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河北省衡水中学高三第五次调研——数学(理)数学理

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河北省衡水市重点中学高三数学上学期第五次调研试卷 理(含解析)

河北省衡水市重点中学高三数学上学期第五次调研试卷 理(含解析)

河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．210．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm311．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．解答：解：由题意可得=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6===2故选B点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．解答：解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12故选C点评：本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题．5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f（x2）成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题．分析：第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、a即可得出结果．解答：解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故答案为：B．点评：理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键．属于基础题．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．解答：解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．解答：解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱锥的体积是a2×a=，故选：A点评：本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．11．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|•d=1，∴||•=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意，关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题，从而作图解答．解答：解：直线y=x﹣a与函数f（x）=e x﹣1的图象在x≥0处有一个切点，切点坐标为（0，0）；此时a=0；直线y=|x﹣a|与函数y=﹣x2﹣2x的图象在x＜0处有两个切点，切点坐标分别是（﹣，）和（﹣，）；此时相应的a=，a=﹣；观察图象可知，方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根时，实数a的取值范围是（﹣，0）或（0，）；故选D．点评：本题考查了函数的图象与方程的根的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为﹣10（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．可得f=f（1）=f（﹣2），再由偶函数的定义，结合条件，即可得到所求值．解答：解：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．所以f=f（671×3+1）=f（1）=f（3﹣2）=f（﹣2）由于f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣2）=f（2）=1．故答案为：1．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．解答：解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4×=，∴r=，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为=π．故答案为：π．点评：本题考查锥体的体积，考查等体积的运用，比较基础．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=3321．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得b n=2n﹣1．数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．由此能求出S50．解答：解：设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=1，b4=a3+1=8，则q3=8，∴q=2，∴b n=2n﹣1．根据数列{a n}和数列{b n}的增长速度，数列{c n}的前50项至多在数列{a n}中选50项，数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n﹣1＜148得，n≤8，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136＞128，∴数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．∴S50=+2+8+32+128=3321．故答案为：3321．点评：本题考查数列的前50项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c===点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C 2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答：（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因为AB1⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因为CD⊂面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC 的面积，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，由c2=a2﹣b2，则a=2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2﹣1．所以=，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）所以当时，S△AOB的最大值为1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．考点：相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：（1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠AB D．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE•CE，即可解出．解答：（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．由切割线定理可得：AE2=DE•CE，∴，解得CD=．点评：本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，则 h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）=，故 h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。

河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试数学(理)试题

河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试数学(理)试题

2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( ) A. －i 2 B ．－12 C.12 D ．i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为（ ）3m ．A ．37 B.29 C ．27D.494．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5. 已知等比数列{na }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{na }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．10236．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K <9? D ．K ≤11? 7.已知sin()sin 0,32ππααα++=-<<则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.358.已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ） A.4π B. 41π- C. 8π D. 81π-9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a的取值范围是 （ ）A.(1,2)B.)2,23()23,1( C.3[,2)2 D. 3(1,)210.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）ABCD11.已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 12．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A.84B.168C.76D.152第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++=14.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，-1)，B (0，1)是其图象上两个点，则不等式|(1ln )|1f x +< 的解集是__________15.已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=16.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程）17. （本小题满分12分）已知圆O 的半径为R (R 为常数),它的内接三角形ABC 满足B b aC A R s i n )2()s i n (s i n 222-=-成立,其中c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边,求三角形ABC 面积S的最大值.18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。

河北省衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题(含解析)

河北省衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题(含解析)

2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „ 7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．输出S1n=1,S=1结束开始C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0 CD110．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:2811．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生n开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min 12414PA PB ⋅=-⨯=u u u r u u u r ．故选A ．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f xg x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. FM SEDCBA由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =， 则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵，∴， 整理得，…………2分则，解得，则的取值范围为．…………5分（2）∵，∴，即，则．…………6分 假设存在等差数列，则，即，解得，从而，…………8分此时，…………9分，…………11分故存在等差数列，且，使得数列的前项和为．…………12分 18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分221212a a a a +=+()221112a a d a d ++=+()22112210a d a d d +-+-=()()224180d d d ∆=---≥11d -≤≤d []1,1-1d =-2112420a a -+=11a =2n a n =-{}n b 2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩1216b b =⎧⎨=⎩54n b n =-2211111n n n n a b n n ==-+++222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++{}n b 54n b n =-21nn a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n 1nn +又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,2D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n得201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =-u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ===u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014kΔkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。

2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学（理）试题一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】先求出A B ⋂，再结合题意即可求出结果. 【详解】()1,8A =-Q ，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25B ．425C ．25π D ．1625π【答案】D【解析】根据几何概型面积型计算公式直接求解即可. 【详解】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆． 故选：D 【点睛】本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.5．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）A ．2018?n „B ．2019?n „C ．2020?n „D ．2021?n „【答案】B【解析】执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 【详解】由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ，则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =． 故选：B 【点睛】本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题. 7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理

