人教版数学必修一1.1.1
新人教版高中数学必修一全套教案
b. {(x,y) ∣ x+y=6 ，x、 y∈ N}用列举法表示为
.
c. 用列举法表示下列集合 , 并说明是有限集还是无限集 ?
(1){x ∣ x 为不大于 20 的质数 }; (2){100
以下的 ,9 与 12 的公倍数 };
(3){(x,y)
∣ x+y=5,xy=6};
d. 用描述法表示下列集合 , 并说明是有限集还是无限集 ?
1. 1. 2 集 合间的基 本关系 （1 课时 ）
教学目标： 1. 理解子集、真子集概念；
2. 会判断和证明两个集合包含关系；
3. 理解“ ”、“ ”的含义； 4. 会判断简单集合的相等关系；
5. 渗透问题相对的观点。
教学重点： 子集的概念、真子集的概念
教学难点： 元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算
, 以提供某种规律 ,
例 1．用列举法表示下列集合： (1) 小于 5 的正奇数组成的集合； (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合； (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合； (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；
(5) 方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合；
②若 a Ν ,b Ν , 则 a+b 的最小值是 2 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为 {2,2}
其中正确命题的个数是 ( )
A ．0
B
．1
C
．2
D
．3
（ IV ）课时小 结
1. 集 合的含 义；
2. 集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集
合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
人教版A数学必修一第1章 1.1.1 集合的含义
人教版A数学必修一第1章 1.1.1 集合的含义解答题若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.【答案】（1）不是（2）A＝{1，2，}或{－1，2，}或{1，3，}【解析】试题分析:（1）根据定义，由于2的倒数为不在集合A 中，故集合A不是可倒数集．（2）若两个倒数互不相等，则“可倒数集”元素个数为偶数，因此必有一个元素的倒数等于其本身，即必有1或-1，再取其它两个互为倒数的数即得含3个元素的可倒数集．试题解析:(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．填空题已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】x只能取3,4,5，故5＜k≤6.选择题下列集合中，不同于另外三个集合的是()A. {x|x＝1}B. {x|x2＝1}C. {1}D. {y|(y－1)2＝0}【答案】B【解析】{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.填空题设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝_________.【答案】【解析】显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.解答题．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负质数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)可用列举法写出所求集合；(2)可用描述法表示所求集合.试题解析：(1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集．(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，是无限集．选择题设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．故选B.选择题已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A. 0∉MB. 2∈MC. －4∉MD. 4∈M【答案】D【解析】当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.填空题用列举法写出集合＝___________.【答案】【解析】∵∈Z，x∈Z，①∴3－x为3的因数．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴＝±3，或＝±1.∴－3，－1,1,3满足题意．选择题在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是()A. ②B. ③C. ②③D. ①②③【答案】C【解析】①高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合；②而正三角形标准明确，能构成集合；③方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C．选择题用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A. {1,1}B. {1}C. {x＝1}D. {x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】试题分析：集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.解答题已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【答案】（1）当时，，当时，；（2）【解析】试题分析:将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．试题解析:(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A＝{}，符合题意；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.选择题已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A. 2B. 3C. 0或3D. 0或2或3【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m ＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.选择题方程组的解集是()A. B. {x，y|x＝3且y＝－7}C. {3，－7}D. {(x，y)|x＝3且y＝－7}【答案】D【解析】解方程组得，用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D选择题已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【解析】由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.选择题下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程组的解集的是()A. ①②③④⑤⑥B. ②③④⑤C. ②⑤D. ②⑤⑥【答案】C【解析】方程组的解是故选C.选择题已知集合A＝{x|x≤10}，a＝，则a与集合A的关系是()A. a∈AB. a∉AC. a＝AD. {a}∈A【答案】A【解析】由于＋＜10，所以a∈A.故选A.。
高中数学人教A版必修1《1.1.1集合的含义与表示》教案3
必修一《1.1.1集合的含义与表示》教学案教学目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0，1，2，3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1，2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A，4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1，2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．答案：(1)(3)例2用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}；(3)1～20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.例3试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－2，x2＝2，因此，用列举法表示为A ＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B ＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.知能训练课后练习1，2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N ，5__________N ，16__________N ；(2)－12__________Q ，π__________Q ，e __________C R Q (e 是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x |x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q }．答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ (3)∈3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值． 解：∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．∴m 只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4.列举法：{(1，4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2，3，5，7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2，0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2，0，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x ，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y ，0}，Q ＝{y 2，－y 2，0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，此时P ＝Q ＝{1，－1，0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围． 活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．(2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98.点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S？活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·x2是否是集合S中的元素．解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.(2)不妨设x1＝m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z.则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3，4.。
人教版高中数学必修1《集合间的基本关系》高一上册PPT课件(第1.1.1课时)
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3． 空 集
(1)定 义 ： 不 含 任 任何 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集 ， 记 为 ∅. ∅
(2)规 定 ： 空 空 集 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ．
思 考2： {0}与 ∅相 同 吗 ？ [提 示 ]不 同 ． {0}表 示 一 个 集 合 ， 且 集 合 中 有 且 仅 有 一 个 元 素0； 而 ∅表 示 空 集 ， 其 不 含 有 任 何 元 素 ， 故 {0}≠ ∅.
