名校高考数学模拟试题及答案
2024年9-10月新高考数学名校模拟大题汇编：立体几何(解析版)
2024年9-10月新高考数学名校大题汇编：立体几何大题必备基础知识梳理【知识点一：空间向量及其加减运算】(1)空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a也可以记作AB ，其模记为a或AB .(2)零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A 与终点B 重合时，AB=0.模为1的向量称为单位向量.(3)相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a .(4)空间向量的加法和减法运算①OC=OA+OB=a +b ，BA=OA-OB=a -b．如图所示.②空间向量的加法运算满足交换律及结合律a +b =b +a ，a +b +c =a +b +c【知识点二：空间向量的数乘运算】(1)数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积λa 称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a方向相同；当λ<0时，向量λa 与向量a 方向相反.λa 的长度是a的长度的λ 倍.(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律λa +b =λa +λb ，λμa =λμ a .(3)共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a ⎳b.(4)共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b b ≠0，a ⎳b的充要条件是存在实数λ，使a =λb.(5)直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线．对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP =OA +ta ①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB =a ，则式①可化为OP =OA +tAB =OA +t OB -OA =1-t OA +tOB ②①和②都称为空间直线的向量表达式，当t =12，即点P 是线段AB 的中点时，OP =12OA +OB ，此式叫做线段AB 的中点公式.(6)共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA=a，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量.(7)共面向量定理如果两个向量a ，b不共线，那么向量p 与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x ,y ，使p =xa +yb.推论：①空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ，使AP =xAB +yAC；或对空间任意一点O ，有OP-OA=xAB+yAC，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.②已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP =xOA +yOB +zOC (其中x +y +z =1)的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.【知识点三：空间向量的数量积运算】(1)两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ,b ，通常规定0≤a ,b ≤π，如果a ,b =π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ．(2)数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则a b cos a ,b 叫做a ，b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b =a b cos a,b．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，a ⋅a =a 2．(3)空间向量的数量积满足的运算律：λa ⋅b =λa ⋅b ，a ⋅b =b ⋅a (交换律)；a ⋅b +c =a ⋅b +a ⋅c(分配律)．【知识点四：空间向量的坐标运算及应用】(1)设a =a 1,a 2,a 3 ，b=b 1,b 2,b 3 ，则a +b=a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3 ；a -b=a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3 ；λa=λa 1,λa 2,λa 3 ；a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；a ⎳b b ≠0⇒a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3；a ⊥b⇒a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．(2)设A x 1,y 1,z 1 ，B x 2,y 2,z 2 ，则AB =OB -OA=x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1 ．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知a =a 1,a 2,a 3 ，b =b 1,b 2,b 3 ，则a =a 2=a 12+a 22+a 32；b =b2=b 12+b 22+b 32；a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；cos a ,b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32；②已知A x 1,y 1,z 1 ，B x 2,y 2,z 2 ，则AB=x 1-x 22+y 1-y 2 2+z 1-z 2 2，或者d A ,B =AB．其中d A ,B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．(4)向量a 在向量b 上的投影为a cos a ,b=a ⋅b b．【知识点五：法向量的求解与简单应用】(1)平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n ⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有m ⋅n =0．第一步：写出平面内两个不平行的向a=x 1，y 1，z 1 ，b=x 2，y 2，z 2 ；第二步：那么平面法向量n=x ， y ， z ，满足n ⋅a=0n ⋅b =0⇒xx 1+yy 1+zz 1=0xx 2+yy 2+zz 2=0．(2)判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b．若a ∥b，即a =λb，则a ∥b ；若a ⊥b，即a ⋅b=0，则a ⊥b ．②直线与平面的位置关系：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l ⊥α．