河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理

河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分〕1.假设复数ii a 21-+是纯虚数,那么实数a 的值为〔〕A.2B.21- C.51D.52- 2.以下四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是()A .2log y x =B .1y x =C .1()2x y =-D .13y x =4.为了解儿子身高与其父亲身高的关 系，随机抽取5对父子的身高数据如下：那么y 对x 的线性回归方程为 ()A 1-=x y 、B.1+=x y C 、8821+=x y D.176=y 5.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系〔〕 A.99.9%B.99%C.97.5%D.95%A.第10项B .第9项C .第8项D :第7项 7.33)6cos(-=-πx ，那么=-+)3cos(cos πx x ()A.332- B.332±C.1-D.1±8.过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为()A 、3420x y -+=B 、3420x y -+=或2x =C 、3420x y -+=或2y =D 、2x =或2y = 9.两点(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，假设255OA tOB -≤，那么实数t 的值为()A.56B.65C.1D.3410.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是〔〕A.168B.96C.72D.14411.某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，那么该几何体的表面积为〔〕A 、π42616++2cmB 、π32616++2cmC 、π42610++2cmD 、π32610++2cm 12、方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，那么以下有关两根关系的结论正确的选项是〔〕A 、sin cos ϕϕθ=B 、sin cos ϕϕθ=-C 、cos sin ϕθθ=D 、sin sin θθϕ=-第二卷非选择题〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13.一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积和半球的体积相等，那么那个圆锥的母线与轴所成角正弦值为14.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且s i n c o s 3c o ss i n A C A C =求b=15.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，那么ab 312+的最小值为 16.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ，那么 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是__________、【三】解答题〔共6个小题，共70分〕17.〔此题总分值12分〕为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学进行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，总分值为100分)进行统计、请你依照尚未完成并有局部污损的频率(1)假设用系统学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直截了当填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)假设成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 18、〔此题总分值12分〕如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.〔1〕求证：AB 1//面BDC 1；〔2〕求二面角C 1—BD —C 的余弦值； 〔3〕在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.19.〔此题总分值12分〕如下图，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R =，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. 〔1〕将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.〔2〕假设m R 3=，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？20、〔此题总分值12分〕如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，假设172AF =，252AF =. 〔1〕求曲线1C 和2C 的方程；〔2〕过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交A C D MO Q FBP于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？假设是求出定值；假设不是说明理由.21、〔此题总分值12分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =、(1)将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2)关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3)关于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”、设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？假设存在，求出“分界线”的方程；假设不存在，请说明理由、 请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分.此题总分值10分。

