2019暑假期间北京市大学生数学竞赛(第三十届)培训课程安

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历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析

第24卷第3期2021年5月高等数学研究STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICSVol24,No.3May2021doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.03.022历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析刘烁—，马丽娜2,吴克坚—，徐清华—，王瑞星—，赵清波1$•空军军医大学基础医学院数学物理教研室，陕西西安,710032*2.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安,710062)摘要本文对历届全+大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题及答案进行了统计分析，剖析了竞赛试题的命题理念与结构特点，并提出竞赛准备的几点建议•关键词大学生数学竞赛；统计分析中图分类号O13文献标识码A文章编号1008-1399(2021)03-0077-03Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsLIU Shuo1,MA Lina2,WU Kejian1,XU Qinghua1,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo1 (18TeachingandResearchLaboratoryofMathematicsandPhysics!SchoolofBasic Medical!AirForce MedicalUniversity!Xian710032,PRC；28Co l ege of Mathematics and Information Science!Shaanxi Normal University!Xi'an710062!PRC)Abstract With al the past test questions of the Chinese Mathematics Competitions for Non-Mathematical Professionals,this paper presents the statistics of the questions'proposition idea and structural character-iDticD!andputDforwardDomeDuggeDtionD.Keywords TheChineDe MathematicDCompetitionD!DtatiDticalanalyDiD为激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才,自2009年起，中国数学会每年举办一次全国大学生数学竞赛(The Chinese Mathematics Competitions(简称CMC)).竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生，分为数学专业类和非数学专业类两组，数学专业类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，非数学专业类竞赛内容为大收稿日期：2020-05-28修改日期：2020-09-01作者简介：刘烁(1979—),男，湖南安乡人，硕士，副教授,主要从事生物数学传染病动力学模型研究,Email：liushuo912@.通讯作者：赵清波(1966—),女，河南洛阳人，硕士，教授，主要从事卫生统计学研究，Email：zhaoqbo@.学本科理科高等数学课程的教学内8竞赛分为初赛和决赛进行,试题均由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命制.分区初赛由各省(市、区、军队院校)数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试;决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施.作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为高校发现和选拔优秀数学人才并进一步促进数学课程建设的改革和发展积累了调研素材.竞赛试题在所考查的知识内容、题量分布与命题理念方面有何特点，在解题方法上应该怎样准备，是许多大学数学老师和学生十78高等数学研究2021年5月分关心的问题，有鉴于此，笔者对历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛的试题进行了全面的统计分析，希望能有助于大家进一步明确全国大学生数学竞赛的试题特点与复习教学目标，从而更好地加强教学及备考的针对性.一、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题统计分析1.试题来源及整体情况试题来源于全国大学生数学竞赛资源网，网址：.选取2009年至2019年共11届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题，共101题，总分值1100分.2.题将11届试题的每一道题按题型、分值、所考查的知识点、用到的解题方法进行整理，利用python 统计题型分布，知识点及解题方法出现的频次.（1）题量除2011年9道,2009年和2012年11道外，其余均为10道题.（2）型题型主要有填空、计算、证明、综合（既有证明又有计算）四类。

不动点定理与Picard迭代数列的收敛性--不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用

| | | xn - xn-1| = f (xn - 1) - f (xn-2) ≤ L| xn - 1 - | xn - 2 ,0 < L < 1 ，
{ 下证 xn} 为有界变差数列．事实上，
| | | | | | | | xn - xn - 1 ≤ r xn - 1 - xn - 2 ≤ r2 xn - 2 - xn - 3 ≤ ⋯ ≤ rn - 2 x2 - x1 (n ≥ 3) ，
第 42 卷第 3 期 2021 年 6 月
韩山师范学院学报 Journal of Hanshan Normal University
Vol.42 No.3 Jun.2021
不动点定理与 Picard 迭代数列的收敛性
——不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用
许绍元 1，程素玉 2
（1．韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041；2．韩山师范学院图书馆，广东潮州 521041）
( ) xn + 1 = f (xn) ，令 n → ∞ ，由函数 f (x) 的连续性有 nli→m∞xn + 1 = nli→m∞ f (xn) = f nli→m∞xn ，即 x0 = f (x0) ．下证
x0 = 0 ．反证法．若 x0≠ 0 则 0 < x0 < a ，再由题设可知 x0 = f (x0) < x0 ，矛盾．故 nli→m∞xn = 0 ．证毕．在定理 1 中，将 f (x) 的定义域扩大为 [0, +∞) ，得到下面的结论．推论1 设函数 f (x) 在 [0, +∞) 上连续，且 0 < f (x) < x,x ∈(0, +∞) ．作Picard迭代 xn + 1 = f (xn), x1∈(0, +∞) ．

