第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1
大学物理：坐标散度旋度梯度
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 x2
2 y 2
2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
散度定理 The divergence theorem
六面体的体积
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
三种正交坐标系 直角坐标系
矢量A三个坐标分量 Ax , Ay , Az 三个单位矢量： xˆ, yˆ, zˆ
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
梯度 gradient
1. 是一个矢量
2. 的模就是在给定点的最大方向导数 3. 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变
化率最大的方向。
grad xˆ yˆ zˆ
x y z
xˆ
x
yˆ
( )
( )
1
2
(
)
f ( ) f '( )
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
梯度的重要性质
场，反之亦然。
环量与旋度, 斯托克斯定理
几种常见的正交曲线坐标系
2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。
坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。
如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。
=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。
这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。
对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。
曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。
如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。
如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。
一般用()z y x ,,来表示。
如果用321,,e e e表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。
这样的321,,e e e称为坐标的基矢量。
一般地讲，i e的方向是随空间位置的变化而变化的。
在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用k j i,,表示。
因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r++=。
作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。
2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径123112233123i i i ir r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=++==++=∂∂∂∂ 因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂ 与i e平行，设ii q rH ∂∂=则()i ie H q r=∂∂i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。
第2章 矢量分析
工程电磁场基础第2 章矢量分析主讲人：陈德智dzhchen@华中科技大学电气与电子工程学院2011年2月第2章矢量分析1 关于矢量的一些约定2 矢量代数3 坐标系4 标量场的梯度5 矢量面积分，通量与散度6 矢量线积分，环量与旋度7 亥姆霍兹定理⑤矢量的坐标分量表示：⑥法向单位矢量与切向单位矢量：e n ，e t法向分量：A n 切向分量：A t关于矢量的基本约定④坐标单位矢量：直角坐标系(x , y , z ) ：e x ,e y ,e z ；x x y y z zA A A =++A e e e2．矢量代数（1）点乘（标积）：θcos :AB u =⋅=B A •A ∥B 时取最大值。
0=⋅B A •A ⊥B ⇔，矢量A 与B 正交。
B B A =⋅A e n n A =⋅A e •矢量的投影（分量）：。
法向分量。
zz y y x x B A B A B A ++=⋅B A •直角坐标系中的计算公式：，×如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向•圆柱坐标系d d d d d d d z S z z ρφρφρρρφ=++e e e z ,,φρ坐标变量,,zρφe e e 坐标单位矢量z zρρ=+r e e 位置矢量d d d d z zρφρρφ=++l e e e 线元矢量zV d d d d φρρ=体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标系•在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的坐标系。
•原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。
但是根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述球对称问题等。
•直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。
4．标量场的梯度（1）标量场的图形表示——等值面（线）地形图与等高线()const f=r标量场的图示——绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最常用的分析方法之一，也是最基本的技能。
1.6 正交曲线坐标系
微分体积元为
