初中几何变换——翻折之欧阳光明创编

初中数学几何变换之

欧阳光明（2021.03.07）

轴对称

一、知识梳理

1、轴对称基本要素：对称轴。

2、基本性质：

（1）对应线段、对应角相等

（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分

（3）对称轴上的点到对应点的距离相等

（4）对称轴两侧的几何图形全等

3、应用

翻折问题、最值问题等

二、常考题型

类型一：轴对称性质

1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.

第1题 第2题第3题

2、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.

3、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC 沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为。

4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’

F CD时，CF

的值为。

FD

5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。

第4题第5题第6题

6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D 的位置，且，则CE的长是。

7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，

则tan∠EHG＝.

图2图3

8、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△

ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG .

（1）求证：△ABG ≌△AFG ；

（2）求BG 的长.

类型二：轴对称应用

1、菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为．

2、如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为．

3、如图,在锐角△ABC 中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,点M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为。

4、如图，在等边△ABC 中，AB =4，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，则线段MN 长的取值范

类型三：动点与轴对称

1、如图，在矩形ABCD 中，AB=32， 点E 是边BC 的一个三等分点（CE

后，当D 、C 的对应点、

、、C D 与B 在一条直线上时，∆EFG 的周长是 。

第1题第2题

2、如图，在矩形ABCD 中，AB=5， AD=13， E 、F 分别是AB 、

AD边上的动点，将∆ABE向下翻折，点A落在BC边上A、处，则

A、B的最小值是。

3、如图，正方形ABCD的边长为6，EF是正方形ABCD的一条对称轴，G、H分别在AB、CD上，将图形沿GH对折后，点C落在E处，求tan ANE

=。

第3题第4题

4、如图，在Rt∆ABC中AC=4，BC=3，D是AB边上一动点，点E与点A关于直线CD对称，当DE//BC时，AD=。

5、如图，在Rt∆ABC中，AB=4，BC=3，D是AB边上一动点，DE//BC，A、A、关于DE对称，当∆A、EC为直角三角形是AD=。类型四：综合应用

1、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD 于F点，

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

2、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、

D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？

（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如

图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC 的长度.

3、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P 不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．

4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

5、问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形. 问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由. 问题解决（3）如图③，有一矩形板