拉姆齐模型
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4
模型说明
索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径， 空间是一维的；
R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究 增长路径，空间是二维的。
5
循环图
家庭
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润
雇佣劳动，支付工资
租用资本，支付利息
6
模型所描述的经济体： 厂商租用资本雇佣劳动用以生产并销售产品， 而数量固定的长生不老家庭供给劳动、持有 资本、消费并储蓄。这回避了所有的市场不 完美性，以及由异质家庭和代际联系造成的 所有问题，因此提供了一个理论上的参照系。
16
如果趋近于零，则效用几乎是C的线性函数：
经济含义：因此家庭也就愿意消费的大的波动
以利用贴现率与储蓄报酬率之间小的差异。
具体而言，可以证明任意两时点的消费之间
的替代弹性为1 / 。
17
注释（1）：为什么效用函数要除以 1
18
注释（2）： 1的特殊情况
根据罗必塔 法则
19
根据：（ax）' ax ln a
的生产函数Y=F(K,AL) ；
✓ 要素市场、产品市场都是完全竞争的； ✓ A外生以速率g增长； ✓ 厂商追求最大化利润。
9
一、模型的基本假定
家庭
✓ 大量相同家庭（数量H），每一家庭规模 以速率n增长（长生不老且没有新家庭加 入）。
✓ 家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动， 将所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业， 因此，企业产生的利润归于家庭。
是时间偏好率，表示获得效用越晚价值 越低，越大，则相对于现期消费，家庭对
未来的消费估价越小
12
关于家庭效用函数的说明：
1.相对风险回避系数不变的效用函数：
Constant relative risk aversion (CRRA)
相对风险回避系数（coefficient of relative risk aversion ---CRRA）
内生经济增长理论之 拉姆齐-卡斯-库普曼模型(1)
1
问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态 的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对 应于最优资本存量和最优消费）相比会出现 “过度储蓄”（即“过度积累”）的情况， 而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无 效的。当时，只有在给定在当前消费与未来 消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增 加储蓄率的合理性。
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
32
厂商目标：利润最大化
max F K, AL WL rK
r F K, AL f k
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
13
CRRA的本质：边际效用对消费的弹性
dU ' (C) dC
•
U
C ' (C)
lim
C 0
U
' (C) /U C / C
' (C)
lim
C 0
U ' (C) C
•
U
C ' (C)
边际效用变动的百分比（边际效用的变动率）
消费变动的百分比（消费的变动率）
14
由于本模型中没有不确定性，故家庭对风险的态度
2
Ramsey-Cass-Koopmans模型
一、模型的基本假定 二、模型中决策主体的行为 三、模型的动态学 四、参数变化的影响 五、收敛速度 六、政府行为 七、模型总结
3
模型说明
基本思想： 1.储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大 化一生效用来决定的； 2.是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作 出选择，其中蕴含着一个两难：增加当期消 费会增加当期效用，但减少储蓄又意味着未 来可能消费的减少； 3.家庭会根据目标函数进行动态最优决策， 产生一个有效折衷，产生储蓄、消费的最优 时间路径。
没有直接意义。但也决定了家庭在不同时期转换消 费的愿望:越小 随着消费的上升，边际效用下降的
幅度越小，因此家庭也就越愿意允许其消费随着时间
t变动。
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家 庭就越不愿意消费的波动。
15
相对风险厌恶系数
常数相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）意味 着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。 但 决定了家庭在不同时期转换消费的愿望， 越小，跨期消费替代弹性越大，这表明边际效 用随消费量增大而递减的速度变慢，而从家庭 越愿意接受消费较大的波动。
✓ 家庭最初资本持有量为：
✓ 没有折旧
K 0
H
10
一、模型的基本假定
家庭在每一时点上将其收入(来自它从所供给 的劳动和资本上取得，以及从厂商那里可能获 得的利润)用于消费和储蓄，比例取决于最大 化一生效用的目标。
家庭效用函数：
U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
11
C(t)是每个人的消费 L(t)是经济体中的总人口 H是经济中的家庭数 L / H是每个家庭中的人口 u[C(t)]L(t) / H是t时刻家庭的总瞬时效用
K
F K, AL
现在（0期） 未来（t期）
1
e t
1/ et et
1
26
U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关于家庭效用函数的说明：
4.改写家庭的目标函数：依据每单位有效劳 动的平均消费
28
29
30
二、模型中决策主体的行为（厂商）
(一)厂商： 厂商使用资本和劳动力，按其边际产品付酬， 销售所生产的产品，由于是完全竞争市场， 而且规模报酬不变，所以获得零利润。
7
模型说明
与索洛模型相似： 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生
的。 与索洛模型不同： 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互
作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再 是外生的。 在R-C-K模型中，经济总量的动态学由微观层 次的决策决定。
8
一、模型的基本假定
厂商 ✓ 大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同
模型说明
