第3章 控制系统的稳定性
控制工程基础第三章
特征根： 特征方程的根，即D(s)=0的解。
时域分析有关概念----主要概念
3.系统的零点、极点和零极点分布图 Xo(s) = M(s)
闭环零点： 闭环传递函数中M(s)=0的解
Xi (s) D(s)
闭环极点： 闭环传递函数中D(s)=0的解，等价特征根 开环零极点与开环传递函数相对应
f1
稳定性分析 s
s s
n n n
系12 统的特aab征011 方程aba为-223--D -代( s ) a数b a34a 5(0 劳s n 斯a a1 as )76n 稳 1 定 性 a b判n b 121 s 据 a aan 11a a240 aa11aa00aa35
4(s 2) G(s) s2 s
稳定
临界稳定
例 单位反馈系统的开环传递函数如下，判断系统是否稳定？
G(s) s 5 (s 2)
不稳定
稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据
系统的特征方程为 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0
时域分析有关概念----典型输入信号
1.阶跃(位置)信号
a，t 0 x(t) 0，t 0
a为常数，a =1时为单位 阶跃信号，记为1(t)。
2.斜坡(速度)信号
at，t 0
x(t)
0，t
0
a为常数，a =1时为单位 斜坡信号，记为t·1(t)。
时域分析有关概念----典型输入信号
3.抛物线(加速度)信号
at2，t 0 x(t) 0， t 0
过程控制技术-第三章 过程控制系统的分析
3 过程控制系统的分析
时曲线有极值点（ｎ为正整数）。将上述两种ｔ值代入式（３-18），就能求出过渡过程曲线的各个特殊点数值，其数值列入表３-２中。
3 过程控制系统的分析
根据表３-２中数据绘制出过渡过程曲线如图３-5中的曲线２所示
过程控制技术
第六讲 过程控制系统的过渡过程分析（二）
3 过程控制系统的分析
（2）衰减比n 是指过渡过程曲线同方向的前后相邻两个峰值之比，如图3-6中Ｂ/Ｂ′＝n，或习惯表示为n∶1。可见n愈小，过渡过程的衰减程度越小，意味着控制系统的振荡程度越加剧烈，稳定性也就低，当n＝１时，过渡过程为等幅振荡；反之，n愈大，过渡过程愈接近非振荡过程，相应的稳定性也越高。从对过程控制系统的基本性能要求综合考虑（稳定、迅速），
3 过程控制系统的分析
式中下标“0”表示系统在初始平衡状态下的数值，则
3 过程控制系统的分析
（4）控制器的控制规律 在过程控制系统中常使用的控制器，其控制规律有比例、比例积分和比例积分微分三种，它们的数学模型分别为：
3 过程控制系统的分析
在这个系统中若选用的是电动比例控制器，则p＝Ｋcｅ 在过程控制仪表中控制器的放大系数Ｋc是通过改变控制器的比例度δ来设置的，若采用测量范围（量程）为50～100℃，输出信号为4～20 mA DC的电动温度变送器，并选用电动控制器的比例度δ＝２０％，于是根据比例度的定义计算出控制器的放大系数是：
3 过程控制系统的分析
（5）余差Ｃ（残余偏差） 余差是过渡过程终了时设定值与被控变量的稳态值之差，用数学式表示为 余差是一个反映控制系统准确性的质量指标，也是一个精度指标。它由生产工艺给出，一般希望余差为零或不超过预定的范围。
3 过程控制系统的分析
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第3章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
典型输入信号 系统的时域性能指标 控制系统的稳定性 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统分析 控制系统的稳态误差分析 改善系统性能的措施 利用MATLAB进行时域分析
1
怎样分析系统：首先建模，二是规定典型信号，三是求出 系统输出，对系统进行研究分析。分析一个控制系统的运动, 必须先判定该系统是否稳定。即使负反馈控制系统是稳定的， 它的运动质量也有优劣之分。图3-1表示三个系统输出变化过 程。
58
例3-7 设系统特征方程为 试用霍尔维茨判据判断该系统的稳定性。
59
解 观察特征方程，可知满足系统稳定的必要条件。所以， 列出的4阶霍尔维茨行列式如下：
不难求出：D1=1>0, D2=－7<0, D3=－45<0,D4=－450<0。 所以系统是不稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ60
第四节 一阶系统时域分析 由一阶微分方程描述的系统, 称为一阶系统。图3-9所示 的自动控制系统就是一阶控制系统。它的传递函数为
(3-20)
73
由于单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数有以下 关系
(3-21) 因此单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应, 单位阶跃响应的导 数为单位脉冲响应。
单位脉冲响应曲线如图3-12所示。
74
图 3-12 一阶系统单位脉冲响应
75
第五节 二阶系统时域分析 一、典型二阶系统
典型的二阶系统结构图如图3-13所示。系统开环传递函数 为
50
相应的劳斯表为
令劳斯表中第一列各元素为正，得使全部闭环极点位于 s=－1垂线之左的K1取值范围:
经典控制理论——第三章1
其闭环传递函数为：
K X c ( s) s 1 1 GB ( s) X r ( s) 1 K 1 s 1 Ts 1 s K
图3-5 一阶控制系统
稳定性分析：一阶系统的脉冲响应 传递函数 G s 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 g t 。 当 r t t 时 R s 1
根据一阶系统的响应曲线可以求T 常用的方法 ① c(t) =0.632 处，t=T ② t＝0处曲线斜率 k＝1/T
稳态性分析
r(t) c(t)
1 c1 t e T
c2 t 1 e
t T
c ss lim ct
t
ess lim r t c t
t 的物理概念是指加了扰动并消除（采 用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。也 可以是方波，即加一段时间后又放掉）。 如用g t 表示脉冲响应，在数学上，上述对 控制系统稳定性定义的描述可转化为这样的 数学表达式： 若 lim g t 0 系统稳定 t
若
lim g t 0