第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

∫ f (tx)dt = f ( x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时， f ′( x) =
0
.
10 ．设 C 是从球面 x + y + z = a 上任一点到球面 x + y + z = b 上任一点的任一条光滑曲线
1 1 1 n ，则 lim < xn < (n + 2) sin xk = ∑ n →∞ n + 1 n +1 n +1 k =1
x →0
.
8．设 f ( x ) 在点 x = 0 可导，且 lim
1
cos x − 1 = 1 ，则 f ′(0) = e f ( x) − 1
.
9．设 f ( x ) 满足
∑ na ( x − 3)
n=0 n
n
的收敛区间为
.
5． tdt e
0 t
∫ ∫
1 ( )2 x
dx =
.
6．设 y = 1, y = e x , y = 2e x , y = e x + 程为 .
1
π
都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方
7．设数列 { xn } 满足： n sin
五、从已知 ABC 的内部的点 P 向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点 P 的位置. 六、求
(−1) n n3 n x 的收敛区间及和函数. ∑ n = 0 ( n + 1)!
∞
七、设 f ( x ) 是 [0,1] 上的连续函数，证明： e f ( x ) dx e − f ( y ) dy ≥ 1 .

竞在北邮

竞在北邮编委会成员:廖宝华王聪欧云杰参与作者(按出现顺序)吴云峰，田玉龙，韦穆华，李岩，赵艳，刘翰林，杨坚，张迅，张园，路尧，黄兰，王飞，聂蔚青，孙羽经，陈琳颖，陈阳，秦浩浩，申静，杨新星，杨桅，石明洋，许奥林，杨铭，王聪，葛雨明，汪启扉，李声韧，黄海斌，扬阳特别感谢林金桐校长，蔺志青副院长，王生卫副书记，贺祖国老师，辅导员廉洁。

2007年8月序刚迈进大学校门的那一刻，我们心中充满迷茫，庆幸的是，在人生道路上有几个贵人相助，是他们让我们的整个大学生活有了质的变化。

回忆大学三年，我们几个人都参加了好几种竞赛，收获颇多。

曾经有个师兄跟我们说过，大学里面最能锻炼人的就是大作业和竞赛。

的确，竞赛是一种技能的体现，它以自身的魅力影响着我们的人生。

很多大一大二的同学对竞赛有一种恐惧感，认为竞赛是牛人做的事。

其实不是的，牛人也是人，也是从普通人成长起来的，牛人与非牛人的区别仅仅在于牛人去做了，而非牛人不敢跨出尝试的第一步。

我们希望通过本书能给学弟学妹们一定的启发，更重要是能激发同学们对竞赛的勇气。

当你认真走完那条竞赛之路后你会发现，其实竞赛很简单，并且会发现自己的大学生活变得更加丰富，更加精彩！所以，希望大家相信自己！勇敢的去拼搏，你会收获很多，你的生活会丰富很多。

这本书由很多参加各项竞赛的兄弟姐妹完成，参与这本书的同学都用心地体验了各种竞赛，并取得了一定的成绩。

最重要的是他们留给学弟学妹们的话都是真心的！各兄弟姐妹成果累累，出于某些原因，他们经验分享后面只是列出他们部分成绩，并不完整，希望大家不要见怪。

本书的完成，要感谢各位提供经验之谈的作者，感谢他们为北邮竞赛所做的贡献，是他们让北邮竞赛更成熟，更辉煌；感谢各个竞赛的指导老师，感谢他们为北邮竞赛提供的热心指导；同时感谢刘翰林、熊文钦、陆晓虎等同学在本书制作过程中提供的热心帮助和支持；最后，特别感谢林金桐校长，电信工程学院蔺志青副院长，王生卫书记，辅导员廉洁老师以及关心支持此书的学校领导，感谢他们给予的热心帮助和鼓励。

【2019年整理】全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛第一届2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。

