2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十八)数学
湖南省湘潭市2021届新高考数学模拟试题含解析
湖南省湘潭市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C【解析】【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.【详解】 2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--， 画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像， 易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于428⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.2．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6 C ．5 D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A.【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.4．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32- D ．2-【答案】A【解析】【分析】 画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.6．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）.A ．16B ．283C ．5D ．4【答案】D【解析】【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=， 即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n m m n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.7．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值.【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．36 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.9．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43 B ．916 C ．34 D ．169【答案】D【解析】【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，则r ，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D. 【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.10．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA =，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线，∴OFM AFB ∆∆:，且12OFFA =， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.11．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值.【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十六)数学
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2(1)1A x N x =∈-≤，{}210B x x =-≥，则（ ） A ．{12}A B x x ⋂=≤≤ B ．{1,2}A B ⋂= C ．A B ⊆ D ．()R A B ⊆2．已知(1)()1i x yi -+=，其中x ，y 是实数，i 为虚数单位，则||x yi -=（ ）A ．22 B ．32 C ．52D 53．直线20x y a ++=与圆22240x y x ++-=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．56a -<< B ．46a -<< C ．36a -<< D ．4a >-4．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A 星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武．已知火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料质量M （单位：kg ），火箭质量m （单位：kg ）的函数关系是：2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v 的值为多少（参考数值为ln20.69≈；ln101 4.62≈）（ ） A ．13.8 B ．9240 C ．9.24 D ．13805．执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为（ ）A ．20192020 B ．20202021 C ．20212022 D ．202220236．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．15-B ．15C ．60-D ．60 7．若a ，b 为正实数，且1123a b+=，则3a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4 8．对于奇函数()f x ，若对任意的12,(1,1)x x ∈-，12x x ≠，且()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则当()21(22)0f a f a -+-<时，实数a 的取值范围为（ ）A ．(B ．12⎛⎝ C ． D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若222sin()cos ,4A B C a b c +=+-=，则ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．610．已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b b a a b >>B ．a b b a b a >>C ．b a b b a a >>D ．b b a a b a >> 11．已知函数()cos2sin f x x x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 的一条对称轴为2x π=B ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的最大值为9812．已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）ABCD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为_____．14．已知(1,)a t =，(2,2)b =-且a b ⊥，则||a b +=_____． 15．在正三棱锥P ABC -中，AB =PB =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____．16．已知函数,2,()ln(4),2x x e a x f x x x ⎧⋅+≥-⎪=⎨+<-⎪⎩（e 为自然对数的底数），若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围为_____．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 成等差数列，各项均为正数的数列{}n b 成等比数列，132,8b b ==，且2323a a b -=，3433a a b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2211log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为11:9，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人． （1）完成22⨯列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？（2）从被调查的女生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生均为优秀学生的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．附：19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）确定E 的位置，使//PB 平面AEC ；（2）设1PA AB ==，PC =，且在第（1）问的结论下，求二面角D AE C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=．（1）求曲线1C 的方程；（2）设离心率为2且长轴为4的椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又曲线2C 与过点(1,0)Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知45MONS =，O 为坐标原点，求直线l '的方程． 21．（本小题满分12分） 已知函数24()ln f x x x ax e=--，a ∈R ． （1）当()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线:10l x y -+=平行时，求实数a 的值；（2）若()2e xxf x >--恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值． 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()132f x x x =---．（1）求不等式1()(1)2f x x ≥-的解集； （2）若函数的最大值为n ，且2(0,0)a b n a b +=>>，求21a b+最小值．数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知得{0,1,2}A =，{1B x x =或1}x -，∴{1,2}A B ⋂=，故选B ．2．∵1122x yi i +=+，∴||||2x yi x yi +=-==，故选A ．3．已知22(1)5x y ++=，即圆心(1,0)-，半径r =20x y a ++=的距离为d =<，即46a -<<，故选C ．4．3100002000ln 12000(ln101)2000 4.629240km/s 3100v ⎛⎫=⨯+=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．5．11112021112232021202220222022S =+++=-=⨯⨯⨯，故选C ．6．631216C (1)2rr r r r T x --+=-，令3120r -=，即4r =，∴常数项为60，故选D ．7．1111313(3)11(22)223232a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3,31123a bb a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,31a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，“=”成立，故选A ．8．由已知得()f x 在(1,1)-上为单调递增函数，∴()()221(22)01f a f a f a -+-<⇔-<(22)f a -+，∴22122,1111,121221a a a a a ⎧-<-+⎪⎪-<-<⇒<<⎨⎪-<-+<⎪⎩，故选D ．9．sin cos tan 1C C C =⇒=，由已知得：∵(0,)C π∈，∴4C π=，又222cos 2a b c C ab ab +-=⇒=，∴1sin 12ABCSab C ==，故选A ． 10．由已知得1a b >>，故a b b a a b >>，故选A ．11．由已知得：对于选项A ，()cos(22)sin()()f x x x f x πππ-=-+-=，正确；对于选项B ，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确；对于选项C ，()()cos2sin cos(22)sin()f x f x x x x x πππ+-=++-+-2(cos2sin )0x x =+≠，错误；对于选项D ，令sin ([1,1])t x t =∈-，∴2()2sin sin 1f x x x =-++=221921248t t t ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14t =时，max 98y =，正确，故选C ．12．由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==，故选D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在点(2,0)处取得最小值2．14．∵a b ⊥，∴0220a b t ⋅=⇔-+=，即1t =，∴||10a b +=． 15．由题意得外接球的半径为54，即22544S R ππ==． 16．设()xg x x e =⋅，则求导后得()g x 在(1,)-+∞上为增函数，在(2,1)--上为减函数．令,2,()ln(4),2,x x e x h x x x ⎧⋅-=⎨+<-⎩由图象可知，()f x 有三个零点，则a 的取值范围为221a e e ≤<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由23122b b q q =⋅=⇒=，∴2n n b =，又232134331,23,a ab a d a a b -=⎧⇒==⎨-=⎩，∴21n a n =-． （6分） （2）1111(21)(21)22121n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，11122121n n S n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． （12分） 18．（本小题满分12分） 解：（1）列联表如下：22100(35152030)0.0999 2.07255456535K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”． （6分）（2）抽取的13人中，男生、女生人数分别为7人、6人，记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A ，则11762137()13C C P A C ==， ∴两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率为713． （12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）E 为PD 的中点．证明：连接BD ，使AC 交BD 于点O ，取PD 的中点为E ，连接EO ， ∵O ，E 分别为BD ，PD 的中点， ∴//OE PB ．又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ． （6分）（2）分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，∴110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,0)AC =， ∴平面DAE 的法向量为(1,0,0)AB =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由11,0,220,n AE y z n AC x y ⎧⎧⊥+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪+=⎩⎩令1x =，则1y =-，1z =，∴(1,1,1)n =-，∴二面角D AE C --的平面角的余弦值为3cos 3||||AB n AB n α⋅==⋅． （12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y x =-，∴222,23042p y x p x px y px⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴1232x x p p +=⇒=，∴曲线1C 的方程为24y x =．（5分） （2）由已知得2a =，c =1b =，∴曲线2C 的方程为2214x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，则()22221,423041x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩． 设()()3344,,,M x y N x y ，34342223,44m y yy y m m +=⋅=-++， ∴34112OMNSy y =⨯⨯-=4247110m m ⇒+-=1m ⇒=±，∴直线l '的方程为10x y ±+=． （12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）()ln 1f x x a '=+-，∴斜率(1)110k f a a '==-=⇒=． （4分）（2）由已知得24ln 2x x x x ax e e-->--对任意的(0,)x ∈+∞恒成立 2141ln 2x a x xe e ⎛⎫⇔<++- ⎪⎝⎭恒成立． 令2141()ln 2,(0,)x h x x x x e e ⎛⎫=++-∈+∞ ⎪⎝⎭， 则22222421141()2x x x x e e h x x e e x x'-+-⎛⎫=---= ⎪⎝⎭， 令224()2,(0,)x x x x x e eϕ=-+-∈+∞， 则(2)()1xx x x e ϕ'-=+． ∵2(2)(1)11x x x -=--≥-， ∴(2)1x x x x e e-≥-． 又0x >，∴11x e <，即()0x ϕ'>恒成立， ∴()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，又(2)0ϕ=，∴当02x <<时，()0h x '<，即()h x 为减函数，当2x >时，()0h x '>，即()h x 为增函数， ∴min 21()(2)ln 21h x h e==+-， ∴21ln 21a e <+-． （12分） 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，由4cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=+ ⎪⎝⎭， ∴曲线C的直角坐标方程为220x y +--=． （5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得222(50t t ++-=，∴12122,2(5t t t t +=-⋅=-，∴121211||5||||||47t t PB PA PA PB PA PB t t +--===⋅⋅‖‖‖‖．（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（1）由已知得2,1,3()34,1,232,,2x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩ ∴当11,2(1)2x x x <-≥-⇒无解； 当31731,34(1)2252x x x x ≤≤-≥-⇒≤≤； 当3135,2(1)2223x x x x >-+≥-⇒<≤， 综上所述，不等式的解集为75,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）可知max 1()2f x n ==，∵2(0,0)a b n a b +=>>， ∴2121222(2)24118a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22a b b a =，即16a b ==时，“=”成立． （10分）。