学习目标：
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
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3．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( )
A．M⊆N
B．M∈N
C．N⊆M
D．M＝N
C [正 方 形 是 特 殊 的 菱 形 ， 故N⊆M.]
4． 集 合 {0,1}的 子 集 有 ________个 ． 4 [集 合 {0,1}的 子 集 有 ∅， {0}， {1}， {0,1}， 共4个 ． ]
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思考 1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
[提示] (1)不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一一、函数与三角函数1.1 函数的基本概念定义1.1.1：函数从一个集合A中的每一个元素a，都唯一地对应到另一个集合B中的一个元素f(a)，则称这样的对应f为一个函数。
定义1.1.2：自变量和因变量在函数f中，元素a称为自变量，元素f(a)称为因变量。
定义1.1.3：定义域和值域f的定义域是由自变量构成的集合A，f的值域是由因变量构成的集合B。
1.2 函数的表示方法1.2.1 显式表示法在一个函数的定义域内，用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1就是一个用显式表示法表示的函数。
1.2.2 隐式表示法在一个函数的定义域内，无法用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系，只能通过复杂的方程或者不等式来描述函数。
例如，方程x^2+y^2=1就是一个用隐式表示法表示的函数。
1.2.3 参数表示法在一个函数的定义域内，用一个参数表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=sin(x)就是一个用参数表示法表示的函数，其中sin是一个参数。
1.2.4 函数图像函数图像是函数在坐标系中的图形。
如果函数的定义域和值域都是实数集合，那么可以用二维笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1的图像是一条开口向上的抛物线。
1.3 三角函数1.3.1 弧度制弧度（radian）是表示角度大小的一种单位。
一弧度表示角度中圆心角对应的弧长等于半径的长度。
例如，一个半径为1的圆的周长是2π，那么一弧度对应的角度大小就是360°/2π≈57.3°。
1.3.2 三角函数的定义令在单位圆上顺时针旋转的角度为θ，则定义三角函数为：sinθ=纵坐标（y）cosθ=横坐标（x）tanθ=纵坐标（y）/横坐标（x）cotθ=横坐标（x）/纵坐标（y）secθ=1/cosθcscθ=1/sinθ1.3.3 三角函数的基本关系式sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθcotθ=1/tanθ1.3.4 三角函数的性质周期性：sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
人教版数学必修一 第一章 1.1.1 集合的含义与表示
问题
如果用A表示高一（ ）班学生组成的集合， 表示高 如果用 表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 表示高一 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 ）班的一位同学， 表示高一（ ） 表示高一 那么a、 与集合 分别有什么关系？ 与集合A分别有什么关系 学,那么 、b与集合 分别有什么关系？由此看出元 那么 素与集合之间有什么关系？ 素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数 的值. 求实数a的值 求实数 的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？ 今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 元素与集合的关系： ， 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
第12页 页 习题1.1 A组 第1、2、3、4题 习题 组 、 、 、 题
2．选择题 ． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中 关键在于 解析 判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 判断一个元素是否在某个集合中 弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 的所有实数根” 的所有实数根 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｝ 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 并用花括号｛ 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号｛｝括起来表示 