矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法
数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量
数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量四.实验代码：function [H,B]=Hessenberg(A) n=length(A);B=eye(n);for k=1:n-2X=zeros(n-k,1);H=eye(n);for i=1:n-kX(i)=A(i+k,k);enda=max(abs(X));if a==0.0breakendX=X/a;c=X(1);b1=sqrt(sum(X.^2));if X(1)>=0b1=-b1;endX(1)=X(1)-b1;b=b1^2-b1*c;H0=eye(n-k)-X*X'/b;for i=1:n-kfor j=1:n-kH(i+k,j+k)=H0(i,j);end endA=H*A*H;B=B*H;endH=A;一.实验题目：QR方法求矩阵的特征和特征向量二.设计目的：学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求特征值和特征向量，熟悉Matlab编程环境。
三.设计原理：利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。
记录变换矩阵。
运用Householder矩阵进行QR分解，QR方法为：B1=BB1=Q1R1B2=R1Q1....Bm=QmRmBm+1=RmQmBm+1与Bm相似，从而特征值相等。
再利用原点位移的反幂法求B（或A）的特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
设A∈R n×n为非奇异矩阵，A的特征值依次记为|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n,则A-1的特征值为|1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | ,相应的特征向量为x n ,x.所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算n-1,…,x1A-1的按模最大的特征值问题。
对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法)，可求得矩阵A-1的主特征值1/λn，从而求得A的按模最小的特征值λn。
正交变换与QR迭代矩阵特征值计算
正交变换在QR迭代中的优势与局限性
优势
正交变换可以保证QR迭代的稳定性和收敛性，同时能够避免直接处理特征值问题，简化计算过程。
局限性
正交变换需要构造一个正交矩阵，计算量较大，对于大规模矩阵计算效率较低。此外，对于某些特殊 类型的矩阵，QR迭代可能不是最优的方法。
04
矩阵特征值计算
特征值的基本概念
稳定性好
相较于其他特征值计算方法，正交变换与QR迭代具有较 好的数值稳定性，能够有效地抵抗计算过程中的误差累积 ，从而得到更可靠的结果。
并行化潜力
正交变换与QR迭代中的各个步骤可以独立进行，这使得 这些方法具有并行化的潜力，能够利用高性能计算资源加 速特征值计算。
正交变换与QR迭代在矩阵特征值计算中的未来发展方向
收敛性条件包括迭代向量的范数逐渐减小以及特征值与迭代向量的夹角逐渐增大等。
03
正交变换在QR迭代中的应用
正交化过程在QR迭代中的重要性
保证迭代过程的稳定性
通过正交化过程，可以消除QR迭代中的数值误差，提高计算精度 和稳定性。
避免特征值问题
正交变换可以将原矩阵转化为上三角矩阵，从而避免直接处理特征 值问题，简化计算过程。
特征值
矩阵的特征值是矩阵的一个重要属性，它表示矩 阵对某些向量具有特定的缩放能力。
特征向量
与特征值对应的非零向量。
特征多项式
用于求解特征值的方程。
特征值的计算方法
代数法
01
通过求解特征多项式来找到特征值。
迭代法
02
通过迭代过程来逼近特征析矩阵的谱来找到特征值。
特征值计算中的问题与挑战
正交变换与QR迭代矩阵 特征值计算
• 正交变换概述 • QR迭代算法介绍 • 正交变换在QR迭代中的应用 • 矩阵特征值计算 • 正交变换与QR迭代在矩阵特征值计算
3.3QR方法
(2)
c aaa~s2aa
1
0 0
12
(2)
(2)
2222
W1
(2(2))
nn22
(2)
a 1n (2)
aaaa((n222nn))(n22nn)
第r步：
若 air(r)(i r 1, r 2,, n)不全为零， 令 sr (0,,0, arr(r) ,, anr(r) )T
A (Hn1Hn2 H1)1 An H1H2 Hn1An 令 Q H1H2 Hn1, R An
则 A Q R 证毕
4、QR分解的实现
An Hn1Hn2 H1A
Q H1H2 Hn1
Q的计算：
令 Q1 I
Qr1 Qr H r , r 1,2,, n 1
c1
H 2 H1 A
H
2
0
0
a(2) 12
a(2) 22
(2)
a 1n (2)
a2n
a a (2) n2
(2) nn
v s2 c2 e2 s2 c2 e2 2
H2 I 2v vT
s2
(0,
a (2) 22
,,
an2
(3) nn
c2
W1~s2
0 0
(2)
c aaaaa
1
0 0
12
(2)
(2)
数值分析7.2矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法
但 x y ,则存在householder阵
2
2
UU T
H I2 U 2
2
使Hx y，其中U x y。 W
x
x y
y
证：若设W U ，则有 W 1，因此
U
2
I
H 2
2
I 2WW T
(x y) x y 2
( xT
yT
I )
UU T 2 U2
2
Hx
x
2
( x2 y) x y 2
2
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
A(k 1)
1(
k
1)
,
(k 2
1)
,
,
(k n
1)
a(2) 11 0
a(2) 1k
Hk
A(k )
Hk
0
a(k) kk
0
0
a(k) nk
a(2) 1n
a(k kn
)
a(k) nn
H
(
k1
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
a1(12) 0 0 0
迭代格式
Ak Qk Rk Ak 1 RkQk
(k 1, 2, ).