若a ∥n ，即a =λn ，则l ⊥α；若a ⊥n ，即a ⋅n =0，则a ∥α．(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2．若n 1∥n 2，即n 1=λn 2，则α∥β；若n 1⊥n 2，即n 1⋅n 2=0，则α⊥β．【知识点六：空间角公式】(1)异面直线所成角公式：设a ，b分别为异面直线l 1，l 2上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos θ=cos a,b =a ⋅b a b．(2)线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin θ=cos a ,n=a ⋅na n．(3)二面角公式：设n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=n 1 ,n 2 或π-n 1 ,n 2(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos θ =n 1 ⋅n 2n 1 n 2．【知识点七：空间中的距离】求解空间中的距离(1)异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线a ，b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在a ，b 上任取A ，B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a ，b 的距离．则d =AB ⋅n |n |=|AB ⋅n ||n|即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．(2)点到平面的距离A 为平面α外一点(如图)，n为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|AH |=|AB |⋅sin θ=|AB |⋅|cos <AB ,n >|=|AB ||AB ⋅n |AB ⋅n =|AB ⋅n|nd =|AB ⋅n||n|【必考题型汇编】1.(湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第16题)如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,BC ⎳AD ,EF ⎳AD ,AD =4,AB =2,BC =EF =2,AF =11,FB ⊥平面ABCD ,M 为AD 上一点,且FM ⊥AD ,连接BD 、BE 、BM .(1)证明:BC ⊥平面BFM ;(2)求平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:因为FB ⊥平面ABCD ,又AD ⊂平面ABCD ,所以FB ⊥AD .又FM ⊥AD ,且FB ∩FM =F ,所以AD ⊥平面BFM .因为BC ⎳AD ,所以BC ⊥平面BFM .(2)解析:作EN ⊥AD ,垂足为N ,则FM ⎳EN .又EF ⎳AD ,所以四边形FMNE 是平行四边形,又EN ⊥AD ,所以四边形FMNE 是矩形,又四边形ADEF 为等腰梯形,且AD =4,EF =2,所以AM =1.由(1)知AD ⊥平面BFM ,所以BM ⊥AD .又AB =2,所以BM =1.在Rt △AFM 中,FM =AF 2-AM 2=10.在Rt △FMB 中,∴FB =FM 2-BM 2=3.由上可知,能以BM 、BC 、BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则A -1,-1,0 ,B 0,0,0 ,F 0,0,3 ,D -1,3,0 ,E 0,2,3 ,所以,AB =1,1,0 ,BF =0,0,3 ,BD =-1,3,0 ,BE=0,2,3 ,设平面ABF 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ,由m ⋅AB=0m ⋅BF =0,得x 1+y 1=0z 1=0 ,可取m =1,-1,0 ;设平面BDE 的法向量为n=x 2,y 2,z 2 ,由n ⋅BD=0n ⋅BE =0,得-x 2+3y 2=0-2y 2+3z 2=0 ,可取n=9,3,2 .因此,cos ‹m ,n›=m ⋅n m ⋅n=9-31+1⋅81+9+4=34747.依题意可知,平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值为34747.2.(辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第17题)如图,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C ⊥侧面AA 1B 1B ,侧面BB 1C 1C 是矩形,侧面AA 1B 1B 是菱形,∠BAA 1=60°,AB =2BC =2,点E ,F ,G 分别为棱AA 1,A 1C ,BB 1的中点.(1)证明:FG ⎳平面ABC ;(2)求二面角A 1-B 1C -E 的余弦值.方法提供与解析:解析:(1)证明:因为点E ,F ,G 分别为棱AA 1,A 1C ,BB 1的中点,连接EF ,EG ,则EF ⎳AC ,EG ⎳AB ,又因为EF ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,所以EF ⎳平面ABC ,同理可得EG ⎳平面ABC ,因为EF ∩EG =E ,EF ⊂平面EFG ,EG ⊂平面EFG ,所以平面EFG ⎳平面ABC ,因为FG ⊂平面EFG ,所以FG ⎳平面ABC .(2)解:侧面BB 1C 1C 是矩形,所以BC ⊥BB 1,又因为平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ,平面BB 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =BB 1,所以BC ⊥平面AA 1B 1B ,又BE ⊂平面AA 1B 1B ,因此BC ⊥BE .在菱形AA 1B 1B 中,∠BAA 1=60°,因此△AA 1B 是等边三角形,又E 是AA 1的中点,所以BE ⊥AA 1,从而得BE ⊥BB 1.如图,以B 为坐标原点,BE ,BB 1,BC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.因为AB =2BC =2,所以BE =AB sin60°=3,因此B 10,2,0 ,A 13,1,0 ,E 3,0,0 ,C 0,0,1 ,所以B 1C =0,-2,1 ,B 1E =3,-2,0 ,B 1A 1=3,-1,0 ,设平面EB 1C 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ,由m⊥B 1C,得-2y 1+z 1=0 ,令y 1=1,得m =23,1,2设平面A 1B 1C 的法向量为n=x 2,y 2,z 2 ,由n ⊥B 1Cn ⊥B 1A 1,得-2y 2+z 2=03x 2-y 2=0 ,令y 2=1,得n =33,1,2 ,cos ‹m ,n ›=m ⋅n m ⋅n =23+1+4193⋅163=171976,即二面角A 1-B 1C -E 的余弦值为171976.3.如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD ⎳BC ,BC =4,AB =AD =DC =AA 1=2,Q 为AD 的中点.