等比数列公开课课件1
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4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
《等比数列说课》课件
等比数列在实际问题中的应用案例
介绍几个等比数列在实际问题中的应用案例，激发学生对下节课内容的兴趣。
THANKS
感谢观看
通过绘制散点图或折线图 来表示等比数列的变化趋 势。
数学公式表示法
使用通项公式 an=a1*g^(n-1)来表示等 比数列的各项。
03
等比数列的通项公式
பைடு நூலகம்
等比数列通项公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等
。
推导通项公式
通过观察等比数列的特点，利用递 推关系式，推导出等比数列的通项 公式。
等比数列求和公式的变体
公式的推广
等比数列求和公式可以推 广到其他形式，如无穷等 比数列、各项为负数的等 比数列等。
特殊情况的处理
对于一些特殊情况，如公 比为1或无穷等，需要对等 比数列求和公式进行特殊 处理。
近似计算
对于一些近似计算，可以 使用泰勒展开等方法对等 比数列求和公式进行近似 处理，得到近似结果。
等比数列是一种特殊的数列，其中任 意两个相邻项的比值都相等。
an=a1*g^(n-1)，其中an是第n项， a1是首项，g是公比。
等比数列的表示
通常用字母a、g、r等表示等比数列 的项，其中g是公比，表示相邻两项 的比值。
等比数列的性质
公比的性质
公比g是唯一确定的，它决定了 等比数列的特性。当g>1时，数 列是递增的；当0<g<1时，数列 是递减的；当g=1时，数列是常
公式表示
等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值 ，a_1 是首项，q 是公比。
等比数列通项公式的应用
介绍几个等比数列在实际问题中的应用案例，激发学生对下节课内容的兴趣。
THANKS
感谢观看
通过绘制散点图或折线图 来表示等比数列的变化趋 势。
数学公式表示法
使用通项公式 an=a1*g^(n-1)来表示等 比数列的各项。
03
等比数列的通项公式
பைடு நூலகம்
等比数列通项公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等
。
推导通项公式
通过观察等比数列的特点，利用递 推关系式，推导出等比数列的通项 公式。
等比数列求和公式的变体
公式的推广
等比数列求和公式可以推 广到其他形式，如无穷等 比数列、各项为负数的等 比数列等。
特殊情况的处理
对于一些特殊情况，如公 比为1或无穷等，需要对等 比数列求和公式进行特殊 处理。
近似计算
对于一些近似计算，可以 使用泰勒展开等方法对等 比数列求和公式进行近似 处理，得到近似结果。
等比数列是一种特殊的数列，其中任 意两个相邻项的比值都相等。
an=a1*g^(n-1)，其中an是第n项， a1是首项，g是公比。
等比数列的表示
通常用字母a、g、r等表示等比数列 的项，其中g是公比，表示相邻两项 的比值。
等比数列的性质
公比的性质
公比g是唯一确定的，它决定了 等比数列的特性。当g>1时，数 列是递增的；当0<g<1时，数列 是递减的；当g=1时，数列是常
公式表示
等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值 ，a_1 是首项，q 是公比。
等比数列通项公式的应用
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列(公开课课件)
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
不存在等比中项．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
等比数列公开课一等奖ppt课件
①－②得12Tn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1 ＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1＝1－22＋n＋n1 ∴Tn＝2－2＋2n n
1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. 2．等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量： a1、q、n、an、Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出 另外两个量．
∴12m2＋72m＋12≤27 整理得 m2＋7m－30≤0
解得－10≤m≤3，∴m 的最大值为 3.
设正项等比数列{an}的首项 a1＝12，前 n 项和为 Sn， 且 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)由 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0 得 210(S30－S20) ＝S20－S10 即 210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20 因为 an>0，所以 210q10＝1 解之得 q＝12.
数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3 ＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列； (3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
[解] (1)由bb11b＋3＝b34＝5 知 b1，b3 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，注意到 bn＋1＞bn 得 b1＝1，b3＝4.