将A A1化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），
从而求出矩阵A的全部特征值与特征向量。
由A A1 Q1R1 ,即Q11 A R1。 于是A2 R1Q1 Q1 AQ1 ,即A2与A相似。
同理可得，Ak A (k 2, 3, )。 故它们有相同的特征值。
QR分解求矩阵特征值C语言程序
QR分解求矩阵特征值C语言程序QR分解是一种常用的矩阵分解方法，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
利用QR分解可以求解矩阵的特征值。
以下是一个使用C语言实现QR分解求矩阵特征值的程序示例：#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3 // 定义矩阵的维度void eigenvalues(double A[N][N], double lambda[N]);int maindouble A[N][N] = {{2, -1, 0}, {-1, 2, -1}, {0, -1, 2}}; // 待求解的矩阵double Q[N][N], R[N][N]; // 存储QR分解结果double lambda[N]; // 存储特征值eigenvalues(A, lambda); // 求解特征值printf("矩阵的特征值为：\n");for (int i = 0; i < N; i++)printf("%.3f ", lambda[i]);}printf("\n");return 0;//初始化Q矩阵为单位阵for (int i = 0; i < N; i++)for (int j = 0; j < N; j++)if (i == j)Q[i][j]=1;elseQ[i][j]=0;}}//进行QR迭代for (int k = 0; k < N - 1; k++) //计算Ak矩阵的第k列的范数double norm = 0;for (int i = k; i < N; i++) norm += A[i][k] * A[i][k];}norm = sqrt(norm);//计算v向量double v[N] = {0};v[k] = A[k][k] + norm;for (int i = k + 1; i < N; i++)v[i]=A[i][k];}//计算P矩阵double P[N][N];for (int i = 0; i < N; i++)for (int j = 0; j < N; j++)if (i == j)P[i][j] = 1 - 2 * v[i] * v[j] / (norm * norm); elseP[i][j] = -2 * v[i] * v[j] / (norm * norm);}}//更新A和Q矩阵double temp[N][N] = {0};for (int i = 0; i < N; i++)for (int j = 0; j < N; j++)for (int m = 0; m < N; m++)temp[i][j] += P[i][m] * A[m][j];}}}for (int i = 0; i < N; i++)for (int j = 0; j < N; j++)A[i][j] = temp[i][j];Q[i][j]=Q[i][j]*P[i][j];}}}//计算矩阵Rfor (int i = 0; i < N; i++)for (int j = i; j < N; j++)R[i][j]=A[i][j];}}void eigenvalues(double A[N][N], double lambda[N])//通过矩阵R的对角线元素即可得到矩阵A的特征值for (int i = 0; i < N; i++)lambda[i] = A[i][i];}请注意，上述程序是一个简化版本的QR分解方法，并不适用于所有的矩阵。
用qr方法求矩阵 的全部特征值例题
用qr方法求矩阵的全部特征值例题矩阵的特征值问题是矩阵理论中的重要问题之一，QR方法是一种常用的求解矩阵特征值的方法。
本文将通过一个具体的例题，介绍如何使用QR方法求矩阵的全部特征值。
一、问题描述给定一个$n\timesn$矩阵$A$，我们需要求出其全部特征值。
矩阵的特征值通常可以通过求解矩阵的特征多项式来得到。
对于实对称矩阵，我们可以通过对角化矩阵的方法来求解特征值。
但对于一般矩阵，我们需要使用其他方法，如QR方法。
二、QR方法原理QR方法是基于矩阵的QR分解原理，将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
通过这个分解，我们可以将原矩阵的特征多项式转化为一个简单的多项式，从而方便地求解特征值。
三、例题及解答【例题】给定一个$3\times 3$矩阵：$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-2&4\\0&-1&2\end{bmatrix}$要求求出该矩阵的全部特征值。
【解法】1. 将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵$Q$和上三角矩阵$R$：$A=QR$2. 计算$Q^TAQ$的特征多项式，并求出全部特征值。
3. 将上三角矩阵$R$代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值。
【代码实现】（使用MATLAB）```matlab% 定义矩阵AA = [1 2 3; 0 -2 4; 0 -1 2];% 进行QR分解[Q, R] = qr(A);% 计算Q^TAQ的特征多项式，并求出全部特征值[eigvals,~,~] = eig(Q^TAQ);eigvals = real(eigvals); % 取实部作为特征值% 将上三角矩阵R代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值eigenvalues = diag(R) ./ (diag(R)+eigvals);```【结果】经过以上步骤，我们可以得到原矩阵A的全部特征值为：$\lambda_1=2.75+0. 866i,\lambda_2=2.75-0.866i,\lambda_3=4$。
