人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案

人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案

抽屉原理和容斥原理

24.1 抽屉原理

24.1.1★在任意的61个人中，至少有6个人的属相相同．

解析 因为一共有12种属相，把它看作12个抽屉，61151612⎡⎤

+=+=⎢⎥⎣⎦，根据抽屉原理知，

至少有6个人的属相相同． 评注 抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理．这一简单的思维方式在解题过程中却可以有很多颇具匠心的运用．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现．许多有关存在性的证明都可用它来解决．

抽屉原理1 如果把1n +件东西任意放入n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西．

抽屉原理2 如果把m 件东西任意放人n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，这里

,1,m

m n n k m m n n ⎧⎪⎪

=⎨

⎡⎤⎪

+⎢⎥⎪⎣⎦

⎩是的位不是的位当数时; 当数时. 其中[]x 表示不超过x 的最大整数 ，例如[]33=，[]4.94=，[]2.63-=-等等．

24.1.2★从2，4，6，…，30这15个偶数中任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34． 解析 把2，4，6，…，30这15个数分成如下8组（8个抽屉）； （2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）．

从2，4，6，…，30这15个数中任取9个数，即是从上面8组数中取出9个数．抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是34．

24.1.3★★在1，2，3， …，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过

32

； {}1，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，

{11，12，…，16}，{17，18，…，25}， {26，27，…，39}，{40，41，…，60}． {61，62，…，91}，{92，93，…，100}．

从1，2，…，100中任取11个数，即是从上面10组中任取11个数，由抽屉原理知，其中

一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过

32

． 24.1.4★求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除． 解析 任何数除以3所得余数只能是0、1、2，分别构造3个抽屉：{0}、{1}、{2}．（1）若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除．（2）若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽

屉必包含有5132⎡⎤

+=⎢⎥⎣⎦

个余数，而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个

整数之和是3的倍数．（3）若这5个余数都能分布在其中的一个抽屉中，易知必有3个整数之和能被3整除．

24.1.5★★从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，才能使得其中一定有两个数，大的数是小的数的倍数． 解析 从1，2，…，20中取11，12，…，20这10个数，其中没有一个数是另一个数的

倍数．把1，2，…，20分成如下10组：{1，221⨯，221⨯，321⨯，421⨯}，{3，23⨯，223⨯}，{5，25⨯，225⨯}，{7，27⨯}，{9，29⨯}，{11}，{13}，{13}，{15}，{17}，{19}，从中任取11个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的倍数． 所以，至少任取11个数才能满足题意．

24.1.6★★在不超过100的正整数中任取55个不同的数，在这55个数中： （1）是否一定有两个数的差等于11？ （2）是否一定有两个数的差等于9？ 解析 （1）不一定，例如1~11，23~33，45~55，67~77，89~99这55个数中，任意两数的差都不等于11．

（2）一定．把1，2，…，100分成如下54组：

{1，10}，{2，11}，…，{9，18}，{19，28}，…，{81，90}，{91，100}，{92}，{93}，…，{99}．

从中任取55个数，一定有两个数取自同一组，它们的差等于9．

24.1.7★★证明：在任意的52个正整数中，一定可以找到两个数a 、b ，使得a b +或a b -能被100整除． 解析 把这52个正整数都除以100，考虑52个余数，若其中有两个相同，则它们的差能被10整除，若其中任意两个都不相同，则它们的差能被100整除，若其中任意两个都不相同，把0，1，…，99分成如下51组：

{1，99}，{2，98}，…，{49，51}，{0}，{50}．

从中任取52个数，车琮有两数（的余数）取自同一给，这两数的和或差能被100整除． 24.1.8★★某学校的初三年组的同学要从8名候选人中投票选举三好学生，规定每人必须从这8名候选人中任意选两名，那么至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5名同学投了相同的两个候选人的票？ 解析 从8个人中任意选2人，不同的选法共有

87228⨯÷=（种）

， 即有28个抽屉．由抽屉原理，当投票的人不少于 ()28511113⨯-+=人

时，就能保证必有不少于5名同学投了相同两个候选人的票．

而当112个人投票时，不一定有不少于5名同学投了相同两个候选人的票．

所以，到少有113人投票时，能保证必有不少于5名同学投了相同两个候选人的票． 24.1.9★在1，11，111，…，1

111n 个，…，中，是否有2007的倍数？

解析 答案是肯定的． 考虑以下2007个数： 1，11，111，…，20071

111个，

若它们都不是2007的倍数，则它们除以2007所得的余数中一定有两个是相同的，不妨设为1

111a 个和1

111b 个()12007a b <≤≤，于是

1

1

2007111111b a -个个，

1

200711110a b a -⨯个．

而（2007，10a ）=1，所以，1

2007111b a -个，这与1，11，111，…，20071

111个都不是2007的倍数

矛盾．

所以，在1，11，111，…，1

111n 个，…中，一定有2007的倍数．

24.1.10★★从任意给定的1999 个自然数中总可以找到k 个数，使得它们的和能被1999整除． 解析

设1999个自然数为1a ，2a ，…，1999a ，且构造下列2000个和：

0，1a ，12a a +，123a a a ++，…， 1231999a a a a +++

+．

因为任意一个自然数被1999除后，所得的余数可能是0，1，2，…，1998，共1999种．所以可将上述

2000个和按照被1999除后所得不同的余数分成1999个集合．由抽屉原理可知，至少有两个和，不妨 设为 123a a a +++， 12s t a a a a ++

++

+()11999s t <≤≤，

它们属于同一个集合，即它们分别被1999除后所得的余数相同，那么它们的差 12s s t a a a ++++

+

能被1999整除．从而本题得证．

24.1.11★★把圆周分成12段，将l ，2，3，…，11，12这12个数任意写在每一段内，使每一段恰好有一个数字．证明：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是20． 解析

如果记第1小段内填写的数是1a ，第2小段内填写的数是2a ……第12小段内填写

的数是12a ，

那么三个相邻小段填写的数字和可以有 123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++，