第4章 t检验和Z检验

已知总体均数μ 0一般为标准值、理论值或经大量 观察得到的较稳定的指标值。 应用条件——总体标准未知的小样本资料( 如 n<50),且服从正态分布。
单个样本 t 检验原理
在 H0 : = 0的假定下， 可以认为样本是从已知总 体中抽取的，根据t分布 的原理，单个样本t检验 的公式为：
配对样本t检验的基本原理是假设两种处理的效应 相同，理论上差值d的总体均数μd 为0，现有的 不等于0差值样本均数可以来自μd = 0的总体,也 可以来μd ≠ 0的总体。
配对t检验原理
可将该检验理解为差值样本均数与已知总体均数 μ d（μ d = 0）比较的单样本t检验.其检验统计 量为：
建立检验假设，确定检验水准

H0：1=2 H1：12
0.05。
计算检验统计量
由原始数据算得:n1=12，X1=182.5，X12=2953.43，n2=13，X2=141.0， X22=1743.16， X 1 =ΣX1/n1=182.5/12=15.21， X 2 =ΣX2/n2=14.16/13=10.85
=n1+n2-2 =12+13-2=23； 查t界值表，t0.05/2,23=2.069. 由于 t t0.05/2,23，
P 0.05，
按0.05的水准，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。
故可认为该地两种疗法治疗糖尿病患者二个月后测得的 空腹血糖值的均数不同。
几何均数资料 t 检验，服从对数正态分布，先作对数变换， 再作 t 检验。
药物治疗
1
？ ＝
推 断
药物治疗合 并饮食疗法
2
甲组 n1=12 X 1 =15.21
乙组
X

n2=13
X 2=10.85
t 检验——问题提出
根据研究设计,t检验有三种形式：
单个样本的t检验
配对样本均数t检验(非独立两样本均数t
检验)
两个独立样本均数t检验
第一节
单个样本t检验
又称单样本均数t检验(one sample t test),适 用于样本均数与已知总体均数μ 0的比较,目的是 检验样本均数所代表的总体均数μ 是否与已知总 体均数μ 0有差别。
2 S12 / n1 S2 / n2
Z 检验——实例分析
例5-4
研究正常人与高血压患者胆固醇含量(mg%)的资 料如下,试比较两组血清胆固醇含量有无差别。 正常人组 n 506, X 1 180.6, S 34.2 1 1 高血压组
n2 142, X 2 223.6, S2 45.8
未知总体 已知总体