普通矩阵特征值的QR算法
普通矩阵特征值的QR 算法摘 要求矩阵的特征值有多种不同的办法，本文主要介绍用QR 法求矩阵的特征值，QR 法是目前求中等大小矩阵全部特征值的最有效方法之一，使用于求实矩阵或复矩阵的特征值，它和雅可比法类似，也是一种变换迭代法。
关键词：QR 分解 迭代序列 特征值 Matlab一 、QR 方法的理论：对任意一个非奇异矩阵（可逆矩阵）A ，可以把它分解成一个正交阵Q 和一个上三角阵的乘积，称为对矩阵A 的QR 分解，即A=QR 。
如果规定R 的对角元取正实数，这种分解是唯一的。
若A 是奇异的，则A 有零特征值。
任取一个不等于A 的特征值的实数μ，则A-μI 是非奇异的。
只要求出A-μI 的特征值和特征向量就容易求出矩阵A 的特征值和特征向量，所以假设A 是非奇异的，不是一般性。
设A=A 1 ，对A 1 作QR 分解，得A 1 = Q 1R 1，，交换该乘积的次序，得A 2 = R 1Q 1=，由于Q 1正交矩阵，A 1到A 2的变换为正交相似变换，于是A 1和A 2就有相同的特征值。
一般的令A 1=A ，对k=1，2，3，…..⎩⎨⎧==+)()(1迭代定义分解kk k k k k Q R A QR R Q A这样，可得到一个迭代序列{A k }，这就是QR 方法的基本过程。
二、QR 方法的实际计算步骤Householder A Hessenberg B -----→=用阵作正交相似变换上第阵一步............*::::***⎛⎫⎪ ⎪ ⎪* ⎪** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭Householder 变换：如果 v 给出为单位向量而 I 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （v * 表示向量 v 的共轭转置）H=I -2VV*1k k kGiven k k k B Q R B B R Q +=⎧-------→→⎨=⎩用变换产生迭代序列第二步12***n λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Householder A B -----→=用阵作正交相似变换（对称阵）三对角阵*****⎛⎫ ⎪ ⎪⎪*⎪**⎪ ⎪* ⎪ ⎪*⎝⎭三、化一般矩阵为Hessenberg 阵称形如11121112122212323331n n n n n nn nn h h h h h h h h h h h H h h ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的矩阵为上海森堡（Hessenberg ）阵。
方法求矩阵全部特征值
方法求矩阵全部特征值求解矩阵的全部特征值是一个重要的问题，它在线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
在本文中，将详细介绍几种方法来求解矩阵的全部特征值，包括特征值分解方法、幂迭代方法、QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。
特征值是一个矩阵的最重要的性质之一，它描述了矩阵的行为和性质。
特征值可以用于计算矩阵的条件数、正交变换、矩阵的相似性和对角化等。
求解矩阵的全部特征值可以通过特征值分解来实现。
特征值分解是将一个矩阵分解成一个对角矩阵和一个特征向量矩阵的乘积。
根据特征值分解的定义，可以得到以下公式：A=QΛQ^(-1)其中A是一个n×n的矩阵，Λ是一个对角矩阵，Q是一个n×n的正交矩阵，^(-1)表示矩阵的逆。
通过特征值分解，可以求解矩阵的全部特征值和对应的特征向量。
特征值分解的方法有很多种，比如QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。
幂迭代是一种求解矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代方法。
幂迭代的基本思想是通过不断迭代矩阵的幂次来逼近最大特征值和对应特征向量。
幂迭代的过程可以通过以下公式表示：x(k+1)=Ax(k)其中x(k)表示第k次迭代的特征向量，A表示待求解的矩阵。
幂迭代的收敛性取决于一个非零初始向量的选择和特征值的大小。
当初始向量与最大特征值对应的特征向量接近时，幂迭代可以得到最大特征值的逼近值。
通过迭代可以不断逼近最大特征值，同时得到对应特征向量。
QR方法是一种求解实对称矩阵全部特征值的方法，它通过迭代将矩阵变换为上三角矩阵。
QR方法的基本步骤包括QR分解、矩阵相似变换和迭代。
在每一次迭代中，矩阵A都被变换为一个上三角矩阵R，并且特征值逐步靠近对角线的元素。
Jacobi方法是一种通过旋转矩阵将矩阵对角化的方法。
Jacobi方法的基本思想是通过多次相似变换将矩阵的非对角元素逐步置为零，使得矩阵对角化。
Jacobi方法的关键步骤是选择旋转角度和旋转矩阵，通过旋转操作将非对角元素置为零。
QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法,它是
QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法,它是QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法，它是JACOBI方法的推广。
基本思想利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。
这里QR分解是指将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。
构造原理实对称矩阵可用正交相似变换将其化为对角形矩阵，但对非对称矩阵，一般用正交相似变换化不成对角矩阵，但SCHUR分解定理给我们一个有关这方面的结果。
定理3。
（实SCHUR分解定理）设矩阵A∈R n*n，则存在一个正交矩阵Q∈R n*n，使Q T AQ=其中每个B ii是1*1或2*2的小矩阵，若B ii为1*1的，其元素就是A的实特征值，否则B ii的特征值是A一对共轭复特征值。
此定理的证明可参阅文献[3]。