(1)在A 1D 1上是否存在点P ,使直线CQ ⎳平面AC 1P ,若存在,请确定点P 的位置并给出证明,若不存在,请说明理由;(2)若(1)中点P 存在,求平面AC 1P 与平面ABB 1A 1所成的锐二面角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:(几何法)存在,证明如下:在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,因为平面ABCD ⎳平面A 1B 1C 1D 1,所以可在平面A 1B 1C 1D 1内作C 1P ⎳CQ ,由平面几何知识可证△C 1D 1P ≅△CDQ ,所以D 1P =DQ ,可知P 是A 1D 1中点,因为C 1P ⊂平面AC 1P ,所以CQ ⎳平面AC 1P .即存在线段A 1D 1的中点,满足题设条件.满足条件的点只有一个,证明如下:当CQ ⎳平面AC 1P 时,因为CQ ⎳平面A 1B 1C 1D 1,所以过C 1作平行于CQ 的直线既在平面A 1C 1P 内,也在平面A 1B 1C 1D 1内,而在平面A 1B 1C 1D 1内过C 1只能作一条直线C 1P ⎳CQ ,故满足条件的点P 只有唯一一个.所以,有且只有A 1D 1的中点为满足条件的点P ,使直线CQ ⎳平面AC 1P .(2)解析:(坐标法)过点D 作DF ⊥BC ,垂足为F ,又因为DD 1⊥平面ABCD ,以D 为坐标原点,分别以DA ,DF ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系D -xyz ,则A 2,0,0 ,P 1,0,2 ,C 1-1,3,2 ,A 12,0,2 ,B 3,3,0 ,P A =1,0,-2 ,PC 1 =-2,3,0 ,AB =1,3,0 ,AA 1=0,0,2设平面P AC 1的法向量为n=x ,y ,z ,则有n ⋅P A=0,n ⋅PC 1 =0,即x -2z =0,-2x +3y =0. 令x =23,得y =4,z =3,所以n=23,4,3 .设平面ABB 1A 1的法向量为m=x ,y ,z .则有AB ⋅m =0,AA 1 ⋅m =0,即x +3y =0,2z =0. 令x =3,得y =-1,z =0,所以m=3,-1,0 .所以cos n ,m =n ⋅m n m=6-4+0231=3131.故平面AC 1P 与平面ABB 1A 1所成的锐二面角的余弦值为3131.4.(福建泉州市2025届高中毕业班模拟检测(一)解析第16题)4:如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD =PC =CB =BA =12AD =2,AD ⎳CB ,∠CPD =∠ABC =90°,平面PCD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点.(1)求证:PD ⊥平面PCA ;(2)点Q 在棱P A 上,CQ 与平面PDC 所成角的正弦值为63,求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:由题意:BC =AB =2,∠ABC =90°,AC =AB 2+BC 2=22同理CD =22,又AD =4,CD 2+AC 2=AD 2,CD ⊥AC .而CD =22=PD 2+PC 2,即PC ⊥PD ,又平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD =CD ,AC ⊂平面ABCD ,AC ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,PD ⊥AC ,又PC ⊥PD ,且PC ⊂面PCA ,AC ⊂面PCA ,PC ∩AC =C ,PD ⊥平面PCA .(2)解析:以C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C 0,0,0 ,A 0,22,0 ,D 22,0,0 ,P 2,0,2 ,所以CD =22,0,0 ,CP =2,0,2 ,P A=-2,22,-2 ,设PQ =λP A 0<λ<1 ,有CQ =CP +λP A=21-λ ,22λ,21-λ ,取面PCD 的一个法向量m =0,1,0 ,则cos CQ ,m =22λ41-λ 2+8λ2=63,λ=12,故CQ =22,2,22.令n=x ,y ,z 是平面CDQ 的一个法向量,则n ⋅CD =0n ⋅CQ =0,即22x =022x +2y +22z =0,令y =1,有n =0,1,-2 ,则cos ‹n ,m › =n ⋅m n m=55,故平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值为55.5.(长沙市雅礼中学2025届高三上学期(9月)综合自主测试解析第17题)5:如图(1),在△ABC 中,CD ⊥AB ,BD =2CD =2AD =4,点E 为AC 的中点.将△ACD 沿CD 折起到△PCD 的位置,使DE ⊥BC ,如图(2).图(1)图(2)(1)求证:PB ⊥PC ;(2)在线段BC 上是否存在点F ,使得CP ⊥DF ?若存在,求二面角P -DF -E 的余弦值;若不存在,说明理由。
河北省“五个一”名校2024年高考数学押题试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45︒的方向上，B在C的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．422．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000 0震001 1坎010 2兑011 3依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．153．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C ．D7．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<8．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．139．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．16310．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直11．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ） A ．2534B ．1534C ．154D ．353412．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023金太阳全国100所名校最新高考模拟示范卷数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算． 【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集． 【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求． 【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小． 【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>， 所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确； 对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =， 则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义． 