微积分复习及解题技巧.docx

《微积分》复习及解题技巧
第一章函数
一、据定义用代入法求函数值：
典型例题：《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意
义的自变量X的取值范围（集合）
主要根据：
①分式函数：分母H0
②偶次根式函数：被开方式20
③对数函数式：真数式>0
④反正（余）弦函数式：自变量W1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成
不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题Z1
补充：求y=、巨的定义域。

（答案：-2<^<|）
]ll-2x 2
三、判断函数的奇偶性：
典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章极限与连续
式（用罗彼塔法则）
求极限主要根据:
1、常见的极限：
lim 占=（）
（。

>0）
X->CO
X
lim
lim/（x
）= /（x o ） XT%
初等函数在其定义域上都连续。

例:
lim*T
XT1兀
3、求极限
r ‘⑴ 1 lim —- = 1
—a gO ）
的思路：
lim/W= c
i （c
i 工0常数）
X —
可考虑以下9种可能:
00
①彳型不定式（用罗彼塔法则）
④5=00
⑦汁
limgU ） x->a
②冷
⑤牙
<C 2（C 2^O 常
数）
③2=0
00
@ —=0
00
⑨丝型不定
00
X
丿
特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则
典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、8
1砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿
补充4：
2型
一
匚 limf = i
XT1 丄
（此题用了 “罗彼塔法则”）
补充1： 洛lim x-»l
sin 2(x-l)
广 + ax+
补充厶 lim
X —>00 \
2x
^lim 1
2/? +1 丿
lim XT1
lnx
x-1
贝 ij a= ~2
X 4- P
x — \)
第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:
典型例题：《综合练习》第一大题之12
二、求给定函数的导数或微分：
求导主耍方法复习：
1、求导的基本公式：教材P123
2、求导的四则运算法则:教材P110—111
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）
6、求高阶导数（最高为二阶）
7、求微分：dy=y z dx即可
典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.
解：岛…右話十
，丿 / X 2arctgx、
右+K)dx
第四章中值定理，导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19
二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5
二、函数的单调性（增减性）及极值问题:
典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2
第五章不定积分
第六章定积分
I理论内容复习：
1、原函数：F f(x) = /(x)
则称F (x)为f (x)的二±原函数。

2、不定积分：⑴概念：f (x)的所有的原函数称f (x)的不定积分。

^f(x)dx = F(x) + C
注意以下儿个基本事实:
(J7(x)dj = /(x) \f f Mdx = /⑴ + C
d J7(x)dx = f{x)dx
側⑴》(x) + C
⑵性质：p • f (x)dx =町/⑴dx(注意a H 0)
^[f(x)±g(x)]dx =
⑶基本的积分公式：教材P206
3、定积分:
⑴定义⑵几何意义
⑶性质：教材P234—235性质1—3
⑷求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式
II习题复习:
关于积分的概念题:
典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14
二、求不定积分或定积分：
可供选用的方法有——
⑴直接积分法：直接使用积分基本公式
⑵换元枳分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法
⑶分部积分法
典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6
关于“换元积分法”的补充题一:
+1) = |ln|2x +1| + C
关于“换元积分法”的补充题二：
解：设x —3=t2,即』x-3二t,
则dx=2tdt.
关于“换元积分法”的补充题三:
解：设X*,即Vx ,贝lj dx=3t2dt.
当x=0 时，t=0；
当x=8 时，t=2.
所以
=31n3
（此题为定积分的第二类换元积分法,注意“换元必换限”，即变量
x 换成变量t 后，其上、下限也从0、8变为0、2）
关于“分部积分法”的补充题一:
关于“分部积分法”的补充题二:
1 1 2
dx = arct 2 x — lnl + x +C l + x 2 2
关于“分部积分法”的补充题三：
J xln xdx
（此题为定积分的分部积分法）
三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 典型例题：《综合练习》第六大题之4
注意：此题若加多一条直线y=3x,即求三线所围平面图形的面积, 则解法为——（草图略）
dx
3t 2dt
)1 + F
3
3(—) +
市
dt = 3 -(r-l)2
+ln|l + r
2
xe x dx = \xde x = xe x
e' dx — (x — 1)K + C
^arct^xdx = xarctgx - jx • =—r \nxdx 2
=— x 2
\nx 2」 2
e F 2 -x Jinx 1」 -x 2\nx 2
、 -xdx 1』
2 1 2 e —
—x 2
7
\
2
1 2
e ------ x
2
冷（八討+护押+1）
=2寺 3 2
<2 3
I”
(3 1 )
-x9 —— x27
U 3丿
'3_2
J"3
=y （平方单位）
使用指南本复习参考贽料应当与人手一册的
《综合练习题》配套使用并服从于《综合练习题》。

另外, 请注意如下几点：
①本复习参考资料中的蓝色字体的“补
充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年9
月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。

②《综合练习题》是我们复习重点中的重点，请
对照答案将所有题目完整地做一遍（使题目与
• • • •
答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查找
的速度和准确度）。

③请将上述做好的《综合练习题》随身携带，经
• • •
常复习、记忆，为应试作好准备；
④考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，
如果你发现只是《综合练习题》上的题目改变了
数字，那么请将你能够知道的、原来那个题目的
解法步骤完整地写出来，也能获得该题一部分的
分数。

对于填空、选择这样的小题，尽
你所能去做，不要留下空白!。