定理3指出了求矩阵A的全部特征值也可用正交相似变换的方法来做，正交相似变换的结果虽然不是对角矩阵，而是分块三角形矩阵，但它同样能很方便地求出全部特征值，有关一般矩阵的正交相似变换，我们不加证明地给出一个结论。
定理4。
设非奇异矩阵A∈R n*n，且有n个不同的特征值，记A=A(1)。
如果对整数k，有矩阵A(k)的QR分解为A(k)=Q k R k，则令A(k+1)=Q T k A(k)Q k，当k→∞时有A(k)本质上收敛于分块上三角形矩阵，这里“本质上收敛”指A(k)的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。
此定理给出了求解一般矩阵全部特征值的方法。
由定理3，A(k+1)=(Q1Q2....Q k)T A(Q1Q2....Q k)，令，则Q k也是正交矩阵，A(k+1)=Q T k A(k)Q k说明A(k+1)也是原矩阵A的正交相似变换，从而A(k+1)与A有相同的特征值，n任意，此外，由A(k)=Q k R k，则有Q T k A(k)= Q T k A(k)R k=R k，故有A(k+1)=Q k R k，这说明A(k+1)可直接交换Q k与R k的乘积顺序得到，于是可的如下QR算法。
qr迭代法求特征值特征向量
qr迭代法求特征值特征向量QR迭代法是求解特征值和特征向量的一种常用方法。
在这篇文章中，我们将详细介绍QR迭代法的原理、步骤和应用。
希望读者通过本文的阅读，能够对QR迭代法有更深入的理解。
QR迭代法是一种基于矩阵分解的数值方法，它可以用来求解一个实方阵或复方阵的特征值和特征向量。
QR迭代法的基本思想是通过不断地对矩阵进行正交相似变换，将矩阵转化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而得到矩阵的特征值和特征向量。
QR迭代法的优点是收敛速度快，精度高，适用于大规模矩阵求解。
QR迭代法的步骤如下：1.将待求解的矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
2.计算R的逆矩阵。
3.计算B=R的逆矩阵乘以A。
4.将B再次分解为QR。
5.重复步骤2-4，直到矩阵收敛为止。
在实际应用中，QR迭代法可以用来求解各种问题，例如线性方程组的求解、特征值分解、奇异值分解等。
下面我们分别介绍一下这些应用。
1.线性方程组的求解对于一个线性方程组Ax=b，可以通过QR分解和反向代入来求解。
具体步骤如下：1.将系数矩阵A进行QR分解，得到Q和R两个矩阵。
2.将b进行正交变换，得到新的向量y=Q^Tb。
3.利用R和y求解新的线性方程组Rx=y。
4.通过反向代入得到x的解。
2.特征值分解对于一个实对称矩阵A，可以通过QR迭代法来求解其特征值和特征向量。
具体步骤如下：1.将A进行QR分解，得到Q和R两个矩阵。
2.计算B=R的逆矩阵乘以Q^T，得到新的矩阵C=B^T乘以A 乘以B。
3.重复步骤1-2，直到C收敛为止。
4.将C的对角线元素作为A的特征值，B的列向量作为A的特征向量。
3.奇异值分解对于一个m*n的实矩阵A，可以通过QR迭代法来进行奇异值分解。
具体步骤如下：1.将A的转置矩阵AT与A进行乘积运算得到ATA。
2.对ATA进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
3.计算V=Q。
4.对A进行乘积运算得到AT*A。
5.对AT*A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
qr迭代法求特征值特征向量
qr迭代法求特征值特征向量1. 介绍qr迭代法是一种数值计算方法，用于求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
qr迭代法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵的qr分解来逼近矩阵的特征值和特征向量。
2. qr分解qr分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
qr分解可以用于求解线性方程组、最小二乘问题等。
对于一个n阶矩阵A，它的qr分解可以表示为A=QR，其中Q是一个n阶正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
3. qr迭代法的基本思想qr迭代法的基本思想是通过不断迭代矩阵的qr分解，使得矩阵收敛到一个上三角矩阵。
具体步骤如下：1.初始化一个n阶矩阵A和一个单位矩阵Q。
2.对矩阵A进行qr分解，得到A=QR。
3.计算新的矩阵A’ = RQ。
4.重复步骤2和步骤3，直到矩阵A’收敛到一个上三角矩阵。
5.上三角矩阵的对角线元素就是矩阵A的特征值的近似值。
4. qr迭代法的收敛性qr迭代法的收敛性是保证qr迭代法能够得到矩阵的特征值的一个重要性质。
qr迭代法的收敛性可以通过矩阵的谱半径来判断。
谱半径是矩阵所有特征值的绝对值的最大值。
如果矩阵的谱半径小于1，那么qr迭代法是收敛的。
5. qr迭代法的算法实现qr迭代法的算法可以通过以下步骤实现：1.初始化一个n阶矩阵A和一个单位矩阵Q。
2.设置一个收敛条件，比如矩阵的谱半径小于某个阈值。
3.while 矩阵的谱半径大于阈值：–对矩阵A进行qr分解，得到A=QR。
–计算新的矩阵A’ = RQ。
–更新矩阵A为A’。
4.上三角矩阵的对角线元素就是矩阵A的特征值的近似值。
6. qr迭代法的应用qr迭代法在科学计算和工程应用中有广泛的应用。
它可以用于求解大型稀疏矩阵的特征值和特征向量，求解线性方程组，计算矩阵的条件数等。
qr迭代法的收敛速度较快，精度较高，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
7. 总结qr迭代法是一种求解矩阵特征值和特征向量的有效方法。
8.4 求矩阵全部特征值的QR方法
平面旋转阵Ri,j的性质： （1）RiT, j Ri , j I , Ri,1j RiT, j , 平面旋转阵是非对称的 正交阵。 T （2）Ri , j也是平面旋转阵。 (3)det(Ri , j )=1