2019-2020学年河北省衡水市高三(下)第五次调研数学试卷(理科)-普通用卷

2019-2020学年河北省衡水市高三(下)第五次调研数学试卷(理科)-普通用卷

2019-2020学年河北省衡水市高三（下）第五次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.Z(M)表示集合M中整数元素的个数，设集合A={x|−1<x<8}，B={x|5<2x<17}，则Z(A∩B)=()A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z的共轭复数是()A. 2−iB. 2+iC. 1+2iD. 1−2i3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则()A. f(−3)<f(−log313)<f(20.6)B. f(−3)<f(20.6)<f(−log313)C. f(20.6)<f(−log313)<f(−3)D. f(20.6)<f(−3)<f(log313)4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是()A. 25B. 425C. π25D. 1625π5.命题p：x，y∈R，x2+y2<2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|<2，则p是q的什么条件()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 必要充分条件D. 非充分非必要条件6.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是()A. n≤2018？B. n≤2019？C. n≤2020？D. n≤2021？7.函数f(x)=sinxx+x2−2|x|的大致图象为()A.B.C.D.8. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，|φ|<π2)图象的一个对称中心为(π3,0)，其相邻一条对称轴方程为x =7π12，该对称轴处所对应的函数值为−1，为了得到g(x)=cos2x 的图象，则只要将f(x)的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π12个单位长度9. 已知AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径，点P 为直线x −y +1=0上任意一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√210. 圆锥SO(其中S 为顶点，O 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2：1.则圆锥SO 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( ) A. 9：32 B. 8：27 C. 9：22 D. 9：28 11. 已知直线y =kx(k ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 12. 若对于任意的0<x 1<x 2<a ，都有x 2lnx 1−x 1lnx 2x 1−x 2>1，则a 的最大值为( )A. 2eB. eC. 1D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(√x 3−2x )n 的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2√7，c =3，B =2C ，则cos2C 的值为______．15. 正四棱锥S −ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点P 的轨迹的周长为______ ． 16. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0，f′(x)为f(x)的导函数，且2f(x)<xf′(x)<3f(x)对x ∈(0,+∞)恒成立，则f(2)f(3)的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差为d的等差数列{a n}中，a12+a22=a1+a2．(1)求d的取值范围；(2)已知d=−1，试问，是否存在等差数列{b n}，使得数列{1a n2+b n }的前n项和为nn+1？若存在，求{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．18.如图(1)，梯形ABCD中，AB//CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE−BCF，如图(2)．(Ⅰ)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(Ⅱ)若DE//CF，CD=√3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为√520，求AP的长．19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．(附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.997)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点(1,e)和(√2,√22)都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过原点的直线l 1：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线l 2：2kx −y +k −2=0上存在点P ，使得△PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围21. 已知函数f(x)=lnx +12x 2+ax(a ∈R)，g(x)=e x +32x 2−x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)定义：对于函数f(x)，若存在x 0，使f(x 0)=x 0成立，则称x 0为函数f(x)的不动点．如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在不动点，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为{x =cos αy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ． (Ⅰ)求C 1、C 2交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为(4,π3)，点B 是曲线C 2上的点，求△AOB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|2x −1|．(1)解不等式f(x)≤x +2；(2)若g(x)=|3x−2m|+|3x−1|，对∀x1∈R，∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|52<x<172}；∴A∩B={x|52<x<8}；∴Z(A∩B)=5．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z(A∩B)．考查描述法的定义，交集的运算，理解Z(M)的定义．2.【答案】B【解析】解：∵(1+2i)z=4+3i，∴z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，则z的共轭复数是2+i．故选：B．直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，指数函数与对数函数的综合应用，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，又由20.6<2< log313<log327=3，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，有20.6<21=2<log313<log327=3，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(20.6)<f(−log313)<f(−3)，故选：C．4.【答案】D【解析】解：由题S圆=π⋅(52)2=254π，S正方形=4，所以P=S正方形S圆=1625π．故选：D．根据几何概型的概率公式求出对应圆的面积和正方形的面积进行求解即可本题主要考查几何概型的概率公式的计算，求出对应的面积是解决本题的关键5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键．属于基础题．作出不等式对应的图象，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：如图示：，命题“x2+y2<2”对应的图象为半径为√2的圆的内部，命题“|x|+|y|<2”对应的图象为正方形的内部，则命题“x2+y2<2”是命题“|x|+|y|<2”的充分不必要条件，故选：A．6.【答案】B【解析】解：由递推式a n+1=a n+n，可得a n=a n−1+n−1，a n−1=a n−2+n−2，…a3=a2+2，a2=a1+1．将以上(n−1)个式子相加，可得a n=1+1+2+3+⋯+n−1，则a2020=1+1+2+3+⋯+2019.①由程序框图可知，当判断框内的条件是n≤k？(k∈N∗)时，则输出的S=1+1+2+3+⋯+k，②．综合①②可知，若要想输出①式的结果，则k=2019．即判断框内的条件是n≤2019？故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查程序框图的应用问题，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(1)=sin1+1−2=sin1−1<0，排除，B，C，当x→0时，sinxx→1，则f(x)→1+0=1，排除A，故选：D．利用f(1)<0，以及函数的极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象过点(π3,0)，(7π12,−1)，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3， 解得：ω=2．再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π， 可得：φ=π3，可得函数解析式为：f(x)=sin (2x +π3).故把f(x)=sin (2x +π3)的图象向左平移π12个单位长度， 可得y =sin (2x +π3+π6)=cos2x 的图象，故选：B ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．运用向量加减运算和数量积的性质，可得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−r 2，即为d 2−r 2，运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论．【解答】解：因为AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |2−r 2， 即为d 2−r 2，其中d 为圆外点到圆心的距离，r 为半径，因此当d 取最小值时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值最小， 可知d 的最小值为√2=√2，故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2−1=1．故选：A ． 10.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥与球的体积，解决本题的关键在于确定各几何量之间的等量关系，考查计算能力，属于中等题．设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的外接球的半径为R ，根据题中条件将l 、R 都用r 表示，并计算出圆锥和其外接球的体积，通过计算可得出所求的体积比． 【解答】解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的外接球的半径为R ，由于圆锥SO 的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl =2πr 2，所以，l =2r ，则圆锥SO的高为ℎ=√l 2−r 2=√3r ，所以，圆锥SO 的外接球的直径为2R =l 2ℎ=4√33r ，∴R =2√33r ，圆锥SO 的体积为13πr 2⋅ℎ=√33πr 3，它的外接球的体积为43πR 3=43π⋅(2√33r)3=32√327πr 3， 因此，圆锥SO 的体积与它外接球的体积比为√33πr 332√327πr 3=932．故选：A ．11.【答案】D【解析】解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2， 由对称性知△ABF 的面积S =2S △OBF =2×12cℎ=cℎ=4a 2， 即ℎ=4a 2c ，即B 点的纵坐标为y =4a 2c，则由x 2+(4a 2c)2=c2，得x 2=c 2−(4a 2c)2=c 2−16a 4c 2，B 在双曲线上， 则c 2−16a 4c 2a2−16a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−16a 2c 2−16a 4c 2(c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−16a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−16a 2c 2⋅c 2c 2−a 2=1， 即c 2a 2−16a 2c 2−a 2=1，即c 2a2−1=16a 2c 2−a2=c 2−a 2a 2，得16a 4=(c 2−a 2)2，即4a 2=c 2−a 2，得5a 2=c 2，得c =√5a ， 则离心率e =ca =√5aa=√5，故选：D ．根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B 的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．12.【答案】C【解析】解：由题意可得： x 2lnx 1−x 1lnx 2<x 1−x 2，lnx 1x 1−lnx 2x 2<1x 2−1x 1，∴lnx 1+1x 1<lnx 2+1x 2，据此可得函数f(x)=lnx+1x在定义域(0,a)上单调递增， 其导函数：f′(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2≥0在(0,a)上恒成立，据此可得：0<x ≤1， 即实数a 的最大值为1． 故选：C ．整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果． 本题考查函数的单调性，导数研究函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 13.【答案】112【解析】解：由题意可得：2n =256，解得n =8．