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A A 100% 超调量σ%= A 100% = 超调量σ% B B
峰值时间t B 峰值时间tpp B
上 升 上 升 时间t 时间tr r
调节时间t 调节时间ts s
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t) A σ%= A 100% B
（1） 延迟时间td ：阶跃响应第一次达到稳态 值50％所需的时间。 (2) 上升时间tr ： 响应从稳态值的10％上升到稳态值的 90％所需的时间。（对过阻尼系统）或响 应从稳态值的5％上升到稳态值的95％所需 的时间。（对过阻尼系统） 响应从稳态值的0％上升到稳态值的 100％所需的时间。（对欠阻尼系统）
《自动控制原理》第三章 第5讲
四、两种特殊情况的处理. 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零. 例3: 设系统的特征方程为 D( s ) = s 4 + 2s 3 + s 2 + 2s + 1 = 0 解: s 4 1 1 1 用一大于零的无穷小量 3
s s2 s1 s0
2 0(ε ) 2ε − 2 ε 1 2 0 1 0 0 0 ⇒ 2− 2 ε 0 0
ε
代替第三行第一列的零 参与以下各行各列元素 值的计算.
因为 ε 是大于零的无穷小量, 所以 (2 − 2 / ε ) < 0 系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,也可行，不 再介绍.
s1 1 3 0 0 0
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 = ± j 2 , s3, 4 = ± j 2 ( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0 , 纯虚根，此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定 的。
其系统稳定的必要条件是：上式中各项系数为正数。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
三、 劳斯稳定性判据 设线性系统的特征方程为
D ( s ) = a0 s + a1s
n
n −1
+ + an −1s + an = 0
式中 a0 > 0 , 构造如下劳斯行列表:
s1 − 6 0 0 s0 5 0 0
[例]系统的特征方程为： s 5 + 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 + 23s + 46 = 0 该 系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 [解]：劳斯阵如下
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3.1线性系统的稳定性分析稳定是控制系统正常工作的首要条件。
分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。
3.1.1 稳定性的概念如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
3.1.2 稳定的充要条件脉冲信号可看作一种典型的扰动信号。
根据系统稳定的定义，若系统脉冲响应收敛，即:0)(lim =∞→t g t则系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为)()()()()()()()()(2121n n m m s s s a z s z s z s b s D s M s G λλλ------==设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏变换为:∑=-=-++-+-==ni ii n n s A s A s A s A s G s C 12211)()(λλλλ 式中，i A 为待定常数。
对上式进行拉氏反变换，得单位脉冲响应函数：2121()i n i nt tttn ii k t Ae A e A eAe λλλλ==+++=∑ 根据稳定性定义，系统稳定时应有：0lim )(lim 1∑=∞→∞→==ni ti t t i e A t g λ（3-21）考虑到系数i A 的任意性，要使上式成立，只能有0lim =∞→tt ie λ n i ,,2,1 = （3-22）式(3-22)表明，所有特征根均具有负的实部是系统稳定的必要条件。
《自动控制原理》第三章 3-4 稳定性分析
第三章 线性系统的时域分析法
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2, n
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
15
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据…
例3 2 s 4 s 3 3s 2 5s 10 0
1 5 4 0 1 0 2
系统不稳定
0 5 3
0 0 0 10
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
11
1. 稳定性的基本概念
稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态
例1. 单摆 例2. 曲面坡
大范围稳定 小范围稳定
稳定平衡点 不稳定平衡点
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第三章 线性系统的时域分析法
12
2. 线性系统稳定的充要条件
第三章 线性系统的时域分析法
3
重点回顾
R(s) E(s)
1
n s(s 2n )
2
C(s)
Td s
n s(s 2n )
2
R(s)
E (s )
C(s)
Kt s
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第三章 线性系统的时域分析法
4
重点回顾
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴 最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭 环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极 点在系统响应过程中起主导作用，这样的 闭环极点称为主导极点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性
