解析几何中的对称问题答案

解析几何中的对称问题答案

2007-11-16

1、D

2、 A 3．B 4.C 5．C 6.C 7.C 8.A 9.B 10、B

3．B ．因为入射光线必过点P 所以将点P 坐标代入可排除A.C 即而求出点Q 关于直线x+y+1=0的对称点Q ’(-2,-2)则入射光线的斜率为4

5

'=

PQ k 可选B 。 4.C 点(7，3)与点(m ，n)关于直线y =x+2对称，∴m =1，n =9.

5．C 由1l 过定点(0,2)M 知：直线2l 恒过M 关于直线1y x =+的对称点(1,1)，选C 。 7．解析：选C ．设直线AB 的方程为y x b =+，由

22123

301y x x x b x x y x b

⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨

=+⎩，进而可求出AB 的中点11

(,)22

M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，

由弦长公式可求出AB ==本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．

11．y=3x －10 12．2x －y + 5=0

13．2

2

46492200x x y -++= 14 ．2

2

228110x y y x -+--= 15．椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得

31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=。

又x x x =

+122，y y y =+122

，k y y x x =--=-1

2121

4，代入得y x =3。 又由y x

y x m

==+⎧⎨

⎩34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有 ()()-+-

1。 得-<<21313213

13m 。 16．两点所在直线y m =-

+22与y mx =联立求出交点(,)-+-+m m m 2222

，代入抛物线内，

有()-++<-++m m m m 2212

212，解得-<<20m 。 17

．11,,00,3223k 骣骣骣珑鼢珑鼢???热+?珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢桫桫珑桫

桫 18．设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.

代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又 =(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得： 0

3

2. 19．分析一 根据椭圆的定义，长轴长2a=｜MF 1｜+｜MF 2｜，从建立目标函数考虑，可设点M 的坐标为（t ，6-t ），设F 1（-2，0）， F 2（2，0），则可建立2a 的目标函数。

但这时求函数2a 的最小值还很麻烦。

分析二 如图13-11，根据椭圆的定义，椭圆的长轴最短，就是椭圆与l 的公共点M 到焦点F 1和F 2的距离之和最短，若设椭圆和直线l 相切，那么除切点外的任何点都在椭圆外，到两焦点的距离之和均大于长轴，所以M 应为切点，椭圆应通过此切点。

解法一 由已知，a 2=9，b 2=5，

∴ c=2，即两椭圆的公共焦点F 1（-2，0）和F 2（2，0）。

n 2x 2 + m 2（6-x ）2=m 2n 2

由已知，应有n 2=m 2-4，代入整理，得（2m 2-4）x 2-12m 2x+40m 2-m 4=0

由于直线l 应与此椭圆相切，必须且只需Δ=144m 4-4（2m 2-4）（40m 2-m 4）=0 整理此方程，得 m 4-24m 2+80=0（m 2-20）（m 2-4）=0

∴m 2=20或m 2=4，但n 2=m 2-4=0不合题意，只有m 2=20，且n 2=m 2-4=16，

若存在椭圆c ′过直线l 的另一点M ′，由于M ′在椭圆外，则必有

｜M ′F 1｜+｜M ′F 2｜＞｜MF 1｜+｜MF 2｜

分析三 由于椭圆的长轴最短时，应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜最小，即M 点应为直线l 上距

F 1和F 2的距离之和为最短，据平面几何的等价命题可知，这个最短的距离和应是线段｜F 1F ′2｜的长，其中F ′2是F 2关于直线l 的轴对称点，故可得解法二。

解法二 如图13-12，设F 2（2，0）关于直线l 的对称点/2F

①

又应有F 2F ′2⊥l ，则有 ②

应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜MF 1｜+｜MF ′2｜=｜F 1F ′2｜=2a

又由c=2得b 2=a 2-c 2=16，

20.

22

2

215

3

x y -= 21．解：（Ⅰ）( i ) 当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所

在的直线方程2

1=y ，

( ii ) 当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，

C

D

y

)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率0

01x A k =

'， ∵,A O '折痕所在直线垂直平分 ∴1-=⋅'k k A O ，∴

11

-=⋅k x ，∴k x -=0 又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)2

1,2(k M -

， ∴折痕所在的直线方程)2

(21k x k y +=-，即21

22k y kx =++，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：21

22

k y kx =++)02(≤≤-k

（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21

(,)21,0(22k

k F k E +-+

由（Ⅰ）知，0x k -=，∵200≤≤x ，∴02≤≤-k ，

设折痕长度为d ，所在直线的倾斜角为θ，

( i ) 当0=k 时，此时A 点与D 点重合, 折痕的长为2 ； ( ii )当02<≤-k 时，

设k k a 212+-=，2

1

2+=k b ，

20=≤AB a 时，l 与线段BC 相交，此时032<<+-k ， 10≤b 时，l 与线段DC 相交，此时12-<≤-k ，

∴将k 所在的分为３个子区间：

①当12-<≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段DC 、AB 相交，

折痕的长11

||11||1|

sin |1

222

+=+=+=

=k

k k k k d θ，∴225<≤d ， ②当321+-≤≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、AB 相交，