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(三十)数学
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（三十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（綦江）已知集合{}02|2<--=x x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=B A （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)2,(-∞D ．)1,1(-2．（铜梁）设ii z 312+=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（实验）命题“3210x x x ∀∈-+≤R ，”的否定是（ ） A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，B ．3200010x x x ∃∈-+≥R ，C ．3200010x x x ∃∈-+>R ，D ．3210x x x ∀∈-+>R ，4．（綦江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ） A ．18B ．24C ．48D ．365．（实验）已知直线l 和两个不同的平面βα，，则下列结论正确的是（ ） A ．若//l α，l β⊥，则βα⊥ B ．若αβα⊥⊥l ，，则β⊥l C ．若//l α，//l β，则βα// D ．若αβα//l ，⊥，则β⊥l 6．（长寿）如图所示,给出的是求：99151311+⋯+++的值的 一个程序框图, 判断框内应填入的条件是（ ）. A ．?99≤i B ．?99<i C ．?99≥i D ．?99>i7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式h L V 21123≈相当于将圆锥体积 公式中的π近似取为（ ） A ．722 B ．852 C ．982 D ．2782 8．（綦江）函数x x x x f cos )sin 3()(-=在[]ππ,-上的大致图象是（ ）9．（实验）已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ．若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．2C ．5D ．210．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。
2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷(A卷)(解析版)
2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）一．单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：∵B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：．故选：D．3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状解：∵1+3+3+5+5+7＝24，∴编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：C．4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120解：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．5．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学解：因为，，又25＜32，所以，又，，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C．7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为解：此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX'和YY'上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为θ，则P的坐标为（|PB|cosθ，|PA|sinθ），从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为．故选：B．8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042解：令y＝0，则有2f（0）+f（0）（f（x）+1）＝2（x﹣1），又f（0）＝﹣1，∴f（x）＝﹣2x﹣1．从而集合A中，可化为．即t（t+2x+1）＝2×62020＝22021×32020．∵t∈N*，x∈N*，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，…，22021×32020，共有2021个（t，x）．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个（t，x）．∴集合A中的元素个数共有2021×2＝4042（个）．故选：D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等解：由题中数据可知，（360+240+120）÷60＝360÷60+240÷60+120÷60＝6+4+2＝8，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误．无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确．故选：AD．10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c解：∵，由①﹣②得2b＝2a2+2，即b＝a2+1，∴b≥1，又，∴b＞a，而c﹣b＝4﹣4a+a2＝（a﹣2）2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a．故选：BD．11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，又B1C∩B1D1＝B，所以有AC1⊥面B1D1C，当F为A1C1中点时，CF⊂面B1D1C，∴AC1⊥CF，A正确；对于B，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥面AA1C1C，CA1⊂面AA1C1C，∴B1D1⊥CA1．若F与A1重合时，异面直线CF 与B1D1所成角为，B错误；对于C，当时，过F作FH⊥A1D1，垂足为H，则FH∥AB，．易证BA⊥面AA1D1D，从而由BA⊥AA1，BA⊥AH可得二面角F﹣AB﹣A1的平面角为∠A1AH．∴，C正确．对于D，点F与C1重合时，三棱锥C﹣BDF的外接球即正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，其直径．∴其表面积S＝4πR2＝3π，D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1解：易证e x≥ex，∴f（x）＝e x﹣ex≥0恒成立，所以C错误；令h（x）＝f（x）﹣ag（x）＝e x﹣ex﹣ax2+ax，若a＝1，则h（x）＝e x﹣ex﹣（x2﹣x），则x∈（0，1）时，﹣（x2﹣x）＞0，此时h（x）＞0恒成立，显然D错误，对于A、B，h（1）＝0，h'（x）＝e x﹣e﹣a（2x﹣1），h''（x）＝e x﹣2a，当a＜0时，h''（x）在（0，1）上恒为正，故h'（x）在（0，1）上单调递增，又因为h'（0）＝1﹣e+a＜0，h'（1）＝﹣a＞0，∴h'（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0），h'（x）＜0；x∈（x0，1），h'（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0，而h（0）＝1＞0，故h（x）在（0，x0）上存在唯一零点，故A、B正确；故选：AB．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．解：∵平面向量，，∴＝（1，5），∴||＝＝，故答案为：．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值n可取6，8，9，10，11中任意一个值．解：的展开式的通项为，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则，且．当n＝3时，r＝0；n＝4时，r＝4；n＝5时，r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时，r无解；n＝8时，r＝2，8；n＝9时，r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时，r＝2，8，n＝12时，r＝0，6，12．所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为3．解：设等比数列{a n}的公比为q，由得，，，解得，又a2＝2．∴a1＝4．易得数列{a n a n+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为．∴，从而有．∴n≤3．故n max＝3．故答案为：3．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为2﹣．解：由题意得∠AOF＝45°＝∠COF，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为M1，N1．设|OM|＝m，|ON|＝n，则，．，所以有mn＝m+n．又，有mn≥4．（当且仅当m＝n时等号成立）．Rt△OMN的内切圆半径，令t＝mn，t≥4，则，在[4，+∞）上单调递减．∴当t＝4时，r有最大值为．故答案为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．解：（1）设等比数列的首项为a1，公比为q＞0，由得，q＝2．所以．（2）b n＝log a a n＝（n﹣6）log a2．数列{b n}是首项为﹣5log a2，公差为log a2的等差数列．方法一：①当0＜a＜1时，log a2＜0，数列{b n}是首项为正的递减等差数列．由b n≥0，得n≤6，（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．②当a＞1时，log a2＞0，数列{b n}是首项为负的递增等差数列．由b n≤0，得n≤6，所以（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得．①当a＞1时，log a2＞0，此时（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．②当0＜a＜1时，log a2＜0，此时（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．解：（1）连结BD，如图所示：在△ABD中，由余弦定理得．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos C＝2﹣2cos C，所以，解得，所以用cos A表示cos C为cos C＝cos A﹣1．（2）因为，所以由（1）可得，C∈（0，π），所以，由CD＝BC，所以．△ABD中，由余弦定理得．由AB＝BD，所以△ABD为等腰三角形．所以，，计算．△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cos∠ADC＝．解得；所以应准备千米的管道．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC．BC ⊥CD，所以BC⊥平面PDC．又BC⊂平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC，故平面PDC∩平面PBC＝PC，故DE⊥平面PBC．由已知l⊂平面PBC，所以DE⊥l．（2）方法一：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，，D（0，﹣1，0），，C（0，1，0）．设平面PAD的法向量，因为，，，，所以，令，则，设平面PBC的法向量，∵，，，，，令z2＝1，则，因为，，所以．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EH⊥PF，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PF⊥DE，从而PF⊥平面DEH．所以PH⊥DH，故∠DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得，且，由（1）知△PCF为直角三角形，∠C为直角，从而，所以，故，所以．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则P（A）＝＝．（2）当P＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ2246P0.994（1﹣0.992）2．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX2＝850Eξ2＝1768次．若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ312P0.9941﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX3＝850×1.16≈986次．显然EX3＜EX2＜EX1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．解：（1）由题意可得，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y．（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y﹣2）2＝1，由已知可设l：y＝kx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2﹣8kx﹣16＝0，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有k≠0，方法一：由抛物线定义知，|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2．所以||AM|﹣|BN||＝|（|AF|﹣2）﹣（|BF|﹣2）|＝||AF|﹣|BF||＝|y1﹣y2|＝|（kx1+2）﹣（kx2+2）|＝＝，所以|AM|≠|BN|方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|＝|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x2＝0，因为x1+x2＝8k≠0，所以|AM|≠|BN|．②由（1）知抛物线方程为．所以．所以过点A的切线，即．同理可得，过点B的切线l2为．由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以．D（4k，﹣2）到l：y＝kx+2的距离，|AM|⋅|BN|＝（|AF|﹣2）（|BF|﹣2）＝[（y1+2）﹣2][（y2+2）﹣2]＝，从而＝．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．【解答】（1）解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+1），所以，易知f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0．则在（﹣1，0）上f'（x）＜0，在（0，+∞）上f'（x）＞0，从而f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna，所以，且a≥1．设g（x）＝f'（x），则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，即f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，由，得，设h（x）＝（x+1）e x h'（x）＝（x+2）e x＞0，则h（x）在[﹣1，+∞）上单调递增且h（﹣1）＝0．则当a∈[1，+∞）时，都恰有一个x0＞﹣1，使得，且当x∈（﹣1，x0）时f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f'（x）＞0，因此f（x）总有唯一的极小值点x0．所以，从而lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，极小值由lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，可得当a∈[1，+∞）时，﹣ln（x0+1）﹣x0≥0，即ln（x0+1）+x0≤0，ln（x0+1）+x0随x0增大而增大，易得x0∈（﹣1，0]．令t＝x0+1，则t∈（0，1]，设，φ（1）＝1，所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）＝1，从而φ（t）≥1．即f（x0）≥1．。
2021年湖南省高考数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 18 页 2021年湖南省高考数学模拟试卷本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2150,{|24}A x x x B x x =+-≤=-<<，则AB =（ ） A ．{|23}x x -<≤B ．{|54}x x -≤<C ．{|52}x x -≤≤-D ．{|34}x x ≤< 【答案】A【解析】先求出集合A ,再与集合B 取交集即可.【详解】因为{}2|2150{|53},{|24}A x x x x x B x x =+-≤=-≤≤=-<<,所以{|23}A B x x =-<≤.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集,考查不等式的解法,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i - 【答案】B。
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十九)数学