lim c (t ) 0 lim c (t )
t
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(s) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(s) s 4s 5s 2 解 : s 3 4s 2 5s 2 0
C (s) G1 ( s )G2 ( s ) (s) R ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
R(s) E(s) Y(s) N(s) G1(s) X1(s) X (s) 2 G2(s) H(s) C(s)
2. 扰动作用下的闭环系统的传递函数
令R ( s ) 0 C (s) N (s)
R(s) E(s)
G2 ( s ) 1 G1 ( s ) 2 G ( s ) H ( s )
-
N(s) X1(s) X (s) G1(s) 2 G2(s) H(s)
C(s)
f (s)
Y(s)
定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环 传函，记为 f ( S )。
E (s) R(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s) E (s) R(s) R(s) 1 G(s) G2 ( s ) H ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s )
n
n -1
... a1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... s n -3 c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
第三章 控制系统稳定性的时域分析
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
自动控制习题第3章
第三章 线性系统的时域分析 (32)3.1 典型输入信号 ................................................................................................................ 32 3.2 线性系统的稳定性 .. (32)1、稳定性的基本概念 (32)2、线性系统稳定的充要条件：脉冲响应0)(lim =∞→t g t (32)3、稳定判据 ................................................................................................................... 32 4、系统的稳态与动态 ................................................................................................... 34 3.3 动态性能 (34)1、动态性能指标 ........................................................................................................... 34 2、典型系统的动态性能 ............................................................................................... 35 3、高阶系统的时域分析 ............................................................................................... 37 3.4 稳态误差 (37)1、稳态误差定义 ........................................................................................................... 37 2、稳态误差的求取 ....................................................................................................... 38 3、减小或消除稳态误差的措施 .. (40)思考题 ............................................................................................................................................ 40 习题解答......................................................................................................................................... 40 水平测试题..................................................................................................................................... 53 测试题答案. (57)第三章 线性系统的时域分析3.1 典型输入信号典型输人信号：为了便于对系统进行分析、设计和比较，根据系统常遇到的输入信号形式，对其数学描述进行理想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。
自动控制原理第3章
例1. 系统特征方程式为
s 6 s 12 s 11 s 6 0
4 3 2
例2. 系统特征方程式为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
特殊情况:
1) 劳斯行列表中某一行左边第一个数为零,其余 不为零或没有. 例: 例:
s 4 3s 3 s 2 3S 1 0
-
1/s
k/(s+5)(s+1)
例:系统特征方程式:
2 s 3 T s 2 10 s 100 0 s
4
按稳定要求确定T的临界值.