该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。

第二届2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。

来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。

这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。

竞赛用书该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。

竞赛大纲中国大学生数学竞赛竞赛大纲(2009年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

1.竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

1.竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分1.集合与函数2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.4. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.5.极限与连续6. 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.7. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.8. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.9. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.10.一元函数微分学11.1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.12.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).13.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.14.多元函数微分学15.1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.16.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.17.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.18.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.19.一元函数积分学20.1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.21.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.22.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.23.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.24.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.25.多元函数积分学26.1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.27.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.28.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.29.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.30.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.31.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.32.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.33.无穷级数34.1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.1.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.1.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.1.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理. Ⅱ、高等代数部分1.多项式2. 1. 数域与一元多项式的概念3. 2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法4. 3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.5. 4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.6. 5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.7. 6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.8.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.9.行列式10.1. n级行列式的定义.11.2. n级行列式的性质.12.3. 行列式的计算.13.4. 行列式按一行（列）展开.14.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.15.6. 克拉默(Cramer)法则.16.线性方程组17.1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.18.2. n维向量的运算与向量组.19.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.20.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.21.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.22.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.23.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数24.矩阵25.1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.26.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.27.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.28.4. 分块矩阵及其运算与性质.29.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.30.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.31.双线性函数与二次型32.1. 双线性函数、对偶空间33.2. 二次型及其矩阵表示.34.3.二次型的标准形化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.35.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.36.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵37.线性空间38.1. 线性空间的定义与简单性质.39.2. 维数，基与坐标.40.3. 基变换与坐标变换.41.4. 线性子空间.42.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.43.线性变换44.1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.45.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.46.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.47.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.48.若当标准形49.1.矩阵.50.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.51.3. 若当标准形.52.欧氏空间53.1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.54.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.55.3. 欧氏空间的同构.56.4. 正交变换、子空间的正交补.57.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.58.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.59.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分1.向量与坐标2. 1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.3. 2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.4. 3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.5. 4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.6. 5. 应用向量求解一些几何、三角问题.7.轨迹与方程8. 1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.9. 2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.10.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.11.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.12.平面与空间直线13.1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.14.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.15.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.16.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.17.二次曲面18.1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.19.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.20.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.21.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程求动直线和动曲线的轨迹问题.22.二次曲线的一般理论23.1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.24.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.25.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.26.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.27.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用9.五、向量代数和空间解析几何10.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.11.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.12.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.13.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.14.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.15.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.16.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.17.六、多元函数微分学18.多元函数的概念、二元函数的几何意义.19.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.20.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.21.多元复合函数、隐函数的求导法.22.二阶偏导数、方向导数和梯度.23.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.24.二元函数的二阶泰勒公式.25.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.26.七、多元函数积分学27.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).28.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.29.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.30.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.31.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.32.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)33.八、无穷级数34.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.35.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.36.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.37.函数项级数的收敛域与和函数的概念.38.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.39.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.40.初等函数的幂级数展开式.41.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

第八讲容斥定理-2021年新高一年级数学暑假精品课程(人教A版2019)(原卷版)

第八讲：容斥定理【学习目标】1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.【基础知识】一、容斥定理公式（1）（2）()()()()()()()()Crad A Crad B Crad C Crad A B Crad A C Crad B C Crad A B C Crad A B C ++---+=【考点剖析】考点一：容斥定理的应用（一）例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（）A ．60B ．70C ．80D ．90变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A ．28B ．23C ．18D ．16变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（）A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是25 D．最多人数是80考点二：容斥定理应用（二）例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______．变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有______人．【过关检测】1、某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x，最少人数-=（）为y，则x yA．22B．21C．20D．192、某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（）A．1 B．2 C．3 D．43、学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A．20 B．17 C．14 D．234、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（）A．35 B．25 C．28 D．155、某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（）A．19 B．20 C．21 D．376、自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是（）A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟7、某小学五年级一班共有50名学生，在期中考试中语文25人优秀，数学30人优秀，两门都不是优秀者7人，则两门都是优秀同学共有______人.8、建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________9、某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．10、某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为___________.11、在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．12、某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.13、有三支股票A,B,C ．总共28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是_____人.14、向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？15、某班对两条新制定的班规A，B进行表决，结果A以90%的得票率顺利通过，而B却因得票率为40%，未过半数被否决;并且知道，对A，B都投赞成票的学生人数是对A，B都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A赞成票和同时投A，B赞成票的学生各多少人?16、已知全集U，集合A、B、C的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）；（2）.。