dV d l i ( d l j d l k ) hi h j h k du i du j du k
6
2．常用的正交曲线坐标系
常用的正交曲线坐标系除了直角坐标系外，还有柱坐标系和 球坐标系。 z （1）柱坐标系 在此坐标系中P点的位置是由ρ =常数 ρ 的圆柱面、φ =常数的平面和z=常数的平 P(ρ ,φ ,z) 面三者的交点来确定的。这时， z
2
d l e u 1 dl 1 e u 2 dl 2 e u 3 dl 3
或者
dl
d l e u 1 ( h1 du 1 ) e u 2 ( h 2 du 2 ) e u 3 ( h3 du 3 )
dl [( dl 1 ) ( dl 2 ) ( d标系中的梯度、散度和旋度
1．一般正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度
（1）梯度
v v v e u1 eu 2 eu3 l1 l2 l3
dl 1 h 1du 1
1
dl
2
du h2
2
dl
3
h du 3
3
1 1 e u1 e u2 e u3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3
Ar A A sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos A x sin A y 0 Az
dV d d dz
这里
h1 1, h 2 , h3 1
柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x cos y sin z z
第1章三种坐标系与场
25
2力线方程
F（r，t）
P
r
0
图1-11 力线图
设P点处的位置矢量：r ex x ey y ez z
设P点处切线微分方程为 dl exdx eydy ezdz
设P点场量 F（r，t） ex Fx ey Fy ez Fz
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26
因dl / /F 则 dl F（r，t） 0
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5
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
A B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
eA A
eA
A
A
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
F（r，t）
dy Fy dz Fz dz Fz dx Fx dx Fx dy Fy
P点处场量为F（r，t）的力线微分方程为
dx dy dz
Fx
Fy
Fz
27
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28
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
三种常用的坐标系
它们相互正交，而且遵 循右手螺旋法则
er e e
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点 M r,,处沿er , e , e
z
方向的长度元分别是： dlr dr dl rd dl r sin d 面积元:
dsr dl dl r2 sin d d
y
sin
z z
o
x
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
x2 y2
tg 1
y x
sin 1
z
z
x
y cos1 x2 y2
x x2 y2
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
2 直角坐标系与球坐标系的关系 z
x r sin cos
y
r
sin
sin
解
Ax A ex A e ex A e ex Az ez ex A cos A sin
Ay A ey A e ey A e e y Az ez e y A sin A cos
Az A ez A e ez A e ez Az ez ez Az
r
z r cos
y
o
x
r x2 y2 z2
x
cos1
z
sin1
x2 y2 z2
x2 y2 x2 y2 z2
tg 1
y
sin 1
y
cos1
x
x
x2 y2
x2 y2
(x, y, z)
M (,, z)
z (r, ,)
y
1 – 1 三种常用的坐标系
电磁场与电磁波大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：210522课程名称：电磁场与电磁波英文名称：Electromagnetic Fields and Electromagnetic Waves课程类别：专业基础课学时：63学分：3适用对象: 电子信息专业考核方式：考试先修课程：大学物理、高等数学与工程数学(包括矢量分析,场论和数理方程等)二、课程简介电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，是电子信息专业本科学生的知识结构中重要组成部分。
本课程使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。
使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。
培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。
为后续课程打下坚实的理论基础。
Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave is the theoretical foundation of communication technology, it is one of the most important components of the knowledge structerue for undergraduate students who major in information and electronic. Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave make students grasp the theorem and the physical meaning of the Maxwell equations and mathematical expressions. It also make students grasp building method and analyzing method of some important mathematical model (such as wave equation,Laplace equation). This course trains students on the proper ways of thinking and ability to analyze issues, It also provides a solid theoretical foundation for following courses.三、课程性质与教学目的一切电现象，都会产生电磁场，而电磁波的辐射与传播规律，更是一切无线电活动的基础。
三大坐标系
2
e
A
ez A Az 1 1 Az A e e z z z Az
两个矢量点积：A B= Ar Br A B A B ； 两个矢量叉积：
er A B Ar B r
e A B
e A A B A B er A Br Ar B e Ar B A Br e B
位置矢量：r = e ez z ；
其微分为：dr = d e d ez z e d de ez dz e d e d ez dz ；
2
它在 、 和 z 增加方向上的微分分别是： d 、 d 和 dz 。
(圆锥面)
0
z
er e
的投影。 与直角坐标系之间的变换关系：
r x 2 y 2 z 2， arccos z x 2 y 2 z 2 ， arctan y x ； x r sin cos ，y r sin sin ，z r cos
位置矢量：r = er r ；其微分为：dr = d (er r ) er dr rder er dr e rd e r sin d ； 它在 er 、 e 和 e 增加方向上的微分分别是： dr 、 rd 和 r sin d 。
球坐标系中的坐标单位矢量 er 、 e 和 e 都不是常矢量，是 和 的函数，且
电磁场与电磁波第一章矢量分析
(Cf ) C f
有关散度的公式：
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
26
4. 散度定理（高斯公式）
矢量场对于空间任意 闭合曲面的通量，等于矢 量场的散度在该闭合曲面 所包围体积中的体积分。
4. 各坐标系单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
0
ez 0 0
1
直角坐标与 球坐标系
er
ex
sin cos
e cosθ cos
e sin
ey
ez
sin sin cos
cos sin sin
cos
0
15
zy e
eeyz
eer
度规系数 hr 1, h r, h r sin
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
面元矢量
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS
e dlrdl
ez
rsin
drd
dS
e dlr dl
e rdrd
球坐标系中的线元、面元和体积元
体积元
dV r2sindrdd
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：
3大常用坐标系
3大常用坐标系摘要：一、坐标系简介1.坐标系的定义2.坐标系的作用二、3大常用坐标系1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域2.极坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域3.球坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域三、坐标系的转换1.不同坐标系之间的转换方法2.转换过程中的注意事项四、总结1.各种坐标系的优缺点2.选择合适的坐标系进行问题分析正文：坐标系是数学中用来表示位置的一种工具，它有助于将复杂的空间关系简化为有序的数值关系，便于研究和计算。
在众多坐标系中，有3大常用坐标系，分别是笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系和球坐标系。
首先，我们来了解一下笛卡尔坐标系。
它是一种平面直角坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
在笛卡尔坐标系中，一个点的位置可以通过其横坐标和纵坐标来表示。
这种坐标系在平面几何、解析几何等领域有着广泛的应用。
其次，我们来介绍一下极坐标系。
极坐标系是一种基于极点的坐标系，由一个极径和一个极角组成。
极径表示点到原点（极点）的距离，极角表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标系在行星运动、电磁学等领域具有较高的实用价值。
最后，我们来探讨一下球坐标系。
球坐标系是一种三维坐标系，由一个径向坐标和一个球面坐标组成。
径向坐标表示点到原点（球心）的距离，球面坐标表示从球心到该点的球面弧所对应的圆心角。
球坐标系在地球物理学、天文学等领域应用广泛。
在实际问题分析中，我们需要根据问题的性质和需要解决的问题类型来选择合适的坐标系。
例如，在平面几何问题中，我们通常会选择笛卡尔坐标系；而在研究行星运动时，极坐标系则更为方便。
当然，在某些情况下，可能需要将一种坐标系转换为另一种坐标系，以便于问题的分析和解决。
在进行坐标系转换时，需要注意坐标系的转换公式及其适用范围，避免出现错误。
总之，这3大常用坐标系各有优缺点，适用于不同的领域和问题。
完整版电磁场理论复习总结
完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
第1章_矢量分析
1.3.2 方向导数
概念：
cos 式中： 、cos、cos —— l 的方向余弦。
u u u u u lim cos cos cos |M0 l 0 l x l y z
z
a x , a y , a z） 单位矢量： （
A 任一矢量可表示为： a x Ax a y Ay a z Az
位置矢量： R a x x a y y a z z
微分元： dR a x dx a y dy a z dz