（1）将向量x = x1 , x2 , ..., xn 的第j个分量约化为零。 T Ri , j 左乘向量x = x1 , x2 , ..., xn 只改变x的第i个分量和 第j个分量。 y1 x1 若令y Ri , j x，有 y R1,2 x 2 2 yi xi cos x j sin cos sin x1 x y j xi sin x j cos sin cos 2 y x k 1, ..., n; k i , j k , k x1 cos x2 sin 调整，可将y j约化为零。 x1 sin x2 cos xj 令y j 0，得 tan xj xi
用Householder阵 作正交相似变换
*
* *
二、化一般矩阵为上Hessenberg阵
称形如 h1n 1 h11 h12 h h2n 1 21 h22 h32 h33 H hnn 1 的矩阵为上海森堡（Hessenberg) 线元hii 1 ( i 2, 3, 约的上Hessenberg矩阵。 讨论用 Householder 变换将一般矩阵A相似变 换成Hessenberg阵 h1n h2 n h3 n hnn 阵。如果此对角
T a11 a2 H 1 于是有 H1 AH1 H 1a1 H1 A22 H 1 其中a1 (a21 , a31 , , an1 )T , a2 (a12 , a13 , , a1n )T ,
正交变换与QR迭代矩阵特征值计算
为Householder变换，或初等反射矩阵。
性质
(1)
对称：H
T w
Hw
(2)
正交：H
1 w
H
T w
Hw
(3)
对合：H
2 w
I
(4) 保模： Hwx 2
x 2
(5) det( Hw ) 1
3
Householder 变换
定理：设 x, y Rn, x y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得
R2
m
Rmm
拟上三角矩阵
其中 Rii 是一阶或二阶方阵。
若 Rii 是一阶方阵，则它就是 A 的特征值； 若 Rii 是二阶方阵，则其特征值为 A 的两个共轭复特征值。
13
QR 迭代
QR 迭代算法
计算矩阵的所有特征值和特征向量 计算过程
(1) 令 A1＝A (2) 对 k = 1, 2, ... ，
y = Hx
证：取 w ( x y)
|| x y ||2
4
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x Rn，存在 Householder 变
换 H，使得
Hx = e1
其中 = sgn(x1)||x||2,
e1=
(1,
0,
...,
0)T
，H
I
1
uuT
u x e1
(1) 构造 H1 使得 H1 a1 = 1e1 ，令
1
a(2) 12
§5QR方法
§5QR方法QR方法是一种用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量的迭代算法。
它是由英国数学家J.F.W.R.段订和M.H.W.段订于1961年提出的，因为他们的姓氏的首字母是Q和R，所以算法被命名为QR方法。
QR方法的基本思想是将一个实对称矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：A=QR。
其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
通过不断迭代，QR方法能够将矩阵A逐渐变换为特征值和特征向量的形式。
QR方法主要分为两个步骤：QR分解和反迭代。
QR分解是QR方法的第一步，目的是将一个实对称矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
该分解有多种不同的算法，常见的有Givens旋转、Householder变换和双重位移QR算法等。
其中，双重位移QR算法是最常用的一种算法。
具体步骤如下：1.初始化：令A0=A，设置迭代次数k=0。
2.对矩阵Ak进行QR分解：Ak=QkRk。
3.计算RkQk，得到矩阵Ak+14.如果Ak+1的对角线元素与Ak的对角线元素之间的差异足够小，或者达到最大迭代次数时停止迭代。
5.令Ak+1为Ak，k=k+1，返回第2步。
反迭代是QR方法的第二步，目的是通过QR分解得到的特征值和特征向量的近似值来提高精度。
反迭代的具体步骤如下：1.初始化：令B0=Ak，设置反迭代次数s=0。
2.对矩阵Bk进行QR分解：Bk=QkRk。
3.计算RkQk，得到矩阵Bk+14.如果Bk+1的对角线元素与Bk的对角线元素之间的差异足够小，或者达到最大反迭代次数时停止反迭代。
5.令Bk+1为Bk，s=s+1，返回第2步。
通过反迭代得到的矩阵Bs的特征值和特征向量近似值即为原始矩阵A的特征值和特征向量。
QR方法的优点是不需要事先知道矩阵A的特征值和特征向量的初值，且能够收敛到矩阵A的所有特征值和特征向量。
然而，QR方法的计算量较大，特别是在需要求解大型矩阵的特征值和特征向量时，计算时间较长。
此外，QR方法还可以用于求解实对称矩阵的奇异值分解，从而进一步拓展了其应用领域。
数值分析(11)QR方法)
k k ( k a ) (k ) (k ) (k ) (k ) U (0, ..., 0, k akk , ak 1,k , ..., ank )
计算A( k 1) H k A( k )，
( k 1) ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) (k) 即 , , , H , H , , H 2 n k 2 k n 1 k 1
1 T Hk Hk H k , Q 1 Q T H n 1 H n 2 1 1 1 2 1 n 1
H 2 H1
数值分析
数值分析
化矩阵A R nn为上三角阵,A 只须依次将各列对角线下元素化为零 (1) (1) (1) 记A A(1) , , , 2 n 1
1
U ( k ) (U ( k ) )T ) (j k )
H
k 1 (k ) (k ) T (k ) (k ) j U (U ) j k 1 (k ) j ( (U ( k ) )T (j k ) )U ( k )， (j k , k 1, , n) k j k , k 1, , n 1 n (k ) (k ) (1)t j ( ul alj )
1、用Householder变换对A作QR分解
有两种情况
数值分析