注意：元素与元素之间用逗号隔开） （注意：元素与元素之间用逗号隔开） 叫做列举法 集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法 用列举法表示下列集合： 例1 用列举法表示下列集合： 一个集合中的元素 (1)小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 小于 的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合； 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的所有实数根组成的集合； 方程 的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合 以内的所有素数组成的集合. 由 以内的所有素数组成的集合 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ， ， ， ， ， ， ， 1.确定性 确定性 2.互异性 互异性 3.无序性 无序性
1.1.1《感知数据》优秀教学案例
3.让学生了解我国高考报名人数及录取情况的变化趋势，从而培养学生的国情观念，提高学生的社会责任感。
（二）过程与方法
1.培养学生自主学习的能力，让学生通过网络、报纸等途径收集数据，提高学生获取信息的能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在数据收集、整理和分析过程中的优点和不足。
2.组织学生进行评价，让学生在评价中互相学习，共同提高。
3.教师要关注学生的情感态度，对学生在学习过程中的表现给予积极的评价，增强学生的自信心。
4.通过反思与评价，让学生认识到数据的重要性，培养学生的数据观念。
2.鼓励学生通过收集和分析数据，解决问题，培养学生解决问题的能力。
3.在解决问题的过程中，引导学生反思自己的思维过程，提高学生的思维品质。
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组学生共同完成数据收集、整理和分析的任务。
2.鼓励小组成员之间积极沟通、协作，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。
3.教师在小组合作过程中，要关注学生的个体差异，给予每个学生充分的参与机会，提高每个学生的学习能力。
五、案例亮点
1.贴近生活，提高学生学习兴趣：本节课以我国高考报名人数及录取情况为背景，紧密结合学生的实际生活，提高了学生学习的兴趣和积极性。通过展示真实的数据图表，让学生直观地感受数据的变化趋势，引发学生对数据的关注和思考。
2.培养学生的数据观念和解决问题的能力：本节课通过引导学生提出问题、收集和分析数据、得出结论并进行验证的过程，培养了学生的数据观念和运用数据解决实际问题的能力。学生在这个过程中，学会了如何从现实生活中发现并提出问题，如何通过收集和分析数据来解决问题，进一步提高了学生的数学应用能力。
人教版高一数学必修一电子课本1
第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用rjniug垢丁梢W苗百軒HUF*目士申'，. ifJUVJl^^ i V > 卩心J !；TW >11 t，ST U l'射环 * + V fl * ' i WUv)pjBJ}E丁枷下H即r?3脚”11韋£#叫丰赳丁申**苹Ell uUi A虫抄上写厲啟¥*古MF£L摩暂•屮胡计翠聃劭¥・d ii-E-jr+B-If/UvH*301（g）讯时t （V»F m（»fflV）F B• T^^*+#w：-wnv■耳*刼卓百强耳粧剪第■ -f/Uv-韦％如帑*卑收铤罩削卜M *爭杰串*皆寻中刊对龈>=1「亦'»■tFiri苗1山描甲#¥奉对卵丁弭比声主芒公"口■*7>（fifiJ\ ）1坤•’"旧屮”''ruw"岁*硏号龜前童专埒导d卵竽毎畫印幼LH'即弘•爭嚣炖！■鸟箱黑窃寻片弟节询罕” ■耳您邸千曲鼻*常寻界事耶皿輩”补'itff**胡4■邸琴啓舉护凰’¥£#■<>出令聲部悴孰羊* '*◎卡啊亍罚擘曲母刘他耶舌祢黒一丄帝春塔•！［盲出R# g伞并亲■無尅鱼野栖苯L』伞审爭讲人播h（HUt'Jl UE±-<U2卩十IV回料=阳仃冲严的# “ 5导¥刊加十凰拿科4 •科琦十*- ci/Uviiy^■p-dTAVlpJ^if-jfZ'i i>ijf¥T##W^tfTUV）F™ ■（HflFlF™ （flJF1' <1 屮⑴、■怕U肿出, 子H曲+优如E 则*4t常卯XOIP書鼻皿 7 士昭心甲-国门1。
高中数学集合的概念课件人教版必修一.ppt1.1.1
如果a是集A的元素，记作: a ∈ A 如果a不是集A的元素，记作： a ∉A
例如，用A表示“ 1~20以内所有的整数”组成的集合，则有
4.常见的数集有哪些？分别要怎样来表示？
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 符号
N N* 或N+ Z Q R
整数集
有理数集 实数集
知识探究（一）集合的表示方法 问题1：通过我们对课本的预习，我们知道，课本为我们提供了 哪几种集合表示方法？
Ｂ＝｛ x Z 10 x 20 ｝
用列举法表示为 Ｂ＝ { 11,12,13,14,15,16,17,18,19｝
课堂练习 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，横坐标上的点 组成的集合；
（3）所有奇数组成的集合； （4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.