面积元：
dS x dydz
dS y dxdzபைடு நூலகம்
dS z dxdy
体积元：
dV dxdydz
二、圆柱坐标系
空间任一点P的位置 可以用圆柱坐标系 中的三个变量 来表示。
圆柱坐标系中也有三个相互 垂直的坐标面。 平面 x2 y 2 表示一个以z轴为轴线的半径 为 的圆柱面。 平面 y arctan( ) x 表示一个以z为界的半平面。 平面z=常数 表示一个平行于 xy平面的平面。
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B (b)
B A
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不 为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然 相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积 一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服 从分配律，即 A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式在物理、数学和工程学等领域，常常会遇到需要计算梯度、散度和旋度的问题。
梯度、散度和旋度是描述矢量变量随空间坐标变化的变化率的重要工具。
在实用文档中，对于三种常见的坐标系下的梯度、散度和旋度计算公式进行详细说明，使读者能够理解和应用这些公式。
一、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是三维空间中经常使用的坐标系。
在笛卡尔坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度用于描述标量函数在空间各个方向上的变化率。
对于标量函数f(x,y,z)，其梯度可表示为：∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂z)k其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数，i、j 和k分别是笛卡尔坐标系的基底单位矢量。
2.散度：散度描述矢量场在其中一点的流入或流出情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其散度可表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
3.旋度：旋度描述矢量场的旋转情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其旋度可表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
二、柱坐标系柱坐标系适用于具有圆柱对称性的问题，在极坐标的基础上，引入了z轴方向的坐标。
在柱坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度的计算公式同样适用于柱坐标系，∇f的表达式保持不变。
2.散度：散度的计算公式在柱坐标系下为：∇·F=(1/ρ)∂(ρP)/∂ρ+(1/ρ)∂Q/∂φ+∂R/∂z其中，P、Q和R为矢量场F的每个分量。
三种常用的正交坐标系程
直角坐标系
定义
直角坐标系是笛卡尔坐标系的一 种特殊形式，其中三个坐标轴相 互垂直。原点是三个轴的交点。
特点
直角坐标系在处理平面问题时非 常有效，特别是当需要表示形状 和位置时。它也常用于描述二维 图形和三维图形。
极坐标系
定义
极坐标系是另一种笛卡尔坐标系的变体，其中点P的位置由其到原点的距离r以 及与正x轴之间的角度θ确定。
数中广泛应用。
极坐标系
02
适用于描述圆周和辐射状问题，如角度、距离和方向等，在物
理、工程和航海等领域有广泛应用。
圆柱坐标系
03
适用于描述旋转对称问题，如磁场、电场、流体动力学等，尤
其在处理与圆截面有关的物理问题时使用较多。
优缺点比较
1 2 3
笛卡尔坐标系
优点是计算简单、数学表达形式直观；缺点是当 描述空间中某点位置时需要三个坐标值，计算量 大。
特点
球坐标系中的角度参数可以用来描述方向和位置，常用于描述空间中点的位置和方向。
球坐标系与直角坐标系的关系
转换关系
在三维空间中，球坐标系和直角坐标系可以通过一定的数学公式进行转换。例如，对于点P在球坐标系中 的坐标(r, θ, φ)，其在直角坐标系中的坐标(x, y, z)可以通过以下公式进行转换：x = r*sinθ*cosφ, y = r*sinθ*sinφ, z = r*cosθ。
经度和纬度是描述地球上点位置的两个重要角度参数。
03
物理学
在物理学中，球坐标系常用于描述带电粒子在磁场中的运动轨迹。例如，
带电粒子在磁场中的运动轨迹是一个螺旋线，可以用球坐标系中的角度
参数进行描述。
04 三种坐标系的比较与选择
适用范围
第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1
§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
三标量场的梯度1梯度的概念梯度gradient是一个矢量它的方向表示标量场u变化率最大的方向大小等于最大的空间变化率用g等值面等值面p02梯度的计算公式梯度的定义与坐标系无关可以选择任意坐标系来计算
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2 学时
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
电磁场与电磁波(第4版)第1章 矢量分析
A × B = ex ( Ay Bz − Az B y ) + e y ( Az Bx − Ax Bz ) + ez ( Ax B y − Ay Bx )
写成行列式形式为
ex A × B = Ax Bx
A× B = −B × A
ey Ay By
ez Az Bz
A× B
B
θ
AB sin θ
若 A ⊥ B ，则 A × B = AB 若 A // B ，则 A × B = 0
C.Y.W@SDUWH 2010
A
矢量 与B 的叉积 A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
8
（5）矢量的混合运算