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}22A x x =-≥，{}2B x x =≤，则()UA B ⋂=（ ）A. {}02x x ≤≤B. {}02x x <≤C. {}22x x -≤≤D.{}22x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】求出集合,u A C A ，再求()u C A B .【详解】由22x -≥，得22x -≥或22x -≤-，即4x ≥或0x ≤.{4A x x ∴=≥或}0x ≤，{}04u C A x x ∴=<<. (){}02u C A B x x ∴⋂=<≤.故选：B .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z iz i-+为纯虚数，则z =（ ）A. 2B.C. 1D.2【答案】C 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b aiz i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.命题：“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≤- B. ()0,x ∃∉+∞，ln 1x x >- C. ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤- D. ()0,x ∀∈+∞，ln 1x x >-【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤-”. 故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4.设31log 212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log 32b =，34log32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b ca <<【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数3log y x =的单调性比较,,a b c 的指数的大小，再根据指数函数2xy =的单调性比较,,a b c 的大小. 【详解】3331log 12log log 221222a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1333332234416log log log 2log log 332339=-===， 函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，且316229<<， 333316log log log 229∴<<. 函数2xy =在R 上单调递增，333163log log log 292222∴<<，即b c a <<.故选：D .【点睛】本题考查对数的运算性质，考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题. 5.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况（十分制）如图所示，则得分的中位数m ，众数n ，平均数p 的大小关系是（ ）A. m n p =<B. m n p <<C. n p m <<D.p m n <=【答案】A 【解析】 【分析】由条形图求出,,m n p ，即得答案. 【详解】由条形图可得33246510647293106,6, 6.130m n p ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯====，m n p ∴=<.故选：A .【点睛】本题考查条形图，属于基础题. 6.已知1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.79 B. 79-C.29D. 429-【答案】A 【解析】 【分析】由2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式和倍角公式可求值.【详解】2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 2cos 2cos 2cos 212cos 2444ππππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171239⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A .【点睛】本题考查三角函数诱导公式和简单的三角恒等变换，属于基础题. 7.函数()()sin xxf x e ex -=-部分图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 的定义域为R ，判断()f x 的奇偶性，再根据特殊值即得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为R .()()()()()sin sin x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=，()f x ∴为偶函数，排除,A C .又()()11sin10,f e e -=->∴排除D .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性识别图象，属于基础题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.若函数()()()2,012,0x x f x f x f x x -⎧≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2020f =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】A 【解析】 【分析】由题意，当0x >时，可推出()()6f x f x +=.故当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数，则()()20204f f =，再根据()f x 的解析式去求()4f ，即得答案. 【详解】当x >时，()()()()()()()6544343f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+-+-+=-+()()()()()()2111f x f x f x f x f x f x =-+-+=-+--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.∴当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数， ∴()()20204f f =.又()()()()()()()()()432212101f f f f f f f f f =-=--=-=---⎡⎤⎣⎦()()10=10221f f --=-=.即()20201f =. 故选：A .【点睛】本题考查函数的周期性，考查分段函数求值，属于中档题. 10.已知函数3()()f x x a a a R x=--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. (1+B. (1,1(1)--⋃+∞C. (,1-∞D. (,1(1-∞⋃+【答案】D 【解析】 【分析】先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果. 【详解】由()2f x =得32x a a x--+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃. 故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.11.已知()sin 2f x x =，()cos2g x x =，下列四个结论正确的是（ ） A. ()f x 的图象向左平移2π个单位长度，即可得到()g x 的图象B. 当8x π=时，函数()()f x g x -C. ()()y f x g x =+图象的对称中心是,028k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ D. ()()y f x g x =⋅在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】对选项逐一验证，即得答案. A 项，求出()f x 向左平移2π个单位长度后的函数解析式，可得A 的正误；B 项，令()()()h x f x g x =-，由辅助角公式可得()24h x x π⎛⎫-⎝=⎪⎭，从而可判断B 的正误；C 项，由辅助角公式可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求其对称中心，从而可判断C 的正误；D 项，由倍角公式可得1sin 42y x =，可判断它在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得D 的正误. 【详解】A 项，()f x 的图象向左平移2π个单位长度可得()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，而()cos2g x x =，故A 错误.B 项，令()()()h x f x g x =-，则()sin 2cos 224h x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，当8x π=时，20884h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.C 项，sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.令2,4x k k Z ππ+=∈，,28k x k Z ππ∴=-∈. ∴函数()()y f x g x =+图象的对称中心是8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 正确. D 项，1sin 2cos 2sin 42y x x x ==.当3,82x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数1sin 42y x =单调递增，故D 正确.故选：CD .【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A. ()()()P A P B P C ==B. ()()()P BC P AC P AB ==C. 1()8P ABC = D. 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，分别求得(),(),()P A P B P C 可判断A ，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题. 13.已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，满足()21234234a a a a a a a +++=++，且41a >，下列选项正确的是（ ） A. 13a a > B. 34a a >C. 12a a >D. 24a a <【答案】AD 【解析】 【分析】设公比为q .由()21234234a a a a a a a +++=++，41a >得23221111111q q q q q ⎛⎫+++>++ ⎪⎝⎭，整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<.令()3221f x x x x =+++，利用导数判断()f x 的零点0x 在()2,1--上，即01q x <<-，从而可以判断选项的正误. 【详解】1234,,,a a a a 成等比数列，设公比为q .()2244444123423444322,a a a a a a a a a a a a a a q q q q q ⎛⎫+++=++∴+++=++ ⎪⎝⎭， 2244322322111111111111,1,11a a q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫∴+++=++>∴+++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<. 令()3221f x x x x =+++，则()()()'2341311fx x x x x =++=++.由()'0fx >，得13x >-或1x <-；由()'0f x <，得113x -<<-，()f x ∴在(),1-∞-上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x ∴的极大值为()11f -=，极小值为1230327f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 又()210f -=-<，()f x ∴在区间()2,1--上有一个零点0x .即32210q q q +++<时，01q x <<-，21q ∴>.41a >，∴等比数列1234,,,a a a a 中，13,a a 均为负数，24,a a 均为正数.23122124,a q a a a q a a ∴=<=>.故选：AD .【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.第Ⅱ卷三、填空题：把答案填在对应题号后的横线上.14.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.判断点()cos4,sin 4所在的象限，即得答案.【详解】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.34,cos 40,sin 40,2ππ∴<<∴<<∴点()cos4,sin 4在第三象限， 即4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为：三.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.数列{}n a 满足13a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则10a =______. 【答案】3ln10+ 【解析】 【分析】由11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()11ln 1ln 1ln n na a n n n +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭-，累加法可求10a . 【详解】()1111ln 1,ln 1ln 1ln n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++∴-=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()2132431ln 2ln1,ln3ln 2,ln 4ln3,,ln ln 1n n a a a a a a a a n n -∴-=--=--=--=--,以上各式两端分别相加，得1ln ln1ln n a a n n -=-=.1103,3ln ,3ln10n a a n a =∴=+∴=+.故答案为：3ln10+.【点睛】本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数()121xf x x =-+，则1122f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，()()121f x f x +-≤的解集为______.【答案】 (1). 1 (2). (],1-∞ 【解析】 【分析】 令12x =，可求1122f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，可求得()()1f x f x +-=.不等式()()121f x f x +-≤即为()()()()12f x f x f x f x +-≤+-，可得()()12f x f x -≤-.易知()f x 在R 上单调递减，可解不等式. 【详解】函数()121x f x x =-+定义域为R .则111111122221f f ⎛⎫⎛⎫+-=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.()()11111211212121211212xx x x x x xf x f x x x -+-=-++=+=+=++++++， ∴不等式()()121f x f x +-≤即为()()()()12f x f x f x f x +-≤+-，()()12f x f x ∴-≤-.易知()121xf x x =-+在R 上单调递减， 12,1x x x ∴-≥-∴≤，即原不等式的解集为(],1-∞.故答案为：1；(],1-∞.【点睛】本题考查函数求值和解不等式，属于中档题.17.函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020.请写出()f x 的一个解析式______. 【答案】()tan 2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等【解析】 【分析】根据函数()f x 同时满足的3个条件写出()f x 的解析式，答案不唯一. 【详解】函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020，()f x ∴的解析式可以为：()tan2020f x x π=或()12log sin2020f x x π=或()21cos11010f x x π=-+等（答案不唯一）.故答案为：()tan2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等.【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的解析式，属于中档题.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；（2）221nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得()1111nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，则2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+- ()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=（2）由（1）得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.19.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =A =（1）求A 的值，并求ABC 面积的最大值； （2）求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）(]2,4.【解析】【分析】（1A =22sin 3cos A A =，又22sin 1cos A A =-，可求A .由222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，可得4bc ≤，再根据三角形面积公式可求ABC 面积的最大值；（2）方法1：由正弦定理可得)sin sin b c B C +=+，又23B C π+=.设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<，代入)sin sin b c B C +=+，展开，化简，可求b c +的取值范围.方法2：由余弦定理可知()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，由22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可求4b c +≤.又b c a +>，即求b c +的取值范围.【详解】（1A =22sin 3cos A A =， 即()221cos 3cos A A -=，()()2cos 1cos 20A A ∴-+=，1cos 2A ∴=，0,3A A ππ<<∴=.2221cos 22b c a A bc +-==，222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，且2a =，4bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立.11sin 422ABCSbc A ∴=≤⨯=所以ABC .（2）由（1）知，则sin A =，因为sin sin sin a b c A B C ==，所以b B =，3c C =，所以()43sin sin b c B C +=+， 因为23B C π+=， 设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<， 所以43sin sin 4cos 333b c x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 12x <≤，所以24b c <+≤， 所以b c +的取值范围是(]2,4. 解法2：由余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()224b c a +≥， 所以4b c +≤，又因为a ，b ，c 为ABC 的边长，所以b c a +>， 所以b c +的取值范围是(]2,4.【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、不等式和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20.为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：h ）.经统计，时间均在区间[]4.5,10.5内，将其按[)4.5,5.5，[)5.5,6.5，[)6.5,7.5，[)7.5,8.5，[)8.5,9.5，[]9.5,10.5分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间ξ服从正态分布()2,N u σ，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值8u =，方差20.5625σ=.根据3σ原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上是否达标？