(√x 3−2x )8的通项公式为：T r+1=∁8r (√x 3)8−r (−2x)r =(−2)r ∁8r x 8−4r3．令8−4r 3=0，解得r =2．∴常数项=(−2)2∁82=112． 故答案为：112．由题意可得：2n =256，解得n ，利用通项公式即可得出． 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】59【解析】解：由正弦定理可得：bsinB =csinC ， 即bc =sinBsinC=sin2C sinC=2sinCcosC sinC=2cosC =2√73⇒cosC =√73， ∴cos2C =2cos 2C −1=2×79−1=59．故答案为：59．由已知结合正弦定理可求cos C ，然后结合二倍角的余弦公式即可求解．本题主要考查了正弦定理及二倍角公式的简单应用，属于基础试题． 15.【答案】√2+√3【解析】【分析】根据题意可知点P 的轨迹为三角形EFG ，其中G 、F 为中点，根据中位线定理求出EF 、GE 、GF ，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．【解答】解：由题意知：点P 的轨迹为如图所示的三角形EFG ，其中G 、F 为中点，∴EF =12BD =√2， ∵SB =√2+1=√3， ∴GE =GF =12SB =√32， ∴轨迹的周长为√2+√3． 故答案为：√2+√3．16.【答案】(827,49)【解析】解：令g(x)=f(x)x 2，x ∈(0,+∞)，g′(x)=xf′(x)−2f(x)x 3，∵∀x ∈(0,+∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴f(x)>0， 0<xf′(x)−2f(x)x 3，∴g′(x)>0，∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即f(2)4<f(3)9，∴f(2)f(3)<49①， 令ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0,+∞)，ℎ′(x)=xf′(x)−3f(x)x 4，∵∀x ∈(0,+∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴ℎ′(x)=xf′(x)−3f(x)x 4<0，∴函数ℎ(x)在x ∈(0,+∞)上单调递减， ∴ℎ(2)>ℎ(3)，即f(2)8>f(3)27，∴f(2)f(3)>827②，∴综合①②：827<f(2)f(3)<49， 故答案为：(827,49). 分别构造函数g(x)=f(x)x 2，x ∈(0,+∞)，ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0,+∞)，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)公差为d 的等差数列{a n }中，a 12+a 22=a 1+a 2． ∴a 12+(a 1+d)2=2a 1+d ．∴2a 12+(2d −2)a 1+d 2−d =0．∵d ∈R ，△=(2d −2)2−8(d 2−d)≥0． 解得−1≤d ≤1．∴d 的取值范围为[−1,1]．(2)d =−1时，a 12−2a 1+1=0．解得a 1=1．∴a n =1−(n −1)=2−n ．假设存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为nn+1．∴1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n 2+b n=nn+1，n ≥2时，1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n−12+b n−1=n−1n，∴1a n 2+b n=n n+1−n−1n，可得：b n =5n −4为等差数列．因此存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为nn+1，b n =5n −4．【解析】(1)公差为d 的等差数列{a n }中，a 12+a 22=a 1+a 2.可得a 12+(a 1+d)2=2a 1+d.整理为：2a 12+(2d −2)a 1+d 2−d =0.可得△≥0.可得d 的取值范围． (2)d =−1时，a 12−2a 1+1=0.解得a 1=1.可得：a n .假设存在等差数列{b n }，使得数列{1a n2+b n}的前n 项和为n n+1.可得1a 12+b 1+1a 22+b 2+⋯…+1a n2+b n=nn+1，进而得出：b n ，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(Ⅰ)由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ………………………………(2分) 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE.……………………………………(5分) 解：(Ⅱ)在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM//EF 交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得DM =2，CM =1，则DC ⊥CF ，则∠CDM =π6，CE =2，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，………………(7分)则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,1,√3),D(0,−12,√32)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,√3),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−12,√32)．设平面ACD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−2x +y +√3z =0−2x −12y +√32z =0取x =1得n ⃗ =(1,−1,√3)…………………(9分) 设AP =m ，则P(2,m ，0)，(0≤m ≤2)，得CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m −1,−√3) 设CP 与平面ACD 所成的角为θ， sinθ=|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√5√7+(m−1)2=√520⇒m =23． 所以AP =23.…………………………………………(12分)【解析】(Ⅰ)推导出AF ⊥BE ，AF ⊥BD ，从而AF ⊥平面BDE ，进而AF ⊥DE ，再由AE ⊥DE ，能证明DE ⊥平面ABFE ．(Ⅱ)过点D 作DM//EF 交CF 于点M ，连接CE ，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，以E 为坐标原点，以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)因为物理原始成绩ξ～N(60,132)， 则P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)=0.6822+0.9542=0.818．所以物理原始成绩在(47,86)的人数为2000×0.818=1636(人)． (Ⅱ)随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]的概率为25， 所以随机抽取三人，则X 可取0，1，2，3，且X ～B(3,25)， P(X =0)=(35)3=27125，P(X =1)=C 31⋅25⋅(35)2=54125， P(X =2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125，P(X =3)=(25)3=8125，所以X 的分布列为：数学期望E(X)=3×25=65．【解析】本题考查正态分布，二项分布，以及二项分布的期望，属于中档题．(Ⅰ)根据若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954，以及正态分布的对称性可得．(Ⅱ)X 服从二项分布，因为成绩在区间[61,80]的成功概率为25，故X 服从X ～B(3,25)，X 可取0，1，2，3.代入即可．20.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+e 2b 2=12a 2+12b 2=1e =ca a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx x 24+y 2=1，消y 可得(1+4k 2)x 2−4=0， ∴x 1+x 2=0，x 1x 2=−41+4k 2，又直线l 2：2kx −y +k −2=0上存在点P ，设点P 的坐标为(x 0,y 0)， ∴2kx 0−y 0+k −2=0，即y 0=2kx 0+k −2， ∵△PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形， ∴∠APB =90°，∴k PA ⋅k PB =y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0−y 2x 0−x 2=−1即x 02+x 0(x 1+x 2)+x 1x 2+y 02−y 0(y 1+y 2)+y 1y 2=0，∴x 02+x 1x 2+y 02+x 1x 2=0∴(1+4k2)x 02+4k(k −2)x 0+(k −2)2−4(1+k 2)1+4k 2=0有解， ∴△=16k 2(k −2)2−4(1+4k 2)[(k −2)2−4(1+k 2)1+4k 2]≥0，化简得3k 2+4k ≥0， ∴k ≥0或k ≤−43【解析】(1)由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=12a 2+12b 2=1e =ca a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，即可求出椭圆方程， (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理，直线的斜率公式，以及方根的判别式即可求出本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x2+ax+1x(x >0)，对于函数y =x 2+ax +1≥0，①当△=a 2−4≤0时，即−2≤a ≤2时，x 2+ax +1≥0在x >0恒成立． ∴f′(x)=x 2+ax+1x≥0在(0,+∞)恒成立，∴f(x)在(0,+∞)为增函数；②当△>0，即a <−2或a >2时， 当a <−2时，由f′(x)>0，得x <−a−√a2−42或x >−a+√a2−42，0<−a−√a2−42<−a+√a 2−42，∴f(x)在(0,−a−√a2−42)为增函数，(−a−√a2−42,−a+√a 2−42)减函数，(−a+√a2−42,+∞)为增函数，当a >2时，由f′(x)=x 2+ax+1x>0在(0,+∞)恒成立，∴f(x)在(0,+∞)为增函数， 综上，当a <−2时，f(x)在(0,−a−√a2−42)为增函数，(−a−√a2−42,−a+√a 2−42)减函数，(−a+√a 2−42,+∞)为增函数；当a ≥−2时，f(x)在(0,+∞)为增函数．(2)F(x)=f(x)−g(x)=lnx +12x 2+ax −e x −32x 2+x =lnx −x 2+ax +x −e x (x >0)，∵F(x)存在不动点，∴方程F(x)=x 有实数根，即a =e x −lnx+x 2x有解，令ℎ(x)=e x +x 2−lnxx(x >0)，ℎ′(x)=e x (x−1)+lnx+(x+1)(x−1)x 2=(e x +x+1)(x−1)+lnxx 2，令ℎ′(x)=0，得x =1，当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=e +1，当a ≥e +1时，F(x)有不动点， ∴a 的范围为[e +1,+∞)．【解析】(1)先求出导函数f′(x)，在对△分情况讨论，分别得到函数f(x)的单调性即可； (2)由F(x)存在不动点得方程F(x)=x 有实数根，即a =e x −lnx+x 2x有解，令ℎ(x)=e x +x 2−lnxx(x >0)，利用导数得到，ℎ(x)≥ℎ(1)=e +1，所以当a ≥e +1时，F(x)有不动点，从而得到a 的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 22.【答案】(本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵曲线C 1的方程为{x =cos αy =sin α(α为参数)．∴C 1：x 2+y 2=1，∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ.∴ρ2=2ρcosθ， ∴C 2：x 2+y 2=2x ．联立方程组得{x 2+y 2=1x 2+y 2=2x ，解得{x 1=12y 1=√32，{x 2=12y 2=−√32， ∴所求交点的坐标为(12,√32)，(12,−√32).………………………(5分)(Ⅱ)设B(ρ,θ)，则ρ=2cosθ．∴△AOB 的面积S =12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB =12⋅|4ρsin(π3−θ)|=|4cosθsin(π3−θ)| =|2cos(2θ+π6)+√3|，∴当θ=23π12时，△AOB 面积的最大值S max =2+√3.………………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求出曲线C 1、C 2的直角坐标方程，联立方程组，能求出C 1、C 2交点的直角坐标．(Ⅱ)设B(ρ,θ)，则ρ=2cosθ.则△AOB 的面积S =12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin ∠AOB =12⋅|4ρsin(π3−θ)|=|4cosθsin(π3−θ)|=|2cos(2θ+π6)+√3|，由此能求出△AOB 面积的最大值．本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)不等式等价于{x ≤−1−3x ≤x +2或{−1<x ≤12−x +2≤x +2或{x >123x ≤x +2, 解得：0≤x ≤1，故不等式的解集是{x|0≤x ≤1}； (2)由f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x ≤123x,x >12知，当x =12时，f(x)min =f(12)=32，g(x)≥|(3x −2m)−(3x −1)|=|2m −1|， 当且仅当(3x −2m)(3x −1)≤0时取“=”， 故|2m −1|≤32，解得：−14≤m ≤54， 故实数m 的范围是[−14,54].【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，属于中档题．(1)通过讨论x 的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x 的范围，取并集即可； (2)求出f(x)的最小值，问题转化为|2m −1|≤32，解出即可．。