索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径， 空间是一维的；
R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究 增长路径，空间是二维的。
5
循环图
家庭
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润
雇佣劳动，支付工资
租用资本，支付利息
6
模型所描述的经济体： 厂商租用资本雇佣劳动用以生产并销售产品， 而数量固定的长生不老家庭供给劳动、持有 资本、消费并储蓄。这回避了所有的市场不 完美性，以及由异质家庭和代际联系造成的 所有问题，因此提供了一个理论上的参照系。
16
如果趋近于零，则效用几乎是C的线性函数：
经济含义：因此家庭也就愿意消费的大的波动
以利用贴现率与储蓄报酬率之间小的差异。
具体而言，可以证明任意两时点的消费之间
的替代弹性为1 / 。
17
注释（1）：为什么效用函数要除以 1
18
注释（2）： 1的特殊情况
根据罗必塔 法则
19
根据：（ax）' ax ln a
的生产函数Y=F(K,AL) ；
✓ 要素市场、产品市场都是完全竞争的； ✓ A外生以速率g增长； ✓ 厂商追求最大化利润。
9
一、模型的基本假定
家庭
✓ 大量相同家庭（数量H），每一家庭规模 以速率n增长（长生不老且没有新家庭加 入）。
✓ 家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动， 将所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业， 因此，企业产生的利润归于家庭。
是时间偏好率，表示获得效用越晚价值 越低，越大，则相对于现期消费，家庭对
未来的消费估价越小
12
关于家庭效用函数的说明：
1.相对风险回避系数不变的效用函数：
Constant relative risk aversion (CRRA)
相对风险回避系数（coefficient of relative risk aversion ---CRRA）
内生经济增长理论之 拉姆齐-卡斯-库普曼模型(1)
1
问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态 的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对 应于最优资本存量和最优消费）相比会出现 “过度储蓄”（即“过度积累”）的情况， 而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无 效的。当时，只有在给定在当前消费与未来 消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增 加储蓄率的合理性。
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
32
厂商目标：利润最大化
max F K, AL WL rK
r F K, AL f k
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
13
CRRA的本质：边际效用对消费的弹性
dU ' (C) dC
•
U
C ' (C)
lim
C 0
U
' (C) /U C / C
' (C)
lim
C 0
U ' (C) C
•
U
C ' (C)
边际效用变动的百分比（边际效用的变动率）
消费变动的百分比（消费的变动率）
14
由于本模型中没有不确定性，故家庭对风险的态度
2
Ramsey-Cass-Koopmans模型
一、模型的基本假定 二、模型中决策主体的行为 三、模型的动态学 四、参数变化的影响 五、收敛速度 六、政府行为 七、模型总结
3
模型说明
基本思想： 1.储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大 化一生效用来决定的； 2.是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作 出选择，其中蕴含着一个两难：增加当期消 费会增加当期效用，但减少储蓄又意味着未 来可能消费的减少； 3.家庭会根据目标函数进行动态最优决策， 产生一个有效折衷，产生储蓄、消费的最优 时间路径。
没有直接意义。但也决定了家庭在不同时期转换消 费的愿望:越小 随着消费的上升，边际效用下降的
幅度越小，因此家庭也就越愿意允许其消费随着时间
t变动。
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家 庭就越不愿意消费的波动。
15
相对风险厌恶系数
常数相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）意味 着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。 但 决定了家庭在不同时期转换消费的愿望， 越小，跨期消费替代弹性越大，这表明边际效 用随消费量增大而递减的速度变慢，而从家庭 越愿意接受消费较大的波动。
✓ 家庭最初资本持有量为：
✓ 没有折旧
K 0
H
10
一、模型的基本假定
家庭在每一时点上将其收入(来自它从所供给 的劳动和资本上取得，以及从厂商那里可能获 得的利润)用于消费和储蓄，比例取决于最大 化一生效用的目标。
家庭效用函数：
U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
11
C(t)是每个人的消费 L(t)是经济体中的总人口 H是经济中的家庭数 L / H是每个家庭中的人口 u[C(t)]L(t) / H是t时刻家庭的总瞬时效用
K
F K, AL
现在（0期） 未来（t期）
1
e t
1/ et et
1
26
U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关于家庭效用函数的说明：
4.改写家庭的目标函数：依据每单位有效劳 动的平均消费
28
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30
二、模型中决策主体的行为（厂商）
(一)厂商： 厂商使用资本和劳动力，按其边际产品付酬， 销售所生产的产品，由于是完全竞争市场， 而且规模报酬不变，所以获得零利润。
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模型说明
与索洛模型相似： 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生
的。 与索洛模型不同： 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互
作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再 是外生的。 在R-C-K模型中，经济总量的动态学由微观层 次的决策决定。
8
一、模型的基本假定
厂商 ✓ 大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同