5.3 刚体定轴转动定律

解： 杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不
同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，
m 细杆的质量密度： l 质元质量： dm dx
质元受阻力矩：
m l
o
m dx
x dm
x
dM阻 dmgx
细杆受的阻力矩：
1 1 2 M阻 dM阻 gxdx gl mgl 0 5 2 2
7
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
J z m i ri
2
——刚体对 z 轴的转动惯量
刚体对 z 轴的角动量为：
Lz J z ω
即：刚体绕定轴转动时， 对转轴的角动量，等于刚 体对转轴的转动惯量与角 速度的乘积。
ω
ri O
z
vi
mi
强调：对于刚体的定轴转动，我们用角动量来描述， 而不用动量来描述。 8
第5章 刚体的定轴转动
ω
ri v i O m i
z
Li m i v i ri m i ri
2
刚体对固定轴的角动量为：
Lz mi ri ( m i ri ) （所有质元的动量矩之和）
2
2
J z m i ri ——刚体对 z 轴的转动惯量。
2
3 J c 3 mr ml , ( r l) 3
2
2
m
通过 o 点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
l m
o r
l
· c
l
m
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2 = m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
12
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
19
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半经为 R ，质量为 m 的均匀圆环， 求：对于沿直径转轴的转动惯量
m 解：圆环的质量密度为： 2 R
在环上取质量元 dm，dm 距转轴为 r
r R cos
d
r dm

ຫໍສະໝຸດ Baidu
dm dl Rd
J r dm
2 m
dm
面分布
：质量元
线分布
体分布
dm dl
dm dS
dm dV

: 质量线密度
: 质量面密度
: 质量体密度
10
5.3 刚体定轴转动定律
可视为分立质点结构的刚体 转轴
第5章 刚体的定轴转动
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则：
J mi ri
2 1 1
解：分割质量元 dm，各质 量元到轴的距离相等，
J R dm
2 0
M
M
o
dm
R
2

M
0
dm MR
2
R
绕圆环质心轴的转动惯量:
J MR
2
相当于质量为 m 的质点对轴的转 动惯量。与质量在环上的分布无关。
13
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例： 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘， 求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设圆盘面密度为 ，在盘上 取半径为 r ，宽为 dr 的圆环。 圆环质量：dm 2 π rdr
5.3 刚体定轴转动定律
定义式： J
第5章 刚体的定轴转动
二、刚体定轴转动的转动惯量（Moment of Inertia）
m r
2
i i
,
J r dm
2
（质量不连续分布） （质量连续分布） 刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。 物理意义：是刚体转动惯性的量度。 刚体的转动惯量的大小：
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
5.3 刚体定轴转动定律
1
5.3 刚体定轴转动定律
补充的内容：对转轴的力矩
第5章 刚体的定轴转动
F 对转轴 Z 的力矩 M r F
M = Fr sinθ = Fd = Fτ r
作用在刚体上点 P，且在转动 为由点O 到力的 平面内， r 作用点 P 的径矢。
l/2 2
5.3 刚体定轴转动定律
注意
第5章 刚体的定轴转动
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状、 大小、质量分布及转轴的位置。
转动惯量的计算方法：
1）直接由定义求：
J m i ri 或 J r 2 dm
2

2）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的， 再相加。 3）平行轴定理： J J C md 2

l
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面的 摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的 轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。 解：取一小环为面元， 则：dm 2πrσdr
df μ dm g μσ 2πgr dr
df R
r O
dM r df μσ 2πgr dr
16
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
J J C md 2 ３）平行轴定理：
质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量为：
d
C
m
O
J O J C md
2
圆盘对P 轴的转动惯量为：
P
R O m
17
1 J P mR 2 mR 2 2
fi
f it mi ait
（法向力作用线通过转轴， 力矩为零。）
两边乘以ri ： it ri f it ri mi ait ri m r 2 F i i 求和：
Fit ri f it r i mi ri2
刚体绕 O z 轴旋转，力 F
M
M
O
z
r
F
*
d
P