河北省衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题(含解析)(1)

河北省衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题(含解析)(1)

2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „1n=1,S=1开始7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度 9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0C 2D 21 10．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 11．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ； （2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+， 211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min12414PA PB⋅=-⨯=u u u r u u u r．故选A ． 10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =， 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒．故选D ．12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P的轨迹的周长为M S(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f x g x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. 由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x=，则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+， 整理得()22112210a d a d d +-+-=，…………2分 则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．…………5分（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．…………6分 假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，…………8分 此时2211111n n n n a b n n ==-+++，…………9分 222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++，…………11分故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为1nn +．…………12分18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分 又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =， 过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B ，(3C ，130,2D ⎛- ⎝⎭，(3AC =-u u u r ，132,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得23013202x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,3=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,3CP m =--u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，()252sin cos 371,5m CP m m θ===⇒=⋅+-u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤< ()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分 20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=． 由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =， 所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x -+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xx x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分 23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分 （2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。

河北省衡水中学2022届高三上学期五调(12月)数学(理)试题Wor

河北省衡水中学2022届高三上学期五调(12月)数学(理)试题Wor

河北省衡水中学2022届高三上学期五调（12月）数学（理）试题Wor温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

2022-2022学年金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。

临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集UR，集合A{0,1,2,3,4,5}，B{某|某2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0,1}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}2.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数z的点是（）1iA．MB．NC．PD．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可2能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A．1B．C．1D．与a的取值有关4844.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程t6.5m17.5，则p的值为（）A．45B．50C.55D．605.已知焦点在y轴上的双曲线C的中点是原点O，离心率等于5.以双曲线C的一个焦点为2圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）y2某2某2y2某2221B．y1C.某1D．y21A．1644446.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．113104107B．35C.D．3347.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为（）（参考数据：31.732,in15°0.2588,in7.5°0.1305）A．12B．24C.36D．48.如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM某，直线AM与某轴交于点N(t,0)，则函数tf(某)的图象大致为（）A．B．C.D．9.三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是（）A．2223B．C.D．61241210.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccoB2ab.若ABC的面积SA．13c，则ab的最小值为（）12111B．C.D．32360.5某21,某0,11.已知直线ym某与函数f(某)的图象恰好有3个不同的公共点，则实1某2(),某03数m的取值范围是（）A．(3,4)B．(2,)C.(2,5)D．(3,22)12.已知直线ya分别与函数ye某1和y是（）A．某1交于A,B两点，则A,B之间的最短距离3ln25ln23ln25ln2B．C.D．2222第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若(某61某某)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于________.14.已知抛物线方程为y22p某(p0)，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，FA与某轴正方向的夹角为60，若OAF的面积为3，则p的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.某y20,16.若不等式组某5y100,，所表示的平面区域存在点(某0,y0)，使某0ay020成立，某y80则实数a的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，a112a2、a33为等，an1Sn1(nN某,1),且a1、差数列{bn}的前三项.（1）求数列{an},{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和.18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2022年1月～2022年12月（一年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记0,0t100,为t）的关系为：P4t400,100t300,，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损1500,t300,失P(200,600]元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2某2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：n(adbc)2参考公式：k，其中nabcd.(ab)(cd)(ac)(bd)219.（本小题满分12分）AB到D，使得ABBD，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长C1A1A平面AAC11C平面ABB1A1，AC112AA1，4.。

河北衡水中学高三数学上学期第五次调研考试试题 理(含解析)

河北衡水中学高三数学上学期第五次调研考试试题 理(含解析)