若把例题中的条件改为 an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思 考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若 不是说明理由．
[解] 数列{an}是等比数列 ∵an＋1＝13Sn＋1 ∴an＝13Sn－1＋1 ∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，
等比数列含义及通项公式【公开课教学PPT课件】
这个常数叫作等比数列的公比．通常用字母 q (q≠0)表示．
a n 1 an
q (a1
0,q
0 ）或
an a n 1
q (a1
0,qBiblioteka 0,n2)
[点睛] (1)“从第2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项
(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”
(3)“同一常数
若将上述n-1个等式相乘，便可得：
an a1 qn1 a1 0, q 0,n 2
N 检验n 1, an a1 qn1 a1 0, q 0, n
2．若等比数列的前三项分别为 5，-15,45，则第 5 项是( )
A．405
B．-405
当 q＝2 时，a1＝12，此时 an＝12 2n-1＝2n-2；
当 q＝12时，a1＝8，此时 an＝8
1 2
n-1＝24-n.
举一反三
(2)在等比数列{an}中，已知 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1， 求 n. (2)解：法一：设公比为 q，由题意，得
a1q＋a1q4＝18， ① a1q2＋a1q5＝9， ②
(× )
(1)常数列一定是等差数列，却不一定是等比数列。 (2)非零的常数列既是等差数列 ,也是等比数列 。
2、等比数列的通项公式
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …， an ,
是等比数列，它的公比是q q 0 那么
a2 a1 q
归
a3 a2 q a1 q 2
第一课时 等比数列的概念与通项公式
一、教学目标：1、知识与技能：了解现实生活中存 在着一类特殊的数列。
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
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4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT
当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二 等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比 中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所 以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243， 得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7， 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
《等比数列》示范公开课教学课件
新知探究
问题6 在等比数列中，m＋n＝p＋q，am，an，ap，ak有什么关系呢？
若m＋n＝p＋k，则aman＝apak．
证明：由定义得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，ak＝a1·qk－1， am·an＝a12qm＋n－2，ap·ak＝a12qp＋k－2，则aman＝apak．
新知探究
问题2 类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为
a与b的等比中项．即G＝± ab（a、b同号）.
说明： G ＝ b G2 ＝ ab G ＝ ab aG
反之，若G2＝ab，则 G ＝ b ，即a，G，b成等比数列． aG
∴
m n ＝10 ，
m
n
＝16
，
∴
m ＝8，
n
＝
2
，
或
m ＝ 2 ，
n
＝8
．
∴这三个数为8，4，2或2，4，8．
典例分析
例 三个数成等比数列，它的和为14，它们的积为64，求这三个数．
解法二：设所求三个数分别为 a ，a，aq，则a3＝64，∴a＝4． q
又∵ a＋a＋aq＝14，∴ 4 ＋4＋4q＝14．解得
尝试与发现
问题8 你能证明上述结论吗？
证明：设数列{an}的公比为p，{bn}的公比为q，
那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为：a1pn－1·b1qn－1与a1pn·b1qn，
即a1b1（pq）n－1与a1b1（pq）n．因为
an1 an
bn1 bn
＝
a1b1( pq)n a1b1( pq)n1
∴a，G，b成等比数列⇔G2＝ab（a·b≠0）．
4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式课件ppt
2.(2021天津河东高二期末)在等比数列{an}中,a3=1,a5=2,则首项a1=(
1
A.
4
1
B.
2
C.
2
2
D.0
答案 B
3 = 1 2 = 1,
1
2
解析 设等比数列的公比为 q,则
解得 q =2,a1= .
4
2
5 = 1 = 2,
)
9
1
2
3.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为(
分析(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;(2)先求出a1和a5的值,
再根据等比中项的定义求解.
解 (1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得
x=-1或x=-4.
又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.
是±4.
反思感悟 涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中
项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中
项的符号.
变式训练 2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则
k=(
A.2
)
B.4
C.6
D.8
答案 B
解析 依题意,得 2=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得
(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算
的技巧性,特别注意整体思想的应用.