（参考公式：()0.6826P u u σξσ-<<+=，()220.9544P u u σξσ-<<+=，()330.9974P u u σξσ-<<+=）（2）若规定睡眠时间不低于8.5h 为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下22⨯列联表所示：将列联表数据补充完整，并判断是否有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由； 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标；（2）列联表见解析，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出a ，求出σ.根据频率分布直方图求出学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上的概率，与()220.9544P u u σξσ-<<+=比较大小，即得答案；（2）求出样本中优质睡眠学生的人数，补全列联表，计算2K ，根据临界值表可得结论.【详解】（1）根据直方图数据，有20.050.0250.0251a a a +++++=， 解得0.225a =.由平均值8u =，样本方差20.5625σ=，得0.75σ=，2 1.5σ=， 则()22P u u σξσ-<<+即求样本数据中区间[)6.5,9.5内的概率值， 则40.90.9544a =<，该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标.（2）根据直方图可知，样本中优质睡眠学生有()1200.2250.02530⨯+=，列联表如下：可得()22120113019608.38 6.63571493090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，属于中档题.21.已知t R ∈，m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根，且m n <，函数()21x tf x x +=+的定义域为[],m n ，记(){}max f x ，(){}min f x 分别为函数()f x 的最大值和最小值.（1）试判断()f x 在[],m n 上的单调性；（2）设()(){}(){}max min g t f x f x =-，若函数()()ln h t g t at =+⎡⎤⎣⎦是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）函数()f x 在[],m n 上单调递增；（2）1a =±. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断()f x 在[],m n 上的单调性； （2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上单调递增，则(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =，求出()(),g t h t .由()h t 是奇函数，可得()()0h t h t +-=，即求a .【详解】（1）解法一：对于1x ∀，[]2,x m n ∈，设12x x <则()()()()()()()()221221121222221212111111x t x x t x x t x t f x f x x x x x ++-++++-=-=++++， ()()()()()()()()()22122112212112122222121211111x x x x x x t x x x x x x t x x x x x x -+-+--++-⎡⎤⎣⎦==++++，因为1x ，[]2,x m n ∈，所以211210x tx +-≤，222210x tx +-≤，所以()221212220x x t x x +++-≤，因为2212122x x x x <+，所以()12122220x x t x x ++-<，即()121210x x t x x ++-<，又210x x ->， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在[],m n 上单调递增. 解法二：设[],x m n ∈，()()()222211x tx f x x-+-'=+，因为m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根， 所以2210x tx +-≤，所以()0f x '≥，等号当且仅当x m =或x n =时成立，所以函数()f x 在[],m n 上单调递增.（2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上是单调递增的， 所以(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =， 所以()()()()()()()22111m n mn t m n g t f n f m n m -++-⎡⎤⎣⎦=-=++，因为m ，n 为方程2210x tx +-=的两个实根，所以2m n t +=-，1mn =-，所以n m -===所以()g t =所以())lnh t at =，因为()h t 是奇函数，所以()()0h t h t +-=对任意t R ∈都成立，即))lnln0at at +=恒成立，()22ln 110a t ⎡⎤-+=⎣⎦，所以()22111a t -+=， 即()2210at-=，所以21a =，即1a =±.【点睛】本题考查利用函数单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于较难的题目.22.已知函数()()sin f x ax x a R =-∈ （1）当12a =时，求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）函数()f x 的最大值为2π，函数()f x 的最小值为6π；（2）1a ≥或1a ≤-；（3）1. 【解析】 【分析】（1）求()f x '，判断()f x 在区间[]0,π上的单调性，即求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）函数()f x 在R 上是单调函数，则()0f x '≥或()0f x '≤在R 上恒成立，即得实数a 的取值范围；（3）求出()f x '.分0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况讨论，求出不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立时，实数a 的取值范围，即求a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()()1sin f x x x a R =-∈，()1cos f x x '=-，显然02π>，则函数()f x 的最大值为()2f ππ=，函数()f x 的最小值为36f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）当函数()f x 在R 上单调递增时，当且仅当()0f x '≥，即()cos 0x a x f '=-≥恒成立，得1a ≥； 当函数()f x 在R 上单调递减时，当且仅当()0f x '≤，即()cos 0x a x f '=-≤恒成立，得1a ≤-；综上，若函数()f x 在R 上是单调函数，实数a 的取值范围为1a ≥或1a ≤-； （3）()cos f x a x =-'，且()00f =， 当0a ≤时，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上()cos 0f x a x '=-<，得()0f x <； 当1a ≥时，在区间()0,∞+上()cos 0x a x f '=-≥，得()0f x >恒成立；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0f x a x '=-=成立，同时在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减，()00f =，所以()f x 在区间()00,x 上小于零.综上，不等式()0f x >在区间()0,∞+恒成立时，1a ≥. a ∴的最小值为1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、单调性和不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于较难的题目.23.某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量X 有如下关系：欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）应安装发电机2台. 【解析】 【分析】（1）由题意求出年入流量X 在3个范围：4080X <<，80120X ≤≤，120X >的概率123,,P P P .由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望EY ，选择EY 最大的方案. 【详解】（1）依题意，()11040800.250P P X =<<==， ()235801200.750P P X =≤≤==，()351200.150P P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：()()4343014343339191140.9477101010P C P C P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元） ①当安装1台发电机时.由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1. 此时的年净利润5000Y =，500015000EY =⨯=； ②当安装2台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时50005004500Y =-=，因此()()1450040800.2P Y P X P ==<<==若80X ≥，则2台发电机都能运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X P P ==≥=+=由此得Y概率分布列如下：所以，45000.2100000.88900EY =⨯+⨯=. ③当安装3台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时500050024000Y =-⨯=，因此()()1400040800.2P Y P X P ==<<==若80120X ≤≤，则有2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此()()29200801200.7P Y P X P ==≤≤==若120X >，则3台发电机同时运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X P ==>==由此得Y 的概率分布列如下：所以，40000.292000.7150000.18740EY =⨯+⨯+⨯= 综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查二项分布，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于难题.。
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷(十七)数学
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（十七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.A. B. C. D.3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则A. B. C. D.5.已知实数满足约束条件，则的最小值为A. 3B. 1C. 0D.6.已知正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则下列说法错误的是．A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面7.的最大值为A. 2B. 1C.D.8.已知函数是偶函数，则下列方程一定是函数的图象一条对称轴方程的是A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，输出S的值为A. 3B. 5C. 9D. 1610.一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球，与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为A. B. C. D.11.已知点M，N是椭圆上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN斜率之积为，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.12.已知函数的图象与的图象在有k个交点，分别记作，，，，则A. 9B. 10C. 19D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，满足，，若，则实数的值为______14.已知双曲线的左右焦点分别为，，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为______15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围是______16.已知，则不等式的解集为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列，满足，且是等差数列求的通项公式；求数列的前n项和．18.千粒重是以克表示的一千粒种子的重量，它是体现种子大小与饱满程度的一项指标，是检验种子质量，也是田间预测产量时的重要依据．现随机从一堆小麦种子中数出20份一千粒种子，分别称重，得到重量单位：克落在各个小组的频数分布表如表：分组重量频数份13952求这份小麦千粒重的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；根据千粒重的频数分布，求出20份小麦千粒重中位数的估计值x；从重量在和的一千粒小麦种子随机抽取2份，求重量在和中各有1份的概率．19.如图所示，在三棱锥中，，，，点E为AD中点．求证：平面平面BCE；若点F在CD上，且，求三棱锥的体积．20.已知焦点为F的抛物线C：与圆O：交于点求抛物线C的方程；在第一象限内，圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线C交于点为第四象限的点，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数．讨论的单调性；判断方程在上的实根个数；22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，点P是曲线上的动点，点Q在OP延长线上，且．求点Q轨迹的参数方程；以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线，与原点不重合的交点分别为A，B，求．23.已知．若，求不等式的解集；若存在，对任意恒有，求实数a的取值范围．数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）DBADC CDBDC DC二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】或．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.【答案】解：数列，满足，则：，整理得，且是等差数列，所以公差，解得．故．由于，整理得．由得：，，．18.【答案】解：这20份小麦千粒重的样本平均数为：．根据千粒重的频数分布，得20份小麦千粒重中位数的估计值为：．从重量在和的一千粒小麦种子随机抽取2份，重量在和的一千粒小麦种子分别有5份和2份，基本事件总数，重量在和中各有1份包含的基本个数，重量在和中各有1份的概率．19.【答案】证明：由，，得，又点E为AD中点，，，又，平面BCE，而平面ACD，平面平面BCE；解：若点F在CD上，且，则．由，，得．由，得平面ABD，又，．．则．20.【答案】解：将点代入得，解得，则抛物线C的方程为；假设在第一象限内．圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B，则，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，设OA的方程为，则OB的方程为，联立，解得，所以，联立，解得，所以，由D为AB的中点，可得，整理得，方程无实数解，则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在．21.【答案】解：，当时，，是减函数；当时，，是增函数．由知，，由得，当时，由可知，在上没有实根；当时，由可得在上没有实根；当时，由可知，在上有一个实根；当时，由可知，在是减函数，在是增函数，由，，可得在上有一个实数根，又，设，则，在是增函数，，，，在上有一个实数根；综上可得，当时，在上没有实根；当时，在上有1个实数根；当时，在上有2个实数根．22.【答案】解：点Q在OP延长线上，且．解得，．代入曲线的参数方程为为参数，可得：，即为点Q轨迹的参数方程．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线，与原点不重合的交点分别为A，B，曲线的参数方程为为参数，化为：．点Q轨迹的参数方程：，化为：．射线即为：．分别与曲线，，联立可得：，，．23.【答案】解：，不等式即为，可得或或，解得或或，则原不等式的解集为或；，当时，取得最小值，存在，对任意恒有，可得任意恒有，由，当且仅当取得等号，则，解得．。
2021年湖南省新高考数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 20 页2021年湖南省新高考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2+2x ﹣8≥0}，B ＝{x |﹣2＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（2，3）B ．[2，3）C ．[﹣4，2]D ．（﹣4，3）2．（5分）设0≤θ＜2π，(1+i)22=cosθ+isinθ，则θ的值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3．（5分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cos(π2+α)=（ ） A ．−45B ．−35C ．35D ．454．（5分）已知a ＝30.9，b ＝90.44，c ＝log 28.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n ＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．126．（5分）已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且x +y ＝1，则2x+3y+1x−y的最小值为（ ） A ．103B ．32+√2C ．3+2√2D ．2√27．（5分）已知数列{a n }满足a 1=12，a n +1＝a n +ba n 2（n ∈N *），则下列说法错误的是（ ） A ．当b ＝﹣1时，a n ＞a n +1 B ．当b ＝﹣1时，a n ≤2a n +1 C ．当b ＝2时，a n ＞3n−14D ．当b ＝2时，a n +1≤2a n8．（5分）已知函数F （x ）＝（lnx ﹣ax ）（e x +b ﹣ax ），若存在实数a 使得函数F （x ）＜0恒成立，则b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2）C ．[0，2）D ．（﹣2，+∞）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）CPI 是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服。
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷(二十四)数学
(II)设bn＝ (n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn< 成立的最大正整数n的值。
18.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人。他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表。
