概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下：

⎪⎩⎪⎨

⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,

,0X ⎪⎩⎪⎨

⎧=

若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,

,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625

12101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=

36

1122122=⋅ 或写成

（2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=

66

101121210=⋅

P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=

66

1111122=⋅ 或写成

3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表，Y 的联合分布律。

解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=

35147

2

222=

C C C P {X=1, Y=1 }=

3564

722

1213=

C C C C P {X=1, Y=2 }=35

64

712

2213=

C C C C P {X=2, Y=0 }=35347

2223=

C C C P {X=2, Y=1 }=

35

124

7

12

1223=

C C C C

P {X=2, Y=2 }=353472223=

C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=

C C C P {X=3, Y=1 }=35

247

1233=

C C C P {X=3, Y=2 }=0

5.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧<<<<--=其它,04

2,20),6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k 。 （2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5}

（4）求P (X+Y ≤4}

分析：利用P {(X , Y)∈G}=

⎰⎰⎰⎰⋂=o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其

中⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o

解：（1）∵⎰⎰⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

---=

=

20

12

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8

1=

k （2）8

3

)6(8

1)3,1(32

1

⎰

⎰=

--=

<

Y X P （3）32

27

)6(81),5.1()5.1(4

25.10

=

--=∞<≤=≤⎰

⎰

dy y x dx Y X P X P （4）3

2

)6(81)4(402

0=--=

≤+⎰

⎰

-dy y x dx

Y X P x

6．（1）求第1题中的随机变量（X 、Y

（2）求第2题中的随机变量（X 、Y 解：（1）① 放回抽样（第1题）

3625

36

5

1 36

5 36

1 边缘分布律为 X 0

1

Y 0

1

P i ·

6

5

6

1

P ·j

6

5

6

1

② 不放回抽样（第1题）

0 6645 6610 1

66

10 66

1 边缘分布为 X 0

1

Y 0

1

P i ·

6

5

6

1

P ·j

6

5

6

1

（2）（X ，Y ）的联合分布律如下

解： X 的边缘分布律

Y 的边缘分布律

X 0 1 2

3 Y 1 3

P i ·

81 83 83 81 P ·j 86

8

2

7.[五] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤≤≤-=其它

求边缘概率密度0

.

0,10)

2(8.4),(x y x x y y x f

解：⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤-=-==

⎰

⎰

∞

+∞

-其它

10)

2(4.2)2(8.4),()(0

2x x x dy x y dy y x f x f x X