六.系统的相对稳定性
§3-3 控制系统的稳态误差
一.误差及稳态误差的定义 系统的误差为 e(t)=被控量的希望值－被控量的实际值 常用的误差定义有两种
二.线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统微分方程为:
a0
d dt
n 1
n
n
c (t )
d a dt
1
n 1
c (t ) n 1
d a dt
2
n2 n2
c (t )
d a dt
3
n3 n3
c ( t ) ........
a
d dt
m m
c (t )
a
n
c (t )
第三章 控制系统的时域分析法
§3-1 引言
一. 典型输入信号 1、阶跃函数
r(t)
r (t ) {
0 A
t0 t0
A
t
2、斜坡函数
r(t) {
r(t)
0 At
t0 t0
斜率＝A
自动控制原理第三章
3.3.1 典型二阶系统的暂态特性
单击此处添加标题
系统的闭环特征方程：
单击此处添加标题
二阶系统的闭环传递函数为
单击此处添加标题
当 时，
特征根：
1. 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
3.3.1.1 过阻尼（ ）的情况
特点：由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上 升曲线。
分析结论：
由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。
PART ONE
闭环传递函数的标准形式如下：
2.二阶系统加极点的暂态响应
其中 是负实数极点 与共轭复数极点的负实部之比。
4） 脉冲函数
在 处的单位脉冲函数用 来表示，它满足如下条件：
单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即
反之，单位脉冲函数 的积分就是单位阶跃函数。
单位脉冲函数：
面积 A = 1 时脉冲函数，称为单位脉冲函数 。 其拉氏变换后的像函数为 于是，强度为A的脉冲函数 可表示为
单击此处添加大标题内容
结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量 由极点 构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量 （2）当 时，系统的暂态特性主要由 和 决 定，系统呈现二阶系统的特性。 当 时，系统的暂态特性主要由 决定， 系统呈现一阶系统特性。 （3）一般情况下， ，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和 增长， 减小，相当于系统的惯性增加了。
华中科技大学鲁棒控制理论基础3章
q 1 pq p(1 pq) 1 pq
一般被控对象
P Nr M
1 r
M Nl
1 l
Yr N l
X r M r Ml Nr
X l I 0 Yl 0 I
3. 参数化公式在控制系统中的应用
鲁棒控制理论基础
第三章、反馈系统的稳定性与参数化
华 中 科 技 大 学 控制科学与工程系，控制理论研究所
3.1 反馈控制系统的稳定性
1. 反馈系统良定性 a) 良定性的概念
a) 闭环系统良定的条件
闭环系统良定的充 分必要条件是该矩 阵非奇异
2. 系统的外部稳定性
3. 系统的内部稳定性
4. 系统内部稳定与外部稳定性之间的关系
5. 闭环系统的稳定性
3.2 控制器的参数化
1. 传递函数的互质分解
其中A表示全体正则、稳定的有理函数（对于离散系统则 是z传递函数）。易知A对于加法和乘法运算是封闭的。
SISO系统传递函数在A中的互质分解
MIMO系统在A中的互质分解
传递函数矩阵的右互质
传递函数矩阵的左互质
3.3 标准控制问题（广义调节器问题）
1. 线性分式变换
2. 标准控制问题
3. 标准控制问题的稳定性源自G11 G G21A G12 C1 G22 C 2
B1 D11 D21
B2 D12 D22
MIMI系统在A中的互质分解
其中 P A, B, C, D AF A BF, AH A HC
2. 控制器的参数化
开环稳定的系统
对于稳定的SISO系统 p(s)， 有
q k , q A, 1 pq 0 1 pq 1 1 H ( p, k ) 1 pk p k (1 pq) 1 1 1 p k 1
控制工程基础7-第3章 (控制系统时域分析-1)
动态过程与稳态过程
动态过程
又称过渡过程或瞬态过程，指 系统在典型输入信号作用下， 系统输出量从初始状态到最终 状态的响应过程。
y
瞬态过程
稳态过程
稳态过程
t
0
稳号态作过用程下指，系当统时在间典t趋型于输无入穷信时，某系统的单位阶跃响应曲线
系统输出量的表现方式。
稳态过程又称稳态相应，表征 系统输出量最终复现输入量的 程度，提供系统有关稳态误差 的信息，用稳态误差描述
应上升越快，响应过程的快速性也越
好。
系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得
的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统
或等效为一阶系统。
22
输入r(t)=1(t)，输出
c(
t
)
1
1
eT
t
(
t
0
)
S平面 j
p=-1/T 0
(a) 零极点分布
c(t) 初始斜率为1/T
1
0.865 0.95 0.982
当A=1时，即面积为1的脉冲函数称
为单位脉冲函数，记为(t)
( t )
0
1/
t 0 ,t 0t
(t) 1
（t）函数的图形如右图所示。
t
0
脉冲函数的积分就是阶跃函数。
脉冲函数的拉氏变换为
R( s ) L[ r( t )] A ( t )estdt 0
r(
t
)
1 2
At 2
t0
t 01
输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做
等加速变化的信号，其图形如图所示。
实验三控制系统的稳定性分析
实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时，是否能保持原有的稳态或稳定的性能。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，它直接影响系统的性能和可靠性。
本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。