2019年第十一届全国大学生数学竞赛

2019 年 (第十一届) 全国大学生数学竞赛 (数学类)
预赛模拟试题
一、(15 分) 设点 P, Q, R 分别分三角形的边 AB, BC, CA 成定比 l, m, n，证明: 三点 P, Q, R 共线的充要条件为 lmn = −1.
1
2
二
、(12 分) 已知方程
1 ln(1 + x)
−
·
·
·
，证明:
6
六、(15 分) 设 A 是复数域上的一个 n 阶方阵，f (x) = |xE − A| 是 A 的特征多项式，g(x) 是一个复系数多项式. 证明:g(A) 是可逆的充分必要条件为 g(x) 与 f (x) 互素.
7
七、(20 分) 将 m 阶单位矩阵的第一行移到最后一行所得矩阵具有如下
1 x
= 2k
在区间 (0, 1)
内有实根，求常
数 k 的取值范围.
3
三、(13 分) 设 f 是一连续函数
(a)
令
g(t1,
t2)
=
f
(t1)·f
(t2)，证明
∫t
0
dt1
∫ t1
0
g(t1,
t2)dt2
=
1 2
(∫0t
f
(x)dx)2.
(b) 请把上述结果推广到 g 为 3 元函数的情形，并证明之.形式:Βιβλιοθήκη 01
0
... ...
1
(1)
1
0
特别地，m = 1 时，上式为 1 阶矩阵 (1). 设 n 阶矩阵 A 的每一行每
一列元素均为一个 1，其余元素均为 0，证明:A 与如下形式准对角矩
阵 J 相似，其中

历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)

（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分）设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分）设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。

2019全国大学生数学竞赛(非数类)模拟赛第一轮成绩

余志伟罗思庞张家瑞韩玉龙安耔源靳一鸣李晓宁廖毅炼周丹玥冉德志刘坤张忠辉陈津志江亦晗马玉寅江淏淼李海峰路镇铭刘中琦查雯浩李晓阳黄荣樟张琮熙李世政李欣茹王亚蒙黄杏王雪丽杜祥波徐照港逯心悦
徐* 储*琦汪*林
中国石油大学（华东）韩山师范学院
长春工业大学人文信息学院河北工业大学山东大学燕山大学合肥学院
合肥学院兰州理工大学
河南大学吉林师范大学
非数学类 32 成功参赛奖非数学类 31 成功参赛奖非数学类 29 成功参赛奖非数学类 28 成功参赛奖非数学类 28 成功参赛奖非数学类 27 成功参赛奖非数学类 26 成功参赛奖非数学类 25 成功参赛奖非数学类 24 成功参赛奖非数学类 23 成功参赛奖非数学类 21 成功参赛奖非数学类 21 成功参赛奖非数学类 21 成功参赛奖非数学类 20 成功参赛奖非数学类 19 成功参赛奖非数学类 18 成功参赛奖非数学类 17 成功参赛奖非数学类 17 成功参赛奖非数学类 16 成功参赛奖非数学类 16 成功参赛奖非数学类 16 成功参赛奖非数学类 15 成功参赛奖非数学类 14 成功参赛奖非数学类 13 成功参赛奖非数学类 11 成功参赛奖非数学类 6 成功参赛奖非数学类 6 成功参赛奖非数学类 6 成功参赛奖非数学类 5 成功参赛奖非数学类 5 成功参赛奖非数学类 1 成功参赛奖非数学类 0 非数学类 0 非数学类 0
报名类别
非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类非数学类

