课时作业(四十九) 双曲线(含答案)

课时作业(四十九) 双曲线

一､选择题

1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2

=1,则它的右焦点坐标为

( ) ..2.2A B C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 解析:∵双曲线方程为x 2-2y 2=1,

∴a=1,b=2,

得c ===

∴它的右焦点坐标为,⎫⎪⎪⎝⎭

故C 正确. 答案:C 2.(2009·福建)若双曲线22

23

x y a -=1(a>0)的离心率为2,则a 等于

( ) .2

3..12A C D

解析:由22

213

x y a -=可知

,b =

e=2,c a === ∵a>0,∴a=1.

答案:D

3.(2010·山东济南高三4月模拟)已知点P 是以F 1､F 2为左､右焦点的双曲线2222x y a b -=1(a>0,b>0)的左支上一点,且满足12PF PF =0,tan∠PF 2F 1=23,则此双曲线的离心率为( )

2B C D 解析:由题意可知12PF PF =0,tan∠PF 2F 1=

23

, 故可设|PF 1|=2x,|PF 2|=3x,

由双曲线的定义:3x-2x=2a, 即x=2a,|PF 1|=4a,|PF 2|=6a,∠F 1PF 2=90°,

∴36a 2+16a 2=4c 2,∴e 2

答案:D

4.(2010·山东济南高三4月模拟)若椭圆22

22x y a b

+=1(a>b>0)

则双曲线22

22x y a b

-=1的渐近线为( ) A.y=±

12

x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±14x 解析:e 2=2222231,,42c a b b a a a ∴-===故双曲线的渐近线方程为y=±12x. 答案:A

5.(2010·辽宁抚顺高三数学质量抽样监测)若双曲线22

22x y a b

-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则213b a

+的最小值为

( ) .33

A B C.2 D.1 解析:∵e=c a

∴2213133b a a a ++==a+13a 2333a a =

当且仅当

a=

3

时等号成立. 答案:A 6.(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为

( )

C D

解析:不妨设双曲线方程为22

22x b a b

-=1(a>0,b>0), 焦点F(c,0),虚轴端点B(0,b),

则渐近线方程为y=±

b a

x, 直线BF 的斜率k=0,0b b c c -=-- ∴b b a c ⎛⎫- ⎪⎝⎭

=-1,即b 2=ac, 所以c 2-a 2=ac,两边同时除以a 2

可得e 2-e-1=0,

解得e=

12

. 答案:D

二､填空题 7.(2010·福建)若双曲线2224x y b -=1(b>0)的渐近线方程为y=±12

x,则b 等于________.

解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±2b x,∴b=1. 答案:1 8.(2010·北京)已知双曲线22

221x y a b

-=的离心率为2,焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.

解析:双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),∴c=4.

离心率e=c a

=2,∴a=2,∴b==, ∴双曲线方程为22

1.412

x y -= ∴令22

0,412

x y -=

x±y=0.

9.(2010·北京西城区4月高三抽样测试)已知双曲线x 2-2

3y =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF 的最小值为________.

解析:A 1(-1,0),F 2(2,0),设P(x,y)(x≥1),

则1PA =(-1-x,-y),2PF =(2-x,-y),

12PA PF =(-1-x)(2-x)+y 2=x 2-x-2+y 2

=x 2-x-2+3(x 2-1)=4x 2

-x-5,

y=4x 2-x-5在[1,+∞)上单调递增,

故当x=1时,12PA PF 的最小值为-2.

答案:-2

三､解答题 10.已知双曲线C:22

22x y a b

- =1(a>0,b>0)

(1)求双曲线C 的方程;

(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆x 2+y 2

=5上,求m 的值. 解:(1)由题意,

得b c a

⎧=⎪⎨=⎪⎩

∵b 2=c 2-a 2=2,∴a 2

=1, ∴所求双曲线C 的方程为x 2-2

1.2y =

(2)设A ､B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M(x 0,y 0), 由2

2120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩

得x 2-2mx-m 2-2=0(判别式Δ>0),

∴x 0=122

x x +=m,y 0=x 0+m=2m, ∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2

=5上, ∴m 2

+(2m)2=5,∴m=±1. 11.(2010·广东)已知双曲线2

2

x -y 2=1的左､右顶点分别为A 1,A 2,点P(x 1,y 1),Q(x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式;

(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,求h 的值.

解:(1)因为A 1,A 2分别为2

2

x -y 2=1的左､右顶点, 所以A

1(､A

2

l A1P

:y=x +,l A2Q

:y=x 两式相乘得:y 2=21212

y x -- (x 2-2), 又因为点P( x 1,y 1)在双曲线上, 所以22112

x y -=1,代入上式, 求得点E 的轨迹方程为:2

2

x +y 2=1. (2)设l 1:y=kx+h,因为l 1⊥l 2,

所以可设l 2:y=-1x k

+h.