A. B. C. D.
7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是
A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C.若m//n，n//β，则m//βD.若m α，n α，m//β，n//β，则α//β
8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点M( ，0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N( ，－3)，则对于下列判断：
A.是否倾向选择生育二ຫໍສະໝຸດ 与户籍有关.B.是否倾向选择生育二胎与性别有关
C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
5.在梯形ABCD中，已知AB//CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则
A. B.
C. D.
6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”。在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法。比如，若已知黄钟、大吕、太族、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， 。据此，可得正项等比数列{an}中，ak＝
A.在△ABC中，若sinA＝ ，则A≠30°B.在△ABC中，若sinA≠ ，则A＝30°
C.在△ABC中，若sinA≠ ，则A≠30°D.在△ABC中，若A≠30°，则sinA≠
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷(二十五)数学
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（二十五）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1.已知集合A={x|x 2-21x>0}，B={x|x>31}，则A ∩B=（ ） A.(31，21) B.(21，+∞) C.(-∞，-31) D.(31，+∞) 2.已知复数z 1=2+i ，z 2=-i ，则||||21z z =（ ）A.52B.2C.5D.5 3.已知向量)2,3(),1(-==→→b m a ，，且→→→⊥+bb a )(，则m=（ ）A.-8B.-6C.6D.84.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于 （ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km5. 数据 7，8，6，8，6，5，8，10，7，4中的众数，中位数分别是 （ ） A.8,7 B.7,8 C.6,8 D.8,66. 已知a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ac<bc ；②a c <b c ；③log a (a-c)>log a (b-c).其中所有正确结论的序号是（ ）A.①B.①②C.②③D.①②③7. 设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( )A.βαβα⊥⊥,//,b aB.βαβα//,,⊥⊥b aC.βαβα//,,⊥⊂b aD.βαβα⊥⊂,//,b a8.一动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，过点(0，1)且与定直线l 相切，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1169.函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5 10.已知tana=3，则cos （2α+π2）=( )A ．–35B ．45 C ．–35 D ．-4511.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233 B ． 2C ． 3D ．212.函数f x （）=1,01,0x x ≥⎧⎨-<⎩，则不等式()()x x 2f x 25++⋅+≤的解集是( )A ．（3]2∞-， B ．[32]2，C ．（2)∞--，D ．（)∞∞-+，二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有 种．(用数字作答)14. 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是 .15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC+csinB ＝4asinBsinC ，B D 1bc=338，则△ABC 的面积为 ． 16.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V+F-E=2．已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，该凸多面体的面数为30，则该多面体顶点数和棱数分别是 ， .三、解答题：共70分.(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分。
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二)数学
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C 2D ． 32．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 3．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．154．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 6．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） A ．56 B.58 C.62 D ．609．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．42010．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1 C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( ) A ．B ．C ．1D ．2二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C .（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23．已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ C ）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 2．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( A ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 【答案】A.【解析】 根据题意，有21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以221q q =+，解得q =1或－12.3.已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ A ）A ．1B ．1-C ．5D ．15【答案】A 【详解】由()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，a b +与a b -夹角为90， 则22()()0a b a b a b +⋅-=-=，所以2tan 150θ+-=，θ为锐角，解得tan 2θ=.222221sin cos tan 14112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 141θθθθθθθθθθ+++====++++. 故选A. 4．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 由f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， ∴1()sin 2f x x x '=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12，∴()f x ''＜0，故函数y ＝'()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上单调递减，故排除C ． 故选A ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ B ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B 【详解】由题意，容易知6r =，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故外接圆圆心的横坐标为4p 因为外接圆与准线相切， 故可得642p p+= 解得8p =. 故选：B.6．下列四种说法正确的个数有（ C ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个 B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】C 【解析】①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A B C ⊆⊆，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于x 轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂，正确；④对于函数()1,101,01x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ，可知函数()f x 在[]1,0-和[]0,1都为增函数，则()f x 在[]1,1-不是增函数，函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数错误，故选C.7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【答案】B【解析】 5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ D ） A ．56 B.58 C.62 D ．60 【答案】D 【解析】试题分析：当2n ≥时，()()22152151226n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，当1n =时，112a S ==-，则前10项依次为2,2,0,2,4,6,8,10,12,14,--所以数列{}n a 的前10项和为60.9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D【解析】 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+= 故选D10．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ C ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 【答案】C【详解】 令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（B ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值. 【思路点晴】在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线对称,则设点为函数上,关于直线的对称点为在函数上,得到,再利用导数求出的范围来.本题注意从对称找突破口.12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( D ) A ．B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】由条件可知1231λλλ++=，1231122λλλ=+=，，那么223231216λλλλ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ，等号成立的条件为2314λλ==，说明点P 在线段EF 的中点处，此时，()1PA PB PC 2=-+ ，所有x=y=12，3x+y=2，故选D.二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【答案】10 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：54554331554431{0100a C a a a C a C a a =+=⇒=++=．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】212n n a n+= 【详解】 ∵12323n nnH a a a na =++++∴122n nn a a na H +++=∵22n H n =+ ∴()12222n n n a a na +++⋯+=①∴()()()12111212n n n a a n a --++++-=②①-②得()()()21121222n n n n n n na +-++=-=∴212n n a n+=故答案为：212n n a n+=15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．【答案】2 【解析】设BAx ODA θ∠=∠=，则(cos sin ,sin )OB θθθ=+，(cos ,sin cos )OC θθθ=+，所以OB OC ⋅=sin 212θ+≤．点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为三角函数的最值问题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .【答案】（1）（2），【解析】：（1）当故{a n }的通项公式为的等差数列.————3分设的公比为则故，即的通项公式为————6分（2）————7分—————8分 两式相减得————12分点评：本题考查了等差、等比数列的概念及通项公式、数列前N 项和的求法，要求学生掌握最常用的求解方法，区别数列求和的类型18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.【答案】(1) 2a =；(2) 函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 （1）由已知得，()522252225,0,62f x m n acos x x a asin x a x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-=++-=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，712,,2,166662x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦————3分 当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =； 当0a <时， ()f x 的最大值为53a -=，故8a =（舍去） 综上：函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时， 2a = ————6分 （2）当2a =时， ()4216y f x sin x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，由()y f x =的最小正周期为π可知， b 的值为π. 又由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，可得， 2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∵[]0,x π∈， ∴函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ————12分19．已知长方形ABCD 中，1AB =，AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）27. 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 ————5分 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . ————6分 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz - (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 , ————8分设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)， ————10分故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，. ——12分【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212x xg x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减;(2) a 的取值范围为(],0-∞.【解析】 （1）由题意知，()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x---=--='+， 令()()()1xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >，∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ————4分 （2）∵()()()g x f x xf x =+'，∴()ln 2xg x a x e ax a =--+-，由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立.即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立， ————5分令()()[]2ln 1,1,22x h x a x a x a x =-++--∈，∴()()()[]11,1,2x a x ah x a x x x x---=++-=-∈'. ————6分 ①1a ≤时，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，∴函数()h x 在[]1,2上单调递减， ∴()()min 2ln20h x h a a ==-+≤成立，解得0a ≤，∴0a ≤； ————8分 ②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<， ∴函数()h x 在[]1,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又()112h =，∴()2ln20h a a =-+≤，解得0a ≤，∴a 无解； ——10分 ③当2a ≥时，[]1,2x ∈，则()0h x '≥，∴函数()h x 在[]1,2上单调递增， ∴()()min 1102h x h ==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞. ————12分21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离22minda b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．【解析】 【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，其“伴随圆”的方程为． ————3分（2）设直线的方程为由得则有得， ① ————5分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得，得②由①②得，又，故，所以点坐标为． ——7分（3）过的直线的方程为：，即，得 ————8分 由于圆心到直线的距离为， ————9分当时，，但，所以，等式不能成立；当时，，由得所以因为，所以，得．所以————12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2.（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【答案】（1）33m m ==-或；（2）【详解】（1）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +=.直线的普通方程为0x y m +-=， ————2分 被圆C，，=解得33m m ==-或. ————5分 （2）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩————7分 又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=——10分法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、， 所以PA PB +==————10分23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且 0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ ——————3分 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭——————5分 （2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. ——————10分 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy +++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. ————10分。