知识探究（三）
思考1：a 与{a }的含义是否相同？ 思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？ 思考3：集合{ y | y x 2 , x R} 与集合 { y x 2 } 相同吗？ 思考4:集合 {( x, y) | y x 2 , x R}11，13，17，19}.
2.互异性
3.无序性
问题4:考察下列集合： （1）不等式2 x 7 3 的解组成的集合； （2）绝对值小于2的实数组成的集合.
思考1：这两个集合能不能用列举法表示? 思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？ 思考3：上述两个集合还可以怎么表示？ 思考4：这种表示集合的方法叫什么？ 描述法 思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？ 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。 康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1 月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年 入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获 博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教 授，1879年任教授。 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的 兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较 完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)AA子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2)A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则ABA(B)BA或真子集AB（或BA）AB，且B中至少有一元素不属于AA（A为非空子集）（1）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n它有22非空真子集. （8）交集、并集、补集1【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图AB 交集{x|x A,且（1）AAA（2）AAB（3）ABAxB}ABBAB 并集{x|x A,或（1）AAA（2）AAAB（3）ABAxB}ABB1A(e U A)2()AeAUU补集e U A{x|xU,且xA} 痧U(A B)(U A)(?U B)痧U(AB)(U A)(?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)x|xa或xa}把axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxcaO的图象一元二次方程20(0)axbxcax1,22bb4ac2abxx122a无实根（其中x1x2)的根20(0) axbxca的解集b{x|xx或xx2}{x|x}12aR 220(0)axbxca的解集{x|xxx}12〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足a xb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，()xkkZ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有byaycy，从而确定函数的值域或最值．2()4()()0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的定义图象判定方法性质 如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量 的值x2,当x ． 1、x 1．<．x ．2．时，都y y=f(X) f(x)2（2）利用已知函数的 单调性有f ．(x ．．．)．<．f(．x ．．．)．，那么就说 12 f(x)在这个区间上是增函数． ．．．f(x)1（3）利用函数图象（在 某个区间图o x 1x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数 单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某yy=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量 11、x ．<．x ．的值x2，当x ．2．时，都 有f ．(x ．．12．)．，那么就说f(x) 1f(x) 2单调性 （3）利用函数图象（在 某个区间图f(x)在这个区间上是减函数． ．．．o xx 12x象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则y f[g(x)]为增；若yf(u)为 增，ug(x)为减，则y f[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yyf[g(x)]为减．a（2）打“√”函数()(0)fxxax的图象与性质 f(x)分别在(,a ]、[a ,)上为增函数，分别在ox[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作0f max(x)M．5②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f max(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yfxyfxh()h0,h()左移个单位右移|个单位h0,h|yfxyfxk()kk()0,上移个单位下移|个单位k0,k|变换②伸缩01,伸yf(x)yf(x)1,缩6yfxyAfx()0A1,缩()A1,伸③对称变换x轴yf(x)y轴yf(x)yf(x)yf(x)原点直线1yxyf(x)yf(x)yf(x)yf(x)去掉轴左边图象yyf(x)yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象yfxyfx()x|()|将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。
人教版高中数学必修一课后答案
人教版高中数学必修一课后答案人教版高中数学必修一课后答案1.1集合1.1.1集合的含义与表示练习(第5页)1.用符号“ ”或“ ”填空：(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A; (2)若A {x|x2 x}，则1_______A;(3)若B {x|x2 x 6 0}，则3_______B;(4)若C {x N|1 x 10}，则8_______C，9.1_______C. 1.(1)中国A，美国A，印度A，英国A;中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.2(2) 1 A A {x|x x} {0,.1 }2 (3)3 B B {x|x } x 6 0} { 3.,2(4)8 C，9.1 C 9.1 N. 2.试选择适当的方法表示下列集合：(1)由方程x 9 0的所有实数根组成的集合; (2)由小于8的所有素数组成的集合;(3)一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合; (4)不等式4x 5 3的解集.练习(第7页)1.写出集合{a,b,c}的所有子集.1.解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得;取一个元素，得{a},{b},{c}; 取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}; 取三个元素，得{a,b,c}，即集合{a,b,c}的所有子集为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.2.用适当的符号填空：(1)a______{a,b,c}; (2)0______{x|x2 0}; (3) ______{x R|x2 1 0};(4){0,1}______N;(5){0}______{x|x2 x}; (6){2,1}______{x|x2 3x 2 0}. 2.(1)a {a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素; (2)0 {x|x 0} {x|x 0 }2、2、2、{;0}、2、2(3) {x R|x 1 0} 方程x 1 0无实数根，{x R|x 1 0} ;练习(第11页)1.设A {3,5,6,8},B {4,5,7,8}，求A B,A B. 1.