数集,确界原理

注： 数集 S 的确界可能属于S，也可能不属于S；
4、确界原理 定理1 设 S为非空数集，若 S 有上界，则 S 必 有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界.
例6 设数集 S 有上界，证明：
supS S max S .
证 设 supS S , 则对一切 x S 有x
o
a
x百度文库
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
1 存在 x (0,1), M 1
1 y E x
y M 1 M.
由无界集定义，E 为无界集.
2、 确界 先给出确界的直观定义：若数集S有上界, 则显
然它有无穷多个上界, 而其中最小的一个上界常常 具有重要的作用, 称它为数集 S 的上确界 同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界.

a

a
a
x
点a 的空心的δ邻域， 记作
U 0 (a , ) { x 0 x a } .

a

a
a
x
点a 的 右邻域 和 点 a 的空心 右邻域
U (a, ) { x a x a } [a, a )
U (a, ) { x a x < a } (a, a )
inf S = 0
n | n 1, 2,} 验证: 例4 设数集 E { n1 1 supE = 1, inf E 2
例5
( 1)n n 1, 2, 的上、下确界. 讨论数集 E n
.
1 sup E , 2
inf E 1.
3、确界的性质 1) 唯一性：若数集 S 存在上（下）确界，则一 定是唯一的； 2) 若数集 S 存在上、下确界，则有 infS supS.
若 存 在 数 M 0 ，使 得 对 一 切 x S , 都有
x M, 则 称 S 为 有 界 集 .
邻域等都是有界数集. 例如 闭区间 ，开区间，
E y / y sinx, x ( 也是有界数集.
若 S 不是有界集，则称 S 为 无 界集.
即对任意数M 0，存在 x S, 使得
0

a

a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
supA inf B ( B 的最大下界).
例8
设A, B 为非空有界数集， S =A B. 证明：
inf S mininfA, inf B
证 x S , 有 x A, 或 x B, 由 inf A 和 inf B 分别
是A 和 B 的下界，有x inf A, 或 x inf B.
故 η 是数集 S 中最大的数，即 max S .
设 maxS , 则 S; 下证 supS.
(i) 对一切 x S, 有x , 即 是 S 的上界；
(ii) 对任何 , 只须取 x0 S , 则x0 .
从而满足 supS 的定义.
§2
数集 • 确界原理
一、 区间与邻域 二、 有界集·确界原理
一、区间与邻域
1、区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个 实数叫做区间的端点. 有限区间
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a
b
x
{ x a x b} 称为闭区间,
思考题
1、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？
若都存在，它们分别是数集中的什么数？
2、任何无限数集是否一定存在上、下确界？
3、若数集有界，则其上下界分别有多少个？
它的上下确界分别有多少个？
上确界， 记为 sup S . S

x0

(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得 x0 即 是 S 的最小上界.
定义4
设 S 是R 中的一个数集. 若数 满足
(i) 对一切x S , 有x , 即 是S 的下界; (ii) 对任何 , 存在x0 S , 使得 x0 ,
例7 设A, B 为非空数集，满足： 对一切x A和y B
有x y. 证明： 数集A 有上确界，数集B 有下确界， 且 sup A inf B
证明 由已知 x A 和 y B 都有 x y,
y 是 A 的上界，而supA是 A 的最小上界,
sup A y, 此式又 supA是B 的下界，
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .

x0

S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
于是有
inf S mininfA,infB.
综上，有 inf S = mininfA, infB .
小
结
1、 若数集E存在上（下）确界，则上（下）确界
是一个唯一确定的实数.
2、 数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.
3、确界与最值的关系：设E 为数集. E 的最 值必属于E，但确界未必， 确界是一种临 界点. 非空有界数集必有确界， 但未必有 最值. 若max E 存在， 必有 max E = supE , 对下确界有类似的结论.
记作 [a, b]
b
o
a
x
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a, b)
o
a
b
x
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a , b]
o
a
b
x
无限区间
[a , ) { x a x }
o
a
x
(, b] { x x b}
o
b
x
(a, ) { x a x}
M
上确界
M1 M2
上界
下界
m2 m1 m
下确界
确界的精确定义
定义3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足
(i) 对一切 x S , 有x , 即 是 S 的上界;
(ii) 对任何 , 存在 x0 S , 使得 x0 ,
即 又是 S 的最小上界，则称数 为数集 S 的
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
邻域
邻域
（其中 M 为充分大的正数）
二、有界集·确界原理
1、 有界数集 定义2
设 S 为 R 中的一个数集, 若存在数
M ( L ) , 使得对一切 x S , 都有 x M x L , 则称 S 为有上界（下界）的数集，数 M ( L ) 称为 S 的一个上界 (下界). 若数集 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集.
x mininfA, inf B
即 mininfA, inf B 是数集B的下界，
inf S mininfA, inf B
又S A， S的下界， i nf S是S的下界，
inf S是A 的下界，
inf S infA； 同理有inf S infB .
| x | M, 称 S 为无界集.
例如：无限区间(， ， (， 0)等都是无界集.
例1 证明数集 N+{n / n为正整数}有下界而无上界. 证 显然，任何一个不大于1 的实数都是N 的下界，
故N为有下界的数集 下证 N+ 无上界
按照无界集定义, 只须证：即对任意M 0，