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷(十六)数学
2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|ln(1)}A x y x ==-，2{|4}x B y y -==，则()U A B =（ ）A ．(1,0)-B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,0]-2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ）2244．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2CD8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y +-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 22x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．3411．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12||||AF AF =（ ）32312．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．261a --<<B ．11a -<<C ．26a +>或26a -<D ．2626a -+<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）广告投入量18x=时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y，22(,)x y，，(,)n nx y，其回归直线方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2CB GF=，BF CF=．（1）求证：AB CG⊥；（2）若ABC△和梯形BCGF3G ABE-的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2xy =n ，0⋅=m n ．（1）求证：1214k k ⋅=-； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=，求2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数1()||()3f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+≥；（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】2{|10}(1,1)A x x =->=-，{|0}B y y =>，所以{|0}UB y y =≤，所以()(1,0]U AB =-．2．【答案】A【解析】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，2()x xy x x y -=-， 显然当0x y <<时，2x xy <，所以充分性成立，当1x =-，2y =-时，2x xy <，而log a x ，log a y 无意义，故必要性不成立． 3．【答案】A【解析】令12x =，11()(1)24g f =-， 因为(1)2f =，所以117()2244g =-=，令12x =-，则11()(1)24g f -=--，11(1)()24f g -=-+，因为()g x 是偶函数，所以117()()224g g -=-=-，所以713(1)442f -=-+=-．4．【答案】D【解析】因为α是第一象限角，24sin 25α=，所以7cos 25α===， 所以sin 24tan cos 7ααα==，22tan242tan 71tan 2ααα==-， 整理得212tan 7tan 12022αα+-=，解得3tan 24α=或4tan 23α=-（舍去）．5．【答案】C【解析】设(,)x y =b ，则222x y ⋅=+=-a b ，即1x y +=-①，又3πcos4||||⋅=⋅a ba b，即2-=221x y +=②．由①②，得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)=-b 或(1,0)=-b ．6．【答案】B【解析】方法一：当1n =时，1122S a a ==，则212a =， 当12n ≥时，12n n S a -=，则1122n n n n n S S a a a -+-==-，所以132n n a a +=，所以数列{}n a 从第二项起是公比为32的等比数列，所以21,113(),222n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以2113131()22222n n S -=++⨯++⨯=1113[1()]3221()3212n n --⨯-+=-．方法二：当1n =时，1122S a a ==，则212a =，所以213122S =+=， 结合选项可得只有B 满足． 7．【答案】D【解析】方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>， ∴233(1tan )1312tan 2tan (tan )tan 22tan 2tan 2ααααααα-+=+=+≥⨯=，当且仅当3tan tan αα=，即tan α=π3α=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>，∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos aααααααααααααα+++=+==1sin 3cos 1()2cos sin 2αααα=+≥=， 当且仅当sin 3cos cos sin αααα=，即π3α=时，等号成立． 8．【答案】C【解析】对于A ，直线a 可以在平面α内，也可以与平面α相交； 对于B ，直线a 可以在平面α内，或者b 在平面α内；对于D ，如果a α⊥，b α⊥，则有a b ∥，与条件中两直线异面矛盾． 9．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，则由题意知圆22((1)1x y +-=与圆222x y a +=有公共点，则|1|1a a -≤≤+，解得13a ≤≤． 10．【答案】A【解析】当[0,2]x ∈时，π0π2x ≤≤，所以πsin 2x ≥， 所以ππ2π323x ≤≤，所以2433x ≤≤，故由几何概型的知识可知，所求概率4213323P -==．11．【答案】A【解析】如图不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得12||||2BF BF a +=，12||||2AF AF a +=， 由题意知2||||AB AF =，所以12||||BF BF a ==，1||2a AF =，23||2aAF =，所以12||1||3AF AF =．12．【答案】A【解析】易知函数2()ln(||1)f x x x =++是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增， 又29ln 43ln(|3|1)(3)f +=++=，所以不等式22(22)9ln 4f x ax a +-<+对于[1,2]x ∈-恒成立， 等价于22|22|3x ax a +-<对于[1,2]x ∈-恒成立，即2222223223x ax a x ax a ⎧+-<⎨+->-⎩①②对于[1,2]x ∈-恒成立． 令22()223g x x ax a =+--，则22(1)2220(2)2410g a a g a a ⎧-=---<⎨=-++<⎩， 解得26a +>或26a -<令22()223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=， 则当2248120Δa a =+-<时，即11a -<<时，满足②式子； 当2248120Δa a =+-=，即1a =±时，不满足②式； 当2248120Δa a =+->，即1a <-或1a >时，由2(1)12230h a a -=--+>，2(2)44230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是1a -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3- 【解析】3i (3i)i 3i 2i 222a a a ++==---，由题意知322a=-，解得3a =-． 14．【答案】2017 【解析】易知数列π{sin1}()2n n *+∈N 的周期为4，各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，，执行程序框图，1n =，2s =；2n =，3s =；3n =，3s =；4n =，4s =；；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =． 15．【答案】100【解析】由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得(0.050)21a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以5450.0500.52t ⨯⨯+⨯=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+⨯=，0.0500.02540.150d =+⨯=， 所以净重在[98,102)内的频率为()2(0.1000.150)20.5b d +⨯=+⨯=， 则净重在区间[98,102)内的产品件数为2000.5100⨯=．16．【答案】5【解析】由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为2ba=，所以直线l 的方程为2y x =． 在12PF F Rt △中，原点O 为线段12F F 的中点，所以121||||2OP F F c ==，又||OP ==c =，又222c a b =+，2ba=，所以1a =，2b =， 则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)-，该点到直线l 的距离为d ==三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 【解析】（1）由222b c a bc +=+，可知222122b c a bc +-=， 根据余弦定理可知，1cos 2A =， 又A 为ABC △的内角，所以π3A =．（2）方法一：ABC △为等边三角形．由三角形内角和定理得π()A B C =-+，故sin sin()A B C =+，根据已知条件，可得sin()2sin cos B C B C +=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=， 所以sin()0B C -=，又(π,π)B C -∈-，所以B C =， 又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 方法二：ABC △为等边三角形．由正弦定理和余弦定理及已知条件，得22222a b c a b ab+-=⨯，整理得22b c =，即b c =，又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．【解析】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． （2）（ⅰ）剔除异常数据， 即3月份的数据后，得1(766)7.25x =⨯⨯-=，1(30631.8)39.645y =⨯⨯-=， 11464.246 1.81273.44ni ii x y==-⨯=∑，2213646328ni i x ==-=∑，122151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85ni ii nii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ29.643.28.04ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+． （ⅱ）把18x =代入（ⅰ）中所求回归方程得ˆ3188.0462.04y=⨯+=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ， 由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC 平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴BC FG ∥，∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥． ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =， 又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3∴(12)32CG+⋅=23CG =， 11112233ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥．20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析． 【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠， ∵0⋅=m n ，∴121204x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-．（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时，由121214y y x x =-，得221114x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114x y +=， ∴1||2x ，12||2y =，∴1121||||12POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，∴122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+， ∵121204x x y y +=，∴1212()()04x xkx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，∴211||||2||12241POQS PQ b b k ====+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当a e =时，(1)()()x x xe e f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =，∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )xy f x xe a x x ==-+，即ty e at =-，令()tg t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t ∈R 上有两个零点．①当0a =时，()tg t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③当0a >时，由()0tg t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点； 若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．22．【答案】（1）2253sin 2ρθ=+；（2）57． 【解析】（1）由cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，得曲线C 的普通方程是22215x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=， 即2253sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ=+）．（2）因为22255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+， 由0OP OQ ⋅=，得OP OQ ⊥，设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±， 所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++152715==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14[,]23-．【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故实数a 的取值范围是14[,]23-。
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十)数学