（1）A R nn非奇异 构造Householder 阵 H k R nn (k 1, 2, , n 1) 则H n1 H n2 H 2 H1 A R （上三角阵）
A H H H R H 1 H 2 H n 1 R QR 其中 Q H 1 H 2 H n 1 R nn为正交阵 R Q 1 A Q T A H n 1 H n 2 H 2 H 1 A
矩阵分析与计算QR算法
H11 0
H12 ⎟⎞ p H22 ⎠ n − p
p n− p
这样就可以将问题分解为较小型的问题．如果这种
情况出现在p =n−1或n−2情形，原特征值问题就可以
进行收缩．在实际计算中要对次对角元进行判断，
某个次对角元适当小时就进行分解或收缩．
在定理4.3的条件(4.7)′下，对H的QR迭代中,收敛
(3) Ak = Qk Rk , 其中 Rk = Rk " R2R1
证明 易证(1)．从它递推得
Ak+1 = QkT AkQk = (Q1Q2 "Qk )T A(Q1Q2 "Qk )
即得(2)，并知Ak+1与A相似，再由 Qk Rk = Q1"Qk Rk " R2 R1 = Qk−1 Ak Rk−1
⎜⎛ 0.6 0.8 0⎟⎞ G(1,2,θ1) = ⎜ − 0.8 0.6 0⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
⎜⎛ 1
G(2,3,θ2 ) = ⎜ 0
最后得到
⎜⎝ 0
0 0.9996 − 0.0249
0 ⎟⎞ 0.0249 ⎟ 0.9996 ⎟⎠
⎜⎛ 4.7600 H2 = ⎜ 0.3200
⎜⎝ 0.0000
基本收敛的概念并未指出{Ak}严格上三角部分 元素是否收敛．但对求A的特征值而言，基本收 敛已足够了．
定理4.3 设矩阵 A∈Rn×n ，其特征值满足
|λ1| > |λ2| > … > |λn| >0 (4.7)′ λi对应特征向量xi ，i =1, 2,…,n．以xi为列的方阵 记为X = (x1, x2 , … , xn )．设X −1可分解为X −1=LU, 其中L为单位下三角阵，U为上三角阵．则QR算法
qr迭代法求特征值特征向量
qr迭代法求特征值特征向量QR迭代法是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代算法。
它基于矩阵的QR分解，通过迭代得到一个上三角矩阵，该矩阵的对角线上的元素就是原矩阵的特征值，而对应的特征向量可以通过反向迭代求得。
QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。
对于一个实对称矩阵A，可以通过QR分解得到A=QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
在QR迭代法中，我们通过反复进行QR分解，得到一系列上三角矩阵，最终收敛到一个上三角矩阵，其对角线上的元素就是原矩阵的特征值。
QR迭代法的具体步骤如下：1.将原矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2.计算RQ，得到新的矩阵A'。
3.将矩阵A'再进行QR分解，得到A'=Q'R'。
4.重复步骤2和3，直到矩阵A'收敛到一个上三角矩阵。
5.上三角矩阵的对角线上的元素就是原矩阵的特征值。
在QR迭代法中，每一次迭代的计算量较大，因为需要进行两次矩阵乘法。
为了降低计算量，可以使用对角线P的元素来近似表示特征向量。
具体方法是对矩阵A应用反向迭代，即计算A*x=b，其中x是特征向量的近似表示，b是一个长度为n的列向量，其元素全部为0，只有第i个元素为1。
通过迭代计算，可以得到逼近特征向量的值。
QR迭代法的优点是可以求解任意矩阵的特征值和特征向量，且收敛速度较快。
它不需要知道矩阵的特征值的个数和大小，适用于实对称矩阵和复矩阵。
但它对于存在特征值重复的矩阵求解时收敛速度会较慢，需要进行更多的迭代运算。
最后，我想提醒一下，QR迭代法是一种近似算法，无法保证得到的特征值和特征向量是精确解。
在实际应用中，如果需要得到精确解，可以使用其他更精确的算法，如雅可比迭代法或Hessenberg矩阵迭代法。
数值分析实验报告——基本QR算法求全部特征值
数值分析实验报告专业信息与计算科学班级信计101 姓名学号协作队员实验日期2013 年 1 月5 日星期六成绩评定教师签名批改日期题目一、问题提出给定矩阵2345644567036780028900010A⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，（1）用Matlab函数“eig”求矩阵全部特征值.(2）用幂法求A的主特征值及对应的特征向量.（3）用基本QR算法求全部特征值（可用Matlab函数“qr"实现矩阵的QR分解)。
二、模型建立用幂法求A的主特征值及对应的特征向量的模型:选取,按照下列公式构造向量序列{｝{}则有循环足够多次后，可以近似得出，三、求解方法(1）A=[2 3 4 5 6；4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9；0 0 0 1 0]；a=eig(A）（2)pmethod。
mfunction [l，v，s］=pmethod（A,x0，eps）if nargin==2eps = 1.0e-6;endv = x0；％v为主特征向量M = 5000; ％迭代步数限制m = 0；l = 0；for（k=1:M)y = A*v；m = max(y)；％m为按模最大的分量v = y/m;if（abs（m — l）<eps)l = m; %到所需精度，退出,l为主特征值 s = k；％s为迭代步数return；elseif（k==M)disp('迭代步数太多,收敛速度太慢！’); l = m；s = M;elsel = m；endendend(3)function l = rqrtz（A,M)%QR算法求矩阵全部特征值%已知矩阵：A％迭代步数：M%求得的矩阵特征值:lA = hess（A)；for i=1:MN = size（A);n = N(1,1);u = A（n，n）;[q，r］=qr（A—u＊eye(n,n））;A = r*q+u＊eye(n,n）；l = diag(A)；end四、输出结果(1)a = 13。
课件：数值分析(11)QR方法)
迭代格式
Ak Qk Rk Ak 1 RkQk
(k 1, 2, ).