一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法：传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过分析和求解传递函数的特征根，可以判断系统的稳定性。
在传递函数中，特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能，根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。
2.极点分布法：极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。
通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。
一般来说，稳定系统的极点都位于左半复平面，而不稳定系统的极点则位于右半复平面。
3. Nyquist稳定性判据：Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。
Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线，通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。
通过构造一个特征方程的判别矩阵，可以判断系统的稳定性。
如果判别矩阵的所有元素都大于0，则系统是稳定的。
二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法：通过求解传递函数的特征根，判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。
特征根的实部必须小于0，而虚部可以等于0。
2.极点分布法：绘制控制系统的极点图，判断极点是否位于左半复平面。
如果所有极点都在左半平面，则系统是稳定的。
3. Nyquist稳定性判据：绘制Nyquist曲线，通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0，则系统是稳定的。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：构造特征方程的判别矩阵，通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。
《自动控制理论》第三章 重点与难点
42第3章 线性系统的时域分析法重点与难点一、基本概念1. 稳定性（1）定义：系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定，反之称系统不稳定。
（2）系统稳定的充要条件：系统特征根全部具有负的实部。
（3）代数稳定判据：①必要条件：特征多项式各项系数均大于零。
②古尔维茨判据：由系统特征方程各项系数所构成的各阶古尔维茨行列式全部为正。
③劳斯判据：由系统特征方程各项系统列出劳斯表，如果劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定；如果表中第一列中出现小于零的数，则系统不稳定；第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。
（4）系统的稳定性只与系统自身结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。
（5）结构不稳定概念：并非由于系统参数设置不当，而是由于系统结构原因导致的不稳定。
2. 误差及稳态误差（1）误差的两种定义及其相互关系：从系统输入端定义的误差)(s E 如图3.1（a ）所示，从系统输出端定义的误差)(s E '是系统输出量的希望值)(s R '与实际值)(s C 之差。
前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；而后者一般只有数学意义。
将图3.1（a ）等效变换为图 3.1（b ），可以看出)(s E 与)(s E '之间有对应关系：)(/)()(s H s E s E ='。
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
（2）稳态误差ss e 是系统的误差响应达到稳态时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是系统的稳态指标。
（3）计算稳态误差的方法：1）一般方法：i.判定系统稳定性（对于稳定系统求ss e 才有意义）；ii.按误差定义求出系统误差传递函数)(s e Φ或)(s en Φ；iii.利用终值定理计算稳态误差：)]()()()([lim 0s N s s R s s e en e s ss Φ+Φ⋅=→。
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稳定性的定义（续1）
• 控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平 衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐 地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定 的，简称稳定。 • 若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不 稳定的。
稳定的各种情况
(a) 大范围稳定的系统 (b) 局部渐近稳定的系统 (c) 不稳定的系统
稳定各种情况的结论
• 大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定 性完全取决于系统自身的结构和参数,而和 扰动的性质无关。 • 局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自 身的结构和参数而且和扰动的性质有关。 • 线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳 定的。
失稳效应的例子（一）
• 在礼堂扩音的音频放大器和扬声器系统的 有反馈失稳效应。扬声器产生的音频信号 是由麦克风采集的声音放大得到的。除了 其他的音频输入，来自于扬声器本身的声 音可能会被麦克风探测到，形成正反馈。 由于空气的衰减特性，距离越远，到达麦 克风的信号越弱。如果扬声器和麦克风之 间太靠近，系统将会不稳定。结果是对音 频信号过分放大和畸变，甚至振荡的啸叫。