2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()UA B ⋂=（ ）A. {}1,4,5B. {}2,3C. {}5D. {}1【答案】A 【解析】 【分析】根据交集和补集的运算即可求出． 【详解】由题意可得，{}2,3A B ⋂=，所以()UA B ⋂={}1,4,5．故选：A ．【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，属于容易题． 2. 已知()211i i z-=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.12i-+ B.12i-- C.12i+ D.12i- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为()211i i z -=+，所以()()221111122221i i i i z i i i i ---====--+ 故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3. 已知平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，则向量AB 在BC 的方向上的投影为（ ）A.165B.335C.1613D.3313【答案】C 【解析】 【分析】先求得(4,3)AB =，(5,12)BC =-，得到16AB BC ⋅=，13BC =，再结合投影的概念，即可求解.【详解】由题意，平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，可得(4,3)AB =，(5,12)BC =-，则4(5)31216AB BC ⋅=⨯-+⨯=，13BC =，所以向量AB 在BC 的方向上的投影为1613AB BC BC⋅=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的定义及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和投影的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4. 正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ） A. 25 B. 26C. 46D. 5【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =， 又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面， 故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又11AF FC EC EA ===，123AC =22EF =1EF AC ⊥， 故1AFC E 的面积为12223262S =⨯=故选：B.【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题5. 地铁某换乘站设有编号为1m ，2m ，3m ，4m 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号1m ，2m 2m ，3m3m ，4m1m ，3m疏散乘客时间（s ） 120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）A. 1mB. 2mC. 3mD. 4m【答案】B 【解析】 【分析】先求出1m 比3m 快，再求出1m 比4m 快，然后求出2m 比1m 快，即可得2m 是疏散乘客最快的一个安全出口.【详解】同时开放1m ，2m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（s ），同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（s ），得1m 比3m 快；同时开放3m ，4m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得1m 比4m 快，同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得2m 比1m 快， 综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是2m ， 故选：B【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，考查推理论证能力，属于基础题.6. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可．【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．7. 一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ）A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数模型列出方程，解之可得．【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键．8. 若()f x 为偶函数，满足()()32020f x f x ⋅+=，()11f -=，则()2020f 的值为（ ） A. 0 B. 1C. 1010D. 2020【答案】D 【解析】 【分析】根据已知式变形，得出周期性，然后计算函数值． 【详解】函数为偶函数，∴(1)(1)1f f =-=，又2020(3)()f x f x +=，∴20202020(6)()2020(3)()f x f x f x f x +===+，∴()f x 同周期函数，且周期为6， 又2020(4)2020(1)f f ==， ∴()()()20206336442020f f f =⨯+==． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的周期性，一般地函数()f x 满足()()0f x f x a m +=≠，0a ≠，m 是常数，则2a 是函数的一个周期．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A. 是偶函数B. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 最大值为2D. 其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 选项A：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误； 选项C：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P与两个定点()1F和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ） A. E的方程为221(3x y x -=≠B. EC. E 的渐近线与圆()2221x y -+=相切 D.满足AB =l 仅有1条【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知求得曲线E 的方程，求得曲线E 的离心率，其渐近线与圆()2221x y -+=的位置关系，以及弦长AB ，逐一判断选项即可.【详解】设点(),P x y13=，整理得2213x y -=，所以点P 的轨迹为曲线E的方程为221(3x y x -=≠，故A 正确；又离心率e ==，故B 不正确； 圆()2221x y -+=的圆心()20，到曲线E的渐近线为y x =的距离为1d ==，又圆()2221x y -+=的半径为1，故C 正确；直线l 与曲线E 的方程联立()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩整理得()222213+121230k x x kk ---=，设()()1122,,A B x y x y ，， ()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=，且2130k -≠，有2122221212123+,1313x x x k x kk k ---==--，所以)2221+1313k AB k k===--，要满足AB=)221+13kk =-0k=，此时)()AB ，，而曲线E 上x ≠D 不正确， 故选：AC .【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题.11. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式,其中正确的有（ ） A. 1ab ≤B.≤ C. 222a b +≥D.112a b+≥ 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项. 【详解】由题：0,0,2a b a b >>+= 由基本不等式可得：2()12a b ab +≤=，所以A 正确； 当1a b ==2=>B 错误；222a b ab +≥，所以222222()2()4a b a b ab a b +≥++=+=，即222a b +≥，所以C 正确； 因为20()12a b ab +<≤=，所以121,2,2a bab ab ab+≥≥≥ 即112a b+≥，所以D 正确. 故选：ACD【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助. 12. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布2(,30)N μ和2(280,40)N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A. 若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的知识点，μ代表平均数，图像关于X=μ对称，σ代表标准差，σ越小图像越集中，选出正确答案.【详解】对于选项A ：+30=280，=250μμ，正确；对于选项B C ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确； 对于选项D ：(280320)=<<P X 1()0.68260.34132μμσ<<+≈⨯≈P X ，正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 【答案】20【解析】【分析】先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，结合组合数的运算公式，即可求解.【详解】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3620C=种不同方法.故答案为：20【点睛】本题主要考查了组合的应用，其中解答中熟记组合的概念，以及组合数的计算公式，合理应用插空法求解是解答的关键，其中本题的解答中注意座位是相同元素，防止出错，着重考查分析问题和解答问题的能力.14. 棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】【分析】首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1612sin6022r=⨯=⨯=则外接球的半径R===则外接球的表面积为2442184S Rπππ==⨯=.【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 已知直线l：()1y k x=-与抛物线C：()220y px p=>在第一象限的交点为A，l过C的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______. 【答案】 (1). 1x =- (2). 22 【解析】 【分析】由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得A 点横坐标，结合图形可得直线斜率，【详解】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-， 设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图， 则(2,0)C ，1FC =，∴223122AC =-=， ∴直线l 的斜率为22tan 221k AFC =∠==． 故答案为：1x =-；22．【点睛】本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．16. 把数列{}21n +中各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 【答案】1992【解析】 【分析】先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前99个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列{}n a ，首项为3，公差为2；即可求解.【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第100个括号内共4个数；故前99个括号内共有数字个数为25(1234)4246⨯+++-=； 又因为所有括号内的数字构成等差数列{}n a ，首项为3，公差为2； 因此第100个括号内的数字分别为247248249250,,,a a a a ，所以24724824925043(246247248249)21992a a a a +++=⨯++++⨯=. 故答案为：1992.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①3ANBN=，②43AMN S =△，③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【答案】答案见解析【解析】 【分析】若选择条件①，BM t =，用余弦定理2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅，求得t ，再用余弦定理求得AM ，AC ，最后由正弦定理可得外接圆半径；若选择条件②，由三角形面积求得BC ，得BM ，然后用余弦定理求得AM ，AC ，利用正弦定理求得外接圆半径；若选择条件③，设BM t =，用余弦定理表示出,AM AC 后解得t ，然后同样由余弦定理求得,AM AC ，用正弦定理求得外接圆半径．【详解】若选择条件①因为ANBN =，所以AN BM= 设BM t =，所以AN =；又60B =︒，8c =， 所以在ABN 中，2222cos AN AB BN AB BN B =+-⋅，即222)84282cos 60t t =+-⨯⨯︒， 即：2280t t +-=， 所以2t =或-4（舍去）.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=，所以AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=，所以AC =由正弦定理可得：2sin sin 603b AC R B ====︒，所以外接圆半径为3R =. 若选择条件②因为点M ，N 是BC边上的三等分点，且AMN S =△，所以ABCS=因为60B =︒，所以11sin 608222ABC S AB BC BC ==⋅︒=⨯⨯⨯△， 所以6BC =，所以2BM =.在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-⋅=+⨯︒-⨯=，所以AM =，同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-⋅=+⨯︒-⨯=，所以213AC =，由正弦定理可得：2134392sin sin 6033b AC R B ====︒，所以外接圆半径为2393R =. 若选择条件③设BM t =，则3BC t =， 在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅2222828cos6088t t t t =+-⨯=+-︒，同样在ABC 中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅22289283cos6064924t t t t =+-⨯⨯︒=+-，因为AC AM =，所以2228864924t t t t +-=+-， 所以2t =，在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅284282cos6052=+⨯︒-⨯=， 所以213AM =，同样2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2286286cos6052=+-⨯⨯=︒， 所以213AC =由正弦定理可得：2134392sin sin 603b AC R B ====︒， 所以外接圆半径为2393R =. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1a 为2a 与2S 的等差中项，当2n ≥时，总有11230n n n S S S +--+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记m b 为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在区间(()1*0,4m m N -⎤∈⎦内的个数，记数列(){}21m m b -⋅的前m 项和为m W ，求20W .【答案】（1）112n n a -=；（2）20800W = 【解析】 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出{}n a 的递推关系，同时判断2a 与1a 的关系也与这个相同，从而得数列{}n a 是等比数列，由等比数列通项公式可得结论； （2）由（1）可得m b ，写出20W ，两两配对后易得和．【详解】（1）因为()11220n n n n S S S S +----=，2n ≥，*n N ∈， 所以112n n a a +=，2n ≥， 因为11a =，2a ，1a ，2S 依次成等差数列，所以2212a =+，得212a =， 所以2112a a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公比为12q =的等比数列，所以112n n a -=.（2）由题意知：112n na -=，所以11024n m --<≤， 所以12(1)22n m --≤，即12(1)n m ≤+-， 所以21mb m =-，当m 为偶数时，2219254981121(23)(21)m W m m =-+-+-++--+-22(19)(2549)(81121)(23)(21)m m ⎡⎤=-++-++-+++--+-⎣⎦824408(1)m =++++-，所以20(88208)824408(201)8002022W ⨯+⨯-=++++⨯-==．【点睛】本题考查由n S 求n a ，求等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法．在由1n n n a S S -=-的转化中注意2n ≥，因此后面的关系式、结论需验证1n =时是否成立，否则易出错．在出现正负相间的数列求和时常常相邻项并项后再求和．19. 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：其中1,2,3,i =⋅⋅⋅，时间变量i x 对应的机动车纯增数据为i y ，且通过数据分析得到时间变量x 与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表： 根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关. 附：回归直线方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1） 5.77 5.134.8y =⨯-=，34.8万辆；（2）有把握. 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算出回归方程的系数，得回归方程，然后令7x =可得预测值； （2）计算2K 后可得结论． 【详解】（1）由 所以1234535x ++++==，3691527125y ++++==， 51132639415527237i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑.所以1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑()2222222375312575.755451234553-⨯⨯===-++++-⨯. 因为y bx a =+过点(),x y ，所以 5.7y x a =+，5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=， 所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，计算得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++观测值为2220(90402070)559.167110110160606k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，556.6356>， 所以有99%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.【点睛】本题考查求线性回归直线方程及回归方程的应用，考查独立性检验，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．20. 如图，正方形ABCD 和ABEF 所在平面互相垂直，且边长都是1，M ，N ，G 分别为线段AC ，BF ，AB 上的动点，且CM BN =，//AF 平面MNG ，记()01BG a a =<<.（1）证明：MG ⊥平面ABEF ；（2）当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13-. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）求出MN 的长最小时点的位置，然后分别以BA ，BE ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，用空间向量法求二面角．【详解】（1）因为//AF 平面MNG ， 且AF ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面MNG NG =，所以//AF NG ， 所以2CM BN a ==，所以)21AM a =-，所以1AM AG aCM BG a-==，所以//MG BC ， 所以MG AB ⊥，又因为平面ABCD⊥平面ABEF，且MG⊂平面ABCD，平面ABCD平面ABEF AB=，所以MG⊥平面ABEF.（2）由（1）知，MG NG⊥，2MN==≥，当且仅当12a=时等号成立，分别以BA，BE，BC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，则()1,0,0A，()0,0,0B，11,0,22M⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022N⎛⎫⎪⎝⎭，设平面AMN的一个法向量为()111,,m x y z=，因为11,0,22AM⎛⎫=-⎪⎝⎭，110,,22MN⎛⎫=-⎪⎝⎭，则11112222x zm AMy zm MN⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取11z=，得()1,1,1m=，设平面BMN的一个法向量为()222,,n x y z=，因为11,0,22BM⎛⎫= ⎪⎝⎭，110,,22MN⎛⎫=-⎪⎝⎭，则22222222x zn BMy zn MN⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取21z=，得()1,1,1n =-，所以1cos,3m nm nm n⋅<>==⋅，则二面角A MN B--的余弦值为13-.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量的夹角得二面角，注意观察二面角是锐二面角还是钝二面角．21. 已知函数()()()ln 1cos 1xf x ae x a =-+--，a R ∈.