H ( x )
充分必要条件 即θ只依赖于t
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第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.4 ML估计式的方差
7.4 ML估计式的方差
对ML估计值的误差的估计依赖于p.d.f的性质和样本的大小，不同 的方法适用于不同的样本；大样本公式，小样本公式。 统计误差：如果p.d.f是纯理论公式，即没有对实验条件进行修正， 则由ML得到的误差为统计误差。 否则：误差 统计误差＋实验误差 （一）方差估计的一般方法（适合于任何容量的样本） LF :
L( x | ) n f ( xi , ) 0 i 1
2 L( x | ) 0 2 ˆ
因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点， 所以，LlnL， 求和运算比乘积运算容易处理
似然方程：
ln L( x | )
~ BW1 k 1 e
k 2 N amp 2 k 1
BWk
BWk
k m m0 k i 2
k-1：相位差 k-1：第k个相干的共振峰事例数/第一个相干的共振峰的 事例数
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤 2. 本底事例：相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等