§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(精)
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l
y
f max
max 及 fmax 都发生在自由端截面处
max
f max Pl 2 Pl 2 Pl 2 |x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 Pl 3 Pl 3 |x l 2 EI 6 EI 3EI
例题 6-1 图
例题 6-2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受集度为q的 均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最
y
l
将边界条件代入(3) 可得
(4)两式中, 例题 6-1 图
C1=0
及
C2=0
将已确定的积分常数代入(3) 方程和挠曲线方程分别为
(4)两式中, 即得梁的转角
Plx Px 2 ' EI 2 EI
Plx 2 Px 3 2 EI 6 EI
x
A
l x
B x
θ max
RA
解: 此梁的两个支反力为
A 1
P
RB
B
D 2
b RA P l
a
l
b
a RB P l
例题 6 -3 图
RA
A
P
RB
B
1
D 2
两段梁的弯矩方程分别为
a
l
b
例题 6 -3 图
b M1 RA x P x l b M 2 P x P( x a) l
(0 x a) (a x l )
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
A
l 2
RB
B CθB x
A
y
l
在梁跨中点 l/2 处有 最大挠度值
fmax
5ql υ | l x 384EI 2
RA
x
4
q
A
l 2
RB
B Cθ B x
说明: 积分常数 C1 和 C2
几何意义
A
y
l
f max
将 x=0 代入
EIυ ' M( x )dx C1
EIυ
''
M( x )
（6 -2 b）
上式积分一次得转角方程
EIυ ' M ( x )dx C1
再积分一次, 得挠曲线方程
（6 -3 a）
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
（6 -3 b）
式中积分常数C1 、C2可通过梁挠曲线的边界条件来确定。 在简支梁（图6 -4a）中， 左右两铰支座处的挠度 A 和 B 都应等于零。 在悬臂梁 ( 图 6 -4 b）中， 固定端处的挠度Ａ和转角 A都应等于零等等。
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
§6-2
推导公式
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M k ρ EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数 。略去剪力对梁的位移的影响, 则
1 M ( x) ( x) ( x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
(a)
1 d | ' '| | | 3 2 ( x) ds (1 ' ) 2
2 3
)
2
M( x ) EI
（6 -1）
ν'
2
与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M( x ) ν" EI
（6 -2 a）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了2 项。
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
(b)
o 在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向下为正。 y 曲线向上凸 时 : > 0 , M < 0 曲线向下凸 时 ： < 0 , M > 0
M M
x
M<0
ν" 0
o
M M
x
因此, M 与 的正负号正好相反，
所以
y
M>0
ν" 0
图 6 -2
υ '' (1υ'
RA
A x q
(a) (b)
RB
B x
y
Βιβλιοθήκη Baidu
l
2 q EIυ ' ' M ( x ) (lx x ) 2
(b)
q lx 2 x3 EI ' ( ) C1 2 2 3 q lx3 x 4 EI ( ) C1 C2 2 6 12
边界条件为 :
(c) (d)
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
x 0,
x l,
v0
v0
将边界条件代入 (c) , (d) 两式得
C2 0
ql C1 24
3
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
q ' (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI RA qx 3 2 3 (l 2lx x ) 24 EI
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值最相等， 且都是最大值
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
(b) A B
(a)
νA0
A
νB0
B
νA0
θA0
图 6 -4
例题 6 -1
图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 试求梁的挠曲线方程
和转角方程, 并确定其最大挠度
fmax 和最大转角 max 。 解： 弯矩方程为 x
A
l x
B x
M ( x) P(l x)
(1)
y
l
挠曲线的近似微分方程为
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l
y
f max
max 及 fmax 都发生在自由端截面处
max
f max Pl 2 Pl 2 Pl 2 |x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 Pl 3 Pl 3 |x l 2 EI 6 EI 3EI
例题 6-1 图
例题 6-2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受集度为q的 均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最
y
l
将边界条件代入(3) 可得
(4)两式中, 例题 6-1 图
C1=0
及
C2=0
将已确定的积分常数代入(3) 方程和挠曲线方程分别为
(4)两式中, 即得梁的转角
Plx Px 2 ' EI 2 EI
Plx 2 Px 3 2 EI 6 EI
x
A
l x
B x
θ max
RA
解: 此梁的两个支反力为
A 1
P
RB
B
D 2
b RA P l
a
l
b
a RB P l
例题 6 -3 图
RA
A
P
RB
B
1
D 2
两段梁的弯矩方程分别为
a
l
b
例题 6 -3 图
b M1 RA x P x l b M 2 P x P( x a) l
(0 x a) (a x l )
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
A
l 2
RB
B CθB x
A
y
l
在梁跨中点 l/2 处有 最大挠度值
fmax
5ql υ | l x 384EI 2
RA
x
4
q
A
l 2
RB
B Cθ B x
说明: 积分常数 C1 和 C2
几何意义
A
y
l
f max
将 x=0 代入
EIυ ' M( x )dx C1
EIυ
''
M( x )
（6 -2 b）
上式积分一次得转角方程
EIυ ' M ( x )dx C1
再积分一次, 得挠曲线方程
（6 -3 a）
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
（6 -3 b）
式中积分常数C1 、C2可通过梁挠曲线的边界条件来确定。 在简支梁（图6 -4a）中， 左右两铰支座处的挠度 A 和 B 都应等于零。 在悬臂梁 ( 图 6 -4 b）中， 固定端处的挠度Ａ和转角 A都应等于零等等。
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
§6-2
推导公式
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M k ρ EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数 。略去剪力对梁的位移的影响, 则
1 M ( x) ( x) ( x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
(a)
1 d | ' '| | | 3 2 ( x) ds (1 ' ) 2
2 3
)
2
M( x ) EI
（6 -1）
ν'
2
与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M( x ) ν" EI
（6 -2 a）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了2 项。
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
(b)
o 在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向下为正。 y 曲线向上凸 时 : > 0 , M < 0 曲线向下凸 时 ： < 0 , M > 0
M M
x
M<0
ν" 0
o
M M
x
因此, M 与 的正负号正好相反，
所以
y
M>0
ν" 0
图 6 -2
υ '' (1υ'
RA
A x q
(a) (b)
RB
B x
y
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l
2 q EIυ ' ' M ( x ) (lx x ) 2
(b)
q lx 2 x3 EI ' ( ) C1 2 2 3 q lx3 x 4 EI ( ) C1 C2 2 6 12
边界条件为 :
(c) (d)
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
x 0,
x l,
v0
v0
将边界条件代入 (c) , (d) 两式得
C2 0
ql C1 24
3
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
q ' (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI RA qx 3 2 3 (l 2lx x ) 24 EI
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值最相等， 且都是最大值
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
(b) A B
(a)
νA0
A
νB0
B
νA0
θA0
图 6 -4
例题 6 -1
图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 试求梁的挠曲线方程
和转角方程, 并确定其最大挠度
fmax 和最大转角 max 。 解： 弯矩方程为 x
A
l x
B x
M ( x) P(l x)
(1)
y
l
挠曲线的近似微分方程为
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l