（1）当1a =时，求()f x 的零点； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）0；（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，求得最小值，从而得零点；（2）求出导函数，然后分类讨论，1a <时，求得(0)f ，然后令()(0)h a f =，利用导数证得(0)0f <，不合题意；1a ≥时，令()()'m x f x =，再求()m x '，由()m x '确定()m x 的单调性，确定零点0x ，从而得()f x 的最小值为0()f x ，然后根据0x 和a 的关系可证0()0f x ≥，从而得证结论成立．【详解】（1）由题知：当1a =时，()()ln 11xf x e x =-+-，()1'1x f x e x=-+， 令1()'()1xg x f x e x==-+，所以21'()0(1)xg x e x =+>+， 所以()g x 在()1,-+∞上单调递增，且()00g =，所以，当()1,0x ∈-时，()'0f x <，()f x 在()1,0-上单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增.所以()()00f x f ≥=，所以()f x 的零点为0x =.（2）因为1'()1x f x ae x=-+， 当1a <时，()()0cos 1f a a =--，令()()cos 1h a a a =--，因为()()'1sin 10h a a =+-≥；所以()h a 在(),1-∞上单调递增，所以()()10h a h <=，即()00f <，所以1a <不合题意，当1a ≥时，令()()'m x f x =，则()210(1)'x a m x e x =+>+， 所以()m x 在()1,-+∞上单调递增，且()010m a =-≥，11110a m ae a a a a -⎛⎫-=-≤-= ⎪⎝⎭， 所以存在(]01,0x ∈-，使得()00m x =， 即00101x ae x -=+，()00ln 1ln x x a +=--， 所以，当()01,x x ∈-时，设()'0f x <，()f x 在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，设()'0f x >，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()()000()ln 1cos(1)x f x f x ae x a ≥=-+--001ln cos(1)1x a a x =++--+ 0011ln cos(1)11ln cos(1)01x a a a a x =+++---≥+--≥+. 综上，所求a 的取值范围为1a ≥.【点睛】本题考查用导数研究函数的零点，研究不等式恒成立问题，解题思路是用导数求得函数的最小值，证明最小值不小于0，为此需要对导函数()'f x 再次求导，确定单调性，确定零点，得原函数的最小值．式子中含有两个字母时，需根据它们的关系消元化为一元函数． 22. 已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为4，四边形1122F B F B的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，OMN 的面积为1．证明：存在定点W ，使得22WM WN +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由两个四边形面积得两个关于,,a b c 的等式，再结合222a b c =+可解得,,a b c ，得椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，求得弦长MN ，再求出O 到直线MN 的距离d ，求出OMN 面积，利用面积为1，可得,k m 的关系式，计算22OM ON +，并代入1212,x x x x +，化简后再代入,k m 的关系式得定值，直线MN 斜率不存在时可由三角形面积求出,M N 的坐标，同样计算出22OM ON +等于上面的定值．结论得证． 【详解】（1）设椭圆C 的焦距122F F c =，则222a b c =+① 由题意知：112212*********A B A B SA AB B a b =⋅=⨯⨯=，得2ab =②由题意知：11221212112222F B F B S F F B B c b =⋅=⨯⨯=bc =由①②③解得：2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）定点W 为原点O 时，22WM WN +为定值5.证明如下：设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 斜率不存在时，12x x =，12y y =，所以111212OMN S x y =⋅=△， 所以22221111114x x y x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22122x x ==，221212y y ==， 所以22222211225x y O O x y M N =+++=+.当直线MN 斜率存在时，设直线MN ：y kx m =+，代入2214x y +=可得： ()222148440k x kmx m +++-=， 所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+. 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =MN ===， 因此112OMN S MN d =⋅==△，所以()()222241441440k m k m +-++=，所以()2221420k m +-=， 所以221420k m +-=，所以2222112222x y O ON x y M =++++()2222221112123112444x x x x x x =+-++-=++， 即：()21222123224OM O x x N x x ⎡⎤=++-⎣+⎦ ()2222222242236488364882241444214k m m k m m k m m k ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎣⎦223164244k m ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦ 32(84)54=+⨯-=. 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求出弦长，求出原点到直线的距离，得三角形面积，韦达定理的结论代入后可得参数的关系．。
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2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}220B x x x =--=，则AB =（ ）A. {}1B. {}2C. {}3D. {}1,2【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，然后求解交集即可． 【详解】解：{}{}2201,2B x x x =--==-，{}1,2,3,4A ={}2A B ∴=故选：B【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题． 2.已知命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是（ ）A. 0x R ∃∈，200230x x ++> B. x R ∀∈，2230x x ++≤ C. 0x R ∃∈，200230x x ++≤D. x R ∀∈，2230x x ++≠【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【详解】解：根据全称命题命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是的否定为特称命题，即：p ⌝为0x R ∃∈，200230x x ++≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题． 3.3x >是2x >的（ ） A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．即可判断出结论． 【详解】解：由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =． 因此“3x >”是“2x >”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()f x =的定义域为（ ） A. (,1][3,)-∞-⋃+∞B. [1,3]-C. [3,1]-D. (,3][1,)-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得()f x 的定义域.【详解】解：()f x =(3)(1)0x x ∴+-≥解得31x -≤≤即函数()f x 的定义域为[3,1]x ∈- 故选：C【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16B.12C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个∴甲站在中间的概率：2163P == 本题正确选项：C【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题. 6.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. c a c b ->-B. 11a b>C. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．7. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A. 660 B. 720C. 780D. 800【答案】B 【解析】试题分析：由已知，抽样比为13178060=，所以有351,72060078060n n ==++．故选B ． 考点：随机抽样． 8.已知sin 5α=-，α是第三象限的角，则tan2α的值为（ ） A. 43-B.43C. 45-D.45【答案】A【分析】先求出cos a ，再根据sin tan cos aaa，最后利用二倍角余弦公式求得tan2α可得答案．【详解】解：sin α=，22sin cos 1αα+=cos 5α∴=±α是第三象限的角cos 5α∴=-sin tan 2cos aa a∴== 222tan 224tan 21tan 123ααα⨯∴===--- 故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题． 9.函数31()()log 3xf x x =-的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中作出函数1()3xy =与3log y x =的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.【详解】解：函数31()()log 3xf x x =-的零点个数，即31()log 03xx -=的解得个数，等价于1()3x y =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数31()()log 3xf x x =-有一个零点,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.10.设M 是ABC 边BC 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A.14B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得. 【详解】解：M 是ABC ∆边BC 的中点，1122AM AB AC ∴=+ AM AB AC λμ=+11,22λμ∴==1λμ∴+=故选：C【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ） 3B. 3πC. 3πD. 12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得所求球是棱长为2的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【详解】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球 球的半径213232R =⨯= 则球的表面积2412S R ππ== 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．12.如图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）A. 指数函数：2ty = B. 对数函数：2log y t = C. 幂函数：3y t = D. 二次函数：2y t =【答案】A 【解析】 【分析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，得到结果．【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数2t y =来模拟比较好，故选：A ．【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13.计算：5lg 2lg 22+=________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】解：25555lg 2lg 2lg lg 2lg lg 4lg 4lg1012222⎛⎫+=+=+=⨯== ⎪⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题. 14.已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则a b ⋅=________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】解：(2,4)a =，(1,1)b =-()21412a b ∴⋅=⨯-+⨯=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若3sin 5α=，则sin β=________． 【答案】35【解析】【分析】根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论．【详解】解：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若3sin 5α=，则3sin sin 5βα=-=-，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题． 16.设x ，y 为正数，则14()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 【详解】解：x ，y 为正数，()144141429y x x y x y x y ⎛⎫++=+++++=⎪⎝⎭当且仅当4y x x y=时取得“=” ∴最小值为9故答案为：9【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量(,2)a x =，(2,4)b =． （1）若//a b ，求实数x 的值； （2）若6a b +=，求实数x 的值． 【答案】(1) 1x =．(2) 2x =-． 【解析】 【分析】（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x 的值； （2）先求出a b +的坐标，再根据6a b +=得到方程，解得. 【详解】解：（1）因为//a b ，(,2)a x =，(2,4)b =．422x ∴=⨯，解得1x =． （2）(,2)a x =，(2,4)b =．(2,6)a b x ∴+=+，(a b x ∴+=+，6=，解得2x =-．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=．（1）求角B 的大小； （2）若b =2a =，求c ．【答案】(1) 3B π=．(2) 1c =．【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角B； （2）把2a =，b =3B π=代入2222cos b a c ac B =+-，化简后根据一元二次方程的解法求出c 的值．【详解】解：（12sin 0b C -=， 2sin sin 0C B C -=． 因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以sin B =． 因为0B π<<，且a b c >>，所以3B π=． （2）因为3b =，2a =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221(3)4222c c =+-⨯⨯， 即2210c c -+=． 所以1c =．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点．（1）求证：EO 平面PDC ；（2）求证：AC DE ⊥．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）通过三角形中位线的性质可得//OE PD ，进而根据线面平行的判定定理可以证明出//EO 平面PDC ；（2）先分别证明出AC BD ⊥，PD AC ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBD ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵E ，O 点分别是PB ，DB 中点，∴12EO PD //， ∵PD ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴EO平面PBC．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，⊥，∴AC BD又∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，⊥，∴PD AC⋂=，PD⊂平面PBD,BD⊂平面PBD，∵PD BD D∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD，⊥．∴AC DE【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．20.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．x=．(2) 96名【答案】(1) 0.0125【解析】【分析】（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x．（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．【详解】解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=． 所以0.0125x =．（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12⨯⨯=． 所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12．因为8000.1296⨯=． 所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键．21.如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为(3,23)S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=．（1）求点M 的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？【答案】(1) (4,3)M ．(2) 将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【解析】【分析】（1）利用图象分别求得周期和A 的值，进而求得ω最后得到函数解析式，即可求得M 的坐标．（2）设PMN θ∠=，利用正弦定理表示出1033NP θ=，()3603MN θ︒=-，即可表示出NP MN +，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】解：（1）由题意知3A =34T =， ∵2T πω=，∴6π=ω， ∴23sin6y x π=．当4x =时，223sin33y π==， ∴(4,3)M ． （2）连接MP ，如图所示．又∵(8,0)P ，∴22(4)35MP =-+=．在MNP △中，120MNP ︒∠=，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒︒<<，∵()sin120sin sin 60MP NP MN θθ︒︒==-． ∴33NP θ=，()3603MN θ︒=-． ∴()10310360NP MN θθ︒+=+- ()10313103sin 603223θθθ︒⎫=+=+⎪⎪⎝⎭． ∵060θ︒︒<<，∴6060120θ︒︒︒<+<，∴()103103560θ︒<+≤． ∴当30θ︒=时，折线段赛道MNP 最长．所以将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．。