解：A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {5,8}，A B {3,5,6, 8}{4,5 ,7,8}{3,.42.设A {x|x2 4x 5 0},B {x|x2 1}，求A B,A B. 2.解：方程x2 4x 5 0的两根为x1 1,x2 5，方程x2 1 0的两根为x1 1,x2 1，得A { 1,5},B { 1,1}，即A B { 1},A B { 1,1,5}.3.已知A {x|x是等腰三角形}，B {x|x是直角三角形}，求A B,AB. 3.解：A B {x|x是等腰直角三角形}，A B {x|是. x等腰三角形或直角三角形}4.已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，A {2,4,5},B {1,3,5,7}，5.学校里开运动会，设A {x|x是参加一百米跑的同学}，B {x|x是参加二百米跑的同学}，C {x|x是参加四百米跑的同学}，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：(1)A B;(2)A C.5.解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为(A B) C .(1)A B {x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}; (2)A C {x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.6.设S {x|x是平行四边形或梯形}，A {x|x是平行四边形}，B {x|x 是菱形}，C {x|是，求B C，ðAB，ðSA. x矩形}6.解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即B C {x|x是正方形}，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即ðAB {x|x是邻边不相等的平行四边形}，x 梯形} ðSA {x|是学习高中数学的方法课前预习：一个老生常谈的话题，也是提到学习方法必将的一个，话虽老，虽旧，但仍然是不得不提。
人教版高中数学必修一1.1.1_集合的含义与表示ppt课件
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 集合与函数的概念 第一章 1.1.1 第1课时
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
1 23 45
答案
3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( C )A1B.2 C.3 D.4
1 23 45
答案
4.下列结论不正确的是( C )
A.0∈N
B. 2∉Q
C.0∉Q
1 23 45
D.－1∈Z
答案
1 23 45
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
大写拉丁
字母A，B，C，…
答案
知识点二 元素与集合的关系
思考 答案
1 是整数吗？12是整数吗？ 1 是整数；12不是整数．
一般地，元素与集合的关系有两种，分别为 属于、
别为
、 ∈.
∉
，不属数于学符号分
答案
知识点三 元素的三个特性 思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘 米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？ 答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标 准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的 含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么 任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
人教版高一数学必修一章节知识点
注意：由于x ∈R ，x ∈Z 是明确的，可以省略。
1.1.2 集合间的基本关系一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）。
如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊆），集合A 与集合B 中的元素是一样的，那么可以说集合A 与集合B 相等。
记作A=B 。
若集合B A ⊆，但存在x ∈B ，且x ∉A ，可以称为集合A 是集合B 的真子集。
记作。
不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合A 的子集，即∅⊆A ，同时是任意非空集合的真子集。
还有以下结论：任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A ；对于任何集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C 。
还可以用平面上封闭曲线的内部代表集合间的关系。
1.1.3 集合的基本运算并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作B A (读作“A 并B ”)，即},|{B x A x x B A ∈∈=或 。
如，集合A={x |-1<x <2}与集合B={x |1<x <2}的并集C={x |-1<x <3}在数轴上可表示为：。
交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A （读作“A 交B ”），即},|{B x A x x B A ∈∈=且 。
补集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U （或把给定的集合作为全集）。
对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作，即。
第二节：函数及其表示1.2.1 函数的概念对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y和它对应，记作f ：A →B 。
高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
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第一章 集合与函数概念
[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质： (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一
旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元
素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，
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第一章 集合与函数概念
1．集合的概念 (1) 含 义 ： 一 般 地 ， 我 们 把 所 研 究 对 象 统 称 为 元 素 ， 把 一 些 元 素 组 成 的 ___总__体___叫做集合(简称为集)． (2)集合相等：只要构成两个集合的___元__素___是一样的，即这两个集合中的 元素完全相同，就称这两个集合相等．
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第一章 集合与函数概念
自主预习学案
数 学 必 修 ① · 人 教 A 版
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第一章 集合与函数概念
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教 数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概 念，数学家很难回答那位渔民．
(3)一次函数 y＝x－1 与 y＝－23x＋43的图象的交点组成的集合．
[ 思路分析] (1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立
数
学 必 修 ①
· 人
y＝x－1 y＝－23x＋43 →求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．
教
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)36 与 60 的公约数有 1,2,3,4,6,1x－4)2(x－2)＝0 的根是 4,2，所求集合为{2,4}．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题
数 意．
学
必 修
综上所述，实数a的值为0或－1.