0
样本
X
自由度＝n-1
例5.1 ：
以往通过大规模调查已知某地新生儿出生 体重为3.30kg。从该地难产儿中随机抽取 35名新生儿,平均出生体重为3.42kg,标准 差为0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与 一般新生儿体重不同?
1. 建立检验假设，确定检验水准 H0：0; H1：0; 0.05。 2. 计算检验统计量
接受H1，可认为两总体方差不等； 若F＜F0.05(ν
１,ν 2），P＞0.05，两总体方差相等。
第五节
Z 检验
根据数理统计的中心极限定理,不论变量X的分布是否 服从正态分布,当随机抽样的样本例数足够大,样本均 数服从正态分布 N (, 2 ) 其中为原来的总体均数, 为总体标准差 为标准误 X
第二节 配对样本均数t检验
简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样
本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比 较。 配对设计(paired design)是将受试对象按某些特 征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机 地给予两种处理。
配对设计概述
应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理 因素，提高统计处理的效率。 配对设计主要有三种情况：
X
X / n
Z X X / n
标准正态变量为
X
Z 检验原理
当总体标准差已知,或样本量较大(如n>50)时
样本均数与总体均数比较、配对设计样本均数比 较和两独立样本均数比较的假设检验,可以计算 检验统计量Z值 标准正态变量Z的界值双侧时
Z0.05/2 1.96, Z0.01/2 2.58
即H0：μ 1=μ 2，也可表述为μ 1－μ 2=0,这里可将 两样本均数的差值看成一个变量样本,则在H0条件 下两独立样本均数t检验可视为样本与已知总体 均数μ 1－μ 2=0的单样本t检验, 统计量计算公式
为：
| ( X1 X 2 ) ( 1 2 0) | | X1 X 2 | t , n1 n2 2 S X1 X 2 S X1 X 2
P < 0.05，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可
认为两种方法皮肤浸润反应结果有差别。
第三节 两独立样本t检验
两独立样本t 检验(two independent sample
t-test)，又称成组 t 检验。
适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目 的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中， 每组患者分别接受不同的处理，分析比较处理的 效应。
X 0 X 0 3.42 3.30 t 1.77 S SX 0.40 / 35 n
3. 确定P值，做出推断结论 本例自由度n-135-134，查附表2，得t0.05/2,34=2.032。 因为t t0.05/2,34，故P0.05，按 0.05水准，不拒绝H0， 差别无统计学意义，尚不能认为该地难产儿与一般新生儿 平均出生体重不同。
单侧时 Z0.05 1.64, Z0.01 2.33
Z 检验原理
成组设计的两样本均数比较的统计量Z值计
算中,两均数差的标准误为
S X 1 X 2 S12 / n1 S22 / n2
统计量Z值的计算公式为
X1 X 2 Z S X1 X 2 X1 X 2
第四章 t检验和Z检验
第一节
t检验
以 t分布为基础的检验为t检验。 在医学统计学中，t检验是非常活跃的 一类假设检验方法。 医疗卫生实践中最常见的是计量资料两 组比较的问题
25例糖尿病患者 随机分成两组， 总体 甲组单纯用药物 治疗，乙组采用 药物治疗合并饮 食疗法，二个月 后测空腹血糖 (mmol/L) 问两种 样本 疗法治疗后患者 血糖值是否相同？
Sc
2
(n1 1)S1 (n2 1)S 2 n1 n2 2
2
2
实例分析
例5.3
25例糖尿病患者随机分成两组，甲组单纯用药物
治疗，乙组采用药物治疗合并饮食疗法，二个月
后测空腹血糖(mmol/L)如表5-2 所示，问两种疗 法治疗后患者血糖值是否相同？
表 5-2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（1）将受试对象按某些混杂因素（如性别、年龄、窝别 等）配成对子，每对中的两个个体随机分配给两种处理 （如处理组与对照组）； （2）同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分别进 行不同处理（或测量）。
（3）同一受试对象自身前后对照。
配对t检验原理
配对设计的资料具有对子内数据一一对应的特征, 研究者应关心是对子的效应差值而不是各自的效 应值。 进行配对t检验时，首选应计算各对数据间的差值 d，将d作为变量计算均数。
代入公式，得:
2 182.5 2953 .43 2 141.0 1743 .16
SC
wk.baidu.com
2
12 12 13 2
13
17.03
S X1 X 2
1 1 17.03 1.652 12 13
15.21 10.85 t 2.639 1.652
其中
S X1 X 2 1 1 SC n n 2 1
2
SC
2
X1
2
X X n
2 1 1
2 2
X
2
2
n2
n1 n2 2
两独立样本t检验原理
Sc2称为合并方差(combined/pooled variance), 当两样本标准差S1和S2已知时, 合并方差Sc2为:
两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正
态分布N(μ 1，σ
差σ
1 2、σ 2
1
2) 和N ( μ
2，σ
2
2)，且两总体方
2相等,即方差齐性。
若两总体方差不等,即方差不齐，可采用t’检验,
或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。
两独立样本t检验原理
两独立样本t检验的检验假设是两总体均数相等,
d d d 0 d t Sd Sd Sd
n
实例分析
例5.2 有12名接种卡介苗的儿童，8周后用两批不 同的结核菌素，一批是标准结核菌素，一 批是新制结核菌素，分别注射在儿童的前 臂，两种结核菌素的皮肤浸润反应平均直 径(mm)如表5-1所示，问两种结核菌素的反 应性有无差别。
t 检验应用条件
两组计量资料小样本比较； 样本对总体有较好代表性，对比组间有较好组间均衡 性——随机抽样和随机分组；
样本来自正态分布总体，配对t检验要求差值服从正态分
布，大样本时，用u检验，且正态性要求可以放宽； 两独立样本均数t检验要求方差齐性——两组总体方差相 等或两样本方差间无显著性。
25 名糖尿病患者两种疗法治疗后二个月血糖值(mmol/L) 甲组血糖值(X2) 8.4 10.5 12.0 12.0 13.9 15.3 16.7 18.0 18.7 20.7 21.1 15.2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 乙组血糖值(X2) 5.4 6.4 6.4 7.5 7.6 8.1 11.6 12.0 13.4 13.5 14.8 15.6 18.7
表 5-1
12 名儿童分别用两种结核菌素的皮肤浸润反应结果(mm) 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 标准品 12.0 14.5 15.5 12.0 13.0 12.0 10.5 7.5 9.0 15.0 13.0 10.5 新制品 10.0 10.0 12.5 13.0 10.0 5.5 8.5 6.5 5.5 8.0 6.5 9.5 差值 d 2.0 4.5 3.0 -1.0 3.0 6.5 2.0 1.0 3.5 7.0 6.5 1.0 39(d) d2 4.00 20.25 9.00 1.00 9.00 42.25 4.00 1.00 12.25 49.20 42.25 1.00 195(d2)

S
2 为较大的样本方差， 2 为较小的样本方差； 2 1
S
检验统计量F值为两个样本方差之比，若样本方差的不同
仅为抽样误差的影响，F值一般不会偏离1太远。 求得F值后，查附表3（方差齐性检验用的F界值表）得P值。
取α =0.05水准，若F≥F0.05(ν １,ν 2)，P≤0.05,拒绝H0，
第四节 方差不齐时两样本均数检验
当两总体方差不等(方差不齐)时，两独立样本均数的比 较，可采用
t 检验,亦称近似t检验
方差齐性检验——F检验
F检验要求资料服从正态分布
检验统计量F值按下列公式计算
F
S1 (较大) S 2 (较小)
2
2
ν１＝n１-1， ν2= n２-1
方差齐性检验
2.4909 Sd 0.7191 n 3.464
Sd
按公式计算，得：
d 3.25 t 4.5195 S d 0.7191
3.确定 P 值，作出推断结论
自由度计算为 ν =n-1=n-1=12-1=11，
查附表2，得t0.05/2,11 = 2.201，
本例t > t0.05/2,11，
1.建立检验假设，确定检验水准 H0：d=0; H1：d0; 0.05。 2. 计算检验统计量本例 d = 39， d 2 195。
先计算差数的标准差
Sd
计算差值的标准误
d d n
2
2
n 1

2 39 195
12 2.4909 12 1