河北衡水中学2015届高三数学上学期第五次调研考试试题理（含解析）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、程序框图、导数、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合A={xI-l<x≤2，x∈N}，集合B={2，3)，则AUB等于A．{2} B．{1，2，3) C．{-1，0，1，2，3)D．{0，1，2，3)【知识点】集合及其运算A1【答案】D【解析】由题意得A={0,1,2}，则A⋃B={0，1，2，3)。

【思路点拨】根据题意先求出A，再求出并集。

【题文】2．已知复数1-i=(i为虚数单位)，则z等于A．一1+3i B．一1+2i C．1—3i D．1—2i【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】A【解析】由题意得z= 241ii+-=(24)(1)(1)(1)i ii i++-+=-1+3i【思路点拨】化简求出结果。

【题文】3．公比为2的等比数列{an)的各项都是正数，且=16，则a6等于A．1 B．2 C．4 D．8【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】B【解析】由题意可得a72=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6=72a=2【思路点拨】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．【题文】4某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万元【知识点】用样本估计总体I2 【答案】C【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3³4=12【思路点拨】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．【题文】5．甲：函数，f(x)是R 上的单调递增函数；乙：x1<x2，f(x2)<f(x2)，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件A2 【答案】A【解析】根据函数单调性的定义可知，若f （x ）是 R 上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f （x2）成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f （x1）＜f （x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．【思路点拨】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【题文】6．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为 A ．t≥ B ．t≥c ．t ≤ D ．t≤【知识点】算法与程序框图L1 【答案】B【解析】第一次执行循环结构：n←0+2，x←2³t，a←2-1∵n=2＜4，∴继续执行循环结构． 第二次执行循环结构：n←2+2，x←2³2t，a←4-1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构， 第三次执行循环结构：n←4+2，x←2³4t，a←6-3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t ．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t≥18．【思路点拨】第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x 、a 即可得出结果．【题文】7．为得到函数y=sin(x+)的图象，可将函数．Y=sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则Im-nI 的最小值是 A Bc ．D ．【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案】B【解析】由条件可得m=2k1π+3π，n=2k2π+53π（k1、k2∈N ），则|m-n|=|2（k1-k2）π-43π|，易知（k1-k2）=1时，|m-n|min=23π．【思路点拨】依题意得m=2k1π+3π ，n=2k2π+53π（k1、k2∈N ），于是有|m-n|=|2（k1-k2）π-43π|，从而可求得|m-n|的最小值．【题文】8．已知非零向量=a ，=b ，且BC OA ，c 为垂足，若，则等于【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 【答案】B【解析】由于OC =λa ，根据向量投影的定义，得λ就是向量OB 在向量OA 方向上的投影，即λ=2a ba⋅。

衡水中学2020届高三数学上学期五调考试试题理含解析

衡水中学2020届高三数学上学期五调考试试题理含解析
【详解】当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ,故本题选D。
【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键。
9。鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构）啮合,十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组,经 榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 ，底面正方形的边长为 ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ )（容器壁的厚度忽略不计）
【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内,所以为正相关，
又 趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；
由回归方程，当 时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确。
故选D.
【点睛】回归直线方程中 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负;相关系数 决定了相关性的强弱，越接近 相关性越强.
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A. 0B.1C。 2D。 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 和 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测 年公共图书馆业机构数。
【答案】7
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积公式可得.
【详解】因为 ，所以 ,
所以 ，
所以 .
故答案为:7
【点睛】本题考查了平面向量数量积,属于基础题.

2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(理)试卷(含答案)

2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料2019.520xx —20xx 学年度第一学期高三年级五调考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A. －i 2 B ．－12 C.12 D ．i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）, 则该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37B.29C ．27D.494．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率 为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．10236．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K <9? D ．K ≤11? 7.已知43sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.358.已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ） A.4π B. 41π- C. 8π D. 81π-9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是 （ ）A.(1,2)B.)2,23()23,1(Y C.3[,2)2 D. 3(1,)210.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）A ．732B ．312C ．32D ．7211.已知双曲线12222=-b y a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 12．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A.84B.168C.76D.152第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++L =14.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，-1)，B (0，1)是其图象上两个点，则不等式|(1ln )|1f x +< 的解集是__________15.已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=16.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程） 17. （本小题满分12分）已知圆O 的半径为R (R 为常数),它的内接三角形ABC 满足B b aC A R sin )2()sin (sin 222-=-成立,其中c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边,求三角形ABC 面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。

【精选高中试题】河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案

【精选高中试题】河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案

2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则 A ．{}13x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知复数z 满足()1z =(i 是虚数单位)，则z =A ．34 B ．32 C ．32 D ．34 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像 A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度 C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b>><则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为ABC ．D ．37．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为 A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=，则正实数a 的取值范围为A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2]10．抛物线()()()()211223320,,,,,y px p A x y B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，2]D ．(2，3]12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13l o g4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是 A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B 两点，且弦长为a 的值是__________．14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()21n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A A ω--+=． (1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． (1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()22221012x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点．(1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．(1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。

