第3章 控制系统的稳定性

3.4劳斯判据
• 劳斯判定是一种代数判定，它是依据代数 方程根与系数关系来得到结论。 • 代数方法是使用系统的闭环结果，即获得 系统的特征方程或特征多项式。 • 系统稳定的必要条件是：系统特征方程的 诸系数不能为零且同号。 • 劳斯判据是一个线性系统稳定性的充要判 据。
3.4.1劳斯表及其制作
设系统特征方程为：
– 判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度； – 如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及 如何提高稳定程度。
3.2稳定性的定义
• 平衡状态：系统在没有输入作用和外部干 扰(称为扰动)作用时，处于自由运动状态。 当系统达到某一状态后会维持在该种状态 下而不再发生变化，这样的状态称为该系 统的平衡状态。 • 一个闭环系统或者是稳定的，或者是不稳 定的，这种特征称为绝对稳定性。进一步 描述稳定的程度，就是相对稳定性。
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失稳效应的例子（二）
• 第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于 1940年7月1日开通。人们发现这座桥只要 刮风就会振荡。四个月后，11月7日碰到一 场风速为19m/s的风，桥剧烈地扭曲振动， 且振幅越来越大，直到桥面倾斜到45°左 右，使吊杆逐根拉断，导致桥面钢梁折断 而塌毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥 为外景拍摄，记录了全过程。
劳斯表制作举例
例3.1设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 12s4+6s3+32s2+7s+3=0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
4
12
32
3
6
18
7
3
6
3
几种情况的处理方法
1. 某行各单元值中含有分数：若某行中含有 分数，则该行同乘以一个不为零的正的常 数，劳斯表结果不发生改变。 2. 某行所有单元值为零：此种情况系统肯定 是不稳定的，但若为其它目的可按下述方 法处理。用该行的上一行对应单元值建立 一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获 得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系 数代替全零行各单元值并继续计算。
稳定性的定义（续1）
• 控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平 衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐 地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定 的，简称稳定。 • 若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不 稳定的。
稳定的各种情况
(a) 大范围稳定的系统 (b) 局部渐近稳定的系统 (c) 不稳定的系统
稳定各种情况的结论
几种情况的处理方法（续1）
• 重要性质：若某行所有单元值全为零，则 该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭 环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环 极点。 3. 某行的第一列单元值为零：此种情况的存 在系统一定是不稳定的，若需要进一步填 写劳斯表，则用一个无穷小的正数代替 该行第一列的零值后继续计算。
3.3闭环极点和稳定性的关系
• 线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复 平面的位置所决定
jω E B C A D C B E σ [S]
闭环极点位置的响应振型
闭环极点和稳定性关系的结论
• 单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的 充分必要条件是：系统所有的闭环极点都 在S平面的左半平面。或者说：所有的闭环 极点都具有负的实部。 • 多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件 是：系统矩阵A的全部特征值都位于S平面 的左半平面或都具有负实部。
主要内容
• • • • • • • 研究系统稳定性的意义 稳定性的定义 闭环极点和稳定性的关系 劳斯判据 奈奎斯特判据 系统稳定性的改进 系列设计举例
3.1研究系统稳定性的意义
• 闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核 心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。 因此寻找方法来分析和设计稳定系统。 • 如果输入是有界的，那么稳定系统的输出也 是有界的，这叫做有界输入—有界输出稳定 性，这是本章的主题。 • 研究稳定性包含两个目的：
• 大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定 性完全取决于系统自身的结构和参数,而和 扰动的性质无关。 • 局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自 身的结构和参数而且和扰动的性质有关。 • 线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳 定的。
失稳效应的例子（一）
• 在礼堂扩音的音频放大器和扬声器系统的 有反馈失稳效应。扬声器产生的音频信号 是由麦克风采集的声音放大得到的。除了 其他的音频输入，来自于扬声器本身的声 音可能会被麦克风探测到，形成正反馈。 由于空气的衰减特性，距离越远，到达麦 克风的信号越弱。如果扬声器和麦克风之 间太靠近，系统将会不稳定。结果是对音 频信号过分放大和畸变，甚至振荡的啸叫。
0
0 0 -1
-13/2 -1
-1
3.4.2劳斯判据
• 若系统劳斯表第一列的所有单元值均为正 数则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 • 系统具有正实部的闭环极点个数等于劳斯 表第一列诸值符号改变次数的总和。 • 在例3.1中第一列所有值均为正数，故系统 是稳定的。在例3.2中由于出现了一行各列 值全为零，故系统是不稳定的。由于第一 列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点 在S平面的右半平面(s1=1)。
（2）表体的填法：设表体某单元的值为 Ai,j(i≥3)，约定在i＜3时的Ai,j值即为该表头位 置之值。Ai,j的值由下式求出：
Ai, j
1
Ai 2,1
Ai 2, j 1 Ai1, j 1
Ai 1,1 Ai 1,1
重要的是正确找到行列式中的四个元素，所 求单元上两行第一列的值和该单元上两行其 后一列的值。
几种情况的举例
例3.2设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=0
s7 1 s6 4 2 s5 13/2 1 4 s 1 s3 0 4 s2 ε 0 s1 4/ε s0 -1
9 10 5 -1 -4 -2 -9 -10 -5 取上行做辅助方程： s4-1=0,求导得本行 系数
an s an1s
n
n1
an2 s
n1
a1s a0 0
（1）表头的填法： 第一行：第一列填入an值。第二列填an-2值， 依此类推，后一列和前一列是s相差两次幂的 对应系数。 第二行：第一列填入an-1值，后续诸列单元值 依次为相差两次幂之系数。
劳斯表及其制作（续1）