第5章 空间问题的有限单元法√

(16)
为了将(16)式中的内部节点的位移列阵{δb}i从式中消去，首 先将上式展开


单元刚度矩阵为
[ K ]e

Ve
[ B]T [ D][B]dV
1 1 1

1 1 1
[ B]T [ D][B] J ddd
4.3 空间20节点六面体单元
用有限元法求解空间问题时，经常会选用二十节点六面体 等参数单元，这种单元不但具有较高的精度，而且能适应曲面 边界。取母单元与实单元如图所示，除了 8 个顶点节点外，每 个边的中点增加一个节点。
(7)
其中任一个子矩阵为
e e T [k mn ]3 V [ B ] 3 m [ D][Bn ]
(m,n i,j,r,s)
(8)
3 节点荷载向量 三维弹性体内如受有均布的体积力 (加重力)作用，对于常应变四 面体单元，可以计算出单元的全部体积力，再平均分配到四个节 点上, 即每个节点分配1/4的单元体积力。如果单元的某个表面作 用有均布的面积力（如气体压力），也可将此面上的全部面积力 平均分配到相应的三个节点上，即每个节点分配到三角面上面积 力总和的1/3。如果体积力、面积力不是均布的, 则不应该平均分 配，而应按做功等效的原则进行分配。即
由微分几何可知
d x y z x y z d i d j d k， d d i d j d k , x y z d d i d j d k，dV d d d J ddd
求出 1 , 2 , 3 , 4 ，代回(１)式 其中
Ni
xj ai xr xs 1 ci 1 1
u Niui N j u j N r ur N sus
yj yr ys xj xr xs zj zr zs zj zr zs 1 bi 1 1 1 di 1 1 yj yr ys xj xr xs zj zr zs yj yr ys
单元内应力为
{ } [ D][B]{ }T [S ]{ }T [[Si ] [S j ] [S r ] [S s ]] { }T
单元应变能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ue 1 1 { }T { }dV { }T [ D]{ }dV 2 V 2 V 1 eT [ B]T [ D][B] e dV 2 V 1 eT [ B]T [ D][B]dV e V 2


(5)

其中单元刚度矩阵
[ K ]e

V
T e T [ B ] [ D ][ B ] d V V [ B ] [ D][B] e
(6)
按节点分块，单元刚阵可以表示为
kii k ji [ K ]e k ri k si kij k jj k rj k sj kir k jr k rr k sr kis k js k rs k ss
i 1 i 1
8
8
其中形函数为
1 N i (1 i )(1 i )(1 i ) , (i 1,2,,8) 8
应变为
x 0 0 { } y 0 z 0 y 0 x z 0 0 x 0 0 u 0 z v 0 w y 0 y x z 0 y 0 x z 0 0 0 z N { }e B { }e 0 y x
位移场的选取如下图所示，取完全三次多项式后，再对称地取 四次多项式。
按照前述的推导过程，得出形函数为
N i (1 i )(1 i )(1 i )( i i i 2) i2 i2 i2 / 8 (1 2 )(1 i )(1 i )(1 i2 ) i2 i2 / 4 (1 i )(1 2 )(1 i ) i2 (1 i2 ) i2 / 4 (1 i )(1 i )(1 2 ) i2 i2 (1 i2 ) / 4
第４章 空间问题的有限单元法
常应变四面体单元 2. 空间8节点等参单元 3. 空间20节点等参单元 4. 子结构法
1.
4.1 常应变四面体单元
１位移模式 在空间问题中，任一点位移为
{d} {u v w}T
对于每一个节点的位移
{δi } {ui vi wi }T ， (i, j, r , s)
单元的节点位移
{ i } {ui vi wi u j v j w j ur vr wr us vs ws }T
位移函数
u 1 2 x 3 y 4 z v 5 6 x 7 y 8 z v 9 10 x 11 y 12 z
设如图 5 所示的结构，将其分为三个子结构Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，每一 个子结构的范围如红线所示。对每一个子结构，例如对子结构 Ⅰ而言，它的全部节点可分为边界节点（位于粗黑线 EAF 上和 红线EF上）和内部节点（位于细实线上）。边界节点的一部分 （如EF上的节点）和其它子结构共用，另一部分则位于整体结 构的边界上。
4.2 空间8节点等参单元
在空间问题中，通常可取四面体单元、六面体单元等．本节讨 论八节点六面体单元．选择形函数为如下形式：
u 1 2 3 4 5 6 7 8 v 9 10 11 12 13 14 15 16 w 17 18 19 20 21 22 23 24
位移场用插值函数表示
u
N u ,
i i i 1
8
v
N v ,
i i i 1
8
w
N w
i i 1
8
i
这里，插值函数可用体积坐标法或Serendipity法形成。 将上式写成
{d } [ N ]{ }e
单元内一点的坐标同样可表成
x N i xi ,
i 1
8
y N i yi , z N i zi
其中应变矩阵 [B]是形函数矩阵， [B]中任一个子矩阵 [Bl]的显式 应为 bl 0 0 0 c 0 l 1 0 0 dl [ Bl ] (4) (l i,j,r,s) 6V cl bl 0 0 d l cl d l 0 bl 可见，这里 [Bl] 的每项元素都是由节点坐标决定的常数。因而 四面体单元内，各点应变都是一样的，这是一种常应变单元。 这与平面问题简单三角形单元是相似的。由于单元位移都假定 为线性变化，因而由位移一阶导数组成的应变自然就是常值。
{P}e {Q}
e

