微积分复习及解题技巧.docx

《微积分》复习及解题技巧

第一章函数

一、据定义用代入法求函数值：

典型例题：《综合练习》第二大题之2

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意

义的自变量X的取值范围（集合）

主要根据：

①分式函数：分母H0

②偶次根式函数：被开方式20

③对数函数式：真数式>0

④反正（余）弦函数式：自变量W1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成

不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题Z1

补充：求y=、巨的定义域。（答案：-2<^<|）

]ll-2x 2

三、判断函数的奇偶性：

典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章极限与连续

式（用罗彼塔法则）

求极限主要根据:

1、常见的极限：

lim 占=（）

（。>0）

X->CO

X

lim

lim/（x

）= /（x o ） XT%

初等函数在其定义域上都连续。 例:

lim*T

XT1兀

3、求极限

r ‘⑴ 1 lim —- = 1

—a gO ）

的思路：

lim/W= c

i （c

i 工0常数）

X —

可考虑以下9种可能:

00

①彳型不定式（用罗彼塔法则）

④5=00

⑦汁

limgU ） x->a

②冷

⑤牙

数）

③2=0

00

@ —=0

00

⑨丝型不定

00

X

丿

特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则

典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、8

1砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿

补充4：

2型

一

匚 limf = i

XT1 丄

（此题用了 “罗彼塔法则”）

补充1： 洛lim x-»l

sin 2(x-l)

广 + ax+

补充厶 lim

X —>00 \

2x

^lim 1

2/? +1 丿

lim XT1

lnx

x-1

贝 ij a= ~2

X 4- P

x — \)

第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:

典型例题：《综合练习》第一大题之12

二、求给定函数的导数或微分：

求导主耍方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则:教材P110—111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）

6、求高阶导数（最高为二阶）

7、求微分：dy=y z dx即可

典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.

解：岛…右話十

，丿 / X 2arctgx、

右+K)dx

第四章中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19

二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5

二、函数的单调性（增减性）及极值问题:

典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2

第五章不定积分

第六章定积分

I理论内容复习：

1、原函数：F f(x) = /(x)

则称F (x)为f (x)的二±原函数。

2、不定积分：⑴概念：f (x)的所有的原函数称f (x)的不定积分。

^f(x)dx = F(x) + C

注意以下儿个基本事实:

(J7(x)dj = /(x) \f f Mdx = /⑴ + C

d J7(x)dx = f{x)dx

側⑴》(x) + C

⑵性质：p • f (x)dx =町/⑴dx(注意a H 0)

^[f(x)±g(x)]dx =

⑶基本的积分公式：教材P206

3、定积分:

⑴定义⑵几何意义

⑶性质：教材P234—235性质1—3

⑷求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式

II习题复习:

关于积分的概念题:

典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14

二、求不定积分或定积分：

可供选用的方法有——

⑴直接积分法：直接使用积分基本公式

⑵换元枳分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法

⑶分部积分法

典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6

关于“换元积分法”的补充题一:

+1) = |ln|2x +1| + C

关于“换元积分法”的补充题二：

解：设x —3=t2,即』x-3二t,

则dx=2tdt.

关于“换元积分法”的补充题三:

解：设X*,即Vx ,贝lj dx=3t2dt.

当x=0 时，t=0；

当x=8 时，t=2.

所以