河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学(12月)数学理试题与详细解析

河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学(12月)数学理试题与详细解析

河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i +C.13i-- D.13i-+2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.RD.()0,∞+3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74C.114D.56.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0B.1C.2D.39.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.75+B.55+ C.43D.725+10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A.22B.6 C.2D.312.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A .ln 21-- B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知2,1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角是__________．14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________15.如图，圆锥的高2PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足2cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i+ C.13i-- D.13i-+【答案】A 【解析】()()()()221i 21i 2i 1i-2i=1-3i 1+i 1i 1+i --+=-=--，故选A.2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.R D.()0,∞+【答案】C 【解析】由A 中()2log 5y x =-，得到50x ->，即5x <，(),5A ∴∞；由B 中120x y -=>，得到()0,B =+∞，则A B R ⋃=，故选C.3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日【答案】C 【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，15a =，1n a =，90n S =，设其公差为d ，则()()15190903022n n a a n n ++=⇒=⇒=，故选C.4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e【答案】C【解析】直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F 的面积为，11111+1ln |2ee x x ⨯=+=⎰，函数()2,01,1,1,x xf x x e x ⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E 为211143e ex x +=⎰⎰，由几何概型概率公式可得在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为42323=，故选C.5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74 C.114D.5【答案】B 【解析】根据题意，双曲线的方程为：22142x y m m +=--，则分两种情况讨论：①当双曲线的焦点在x 轴，则有4020m m ->⎧⎨-<⎩，解可得2m <，此时渐近线的方程为y =，又由题意可得13=，解可得：74m =；②当双曲线的焦点在y 上，则有4020m m -<⎧⎨->⎩，解可得4m >，此时渐近线的方程解为y =12=，解可得83m =，不合题意，舍去，综上可得74m =，故选B.6.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤【答案】B 【解析】该程序框图表示的是()()()lg 2lg1lg 3lg 2...lg 1lg s n n ⎡⎤=-+-+++-⎣⎦()()=lg 1lg1lg 1n n +-=+，若输出的S 的值为2，即输出()lg 9912S =+=，判断框中填入的条件可以是99?n <，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】()y f x =- 为偶函数，()()()()(),f x f x f x f x ∴--=-∴-=，()y f x ∴=为偶函数，于是当1x =时，()()111f f -==，又()2y f x =+是偶函数，()()22f x f x ∴-+=+，于是当5x =时，()()()733f f f =-=，()()311f f ==，故()()172f f -+=，故选C.9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.7B.5+C.43D.7+【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥D ABC -，依题意有，2,BC CD AB AC ====，BD =，3AD =，2222,210ABC BCD ACDAB BD AD S S S ABD AB BD ∆∆+-===∠==⋅，10sin ABD ∠=，13210ABD S ∆==，7S ∴=+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 【答案】D【解析】不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图，()1:2,0p A -点，2011-++=-，故(),,0x y D x y ∀∈+≥，为假命题；()23:2,0p p A -、点，22023-=-<-+，201-+<故()2:,,03yP x y D x ∀∈>+为假命题，()3:,,1P x y D x y ∃∈+<为真命题；()4:1,1p -点，222x y +=，故()22,,2x y D x y ∃∈+≤为真命题，可得选项4P 正确，综上，正确的命题是3P ，4P ，故选D.11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A. B.C.2D.【答案】B 【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立得2440y my --=，设()()()11220012,,,,,,4A x y B x y E x y y y m +=，则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+，又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =，线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而ME ==，故选B.【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于难题.解决过抛物线焦点的弦长有关的问题时，求往往考虑将韦达定理与抛物线定义相结合，同时注意两个转化的灵活运用：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.12.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A.ln 21--B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2【答案】A 【解析】()()f x g x -=1ln(21)42x a a x x x e e ---+++，令1()ln(21)2h x x x =-+，则1()121h x x -'=+，知()h x 在1(,0)2-上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)0h x h ==，又44x a a x e e --+≥所以()()4f x g x -≥，当且仅当0{4x aa xx e e--==即0,ln 2x a ==-.点睛：已知函数有零点（方程有解）求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a与向量b 的夹角是__________．【答案】34π【解析】()()2,1,0a ab a a b a a b a b ⊥+∴⋅+=+⋅=+= ，cos ,2a b ∴<>=-，又0,,,a b a b π≤≤∴的夹角为34π，故答案为34π.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________【答案】49【解析】5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 212sin 3333sin x x sin x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1241399=-+-=，故答案为49.15.如图，圆锥的高PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．【答案】3【解析】设点O 到平面PAC 的距离为d ,设直线OC 和平面PAC 所成角为α，则由等体积法有：O PAC P OAC V V --=，即1133PAC OA S d PO S ∆∆⋅=⋅⋅Ｃ，211223d ⋅⋅∴==,3d sin CO α∴==，于是cos 3α=，故答案为3.16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．【答案】e 【解析】若1x >，则101x <<，则()1ln ,ln f x x x f x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对任意0x >成立，又{}n a 是公比大于零的等比数列，且56761,1a a a a =∴=，故210394857661a a a a a a a a a a =====，故()()()1210...f a f a f a +++()()()()()()()21039576...0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++=，()()()()121011...f a f a f a f a a ∴+++==，若11a >，则111ln a a a =，则1a e =，101a <<，则11ln 0a a <，无解，故答案为e .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）12π.【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos cos 2cos a B b A c C +=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得1cos 2C =,，从而可求角C 的大小；（Ⅱ）设ABC ∆的内切圆半径为R ,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos a B b A c C A B B A C C +=⇔+=,即()sin 2sin cos A B C C +=,而()sin sin 0A B C +=>,则1cos 2C =,又()0,C π∈,所以3C π=.（Ⅱ）令ABC ∆的内切圆半径为R ,有11sin •3232ab R π=,则6R ab =,由余弦定理得()2223a b ab a b +-=--,化简得()32ab a b +=+,而a b +≥,故3ab +≥3≥1≤.3≥,则,a b 至少有一个不小于3,这与ABC ∆的周长为3矛盾;1≤,则当1a b c ===时,R取最大值6.综上,知ABC ∆的内切圆最大面积值为2max612S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得AE PD ⊥，再利用面面垂直的性质定理得FO ⊥平面PAD ，从而FO AE ⊥，则CD AE ⊥，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，求出平面PAC 的法向量以及平面PEC 的法向量，根据二面角A PC E --的平面角的余弦值列方程求出a =试题解析：（Ⅰ）取AD 中点为O ，BC 中点为E ，由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，故FO PO ⊥，又FO AD ⊥，则FO ⊥平面PAD ，所以FO AE ⊥，又//CD FO ，则CD AE ⊥，又E 是PD 中点，则AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEC ，故平面AEC ⊥平面PCD .（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a -.由（Ⅰ）知3,0,22EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PCE 的法向量，令()1,,n y z =为平面PAC 的法向量，由于(()10,2,0PA CA A =-=- ，，，均与n 垂直，故0,0,n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2,,3y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,,3n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由cos EA nEA n θ⋅=⋅4==，解得a =故四棱锥P ABCD -的体积112233ABCD V S PO =⋅=⋅⋅.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a 、b 、c ，令随机变量ξ表示a 、b 、c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ）127.【解析】试题分析：（Ⅰ）取出两个球是同一颜色的种数为222332C C C ++，由此利用对立事件概率计算公式能求出取两个球颜色不同的概率；（Ⅱ）由已知ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）设事件A 表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球”，则()22233238314C C C P A C =-=.（Ⅱ）ξ的可能取值为1,2,3.()2338213,28C P C ξ===()21213526382+92,14C C C C P C ξ===()1113323891,28C C C P C ξ===则ξ的分布列为于是，991121232814287E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6.【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为3，结合222,c e a b c a ==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.【详解】（Ⅰ）由题设知，2,23a c ab ==又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t-⋅=+，2A x =-得2225427P t x t -=+，则21827P t y t =+.再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=，由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t =+.故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-=221862273t t tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t t t t t t ++===+++++++.由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612S λλ=≤+.当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+(这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-==211m t=+≥,则S =,当且仅当6λ=即3t =时,max 6S =.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间,根据函数的单调性可求()f x 的最小值；（Ⅱ）4a ≤时，可证()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=，5a ≥时，两次求导，()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，可证存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，()x f x e ax =-，则()1xf x e '=-.当0x <时，()0f x '<，即()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上单调递增.故()()min 01f x f ==.（Ⅱ）()()4ln 1x h x e ax x =-++，则()41x h x e a x =+-+'.①若，由（1）知()1xf x e x =-≥，即1x e x ≥+，于是()41x h x e a x =+-+'411x a a x ≥++-≥-+40a =-≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=；②若5a ≥，令()()41xx h x e a x ϕ==+-+'.则()()241x x e x ϕ=++'在()0,+∞上单调递增，且()()030,110e ϕϕ''=-=-，故存在唯一的()00,1x ∈，使()00x ϕ'=，则当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，即()()x h x ϕ='在()00,x 上单调递减，故()()050h x h a <=-'≤'，从而()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，即存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．【答案】（Ⅰ）曲线C ：()20y ax a =>;l ：2y x =-（Ⅱ）a 的值为2.【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程22y ax =：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程2y x =-（2）根据直线参数方程几何意义将条件2·PA PB AB =转化为()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t =+-，再联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得1a =试题解析：（1）由()2sin 2cos 0ac a ρθθ=>得：22sin 2cos a ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =，由22{42x t y t =-+=-+消去t 得：42y x +=+，∴直线l 的普通方程为：2y x =-（2）直线l的参数方程为22{42x t y t =-+=-+（t 为参数），代入22y ax =，得到)()24840t a t a -+++=设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个解，由韦达定理得：)()12124,84t t a t t a +=+=+，因为2·PA PB AB =，所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-=，解得1a =．考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|1x x ≥；（Ⅱ）[13,1]-.【解析】试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得()5f x ≥不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，等价于67m +≤，解不等式即可求m 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当3m =时，()5f x ≥即65x m x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x ∈∅；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；③当3x ≥时，得95≥成立，所以3x >.故不等式()5f x ≥的解集为{1}x x ≥.（Ⅱ）因为666x m x x m x m +--≤++-=+，由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[]13,1-.。