A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C —— 分配律 A × ( B + C ) = A × B + A × C —— 分配律 A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B ) —— 标量三重积
A × ( B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B)
—— 矢量三重积
C.Y.W@SDUWH
2010
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
9
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称 为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
θ
单位圆
eθ
ρ
o
圆柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
《电磁场与电磁波》课程教学大纲
《电磁场与电磁波》课程教学⼤纲《电磁场与电磁波》课程教学⼤纲Electromagnetic fields and waves课程编号：学分： 4学时： 64 （其中：讲课学时：56 实验学时2：上机学时：6 ）先修课程：⾼等数学、普通物理、数学物理⽅法后续课程：适⽤专业：光信息科学与技术、应⽤物理、电⼦信息、电⼦对抗开课部门：理学院⼀、课程教学⽬的和课程性质电磁场与电磁波是⾼等学校理⼯科电⼦类或信息类专业必修的⼀门专业基础理论课，其任务是介绍宏观电磁现象的基础理论和平⾯电磁波动的基本规律，使学⽣能完整地理解和掌握宏观电磁场的基本性质和基本规律，对电⼦信息⼯程中的电磁现象和电磁场问题能⽤场的观点进⾏分析和计算。
同时，电磁场理论⼜是⼀些交叉领域的学科⽣长点和新兴边缘学科发展的基础，它对于学⽣后续专业课程的学习和增强学⽣的适应能⼒与创造能⼒，具有重要的作⽤。
⼆、课程的主要内容及基本要求第⼀章⽮量分析（6学时）[知识点]⽮量代数、三种常⽤的正交坐标系、标量场的梯度、⽮量场的通量与散度、⽮量场的环流与旋度、⽆旋场与⽆散场、亥姆霍兹定理。
[重点]理解标量场与⽮量场的概念，了解标量场的等值⾯和⽮量场的⽮量线的概念。
⽮量场的散度和旋度、标量场的梯度是⽮量分析中最基本的概念，应深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和⽅法。
[难点]⽮量场的散度和旋度、标量场的梯度是⽮量分析中最基本的概念，应深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和⽅法；散度定理和斯托克斯定理是⽮量分析中的两个重要定理。
[基本要求]1、理解标量场与⽮量场的概念；2、掌握散度、旋度和梯度的计算公式和⽅法；3、⽮量场的散度和旋度、标量场的梯度是⽮量分析中最基本的概念。
[考核要求]1、理解标量场与⽮量场的概念；2、掌握散度、旋度和梯度的计算公式和⽅法；3、⽮量场的散度和旋度、标量场的梯度是⽮量分析中最基本的概念。
第⼆章电磁场的基本规律 (10学时)[知识点]电荷守恒定律、真空中静电场的基本规律、真空中恒定磁场的基本规律、媒质的电磁特性、电磁感应定律和位移电流。
三种常用的正交坐标系程
直角坐标与 球坐标系
e e
ez sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin 0
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
南京工业大学
推导过程（见黄克智张量分析第二版习题1.13） 已知:（1）圆柱坐标系如图（a），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（b）， r =x1， =x2， =x3。
1 2 3 1 2 3 1 2
g1 r g3 g2 x2‘
O
g3 x sin x sin x i x sin x cos x j
1 2 3 1 2 3
x1'
第四章
摩擦
（2）
g 2 g3 g3 g1 g1 g2 2 3 g , g , g g1 g2 g3 g1 g2 g3 g1 g2 g3
r sin cos sin cosk r sin 2 cosj r sin cos sin cosk r sin 2 sin i r cos2 cosj r cos2 sin i r sin sin i r sin cosj r sin i r cosj r sin sin i r sin cosj r 2 sin sin 2 r 2 sin cos2 r 2 sin
位置矢量 线元矢量 面元矢量
r , ,
dS e dlr dl e rsin drd
r er r dl er dr e rd e rsin d 2 dSr er dl dl er r sin dd
矢量分析
则有： g el | g | cos( g , el ) l 当 ( g , el ) 0， 最大 l
ex ey e z grad x y z
——梯度(gradient)
式中
( , , ) x y z
坐标单位矢量 ex , e y , ez
位置矢量 线元矢量
o
z z z0 （平面）
ez
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
r ex x e y y ez z
dl ex dx ey dy ez dz
y y y0（平面）
e
ex
sin cos 0
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
o
பைடு நூலகம்
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
e e
sin cos 0
ex
0 0 1
ey
z
ez
er
e
指向地势升高的方向。
例 0.2.2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。
图0.2.2 电位场的梯度
0.3
矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector 0.3.1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
dS e dlr dl ez rsin drd
球面坐标系