【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确； 令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确； 设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝， 所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分 当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分 两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分 当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分 （2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分 所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题． 【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分 整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分 （2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分 又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分 同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分 设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分 所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分 故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分 （3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想． 【解析】 （1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分 （2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分 设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分 所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立； 当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分 综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分 （2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-． 令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--． 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分 综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。
2025届江西省高中名校高考压轴卷数学试卷含解析
2025届江西省高中名校高考压轴卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12B ．21C ．24D ．362．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．124．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元{}{}A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤6．函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线22214x y b-=（0b >）的渐近线方程为30x y ±=，则b =（ ）A ．23B ．3C ．32D ．439．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．1410．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．711．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省高中名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
山东省高中名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李2．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)23．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④4．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613655．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．607．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）A ．74B ．94C ．52D ．28．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．439．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π10．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．111．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年河南省TOP二十名校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)+答案解析(附后)
2023年河南省TOP 二十名校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）1.已知集合，集合，则( )A.B.C.D.2.关于复数的下列命题中：，：，：，：，其中真命题为( )A.，B. ，C. ，D. ，3.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点，大海水深单位：与午夜后的时间单位：之间的关系为，则下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为( )A.B. C.D.4.已知一组样本数据，，…，，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为( )A.B.C.D.5.已知m ，n 为异面直线，平面，平面直线l 满足，，，，则( )A. 且B. 且C.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l 6.已知数列满足，是数列的前n 项和，若已知，的值为( )A. 322 B. 295C. 293D. 2707.在中，D 是AB 边上的点，满足，E 在线段CD 上不含端点，且，则的最小值为( )A.B.C.D. 88.已知圆O 的直径，若平面内一个动点M 与点A 的距离是它与点B 距离的倍，则的面积的最大值为( )A. 64B. 12C.D.9.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.B.C.D.10.F是双曲线C：的左焦点，O是坐标原点，直线与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.11.已知函数，当，时，，则的值为( )A. B. C. D.12.已知平面四边形ABCD中，，，将沿对角线AC折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.13.在的展开式中，按x的升幂排列的第三项为______ .14.单位圆O与x轴正半轴交于点M，A，B为单位圆上两点，，，，B位于第二象限，则______ .15.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向l引垂线，垂足分别为，，若，那么内切圆的半径为______ .16.已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是______ .17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D是AC边上一点，，求；求的最大值.18.已知三棱柱中，，，，E是BC的中点，F是线段上一点.求证：；设P是棱上的动点不包括边界，当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.19.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量单位：十盒，获得如下数据：日销售量/十盒78910天数812164假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.记每两天中销售草莓的总盒数为单位：十盒，求X的分布列和数学期望；以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？20.圆，圆心为A，点，作圆上任意一点M与B点连线的中垂线，交AM于求N的轨迹C的方程；设P为曲线C上任意一点，直线PA，PB分别交曲线C于Q，R两点，，，求的值.21.已知函数，若为R上的增函数，求a的取值范围；若在内恒成立，，求的最大值.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为上的动点，点Q满足，设点Q的轨迹为曲线，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.写出曲线的极坐标方程；直线，与曲线交于点不同于原点，与曲线C：交于点不同于原点，求的最大值.23.已知a，b，c均为正数，若，求证：；答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，集合，则故选：先求出集合M，集合N，利用并集定义能求出本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：复数，，故错误；，故正确；，故正确；，故错误．故选：根据已知条件，结合复数的运算，先对z化简，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由，知，所以下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为故选：根据导数的定义，结合导数的运算法则，即可得解．本题考查瞬时变化率的求法，理解导数的含义，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：把代入，得，则在样本点处的残差为故选：在已知线性回归方程中，取代入求得预测值，减去实际值即可得残差．本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由平面，直线l满足，且，所以，又平面，，，所以由直线m，n为异面直线，且平面，平面，则与相交，否则，若则推出，与m，n异面矛盾．故与相交，且交线平行于故选：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：数列满足，，，时，数列为等比数列，首项为64，公比；时，数列为等差数列，，公差故选：由数列满足，，，可得时，数列为等比数列，公比；时，数列为等差数列，，公差利用求和公式即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：，又，，又E在线段CD上不含端点，，且，，，当且仅当时，等号成立，的最小值为故选：根据向量共线定理的推论，可得，且，，再利用基本不等式，即可求解．本题考查向量共线定理的推论，利用基本不等式的应用，属中档题．8.【答案】D【解析】解：以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，设，由题意可得：，整理得：则M到AB所在直线的距离的最大值为，的面积的最大值为故选：以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出M的轨迹方程，可得M到AB所在直线距离的最大值，代入三角形面积公式得答案．本题考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，，，，，又，，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：直线方程为，可得，又，可得为底角为的等腰三角形，易得点P为，将P代入双曲线方程中可得：，又，，，，又，，，故选：根据题意易得为底角为的等腰三角形，从而可得点P为，将P代入双曲线方程中建立方程，再化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．11.【答案】D【解析】解：，，，即，①，，，②又，，③由①②③得：，整理得：故选：依题意，得，即，再结合，，分析得到，，从而可得答案．本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的性质的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图所示，取AC的中点M，AD的中点G，连接BM，MG，过点G作平面ACD，设点O为三棱锥的外接球的球心，连接OA，OB，设，球的半径为R，由已知可得：，，，，，，，，，，解得，，三棱锥的外接球的表面积为故选：如图所示，取AC的中点M，AD的中点G，连接BM，MG，过点G作平面ACD，设点O为三棱锥的外接球的球心，连接OA，OB，设，球的半径为R，由已知可得：，，，由，可得，根据，解得x，可得，即可得出三棱锥的外接球的表面积．本题考查了数量积运算性质、等边三角形与直角三角形的性质、球的表面积计算公式、方程思想方法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意多项式的展开式中按x的升幂排列第三项为含的项，即为故答案为：利用二项式定理的展开式，即可解出．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可知，，则为等边三角形，，则，，，故答案为：根据已知条件，结合三角函数的定义，推得，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．