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河北省衡水中学
2015届高三第五次调研考试
数学（理）试题
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150 分．考试时间120 分钟．2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第I卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合等于
A．{ 2 } B．{ 1 , 2 , 3 } C．｛-l ,0 , 1 , 2 , 3 } D．{ 0 , 1 , 2 , 3 }
2．已知复数为虚数单位），则z等于
A．-1 + 3i B．-1 + 2i C．1—3i D．l—2i
3．公比为2 的等比数列王的各项都是正数，且, 则a6 等于
A．1 B．2 C．4 D．8
4．某商场在今年端午节的促销活动中，对6 月2 日9 时至14 时的
销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9 时至10
时的销售额为3 万元，则11 时至12 时的销售额为
A．8万元B．10万元
C．12万元D．15万元
5．甲，函数是R上的单调递增函数；乙：，则甲是乙的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．运行如图所示的程度，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为
7．为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移m个
单位长度，或各右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m—n|的最
小值是
8．已知非零向量等于
9．已知内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是A．6 B．0 C．2 D．
10．将一张边长为6cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是
11．已知O为原点，双曲线若上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A , B ，平行四边形OBPA 的面积为1 ，则双曲线的离心率为
12．已知函数若关于x 的方程了有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
第II 卷
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡中的横线上．,
13．二项式的展开式中常数项为（用数字作答）
14．已知f （x）是定义在R 上的偶函数，f（2）=1 且对任意，则f （2014）
15．已知三棱锥P 一ABC 的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P—ABC 的内切球的表面积为
16．已知等差数列的通项公式为记集合
A，把集合U 中的元素按从小到大依次排
列，构成数列，则数列的前50 项和。

三、解答题：
17．（本小题满分12 分）
在△ABC 中，A , B , C 的对边分别是
（1）求cosA 的值；
（2）若求边c。

18．（本小题满分12 分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，，四边形BCC1B为矩形，若AB=5，AB=4，BC=3。

（1）求证：
（2）求二面角C—AA1—B的余弦值。

20．（本小题满分12分）
以椭圆为半径的圆称为该椭圆的“伴随”。

已知椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为的最大值。

21．（本小题满分12 分）
设函数
（1）若函数上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数
请考生在第22 、23 、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，圆O 的直径为BD，过圆上一点A 作圆O 的切线AE，过点D作DEAE于点E ，延长ED与圆O 交于点C．
（1）证明：DA平分；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．
23．（本小题满分10 分）选修4—4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．直线l的参数方程为
为参数），曲线C1的方程为，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点。

（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若，求实数a的取值范围。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数
（1）当a=0时，解不等式
（2）若存在成立，求实数a的取值范围。

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