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§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明

函数)(x f 在区间],[b a 上的一致连续性，使得对于任意给定的正数ε，都有仅与ε有关的正数)(εδδ=，当把区间],[b a 划分为有限个长度都不超过δ的小 区间1[,](1)i i x x i n -≤≤时(图6-3)，

在每一个小区间],[1i i x x -上，函数的最大值i M 减去最小值i m 的差i ω(称为振幅)不会超过

ε，即)1(n i m M i i i ≤≤≤-=εω。令

()

1

(P)n

i

i

i s m x ==

∆∑小和， 1

(P)n

i i

i S M x ==∆∑大和（）

则有

1

1

0(P)(P)()()n

n

i

i i i

i i S s M

m x x b a ε

ε==≤-=

-∆=∆=-∑∑

即

lim [(P)(P)]0n x S s ∆→-= (6-1)

正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。

证 设)(x f 是闭区间],[b a 上的连续函数。对于区间],[b a 的任何两个划分方法P '和

P ''，总有)P ()P (''≤'S s 。

为了说明这个结论,不妨认为0)(≥x f 。如图6-4①，对于任意划分P '，小和)P ('s 对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形AabB 内。如图6-4②，对于任意划分P ''，大和)P (''S 对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形AabB 。因此，总有)P ()P (''≤'S s 。

其次，因为所有可能的小和构成的集合{})P ('s 有上界)P (''S ，所以有最小上界σ,于是)P (''≤S σ；而因为对于所有可能的大和构成的集合{})P (''S 有下界σ，所以有最大下界σ， 于是σσ≤。 因此，有)P ()P (''≤≤≤'S s σσ。 特别，对于区间[,]a b 的任意划分P ，就有

)P (P)(S s ≤≤≤σσ 或 )P (P)(0s S -≤-≤σσ

图6-4

①

· · · · · · b

a ] [ x

图6-3

1i i x x -

根据条件(6-1)，所以σσσ==(公共值)。又因为

(P)P)(S s ≤≤σ， 1

(P)()(P)n

i

i

i s f x S ξ=≤

∆≤∑

所以有

()

1

()(P)(P)0

0n

i

i

n

i f x S s x

ξσ

=∆-≤-→∆→∑

即

1

lim

()n n

i

i

x i f x ξσ∆→=∆=∑()d b

a

f x x =⎰

这样，就证明了函数)(x f 在区间],[b a 上的可积性。

【注】函数在闭区间上连续是函数可积的充分条件,而不是必要条件。在下一章中将证明,在有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的，甚至有的可积函数会有无限多个间断点。

习题和选解

1.设函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续。用任意方法把区间[,]a b 划分成小区间：

01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<

<<<

<<=

证明

1

lim

()()()()d n n

b i

i

i

x a

i f g x f x g x x ξθ∆→=∆=∑⎰

其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i x x x x x x x i n ξθ---∈∈∆=-=。注意，左端的和数．．．．．

•••

∑不是积分和．．．．．！而称它为．．．．

“拟积分和”。 2.设函数()x t 和()y t 在闭区间[,]αβ上有连续的导数。用任意方法把区间[,]αβ划分成小区间：01211i i n n t t t t t t t αβ--=<<<

<<<

<<=。证明

2

2

220

1

lim

()()()()d n n

i i i t i x y t x t y t t β

α

ξθ∆→=+∆=

+⎰ 其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i t t t t t t t i n ξθ---∈∈∆=-=。左端的和数．．．．．

•••∑也不是积分

和，也称它为“拟积分和”。

3.黎曼引理

（*）

若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则有

lim

()sin d 0b

p a

f x px x →∞

=⎰

和 lim

()cos d 0

b

p a

f x px x →∞

=⎰

【注】当函数

()f x 在区间[,]a b 上为可积的情形时, 结论仍然成立（证明在下一章中）。

证 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续。为简单起见，只证明其中一个等式就行了。设

（*）

习惯上称这个结论为黎曼引理, 因为在证明其他许多有关结论时都要引用这个结论。