大学生安全知识竞赛及答案

大学生安全知识竞赛及答案随着社会的发展，安全问题越来越受到人们的重视。

大学生作为社会的未来栋梁，对他们的安全教育更是不可忽视。

为了提高大学生的安全意识，许多高校都举办了大学生安全知识竞赛。

下面，我将为大家介绍一些竞赛中可能出现的题目及其答案。

解释：不良信息可能会包含色情、暴力、欺诈等内容，对于这些信息，我们应该坚决抵制，并及时向相关部门举报。

收到陌生邮件要求提供个人信息，应该怎么办？解释：这些邮件很可能是骗子发送的欺诈邮件，提供个人信息可能会造成财产损失。

遇到这种情况，应立即删除邮件，并报警处理。

解释：宿舍是人员密集的地方，遇到突发状况一定要保持冷静，迅速报警或向老师报告，同时组织疏散人员到安全地带。

解释：火灾是一种危害性大、扑救困难的自然灾害，遇到火灾要迅速报警，并使用灭火器进行灭火。

同时要尽量保持冷静，等待救援。

解释：交通事故发生后，应立即报警并保护现场，等待交警处理。

同时要受伤人员的情况，及时进行救助。

解释：在路上遇到紧急情况时，应立即采取避险措施，确保自己和他人的安全。

例如遇到突然的车辆故障或危险物品泄漏等情况，应立即远离现场并报警处理。

通过参加大学生安全知识竞赛，可以增强大学生的安全意识，提高自我保护能力。

在日常生活中，大学生也应该时刻自己的安全问题，遵守交通规则、不轻信陌生人的信息、注意网络安全等。

只有做到这些才能够确保自己和周围人的安全。

在学校食堂购买的食品中发现异物，我们应该如何处理？答案：B.向食堂管理员投诉。

根据《消费者权益保护法》的规定，消费者在购买、使用商品或者接受服务时，其合法权益受到损害的，可以向销售者要求赔偿。

因此，在学校食堂购买的食品中发现异物，应该先向食堂管理员投诉，并要求赔偿。

如果你的朋友在社交媒体上发布了一些侵犯他人隐私的内容，你应该如何处理？答案：C.向平台举报。

根据《网络安全法》的规定，任何个人和组织不得违反法律法规的规定，不得侵犯他人的隐私权。

因此，如果你的朋友在社交媒体上发布了一些侵犯他人隐私的内容，你应该立即向平台举报，要求删除该内容。

2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业试题

1 2019年第十一届全国大学生数学竞赛非数学专业竞赛试题一、填空题（本题满分30分，共5小题，每小题6分）(1)sin 0ln sin lim x x e x →+-= .(2)设隐函数()y y x =由方程22()y x y x -=所确定，则2d x y =⎰. (3)定积分20(1sin )d 1cos x e x x x π+=+⎰ .(4)已知22d d d (,)323y x x y u x y x xy y -=-+，则(),u x y =.(5)设,,,0a b c μ>，曲面xyz μ=与曲面2222221x y z a b c++=相切，则μ=. 二、(本题满分14分)计算三重积分22d d d xyz x y z x y Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面()22222x y z xy ++=围成的区域在第一卦限部分.三、(本题满分14分) 设()f x 在[0,)+∞上可微，()00f =，且存在常数0A >，使得()()||||f x A f x '≤在[0,)+∞上成立，试证明在(0,)+∞上有()0.f x ≡四、(本题满分14分)计算积分2sin (cos sin )00d sin d .I e ππθφφφθθ-=⎰⎰ 五、(本题满分14分)设()f x 是仅有正实根的多项式函数，满足0()()n n n f x c x f x +∞='=-∑，证明：()00,n c n >≥极限lim n →+∞存在，且等于()f x 的最小根.六、(本题满分14分)设()f x 在[0,)+∞上具有连续导数，满足222233()()21()x f x f x f x e -⎡⎤⎡⎤'+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且()01f ≤. 证明：存在常数0M >，使得[0,)x ∈+∞时，恒有()||.f x M ≤。

北京市大学生数学竞赛试题

y 0
| y| x2 y2
2,
三、 (10分 ) 设 f ( x ) 在区间 [ 1, 1] 上三次可微 , 证明存在实数 ( 1,1), 使得 f ( ) f (1) f ( 1) f (0) . 6 2
证 f (0) f (1 ) , 2! 3! f (0) f ( 2 ) f (1) f (0) f (0) , 2! 3! 1 f (1) f (1) 2 f (0) [ f (1 ) f ( 2 )]. 6 f (1) f (0) f (0)
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
（2007 年 10 月 14 日下午 2：30--5：00）
注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题
一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） m 1. 设当 x 1时, 1 是 x 1的等价无穷小 , 则 m ______ . 1 x x m 1 解 m 3.
, B g , 根据题意知 A 0. 于是有 1 AB 1 AB arctan(
分离变量得
dv dt , 积分得 Av 2 B
代入初始条件 t 0, v v 0 , 得 C t 1 AB arctan( 1 AB A v0 ) B arctan( 1 AB

0

五、 (10分) 计算

D 2π

( sin 2 sin cos ) d π,
L : x 2 y 2 1, 正向.
z2 1( y 1), 取外侧. 4

x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy , 其中 : ( x 1) 2 ( y 1) 2

历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)