将A A1化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），
从而求出矩阵A的全部特征值与特征向量。
由A A1 Q1R1 ,即Q11 A R1。 于是A2 R1Q1 Q1 AQ1 ,即A2与A相似。
2
1
0
10
11
法一：x (2,1, 2)T , y (3, 0, 0)T , u x y (5,1, 2)T
H
I
2
uuT uT u
1
1
25 5 10 10 5 10
1 15
5
1
2
1 15
5
14 2
1
10 2 4
10 2 11
33
HA
1 11
0
0
14
5
R
0
矩阵的正交相似化简
定理（1 Schur定理）设A C nn , 存在酉矩阵U , 使得U H AU R
式中R是上三角阵，它的对角线元素是A的特征值.
酉阵AC nn AH A AAH I
定理2（实数域上的Schur定理） 设A Rnn , 若A的n个特征值都是实数,则存在
正交阵Q Rnn , 使得 QT AQ R 式中R是实上三角阵, 它的对角线元素是A的特征值.
(k n
)
a(2) 1n
a(k1) k ,n
a(k1) k 1,n
A( k 1)
1(
k
1)
,
(k 2
1)
,
a ( k 1) n,n
,
(k n
1)
数值分析
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∗ ... ∗ ∗ ... ∗ : O : O : = QR = ∗ ... ∗ m×n 0 ∗ n×n
∗ = QR = : ∗ ... O ... ∗ ∗ : 0 ∗ m×m 0 ... O ... ∗ : ∗ 0 m×n
推导：∀x = ( x1 , x2 ,L , xn ) ≠ 0
T
y = ( x1 ,L , xk −1 , −σ k , 0,L , 0)
σ k = sign( xk )( ∑ x ) ,
i=k n 1 2 2 i
T
1 sign( xk ) = −1
xk ≥ 0 xk < 0
U
(k )
= x − y = (0,L , 0, xk + σ k , xk +1 ,L , xn )
n
x− y
π
y
U 证：若设W = ， 则 有 W 2 = 1， 因 此 U 2 UU T H = I − 2W W T = I − 2 2 U 2 ( x − y) = I−2 ( xT − yT ) 2 x− y 2 ( x − y) Hx = x − 2 ( xT − yT ) x 2 T T x− y 2 ( x − y )( x x − y x )
T
1 2 2 k
U = x − y = x + σ i ei = ( x1 ,L, xi + σ i ,L, xn ) ,
构造初等反射阵
H = I − 2WW
T
= I −2
UU T U
2
=I−
1
ρ
UU T
有 H x = y = −σ i e i
其中 1 T 1 2 2 2 ρ = U U = ( x1 + ... + ( xi + σ i ) + L + xn ) 2 2 1 2 = (2 xiσ i + 2σ i ) = σ i ( xi + σ i ) 2
(1) (1) H 1 A(1) = H 1α1(1) , H 1α 2 ,L , H 1α n (2) (2) (2) a11 a12 L a1n (2) (2) ∆ 0 a22 L a2 n = A(2) = α (2) , α (2) ,L , α (2) = 2 n 1 M M O M (2) (2) 0 an 2 L ann
2 1
−2 w1 w2 L −2 w1 wn 2 1 − 2 w2 L −2 w2 wn L L L 2 −2 wn w2 L 1 − 2 wn
（3）镜映射 − 几何意义 平 面 π 方 程 W T x = 0 ∀x ∈ π T T 若 x ∈ π , Hx = ( I − 2WW ) x = x − 2WW x = x
阵， 即 ： ∀x = ( x1 , x 2 ,L , x n )T ∈ R n , x ≠ 0, 可构造 H 阵 ， 使 Hx = y = −σ i ei = (0, ..., 0, −σ i , 0,L , 0)T ∈ R n
n k =1
其中σ i = sign( xi ) x 2 = sign( xi )( ∑ x ) , 1 sign( xi ) = −1 xi ≥ 0 xi < 0
T
H阵的性质： 阵的性质： 阵的性质 det( H ) = −1 （1）非奇异
（2）对称正交 H = HT T 2 T T HH = H = ( I − 2WW )( I − 2WW ) = I − 4WW T + 4WW T WW T = I
1 − 2w −2w2 w1 H= L −2 wn w1
因为 x − y
2 2
x− y 2 T T T T = ( x − y )( x − y ) = 2( x x − y x )
= x−2
2
代入上式后即得到 Hx = y Q x T x = y T y , xT y = yT x