V s
T [ N ] { p}dV e
e
[ N ] {q}ds
T
(9)
其中，{P}e, {Q}e 为单元内分布体积力和分布面积力分配到单元 节点的载荷，[N]为形函数矩阵，{p}, {q} 分别为单位体积力和单 位面积力， Ve, se 则为受有分布力的单元体积和面积。
设位移函数为
u 1 2 3 4 5 2 6 2 7 2 8 9 10 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 18 2 19 2 20 2
式中，[K]i，{R}i 分别为i子结构的刚度矩阵和荷载向量。 将（15）式写成分块矩阵形式
K aa K ba K ab K bb
i i { a } Ra , (i I, II,III) i { b } Rb i
(i 1 ~ 20)
以下的有限元推导过程同上面的方法一致，不再赘述。
4.4 子结构法
子结构方法不只适用于空间问题，同样也适用于平面问题和板 壳问题。因比本节在讲述用子结构方法处理问题的一般原理时， 并不特指具体结构和单元的形状。 用有限元法解弹性力学问题时，可以把一个规模较大的结构划 分为若干个规模较小的结构，每个较小结构称为一个子结构。 对每个子结构单独进行分析，然后把它们连接起来，这就是子 结构方法。
通过上述推导，得出位移函数为
{d} {u v w}T Ni I

N jI
Nr I
N s I { }e [ N ]{ }e (2)

２应变、应力和单元刚度矩阵 将表达式(2)代入几何关系式，经过微分运算，可以得到单元内 应变为 { } [ B]{ }T [ Bi B j Br Bs ] { }T (3)
由复合函数求导法则
N i x N i x N i x y y y z N i N i x x N z N i i J y y z N i N i z z
其中，应变矩阵
[ B] [ B1 ] [ B2 ] [ B3 ] [ B4 ] [ B5 ] [ B6 ] [ B7 ] [ B8 ]
应变矩阵的子块
N i x 0 0 [ Bi ] N i y 0 N i z 0 N i y 0 N i x N i z 0 0 0 N i z , (i 1,2,,8) 0 N i y N i x
1 (ai bi x ci y d i z ) (i, j, r , s) 6V
(i, j , r , s )
1 1 6V 1 1
同样地，位移 v, w 表为
xi xj xr xs
yi yj yr ys
zi zj zr zs
v N i vi N j v j N r vr N s vs w N i wi N j w j N r wr N s ws
(1)
将节点坐标分别代入第1式
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2 x j 3 y j 4 z j ur 1 2 xr 3 yr 4 zr u s 1 2 xs 3 y s 4 z s
设第 i 个子结构的边界节点的位移列阵为{δa}i，内部节点的位移 列阵为 {δb}i ，相应于该子结构的网格和所受外部载荷的情况， 可以建立它们的有限元方程组
i { } [ K ]i a i {R}i { b }
(i I, II,III)
(15)