失稳效应的例子（二）
• 第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于 1940年7月1日开通。人们发现这座桥只要 刮风就会振荡。四个月后，11月7日碰到一 场风速为19m/s的风，桥剧烈地扭曲振动， 且振幅越来越大，直到桥面倾斜到45°左 右，使吊杆逐根拉断，导致桥面钢梁折断 而塌毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥 为外景拍摄，记录了全过程。
3.3闭环极点和稳定性的关系
• 线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复 平面的位置所决定
jω E B C A D C B E σ [S]
闭环极点位置的响应振型
闭环极点和稳定性关系的结论
• 单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的 充分必要条件是：系统所有的闭环极点都 在S平面的左半平面。或者说：所有的闭环 极点都具有负的实部。 • 多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件 是：系统矩阵A的全部特征值都位于S平面 的左半平面或都具有负实部。
0
0 0 -1
-13/2 -1
-1
3.4.2劳斯判据
• 若系统劳斯表第一列的所有单元值均为正 数则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 • 系统具有正实部的闭环极点个数等于劳斯 表第一列诸值符号改变次数的总和。 • 在例3.1中第一列所有值均为正数，故系统 是稳定的。在例3.2中由于出现了一行各列 值全为零，故系统是不稳定的。由于第一 列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点 在S平面的右半平面(s1=1)。
主要内容
• • • • • • • 研究系统稳定性的意义 稳定性的定义 闭环极点和稳定性的关系 劳斯判据 奈奎斯特判据 系统稳定性的改进 系列设计举例
3.1研究系统稳定性的意义
• 闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核 心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。 因此寻找方法来分析和设计稳定系统。 • 如果输入是有界的，那么稳定系统的输出也 是有界的，这叫做有界输入—有界输出稳定 性，这是本章的主题。 • 研究稳定性包含两个目的：
劳斯表制作举例
例3.1设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 12s4+6s3+32s2+7s+3=0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
4
12
32
3
3
几种情况的处理方法
1. 某行各单元值中含有分数：若某行中含有 分数，则该行同乘以一个不为零的正的常 数，劳斯表结果不发生改变。 2. 某行所有单元值为零：此种情况系统肯定 是不稳定的，但若为其它目的可按下述方 法处理。用该行的上一行对应单元值建立 一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获 得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系 数代替全零行各单元值并继续计算。
几种情况的举例
例3.2设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=0
s7 1 s6 4 2 s5 13/2 1 4 s 1 s3 0 4 s2 ε 0 s1 4/ε s0 -1
9 10 5 -1 -4 -2 -9 -10 -5 取上行做辅助方程： s4-1=0,求导得本行 系数
– 判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度； – 如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及 如何提高稳定程度。
3.2稳定性的定义
• 平衡状态：系统在没有输入作用和外部干 扰(称为扰动)作用时，处于自由运动状态。 当系统达到某一状态后会维持在该种状态 下而不再发生变化，这样的状态称为该系 统的平衡状态。 • 一个闭环系统或者是稳定的，或者是不稳 定的，这种特征称为绝对稳定性。进一步 描述稳定的程度，就是相对稳定性。
几种情况的处理方法（续1）
• 重要性质：若某行所有单元值全为零，则 该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭 环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环 极点。 3. 某行的第一列单元值为零：此种情况的存 在系统一定是不稳定的，若需要进一步填 写劳斯表，则用一个无穷小的正数代替 该行第一列的零值后继续计算。
3.4劳斯判据
• 劳斯判定是一种代数判定，它是依据代数 方程根与系数关系来得到结论。 • 代数方法是使用系统的闭环结果，即获得 系统的特征方程或特征多项式。 • 系统稳定的必要条件是：系统特征方程的 诸系数不能为零且同号。 • 劳斯判据是一个线性系统稳定性的充要判 据。
3.4.1劳斯表及其制作
设系统特征方程为：
an s an1s
n
n1
an2 s
n1
a1s a0 0
（1）表头的填法： 第一行：第一列填入an值。第二列填an-2值， 依此类推，后一列和前一列是s相差两次幂的 对应系数。 第二行：第一列填入an-1值，后续诸列单元值 依次为相差两次幂之系数。
劳斯表及其制作（续1）
（2）表体的填法：设表体某单元的值为 Ai,j(i≥3)，约定在i＜3时的Ai,j值即为该表头位 置之值。Ai,j的值由下式求出：
Ai, j
1
Ai 2,1
Ai 2, j 1 Ai1, j 1
Ai 1,1 Ai 1,1
重要的是正确找到行列式中的四个元素，所 求单元上两行第一列的值和该单元上两行其 后一列的值。