1977年福建省高考数学试卷(文科)

1977年福建省高考数学试卷（文科）
一、解答题（共18小题，满分150分）
1．（6分）（1977•福建）计算．2．（6分）（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．
3．（6分）（1977•福建）化简．
4．（6分）（1977•福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．
5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．
6．（6分）（1977•福建）求\lim_{x→1}．
7．（6分）（1977•福建）求函数y=x2+2x﹣4的最小值．
8．（8分）（1977•福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．
9．（10分）（1977•福建）写出等比数列的通项公式．
10．（10分）求函数的定义域．
11．（10分）（1977•福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．
12．（10分）（1977•福建）解方程．
13．（10分）（1977•福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．
14．（10分）（1977•福建）把分母有理化．
15．（10分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米
面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
16．（10分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．
①求十一月、十二月份每月增长率；
②原计划年产拖拉机多少台？
17．（10分）（1977•福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程．18．（10分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间
的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．
1977年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、解答题（共18小题，满分150分）
1．（6分）（1977•福建）计算．
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：先依据有理指数幂的运算性质化简小括号里的结果，再计算中括号里的结果，从而得到最后的结果．
解答：
解：原式=5﹣3×[+1031×0]÷1=5﹣3×=5﹣3×（﹣）=7．
点评：本题考查有理指数幂的运算性质．
2．（6分）（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：综合题．
分析：根据余弦函数为偶函数化简后，把840°变为2×360°+120°，然后利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简可得值．
解答：解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．
点评：此题考查学生掌握余弦函数的奇偶性，灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，学生做题时注意角度的变换．
3．（6分）（1977•福建）化简．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
分析：本题是求算术平方根，开根号时要考虑2x﹣3大于0，还是小于0．
解答：解：根据算术根的定义，
当时，．
当时，．
点评：
本题考查公式：当n为奇数时，；当n为偶数时，
4．（6分）（1977•福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．
考点：平行线分线段成比例定理．
专题：计算题．
分析：由MN∥BC，因此可以用平行线分线段成比例定理建立已知量与未知量之间的关系式，解方程进行求解．
解答：解：设AM为x，
∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
，
x=1（cm）．
点评：如果题目的已知有平行关系，平行线分线段成比例定理建立已知量与未知量之间的关系是首选，也可利用平行得到相关三角形相似，再利用相似三角形的性质建立知量与未知量之间的关
系．
5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．
考点：对数函数的定义；对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．
解答：解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4
∴lg=4，
∴=10000
∴x=0.0003．
点评：本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运用了转化思想合为一个对数6．（6分）（1977•福建）求\lim_{x→1}．
考点：极限及其运算．
专题：计算题．
分析：
先把分母因式分解，然后消除零因子，把原式化简为，由此能求出的
值．
解答：
解：=．
点评：本题考查函数的极限和运算，解题的关键是消除零因子．
7．（6分）（1977•福建）求函数y=x2+2x﹣4的最小值．
考点：函数的值域．
专题：计算题．
分析：对于二次函数的最值问题，采用配方法解决．
解答：解：∵y=x2+2x﹣4=（x+1）2﹣5
∵（x+1）2﹣5≥﹣5，
∴y的最小值为﹣5．
点评：本题考查函数的最域，通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的最值方法．这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式．
8．（8分）（1977•福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．
考点：同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：根据角的范围及正弦值，利用平方关系求出角的余弦值，正弦值与余弦值之比即为要求的正切值．
解答：解：∵，
∴，
∴．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，关键是利用平方关系时依据角的范围选取符号．
9．（10分）（1977•福建）写出等比数列的通项公式．
考点：等比数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：先根据题意可知数列的首项和公比，进而根据等比数列的通项公式可得答案．
解答：
解：设等比数列为{a n}，依题意可知a1=﹣，q=﹣=﹣
∴．
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．
10．（10分）求函数的定义域．
考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．
解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0
解得1＜x＜2．
故函数定义域为（1，2）．
点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．
11．（10分）（1977•福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
分析：利用完全平方式分解，根据同角三角函数关系和二倍角公式逆用，得到要求结果，等式的证明有几种表达形式，从左边推到右边是最基本的推导过程．
解答：证：左边=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α+2sinαcosα．
=sin2α+cos2α=1．
∴左边=右边．
点评：证明三角恒等式的方法：（1）遵循化繁为简的原则，可以从“左边右边”，或从“右边左边”．（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．（3）依据等价转化思想，证明
与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
12．（10分）（1977•福建）解方程．
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：计算题；转化思想．
分析：方程中含有根式，一般平方去根号，故移向平方转化为整式方程求解即可，注意等价转化．
解答：解：移项得．
两边同时平方，得x2﹣16x+48=0，
x=12，x=4（增根）．
∴原方程的根为x=12．
点评：本题考查含有根式的方程的解法，属基本运算的考查，在求解中注意是否为等价转化．13．（10分）（1977•福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：直接按照一元二次不等式的解法解得即可．
解答：解：根据题意，
原不等式可化为（x﹣3）（x+2）＜0
解得﹣2＜x＜3．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．
14．（10分）（1977•福建）把分母有理化．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
分析：计算时，将根式里面的被开方数分母有理化，即可化简．
解答：
解：原式=．
点评：
化简时，注意到的有理化因式为
15．（10分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米
面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题．
分析：本题可以直接利用题目的条件求解．
解答：解：设地球仪的表面积为S，
则
所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．
点评：本题考查学生对公式的使用，是基础题．
16．（10分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一
月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310
台．正好比原计划增产21%．
①求十一月、十二月份每月增长率；
②原计划年产拖拉机多少台？
考点：一元二次不等式的应用．
专题：应用题．
分析：（1）要求十一月、十二月份每月增长率，我们可以使用待定系数法，即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再生产2310台，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可求出x的
值．
（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划生产量×增长率=增长量，求出原计划年产拖
拉机的台数．
解答：解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：
1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，
100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）
故十一月，十二月份平均每月增长率为10%；
②设原计划年生产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．
点评：这是一道方程的应用题，方程应用题一般需要如下步骤：①分析题意，从题目中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的未知数，建立方程③解方程求出未知数的值④将
值所代表的实际意义，将未知数的值还原到实际问题中．
17．（10分）（1977•福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程．
考点：抛物线的应用；圆的切线方程．
专题：计算题．
分析：把圆的方程与抛物线方程联立求得交点的横坐标代入抛物线方程求得交点的横坐标，进而根据交点分别求得过此点的抛物线和圆的切线方程．
解答：
解：解方程组
（1）代入（2）得x2+9x﹣36=0，
x=3，x=﹣12（不合题意）
将x=3代入（1），
得（仅取正值），
∴在第一象限的交点为（）
从抛物线y2=9x得
∴过点（）的抛物线的切线方程是
过点（）的圆的切线方程是
，
即．
点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线与圆的关系．要求学生对抛物线和圆的性质等基础知识要牢固掌握．
18．（10分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间
的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，
∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题．
分析：连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三角形．进而可求得∠BCP，∠CBP 和∠BPC，再通过正弦定理进而可求得CP，再在△APC中用余弦定理求得AP．
解答：解：连CB，AP．
∵∠CAB=60°，
AC=AB=50m，
∴△ABC为等边三角形．
于是，∠BCP=135°﹣60°=75°，
∠CBP=120°﹣60°，
∠BPC=180°﹣（75°+60°）=45°
由正弦定理，得
由余弦定理，可得AP2=AC2+CP2﹣2•AC•CP•cos135°
=
=
（m）
故A、P两点间的距离是米．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．。