程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2

技术培训方案

技术培训方案目录一、内容描述 (2)1.1 培训目的 (3)1.2 培训背景 (3)1.3 培训目标 (4)二、培训组织架构 (4)2.1 培训委员会 (6)2.2 项目组 (6)2.3 支持团队 (8)三、学员对象与培训级别 (9)3.1 培训对象介绍 (9)3.2 基础培训课程规划 (10)3.3 高级课程介绍及前置条件 (11)四、培训内容 (12)4.1 硬件技术基础 (13)4.1.1 计算机硬件组成与维护 (14)4.1.2 网络硬件技术 (15)4.2 软件开发技能 (16)4.2.1 基本编程语言如Java, C++ (17)4.2.2 框架与工具的使用 (18)4.3 数据处理与信息安全 (18)4.3.1 数据模型与数据库设计 (20)4.3.2 数据加密与信息安全基础 (20)4.4 项目管理方法 (21)4.4.1 项目管理流程与工具 (22)4.4.2 团队合作与沟通技巧 (23)五、培训资源与设施 (24)5.1 培训场地 (25)5.2 培训设备与软件 (26)5.3 在线学习平台 (27)六、培训方式 (28)6.1 理论讲授 (29)6.2 分组讨论 (30)6.3 实际操作与实践 (30)6.4 现场评审与反馈 (32)一、内容描述技术概述：对培训涉及的技术领域进行概述，包括相关技术的基本原理、应用范围和行业发展趋势。

使参与者对所学技术有一个全面的了解。

基础理论知识：介绍相关技术的基础理论知识，包括概念、原理、方法等。

通过理论知识的讲解，帮助参与者建立扎实的技术基础。

实践操作：提供实际操作的机会，让参与者在实践中掌握所学技能。

具体操作内容包括实验、案例分析、项目实践等。

通过实践操作，增强参与者的动手能力，提高解决实际问题的能力。

行业最新技术介绍：分享行业的最新技术和发展趋势，使参与者了解行业前沿动态，为未来的职业发展做好准备。

团队协作与沟通：强调团队协作的重要性，通过团队活动和讨论，提高参与者的团队协作能力和沟通技巧。

高一数学上学期第三次月考卷(北京专用,集合逻辑+不等式+函数+指对幂函数+三角函数的诱导公式)考试版

2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷（北京专用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：集合与逻辑5%+不等式20%+函数25%+指对函数25%+三角函数25%（人教A 版）5．难度系数：0.72。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}*0,1,2,3,M N x x M N ==Î<Ç=N （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}03x x £<D ．{}03x x <<2．若扇形所对圆心角为2rad ，且该扇形面积为 21cm ，那么该扇形的弧长为（）A ．1cmBC ．2cmD ．3．若函数()f x 是偶函数，且在()0,¥+上单调递增，f (3)=0，则不等式()0f x >的解集为（）．A ．()(),30,3¥--ÈB ．()(),33,¥¥--È+C ．()()3,03,¥-È+D ．()()3,00,3-È4．设x ÎR ，则“22x -££”是“()20x x -£”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知30.530.53log 0.2a b c ===,, ，则,,a b c 的大小关系为（）．A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>7．已知3π1sin 43a æö-=ç÷èø，则πcos 4a -æöç÷èø的值等于（）A B ．C ．13D ．13-8．如图，在平面直角坐标系中， AB ， CD ， E F ， GH分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P 在其中一段上，角a 以Ox 为始边，OP 为终边，若tan sin cos a a a <<，则P 所在的圆弧是（）A ． AB B ． CDC ． E FD ． GH9．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：0ln M v u M=.u 表示气体相对于火箭的喷射速度，0M 表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），M 表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为4km/s .理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到11.2km/s ，则需装载的推进剂的吨数约为（）（参考数据ln 20.7»，ln3 1.1»）A ．22.1B ．22.3C ．22.5D ．22.710．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()f x f y xy f x y ++=+，当0x ¹时，总有()31f x x f x æö=ç÷èø，则12f æöç÷èø的值是（）A ．18B ．38C ．58D ．78第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“2x ">，340x x ->”的否定是12．函数()()21m f x m m x =--是幂函数，且在()0,x Î+¥上为增函数，则实数m 的值是．13．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2202m ，则这所公寓的地板面积至多为平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是（填写“变好了”或者“变坏了”）14．若0x >，0y >，且24x y +=，则xy 的最大值为，4y x y +的最小值为．15．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意实数,,a b c 满足222a b c +=，均有()()()0f a f b f c ++=.函数()()23g x f x x =++在[]2,2x Î-的最大值和最小值分别为M ，m .则下列说法正确的是（）①．()f x 必为奇函数②．()f x 可能为偶函数③．M m +不一定为定值，且与()f x 的单调性有关④．M m +为定值，且定值为6三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，锐角a 的终边与单位圆交于点12A ö÷÷ø，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转q 后交单位圆于点B ，点B 的横坐标为()f q ．(1)求()f q 的表达式，并求2π3f æöç÷èø的值；(2)若π163f q æö-=ç÷èø，()π,0q Î-，求tan q 的值.17．（本题满分14分）已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x £，2()43f x x x =-+-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(21)(1)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.18．（本题满分14分）某华为平板电脑体验店预计2024年10月到2025年9月全年可以销售450台平板，已知该平板电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入()*N x x Î台，则每批需付运费200元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入50台，则全年需付运费和保管费6800元.(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数；(2)若全年只有5600元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？19．（本题满分14分）已知,,a b c ÎR ，关于x 的一元二次不等式240x x c -+<的解集为{}3x b x <<．(1)求,b c 的值；(2)解关于x 的不等式()20ax ac b x bc -++<．20．（本题满分15分）已知角a 满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）.条件①：角a 的终边与单位圆的交点为()3,4M -；条件②：角a 满足3cos 5a =，且角a 为第四象限角；条件③：角a 满足π,02a æöÎ-ç÷èø且2210sin 15cos 1a a -=.(1)求()()tan ππsin πcos 2a a a -æö+--ç÷èø的值；(2)求2cos sin cos 1a a a ++的值.21．（本题满分15分）已知函数21()log 1x f x x-=+．(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)若对任意11,33x éùÎêúëû-，[]2,2t Î-，不等式2()6f x t at ³+-恒成立，求实数a 的取值范围．。

