动点问题(讲义及答案)

动点问题（讲义）
一、知识点睛
由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：
1.研究_____________，_____________；
2.分析_____________，分段；
3.表达_____________，建等式．
二、精讲精练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边
AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．
（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．
2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，
BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD．
3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D
为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B 向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边AB上，
且AE=4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延
长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．
（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S．
（2）是否存在某个t值使得△DCP和△DCE全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．
6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，
动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB 向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：
（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的
取值范围．
（2）是否存在某个t值使得△ABP和△CDQ全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
【知识点睛】
速度已知
1．研究基本图形，标注；
2．分析运动过程，分段；
3．表达线段长，建等式．
【精讲精练】
1.解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．
理由如下：
如图，由题意得BP =2t
∴当t =1.5时，BP =3
∵AE =7，AD =10
∴DE =3
∴BP =DE
在矩形ABCD 中
AB =CD ，∠B =∠CDE
在△ABP 和△CDE 中
AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△CDE （SAS ）
（2）如图，由题意得BP =2t
∵BC =10
∴CP =10-2t
若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE
即10-2t =3，t =
72∴当t =
72时，△DCP ≌△CDE ．2.解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x
∵AD =12
∴DP =12-x
要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC
即12-x =2x ，x =4
∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．
3.解：如图，由题意得BP =3t
∵BC =8
∴PC =8-3t
∵AB =10，D 为AB 中点
∴BD =12AB =5
①要使△BDP ≌△CPQ ，
则需BD =CP ，BP =CQ
即5=8-3t ，t =1
∴CQ =3t =3
则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）
即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5
∴t =4
3
则Q 的速度为Q v =s
t =5×
34=154
（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154
cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43
，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4.解：如图，由题意得BP =2t
∵正方形ABCD 的边长为10cm
∴AB =BC =10
∴PC =10-2t
∵AE =4
∴BE =10-4=6
①要使△BEP ≌△CPQ ，
则需EB =PC ，BP =CQ
即6=10-2t ，CQ =2t
∴t =2，CQ =4
则点Q 的速度为Q v =s t =42
=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ．②要使△BEP ≌△CQP ，
则需BP =CP ，BE =CQ
即2t =10-2t ，CQ =6
∴t =5
2
则点Q 的速度为Q v =s t
=6×
25=125
（cm/s ）即当t =52
，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52
，Q 的速度为每秒125
cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5.解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0＜t ≤2.5）
121422
4ABP S AB BP t t
∆=⋅=⨯⨯=∴ ②当P 在CD 上时，（2.5＜t ≤4.5）
121452
10ABP S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=∴③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5＜t ＜7）
12141422
284ABP S AB AP t t
∆=⋅=⨯⨯=∴--（）
（2）①当P 在BC 上时，
如图，由题意得BP =2t
要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE
∵CE =2
∴5-2t =2，t =1.5
即当t =1.5时△DCP ≌△DCE
②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4，
∴DP =2t -4-5
要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE
即2t -9=2，t =5.5
即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．
综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6.解：（1）①当Q 在CD 上时，
如图，由题意得CQ =2t ，BP=t
∴CP=5-t （0＜t ≤1.5）
2
121 (5)22
5CPQ S CP CQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-∴②当Q 在DA 上时，（1.5＜t ≤4）
121(5)32
7.5 1.5CPQ S CP CD t t
∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4＜t ＜5）
2121(5)(112)2215522
CPQ S CP BQ t t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等
②当Q在AD上时，
如图，由题意得DQ=2t-3
要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ
∵DQ=2t-3，BP=t
∴t=2t-3，t=3
即当t=3时，△ABP≌△CDQ．
③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．
11。