①
·
人
教
A
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第一章 集合与函数概念
命题方向3 ⇨用列举法表示集合
典例 3 用列举法表示下列集合： 导学号 3234639
(1)36 与 60 的公约数组成的集合； (2)方程(x－4)2(x－2)＝0 的根组成的集合；
它的任何两个元素都是不同的．
数
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同
学
必 修
一集合．
①
·
人
教
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第一章 集合与函数概念
2．元素与集合的关系
关系
概念
属于 如果a是集合A中的元素，就说a 属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就 说a不属于集合A
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习 1〕 导学号 3234639
下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校 2018 年在校的所有高个子同学；
(3)不超过 20 的非负数；
(4)方程 x2－9＝0 在实数范围内的解；
数
学 必
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．
人
教 A
a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确．故选A．
版
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数 集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学 的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这 个集合的元素的共同特征．
名称
非负整数集 (自然数集)
正整数集
整数集
数
符号
学
必
修
①
·
人
教
A
版
___N___
__N__*或__N__＋__
___Z___
有理数集 ___Q___
实数集 __R____
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第一章 集合与函数概念
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示
集合的方法叫做列举法． (4) 描 述 法 ： 在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 _____一__般__符__号___ 及
导学号 3234639
[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1 数 ＝3，x2＝3.(3){x|3<x≤8，x∈R}．
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第一章 集合与函数概念
互动探究学案
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『规律方法』 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的 判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确 定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作 一个，即集合中的元素满足互异性．
修 ①
· 人 教
A
版
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无 法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也
不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负
数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超
第一章 集合与函数概念
命题方向1 ⇨集合的基本概念
典例 1 下列各组对象： 导学号 3234639
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018 年在
韩国举行的第 23 届冬奥会的所有参赛运动员；④ 2的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②___③___.
数
学 必
[思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异
记法 a__∈___ A
a∉A
读法 a属于集合A a__不__属__于____集合A
数
[知识点拨] 符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符
学
必 号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
修
①
·
人
教
A
版
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第一章 集合与函数概念
3．集合的表示法 (1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实 数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉 丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
(3)方程组2x－x＋y＝3y＝1，4 的解是yx＝＝7525， ，
所求集合为{(75，25)}．
数 学
必
修 ①
· 人 教
A
版
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合 比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
(C )
数 学
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观
必
修 ①
地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
·
人
教
A
版
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第一章 集合与函数概念
2．下列关系：①0.21∈Q；②150∉N*；③－ 4∈N*；④ 4∈N.其中正确的个
数是 导学号 3234639
描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船
外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化而变化，等等．而高中的函数是用
集合来刻画的，集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就
是使用，非洲大草原上生存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为
数 学
了生存，它们过着“群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集
①N 中最小的元素是 1；②若 a∈N，则－a∉N；
③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值是 2.
其中所有正确命题的个数是
( A)
A．0
B．1
数
C．2
D．3
学 必
[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系．
修
① ·
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即
修
① ·
性，进而判断能否组成集合．
人
教
A
版
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第一章 集合与函数概念
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即 元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
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第一章 集合与函数概念
新课标导学
数学
必修① ·人教A版
第一章
集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第一章 集合与函数概念
据央视新闻2月27日消息，中国将于2016年年中至2017年上半年间，组织实
施载人航天工程空间实验室任务．中国将发射“神舟”十一号飞船，搭乘2名航
天员，与天宫二号对接，在飞船进入预定轨道的过程中包含了一些可以用函数