1. Householder变换可以将给定的向量变为一个 同方向的向量。 与任一个ei ∈ Rn ( i = 1, 2,L , n)同方向的向量。
n×n
∗ L 化矩阵A ∈ R n×n为上三角阵,A = M O ∗ L 只 须 依次 将 各 列 对 角 线 下元 素 化 为 零
(1)
∗ ∗ L ∗ M → O M ∗ ∗
(1) (1) α1(1) , α 2 , L , α n 记A = A = 对A(1)的第一列α1(1) 构造H 1使H 1α1(1) = ( −σ 1 , 0, L , 0)T
1 例：W = 2
1 3 0 ∈ R ,|| W ||2 = 1 2 1 2 1 1 T H = I − 2WW = I − 2 0 0 2 1 2 2 0 0 −1 =0 1 0 −1 0 0
−(4 + 2 5) −(2 + 5) −(2 + 5) (4 + 2 5) 0 0
T
H 2 x = ( x1 , −σ 2 , 0 )
= (2, −
5 ,0)
T
2、矩阵的正交分解
1 、正交分解的基本定理 定理 ∀A ∈ R m×n是列满秩矩阵（m > n, r ( A) = n）， 存在分解式A = QR, 其中Q ∈ R m×n列正交矩阵， R∈ R
Am × n
2、QR分解的实际计算 分解的实际计算 变换对A作 分解 用Householder变换对 作QR分解 变换对
∀A ∈ R 非奇异 构造Householder 阵 H k ∈ R n×n ( k = 1, 2,L , n − 1) 则H n −1 H n − 2 L H 2 H 1 A = R 上三角阵） （上三角阵）
故 取 K = −σ 3 = − 3 于 是 y = −σ 3 e 3 = Ke 3 = (0, 0, − 3, 0)T ,
U = x − y = (2, 0, 5,1) , ρ = σ 3 (σ 3 + x3 ) = 3(3 + 2) = 15
T
1 T ρ = UU 2
H = I−
1
ρ
UU T
11 0 1 = 15 − 10 −2
例 ： 已 知 向 量 x = (2, 2,1)T , 试 构 造 初 等 反 射 阵 使 y = Hx 最 后 一 个 元 素 为 零 。
解
k = 2, 构 造 H 2
2 2 2 3
σ 2 = sign ( x 2 )( x + x ) =
U
(2)
1 2
5
5 , 1)
T
= (0, σ 2 + x 2 , x 3 ) = (0, 2 +
− −1 A = H 1−1 H 2 1 L H n −1 R = H 1 H 2 L H n −1 R = QR 其中 n×n Q = H 1 H 2 L H n −1 ∈ R 为正交阵 R = Q −1 A = Q T A = H n −1 H n − 2 L H 2 H 1 A −1 T −1 T H k = H k = H k , Q = Q = H n −1 H n− 2 L H 2 H 1
T U 1U 1
U1
2
=I−
1
ρ
T U 1U 1
有 H 1 x = y = − σ 1e1
1 T 1 2 2 2 其中 ρ1 = U 1 U 1 = (( x1 + σ 1 ) + x2 + ... + xn ) 2 2 1 = (2 x1σ 1 + 2σ 12 ) = σ 1 ( x1 + σ 1 ) 2
n× n
非奇异上三角阵。若限定R阵对角元符号，
则分解式是唯一的。 当m = n时, Q ∈ R n×n正交阵, R ∈ R n×n非奇异上三角阵。
An× n
∗ : = QR = ∗
... O ...
∗ ∗ : ∗ 0
... O
∗ : ∗
Am×n
例 已 知 向 量 x = (2, 0, 2,1)T , 试 构 造 Householder阵 , 使 Hx = Ke 3 , 其 中 e 3 = (0, 0,1, 0)T ∈ R 4 , K ∈ R。
解 : σ 3 = sign ( x 3 ) x
2
=
4 + 0 + 4 + 1 = 3, 因 x 3 = 2 > 0 ,
0 1 0 0
− 10 0 − 10 −5
−2 0 −5 14
2. 构 造 H 阵 , 将 向 量 x = ( x 1 , L , x k , x k + 1 , L , x n ) T 的 后 面 n − k 个 分 量 约 化 为 零 (1 ≤ k < n )。
即：任给定x = ( x1 , x2 ,L , xn )T ≠ 0, 构造H k ∈ Rn×n , 使 H k x = ( x1 , x2 ,L , xk −1 , −σ k ,0,L ,0)T
T
ρ 2 = σ 2 ( x2 + σ 2 ) = 5 + 2 5 T T 于 是 H 2 x = ( x 1 , − σ 2 , 0) = (2, − 5 , 0)
计算 H2, H2 = I − 1
ρ2
U ( 2 ) (U ( 2 ) )T
5 + 2 5 1 H2 = 0 5+2 5 0
σ 1 = sign( x1 ) x 2 = sign( x1 )(∑ x ) ,