14-15-1复变、积变与场论A答案

河北科技大学理工学院2014—2015学年第一学期

《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷）

学院 理工学院 年级 13级 _考试班级 电气类L13

一、填空题。（本题共10个空，每空2分，共20分；将正确答案填在题中的横线上）

1、2，π43-

2、2

sin 2cos ππi +， 2

πi e 3、k z xz j y zy i x xy ρρρ)2()2()2(222-+-+-

4、1

5、i k i ππ2)34arctan (5ln +-+，)3

4

arctan (5ln -+πi 6、绝对收敛 7、0

二、（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1、B 2、D 3、B 4、B 5、C

三、判断下列命题的对错，对的在其后面的括号内打“√”，错误的在其后的括号内打“╳”（本题共5小题，每小题2分，共10分）。

1 ╳

2 ╳

3 ╳

4 ╳

5 ╳ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 将221

(1)

z +展开成z 的幂级数. 解：由

21

1(1),11n n z z z z z

=-+++-+<+L L …………………3分 1

2

112(1),1(1)

n n z n z z z --=-++-+<+L L …………………4分 212(1)222

112(1)(1)(1),1(1)n n n n n

n z nz n z z z =∞

--==-++-+=-+<+∑L L ………3分 2. 把函数()

2

1

()f z z z i =

-在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数。 解：（1）在01z i <-<内 …………………1分

A 卷标准答案 共（ 4 ）页，第（ 1 ）页

()21()f z z z i =-11z i z '

⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭

…………………2分

211i z z i z i i i '

⎛⎫--⎛⎫=⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭

L (

)2

1

11

(1)n n n n n

z i i

∞

--+==--∑ …………………2分

（2）在1z i <-<+∞内 …………………1分

()21()f z z z i =-11z i z '

⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭

…………………2分

234

1123

()()()

i z i z i z i z i ⎛⎫--=

⋅+-+ ⎪----⎝⎭

L 3

(1)(1)()n

n

n n n i z i ∞

+=+=--∑ ………………2分 五、（本题10分）用两种方法计算积分42

1

z z

dz z =-⎰Ñ。 解：在圆周内被积函数有四个一级极点i ±±,1， ……………………2分 (方法1)利用留数定理

[]2

30000041

4)()(),(Re z z z z Q z p z z f s =='=

， …………………………………1分 []()[][][]{}i z f s i z f s z f s z f s i dz z z

z -++-+=-⎰=),(Re ),(Re 1,Re 1),(Re 212||4π ……………1分

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--+=414141412i π …………………………………………1分

0= …………………………………………1分

（方法2）利用柯西积分公式

A 卷标准答案 共（ 4 ）页，第（ 2 ）

1

2

34

4

2

22221

(z 1)(z 1)

(z 1)(z 1)(z )(z 1)(z )(z 1)

1

1z z C z C z C z C z

dz z z

z z z i i dz dz dz dz z z z i z i

=====-++-++-+-=

+

+-+-+⎰

⎰

⎰

⎰⎰Ñ蜒蜒

…………………………………………2分

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--+=414141412i π …………………………………………1分

0= …………………………………………1分

六、（本题共3小题，每小题10分，共30分）

1.设|,|,r r k z j y i x r =++=求使0])([=r r f div 的)(r f 。

解：k z r f y r f r x r f r r f )()()()(++= ……………………2分

r

z r f r f r y r f r f r x r f r f r r f div 222)()()()()()(])(['++'++'+= …………………3分

0)()(3='+=r r f r f ………………………………………………2分

3

r C

r f =

）（解得： …………………………………………………3分 2. 1）求⎪⎩

⎪

⎨⎧<<<<--=else

t t t f ,010,

10

1,1)(的傅氏变换。 2）求t te t f -=1)(的拉氏变换。

解： 1）⎰

+∞

∞

--=dt e t f F t j ωω)()(………………………………………………………2分

⎰⎰---+-=10

1dt e dt e

t j t

j ωω ………………………………………………………1分

[]

)cos 1(221

ωω

ω

ωω--

--=

-j

e e j j j 或 ……………………………………2分

2）⎰

+∞

-=0

)()(dt e t f s F st …………………………………………………………… 2分

⎰+∞

--=0

)1(dt e te st t ……………………………………………………………1分 ()1Re )

1(1

12

>--=

s s s ………………………………………………………2分 A 卷标准答案 共（ 4 ）页，第（ 3 ）页