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§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明函数)(x f 在区间],[b a 上的一致连续性，使得对于任意给定的正数ε，都有仅与ε有关的正数)(εδδ=，当把区间],[b a 划分为有限个长度都不超过δ的小 区间1[,](1)i i x x i n -≤≤时(图6-3)，在每一个小区间],[1i i x x -上，函数的最大值i M 减去最小值i m 的差i ω(称为振幅)不会超过ε，即)1(n i m M i i i ≤≤≤-=εω。

令()1(P)niii s m x ==∆∑小和， 1(P)ni ii S M x ==∆∑大和（）则有110(P)(P)()()nnii i ii i S s Mm x x b a εε==≤-=-∆=∆=-∑∑即lim [(P)(P)]0n x S s ∆→-= (6-1)正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。

证 设)(x f 是闭区间],[b a 上的连续函数。

对于区间],[b a 的任何两个划分方法P '和P ''，总有)P ()P (''≤'S s 。

为了说明这个结论,不妨认为0)(≥x f 。

如图6-4①，对于任意划分P '，小和)P ('s 对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形AabB 内。

如图6-4②，对于任意划分P ''，大和)P (''S 对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形AabB 。

因此，总有)P ()P (''≤'S s 。

其次，因为所有可能的小和构成的集合{})P ('s 有上界)P (''S ，所以有最小上界σ,于是)P (''≤S σ；而因为对于所有可能的大和构成的集合{})P (''S 有下界σ，所以有最大下界σ， 于是σσ≤。

因此，有)P ()P (''≤≤≤'S s σσ。

特别，对于区间[,]a b 的任意划分P ，就有)P (P)(S s ≤≤≤σσ 或 )P (P)(0s S -≤-≤σσ图6-4①· · · · · · ba ] [ x图6-31i i x x -根据条件(6-1)，所以σσσ==(公共值)。

又因为(P)P)(S s ≤≤σ， 1(P)()(P)niii s f x S ξ=≤∆≤∑所以有()1()(P)(P)00niini f x S s xξσ=∆-≤-→∆→∑即1lim()n niix i f x ξσ∆→=∆=∑()d baf x x =⎰这样，就证明了函数)(x f 在区间],[b a 上的可积性。

【注】函数在闭区间上连续是函数可积的充分条件,而不是必要条件。

在下一章中将证明,在有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的，甚至有的可积函数会有无限多个间断点。

习题和选解1.设函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续。

用任意方法把区间[,]a b 划分成小区间：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=证明1lim()()()()d n nb iiix ai f g x f x g x x ξθ∆→=∆=∑⎰其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i x x x x x x x i n ξθ---∈∈∆=-=。

注意，左端的和数．．．．．•••∑不是积分和．．．．．！而称它为．．．．“拟积分和”。

2.设函数()x t 和()y t 在闭区间[,]αβ上有连续的导数。

用任意方法把区间[,]αβ划分成小区间：01211i i n n t t t t t t t αβ--=<<<<<<<<=。

证明222201lim()()()()d n ni i i t i x y t x t y t t βαξθ∆→=+∆=+⎰ 其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i t t t t t t t i n ξθ---∈∈∆=-=。

左端的和数．．．．．•••∑也不是积分和，也称它为“拟积分和”。

3.黎曼引理（*）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则有lim()sin d 0bp af x px x →∞=⎰和 lim()cos d 0bp af x px x →∞=⎰【注】当函数()f x 在区间[,]a b 上为可积的情形时, 结论仍然成立（证明在下一章中）。

证 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续。

为简单起见，只证明其中一个等式就行了。

设（*）习惯上称这个结论为黎曼引理, 因为在证明其他许多有关结论时都要引用这个结论。

()f x K ≤(常数)。

对于区间[,]a b 的任意划分：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=则有{}11()sin d ()[()()]sin d i i nbx i i ax i f x px x f x f x f x px x -==+-∑⎰⎰从而有1111()sin d ()sin d ()()sin d i ii i nnbx x ii ax x i i f x px x f x px x f x f x px x --==≤+-∑∑⎰⎰⎰111()sin d ()ii nn x iiiix i i f x px x M m x -==≤+-∆∑∑⎰其中i M 为函数()f x 在区间1[,]i i x x -上的最大值, i m 为最小值; 而12sin d ||ii x xpx x p -≤⎰。

因此，12()sin d ()||nbiiiai nKf x px x M m x p =≤+-∆∑⎰设ε为任意给定的正数, 根据函数()f x 在区间[,]a b 上的一致连续性(康托尔定理), 先把区间[,]a b 划分成n 个小区间1[,]i i x x -(1)i n ≤≤, 使在每一个小区间1[,]i i x x -上, 都有2()(1)i i M m b a i n ε-≤-≤≤; 再取正数4nK ∆=，则当||p ∆≥时，12()sin d ()||nbi i i ai nKf x px x M m x p =≤+-∆∑⎰242nK nKεεε≤⋅+=根据极限定义的“ε∆-”说法，所以有lim()sin d 0b p af x px x →∞=⎰。

4.证明sin d 2x x x +∞π=⎰。

证 由恒等式1sin 12cos cos 2cos 22sin2n xx x nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++= 得01sin 2d 22sin 2n xx x π⎛⎫+ ⎪π⎝⎭=⎰另一方面，1sin 2d n xx xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1sin 1112sin d d 22sin 2sin22n xn x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰π0111πsin d 222sin 2n x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰(※) 其中函数11()2sin 2f x xx =-在点0x =有极限0【用洛必达法则求极限】。

补充函数值(0)0f =，则函数()f x 在区间],0[π上是连续的。

根据黎曼引理，当∞→n 时，上式(※)右端第一项的极限是0，所以1sin 2limd 2n n xx x π→∞⎛⎫+ ⎪π⎝⎭=⎰又1201sin 2limd t n x n n x x x⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥π⎝⎭⎣⎦→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=======⎰1π20sin sin limd d n n txt x tx⎛⎫++∞⎪⎝⎭→∞=⎰⎰因此，sin πd 2x x x +∞=⎰(极限唯一性)。