2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛数学专业(B类)试题

2019年第十一届全国大学生数学竞赛数学专业竞赛（B 卷）试题一、（本题15分）设1L 和2L 是空间中的两条不垂直的异面直线，点B 是它们公垂线段的中点。

点1A 和2A 分别在1L 和2L 上滑动，使得12A B A B ⊥. 证明直线12A A 的轨迹是单叶双曲面。

二、(本题10分)计算()()220190d 11x x x +∞++⎰三、(本题15分)设数列{}n x 满足：()110,ln 1,1,2,n n x x x n +>=+= . 证明：{}n x 收敛并求其极限值. 四、(本题15分)设{}1,,n 是n 维实线性空间V 的一组基，令1210n n +++++=证明：（1）对{}11111,2,,1,,,,,,i i n i n -++=+ 都构成V 的基；（2）V α∀∈，在（1）中的1n +组基中，必存在一组基使α在此基下的坐标分量均非负；（3）若1122n n a a a α=+++ ，且(1,2,,)i a i n = 互不相同，则在（1）中的1n +组基中，满足（2）中非负坐标表示的基是唯一的.五、(本题20分)设A 是数域F 上的n 阶矩阵，若(2n n A I I =表示单位矩阵），则称A 为对合矩阵. 试证：（1）若A 是n 阶对合矩阵，则()()rank rank n n I A I A n ++-=；（2）n 阶对合矩阵A 一定可以对角化，其相似对角形为00r n r I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，其中 ()rank n A r I =+；（3）若A ，B 均是n 阶对合矩阵，且AB BA =，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -和1P BP -同时为对角矩阵.六、(本题15分)设函数()f x 为闭区间,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的连续凹函数，满足()()0,0f a f b =>且()f x 在x a =处存在非零的右导数. 对2n ≥，记()11:(),[,]n n n k k k k k S kx kf x f b x a b ==⎧⎫⎪⎪⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑（1）证明对(0,())f b α∀∈，存在唯一(,)x a b ∈使得()f x α=；（2）求()lim sup inf .n n n S S →∞-七、(本题10分)设正项级数11n n a ∞=∑收敛. 证明级数221n n nn a S ∞=∑收敛，其中1n k k n a S ==∑.。

0.2.第十届山东省大学生数学竞赛（专科组）总决赛试卷答案2019.5.24

山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛答案（非数学类（A ），2019）一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。

）215,37.11x y x x x ⎧+<⎪=-≤≤⎨⎪>⎩1.22222..()ac bcx x b a +-123..-e 34. 2.2y x =+5.240.x y +-=6.ln 2.2π二、综合题（本题共7小题，共70分，请写出相应演算步骤。