电磁场理论课件-1.2三种常用的正交坐标系
位置矢量
r err
线元矢量 面元矢量
dr erdr e rd ersind x dS edlrdl erdrd
z
θr O
P(r, , )
e y
er
e
体积元
dS e dlrdl ezrsin drd dSr erdl dl err2sin d d
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积1元2
直角坐标系
位置矢量 线元矢量 面元矢量
r ex x ey y ez z
dr exdx eydy ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
体积元
dSz ezdlxdly ezdxdy dV dxdydz
x cos
y
sin
z z
x2 y2
arctan
y x
z z
x
z
ρ P(ρ,φ,z)
z
r
Oφ
evz
y
vev
e
4
1.2 三种常用的正交坐标系 柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ex cose sine ey sin e cose
e cosex siney e sinex cosey
A B A B Az Bz
矢积：
e
e
ez
A B A
A
Az
B
B
Bz
21:33:01 e ( A Bz Az B ) e ( Az B A Bz ) ez ( A B A B ) 7
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z r cos
3、基矢： eˆr , eˆ , eˆ ，正交且符合右螺旋
1）矢量表示： A eˆr Ar eˆ A eˆ A ， 例：位置矢量 r eˆrr 2）基矢变换：基矢满足下列变换
eˆr eˆ
sin cos
cos cos
eˆ sin
sin sin cos sin
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2 学时
5、拉梅系数： h1 1， h2 r ， h3 r sin
x
r sind
z
dr
d
r
d rd
o
y
1.3 标量场的梯度 若所研究的物理量是标量，则该物理量所确定的场称为标量场，如：温度场，密
度场、电位场等。标量场 u 可用标量函数来描述。如：直角坐标系中
u u x, y, z
一、标量场的几何描述——等值面（线）
4、拉梅系数（度规系数）
在坐标系中，设 Pq1, q2 , q3 点的位置矢量为：
r
r
q1
,
q2
,
q3
则
d
r
r q1
dq1
r q2
dq2
r q3
dq3
式中
r
q1
r
q2
r
q3
r q1
eˆ1
h1eˆ1
r q2
eˆ2
h2eˆ2
r q3
eˆ3
h3eˆ3
h1, h2, h3 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样，
q1 q1 x, y, z c1 q2 q2 x, y, z c2 q3 q3 x, y, z c3
三个等值曲面，称为标曲面
两个坐标面的交线称为坐标线。若在空间任意一点，三个坐标面正交(基矢正交)，
称为三维正交坐标系。
3、单位矢 用 eˆ1, eˆ2 , eˆ3 分别表示坐标曲线 q1, q2 , q3 上的切向单位基矢。 规定： eˆ1, eˆ2, eˆ3 的方向关系构成右手系。 注意：在曲线坐标系中 eˆ1, eˆ2, eˆ3 一般是空间点函数。
1）矢量表示： A eˆ A eˆ A eˆz Az ， 例：位置矢量 r eˆ eˆz z 2）基矢变换：
eˆ cos sin 0 eˆx
eˆ
sin
cos
0
eˆy
或
eˆz 0
0 1 eˆz
eˆ cos
eˆ
sin
eˆz 0
sin cos
cos
cos eˆx
sin
eˆy
0 eˆz
3）基矢变化： eˆr , eˆ , eˆ 都不是常矢量，随 , 变化，有：
eˆr
eˆ
，
eˆ
eˆr ，
eˆ 0 ；
eˆr
eˆ sin
，
eˆ
eˆ cos
，
eˆ
eˆr sin
eˆ cos
。
4、空间微元： 线元： dr eˆrdr eˆ rd eˆ r sin d eˆrh1dr eˆ h2d eˆh3dz 面元： dSr eˆrr2 sindd, dS eˆ r sindrd, dS rdrd 体元： dV r2 sin drd d
方程： ux, y, z Const
特点：等值面互不相交（可以自相交） 约定：相邻等值面物理量的差值保持相同。这样，等值面的疏密能反映标量场的空
间变化率。
在空间某点沿什么方向高度变化最快？
二、标量场的方向导数 等值面给出了标量场的整体描述，其局部（即场中各点处的邻域内） 怎样变化？
1、方向导数的概念
0
0 eˆx
0
eˆy
1 eˆz
3）基矢变化： eˆ , eˆ 不是常矢量，随 变化，有：
eˆ
eˆx sin eˆy cos
eˆ ，
eˆ
eˆx cos eˆy sin
eˆ
提问： 1）怎么得到第 一个变换？ 2）两个变换矩 阵存在什么关 系？
4、空间微元： 线元： dr eˆ d eˆ d eˆzdz eˆ h1d eˆ h2d eˆzh3dz 面元： dS eˆ ddz, dS eˆd dz, dSz eˆzdd 体元： dV d d dz
d r eˆ1h1dq1 eˆ2h2dq2 eˆ3h3dq3
二、直角坐标系
1、坐标变量： x, y, z
2、坐标面： x C1 ， y C2 ， z C3
Z为常数平面
z eˆz
r
eˆx
p
eˆ y
坐标线：三条直线
3、基矢： eˆx , eˆy , eˆz ，正交且符合右螺旋
x x为常数平面
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
面元： dSx eˆxdydz, dSy eˆydxdz, dSz eˆzdxdy
§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
体元： dV dx dy dz 5、拉梅系数： h1 h2 h3 1 三、柱坐标系
1、坐标变量： ,, z
2、坐标面： C1 ， C2 ， z C3 坐标线：两条直线、一个曲线 坐标变换： x cos, y sin, z z
z eˆz
P•
eˆ
z
y
eˆ
x
3、基矢： eˆ , eˆ , eˆz ，正交且符合右螺旋
如图所示，l 为场中的任意方向，P0 是这个方向线上给定的一点， P 为同一线上邻