d F
: 力臂
F
Fi 0 , M i 0
Fi 0 , M i 20
F
F
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
讨论： 1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：
R
3
1 2 2 R cos Rd R mR 2 2
2
2 2
20
5.3 刚体定轴转动定律
*另解 对过环心并与环垂直的转轴的 转动惯量:
第5章 刚体的定轴转动
y
R x
J z R dm mR
2 m
2
根据对称性有： 由垂直轴定理： J
Jx Jy
z
1 1 1 2 2 2 mb mb mb 12 4 3
23
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
三、刚体定轴转动定律（Theorem of Rotation）
牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。
刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？ 事实表明： 要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速 度，光有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。 比如：门绕轴的转动。 对刚体动力学规律的研究可以比照质点的方式 进行，只要把线量换成相应的角量就行了。 力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动 的影响。
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端 轴转动，利用平行轴定理，求：转动惯量 。 解：绕细杆质心的转动惯量为：
1 J C ml 2 12
绕杆的一端转动惯量为：
2
O O´
l
1 2 1 l 2 J ml m ml 3 12 2
J x J y 2J x
21
1 1 2 J x J z mR 2 2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一长为 a、宽为 b 的匀质矩形薄平板，质量为 m， 求：1）对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量； 2）对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。
解：垂直向上为 y 轴，板的质量面密度为： 在板上取长为a、宽为dy的小面元
矩为零，故 F 对转轴的 力矩： M k r F
z
其中 Fz 对转轴的力
F Fz F
z
k
O
Fz
r

F F
M z rF sinθ
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。 M M1 M 2 M 3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。 3
5.3 刚体定轴转动定律
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
第5章 刚体的定轴转动
M ij
O
M = rF sinθ = Fd
M ij M ji
力矩的计算：
M ji
d
F ji i F r ij
i
rj
O
l 2
r
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
解：设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r 处 的质量元：dm dr , 如转轴过端点垂直于棒： dJ r 2dm r 2dr
l 1 2 1 3 2 J r dr ml J 2 r dr l 0 0 3 12 1 2 ml 转动惯量与轴的位置有关。 15 12
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段 的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩 的计算方法进行计算，最后求和。
在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 4
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。
m ab
dm ds ady
y
dy
J1
b 2
b 2
y ady
2
b
1 1 2 3 ab mb 12 12
a
22
5.3 刚体定轴转动定律
转轴与长边重合
第5章 刚体的定轴转动
J 2 y ady
2 0
b
y
b
dy
或由平行轴定理：
1 2 mb 3
a
b 2 J 2 J C m( ) 2
圆环对轴的转动惯量：

dJ r dm 2 π r dr
2 3
m π R2
3
圆盘的转动惯量为： J

R
0
1 所以: J mR 2 2
4 2 π r dr π R 2
14
转动惯量与质量对轴的分布有关。
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒， 求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
18
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
1 J L1 m L L2， 3 1 J O mO R 2 2
mO
O’
mL
J L 2 J O mO d 2
1 1 2 J m L L mO R 2 mO ( L R ) 2 3 2
2
m r m r
转轴
2 2 2
J mi ri2
m1 ( l1 sin 60 )
2 2
m 2 ( l 2 sin 6011 )
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：质量离散分布刚体: J = mi ri2 1） 正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量 不计的细杆连接，系统对通过质心 C 且垂直于三角 形平面的轴的转动惯量为：
24
5.3 刚体定轴转动定律
转动定律的推导： 取刚体内任一质元Δmi ，它 所受合外力为 Fi ，内力为 f i 。 （只考虑合外力与内力均 在转动平面内的情形。） 对Δmi 用牛顿第二定律： 切线方向： F
it
第5章 刚体的定轴转动
z
O
ri
Fi
m i
Fi f i mi ai
2
dM 2πμσgr dr
2
2 M 2πμσgr dr πμσgR3 3 问题： 0
2
R
dr
若圆盘以ω0 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？ 6
5.3 刚体定轴转动定律
一、刚体定轴转动的角动量 刚体上任一质元 m i 在垂直 于 z 轴的平面内作圆周运动。 对 z 轴的角动量沿 z 轴 正向，大小为：
1）与刚体的总质量、形状、大小有关。 2）与质量对轴的分布有关。 3）与轴的位置有关。
9
5.3 刚体定轴转动定律
转动惯性的计算方法
第5章 刚体的定轴转动
质量离散分布刚体的转动惯量：
2 2 1 1 2 2 2 i
J mi ri m r m r
J r dm
2
质量连续分布刚体的转动惯量：