变式训练 1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
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达标检测
1.在等比数列 an 中,
(1)a1 2, q 3, 求a8与an. a8 4374,an 2 3 n1
（2）a1 2, a5 32,求q q 2
(3)a3 12, a4 18, 求a1与a2
8
2.如果2，a, 8成等比数列,那么a= 4
3.在等比数列 an 中, 2a4 a6 a5，则公比 q
课后作业：
1.阅读教材第51～52页 2.完成课本第53页习题A组1，7 题
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1 或 an1 q
an
思考：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？
(2)公比q能不能是1？
不能 能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ①④⑤ .
① 1，-1，1，…，(-1)n+1√； ②1，2，4，6…； ×
(
1
n
)
2
例2 已知一个等比数列的前三项依
次是a,2a+2,3a+3,求a的值
解：由等比数列的定义，得
2a 2 3a 3
2
3
即(2a 2)2 a(3a 3) ，
所以 a2 5a 4 0,
解得a=-1 或a=-4
当 a=-1 时,2a+2=3a+3=0 ,舍去，
所以a=-4
例3：已知{an}的通项公式an 3n,求证：{an}是
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 ,那 么 这 个 数
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
数学式 子表示
an+1-an=d
通项公式 an = a1 +（n-1）d
an1 q an
an a1qn1
③a，a，a，…，a；
×
④已知a1=2，an=3an+1
；
√
⑤2a，2a，2a，…，2a. √
思考2：
若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数 有何恒等关系？
结论：G2=ab
G叫做a,b的等比中项
思考：在等比数列 an 中, a1, a2 , a3 的关系？
合作探究二
思等差数列• 考法：aa一a…432如：…aa何不a111完用23d全dad1归和类纳比q法表示等 比 数 列第n项aaaaaa…231234a…nqqqaaa243aa1aq3q2qa1aq1q3 2
(1)1,2,22 ,23 ,... (2)1, 1 , 1 , 1 ,...
24 8
(3)1,20,202 ,203,204 (4)5,25,125,625,...
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
引例2：
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
则每日剩下的部分依次为：
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
合作探究一
观察下列数列，说出它们的特点.
q 1, q 2
例1：在等比数列{ a }中，若 n
a2 a5 18,a3 a6 9 ，求通项公式 an
解：由
a2 a3
a5 a6
a1 a1
q a1 q4 18 q2 a1 q5 9
，得
q1 2
因为 a1 q a1 q4 18
所以 a1 32
所以
an
3
2
(
1
n 1
)
2
64
2.4 等比数列
学习目标：
1.理解等比数列的定义及等比中项的概念；
2.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n， a1, an , q中的三个，求另一个的问题．
学习重点：
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
问题引入
比一比谁更高？
引例1：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
等比数列.
定义法，只要看
an q(q是一个与n无关的非零常数） an1
解：因为 an 3n ,
所以，当 n>1时，
an 3n 3 （同一常数） a 3n1
n1
因此{ an }是等比数列
能力提升：
1已知等比数列8000，a，b，5600.则
b a
3
7 10
a 2.数列｛
｝满足
n
a1 3, an1 2an.则 192 是此数
等
a3 q
比
a2
类比
数
a4 q
列
a3
……
×） an q
an1
共n – 1 项
an a1 (n 1)d
an q n1 a1
等比数列的通项公式：
a a qn1
n
1
（n∈N﹡,q≠0）
名称 定义
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
列中的第 7 项。
3.已知等比数列｛
a
｝中，
n
a3
a6
36, a44a7
18,
1 an 2
求
n
n9
课堂小结：
1.等比数列的定义：
an q(n 2)或 an1 q. (q 0)
an1
an
2.等比数列的通项公式：
an=a1qn-1
推导方法：（1）归纳法；（2）累乘法.
3.等比中项：G2 ab
由此归纳等差数列
由此归纳等比数列的通项公式可得：
的通项公式可得：
an a1 (n 1)d
an a1qn1
其中a1与q均不为零，当 n 1
时上面等式也成立
• 法二：累加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
+）an an1 d
累乘法
a2 q a1