）112222222201233232012223001()((1141; (4333)311()(3xxxxx x x f x t x t t x t x t t t x tx t t t x t x x x f x x t t x t t <≤=-+-=-+-⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰1.解：当0时，d d )d )d 分当时，)d ()12322322111;341,0133()......................................................................31,13412333(1)lim lim 422; (1)x x x x x x f x x x x x f x x x ---→→=-⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-+-'==-=-分212..............11233(1)lim 2; (11)42,01()...................................................2,1x x f x x x x f x x x ++→--'==-⎧-<≤'⎨>⎩分分故=..................1分[][](),(),()0,(),,()()()()().........................................3()()()()()(),......()bb baaab abaf xg x a b g x f x a b M m m f x M mg x f x g x Mg x mg x x f x g x x Mg x x f x g x xm M g x x>≤≤≤≤≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰2.解：由于在上连续，且由最值定理知在上有最大值和最小值即故，分d d d .d d [].............................................3,()()(),()()()()..........................................4()bb babaaaa b f x g x xf f xg x x f g x x g x xξξξ∈=⎰⎰⎰⎰分由介值定理知，存在，使d 即d =d 分d 22200000()()()()(1)()...............................2()(0)()()0(0)lim lim lim02()(0)1lim 22()x xxx xx x x x x x x g x g x xg x g x x f x x xf x fg x g x x f x x xg x g f x -----→→→-→≠'⎡⎤+-+'-++⎣⎦'=='--+'====-''''--=='3.解：时，e e e 分e e 时，由导数定义知e ，220000()()(1),0..........................................................2(0)1,02()()(1)()()()(1)lim ()lim lim ...22lim xx x xx x x x xg x g x x x x g x xg x g x x g x xg x g x x f x x x----→→→→'⎧-++≠⎪⎪=⎨''-⎪=⎪⎩'''''-+++-+-+'===e 分e e e 分()(0)1(0),22()0...............................................................2x g x gf f x x -''''--'=='=e 故在处连续分12''()(3,2)(0,0)(3,2)(0,0)2(0)2.......................................................1(3,2)2(3)2...............f x L L C f f ==-4.解：由有三阶连续导数且为其拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，通过观察图形可知，点处的切线斜率为，即分点处的切线斜率为-，即 33332220.....................................2(3,2)(3)0..........................................................1()()()()()()(21)()(21f x x f x x x x f x x x f x x f x xx ''='''''''''+++++⎰⎰⎰分又因为点为拐点，即；分所以有d =d =-d =-3033300)()...........................................................................................3(21)()(21)()2()..................................................3f x xx f x x f x f x x'''''+++⎰⎰⎰d 分=-d =-d [][]307(2)22()162(3)(0)16420....................................1f x f f =-⨯--+=+-=+=分分1232322220,...............................................1();. (232)655(1)qqpp q x x x pp qq x A px qx x x p x y x y px q x y px qx--==-=+=+=+=+=⎧++⎨=+⎩⎰5.解：抛物线与轴交点的横坐标为分故抛物线与轴围成图形的面积d 分又抛物线与直线相切，故它们有唯一交点，由方程组解得22332450,(1)200,(1), (320)200()63(1)q p q p q q A q p q -=∆+=+==+其判别式=+故=-分所以324332485..12002003(1)4(1)200(3)(),3(1)3(1)3(1)3...............................................................................................303()0,q q q q q q q A q q q q q q A q '⎛⎫+-+-'==⋅=⋅ ⎪+++⎝⎭'<<>分得到唯一驻点=分时3()0;34225,3,. (3532)q A q q p q A '><=-=时，故=时函数取得极大值，也是最大值，此时=分22222222(,)442360 (2)1(,,)(236)(44)134(236)20136(236)8013440xyP x y x y P x yd d dF x y x y x yF x y xF x y xF x yλλλλλ+=+-===+-++-'=+-+='=+-+='=+-=6.解：设为椭圆上任意一点，则到的距离求的最小值即求最小值分令11221122(,)(,)8383,;, (4)555583, (2)55x y x yx y x yd d⎧⎪⎪⎪===-=-⎨⎪⎪⎪⎩==解得分由问题实际意义知最短距离存在，因此（）即为所求点.分1111.1lim lim1,1 (2)1 (1)1nnnn nnnnxa nRa nx nx∞-=+→∞→∞∞=+=====∑∑7.解： (1)求的收敛域收敛半径，分在端点处，级数为发散，分在端点-11111111000111(1)(11) (1)().()(11),() (2)1nnnnnnx x xn n nn n nnnx S xS x nx xxS t t nt t nt t xx∞-=∞-=∞-=∞∞∞--===--∈-====-∑∑∑∑∑∑⎰⎰⎰处，级数为发散,故收敛域为，分(2)求的和函数设=，，d d d分()()2121111111() (2)11(11)111,4, 2..............................................22222nnn n nn n nx S xxnx xxn n nx∞-=∞∞∞--===-∈--===∑∑∑∑等式两边对求导得=分由于=，令故.......2分。