高二立体几何试题(详细答案)

高二数学立体几何

一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.)

1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则与的夹角等于

A ．90°

B ．30°

C ．60°

D ．150°

2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是

A ．0=+++OC O

B OA OM

B ．OM --=2

C ．413121++=

D ．0=++MC MB MA

3、下列命题不正确的是

A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；

C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；

D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为

①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是

A ．各侧面是正三角形

B ．底面是正方形

C ．各侧面三角形的顶角为45度

D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

6、若点A （42

+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为

A ．1，－4，9

B ．2，－5，－8

C ．－3，－5，8

D ．2，5，8

7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是

A ．2F+V=4

B ．2F －V=4

C ．2F+V=2 （

D ）2F －V=2

8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是

A ．239

B ．433

C ．233

D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

E 、

F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则

A ．θ=600

B ．θ=450

C ．5

2cos =θ D ．52sin =θ 10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积

之比是

A ．2∶π

B ．1∶2π

C ．1∶π

D ．4∶3π

11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则△BCD 是

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不确定

12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°],

则折后

两条对角线之间的距离的最值为

A ．最小值为43, 最大值为23

B ．最小值为43, 最大值为43

C ．最小值为41, 最大值为43

D ．最小值为43, 最大值为23 二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）

13、已知向量a r 、满足|a r | = 31，|| = 6，a r 与的夹角为3

π，则3|a r |－2（a r ·）+4|| =________； 14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P

－AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

15、若棱锥底面面积为2150cm ，平行于底面的截面面积是254cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，

则棱锥的高为 ；

16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ．

三、解答题：（本大题共6题，共46分）

17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，

PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。

（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；

（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；

（3）求AB 的中点M 到直线PC 的距离。

18．如图8-32，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1。

（1）求证：BE=EB 1；

（2）若AA 1=A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角（锐角）的度数。

19.已知边长为a 的正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G （如图7-28），将此三角形沿DE 折成二面角A ′—DE —B 。

（1）求证：平面A ′GF ⊥平面BCED ；

（2）当二面角A ′—DE —B 为多大时，异面直线A ′E 与BD 互相垂直？证明你的结论。

20.如图7-29，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，

AD=2，侧棱PB=15，PD=3。

（1）求证：BD ⊥平面PAD ；

（2）若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小。

21.如图7-30，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且N 位于△ABC 的高CD 上。AB=a,VC 与AB 之间的距离为h ，M ∈VC 。

（1）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角；

（2）当∠MDC=∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ；

（3）若∠MDC=∠CVN=θ（0<θ<2

π），求四面体MABC 的体积。 22.如图7-31，已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a,E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D 变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角（图7-32）。

（1）求直线D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值；

（2）求证：AD ′⊥BE ；

（3）求四棱锥D ′—ABCE 的体积；

（4）求异面直线AD ′与BC 所成的角。

高二数学立体几何 答案

一、选择题：

1、D

2、D

3、B

4、C

5、A

6、B

7、B

8、B

9、C 10、C 11、C 12、B

二、填空题：

13、23 14、AB ∥CD 15、30cm 16、3π

三、解答题

17.解 （1）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，得△PAC 为等腰直角三角形，PC=CB=2。 在Rt △PAB 中，∠PBA=30°，∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形。

∵PA ⊥平面ABC ， ∴AC ⊥BC ，又AC ∩PC=C ，PC ⊥BC ，

∴BC ⊥平面PAC ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC 。

（2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 的面积为2

1，侧面PAB 面积值为23，侧面PCB 面积值为1，底面积值为2

2。三个侧面面积的算术平均数为633+。 ∵633+-2

2=62333-+，