15.【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，，设，则根据抛物线的几何性质易知，，易知，，，，又根据抛物线的几何性质易得，可解得，，可得，，根据对称性，不妨设A在第一象限，，，，，又，，，又，设内切圆的半径为r，则根据等面积算法可得：，，解得故答案为：设，则根据抛物线的几何性质易知，从而可得，又易知，，从而得，再结合抛物线的几何性质，可求出，，从而可求出A，B的坐标，进而得，的坐标，从而可得的各边边长，最后再利用等面积法思想，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，等面积算法思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：由，，化为，分别令，，则，，可得函数在上单调递增，在上单调递减．由存在唯一的整数，使得，，即，解得，实数a的取值范围是故答案为：由，，化为，分别令，，，利用导数研究函数的单调性，结合存在唯一的整数，使得，即可得出关于a的不等式组，进而得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由正弦定理及知，，因为，所以，所以因为，所以，又，所以，整理得，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故的最大值为【解析】利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解；由，知，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得，再由平面向量数量积的运算法则，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，平面向量的线性运算与数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：，在底面ABC的射影是底面的中心，，，E是BC的中点平面ABC，则，在三棱柱中，，，，，平面，平面，解：连接AE，是等腰直角三角形，，建立以E为坐标原点，EA，EB，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：，，，，，即是等腰直角三角形，设底面BC上的高为h，则，要使的面积最小，则h最小，即PE是异面直线与BC的公垂线即可，即，是等腰直角三角形，是的中点，则，，，，设，则，即，得，，，即，，则，，，设平面的法向量为，由，，得，即，令，则，，即，设直线与平面所成角为，则，，即直线与平面所成角的正弦值为【解析】根据得到在底面ABC的射影是底面的中心，即平面ABC，利用线面垂直的性质进行证明即可．根据三角形的面积最小，得到P是的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：，，，，根据题意可得：X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，，，，，，，，所以X的分布列为：X 14 15 16 17 18 19 20P所以期望；当每两天进16十盒时，利润为，当每两天进17十盒时，利润为，，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．【解析】首先计算日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根据题意写出随机变量X的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；分别计算每两天进16十盒，17十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及期望在概率决策问题中的应用，属于中档题．20.【答案】解：由题，线段BM的垂直平分线交AM于点N，则所以，即点N在以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆上，所以，，，故点Q的轨迹方程为：设，，，，，直线PA的方程为，，与椭圆方程联立可得，，，，同理可得，由，，，同理可得，【解析】判断点N在以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆上，求出a、b，得到椭圆方程．设，，，求得直线PA的方程与椭圆方程联立可得，同理可求，又，同理可得，可求的值．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，属中档题．21.【答案】解：，，为R上的增函数，在R上恒成立，令，，，令，解得，可得函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，，的取值范围是在内恒成立，在内恒成立，化为，，令，，，，，当时，，函数在R上单调递增，时，时，不符合题意，舍去；当时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，令，则，，令，解得可得时，函数取得极大值即最大值，，的最大值为【解析】，，利用导数的运算法则可得，根据为R上的增函数，可得在R上恒成立，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出a的取值范围．在内恒成立，在内恒成立，化为，，令，，，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的参数方程为，消去参数可得曲线的普通方程为，设，，，又P为上的动点，，，点Q的轨迹曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为，即为；设，，则，，，，当，即时，【解析】根据题意先消去参数，可得曲线的普通方程为，再利用“相关点法“求出Q的轨迹曲线的普通方程，从而再将其化为极坐标方程，即可得解；利用极径的几何意义，三角函数的性质，函数思想，即可求解．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化，极径的几何意义，三角函数的性质，函数思想，属中档题．23.【答案】证明：，由柯西不等式得，，当且仅当等号成立，即，；，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，，，当且仅当时等号成立，故【解析】利用柯西不等式，即可证明结论；利用基本不等式，即可证明结论．本题考查不等式的证明，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
山东名校考试联盟2024 年 4 月高考模拟考试数学试题参考答案
-1-山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号12345678答案BCDADBBA8．【解析】因为球与三棱锥P ABC -的棱均相切，所以面ABC 截球得到的截面圆与ABC △的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与面ABC 垂直的直线上，又因为ABC △的内切圆半径恰为1，所以棱切球的球心即为圆心，如图过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ,则1OH r ==，又因为2OA =所以PO =,所以2P ABC V -=．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号91011答案ACACDBCD11．【解析】对于A 选项：方法一：假设存在*k ∈N ，使1k a =，则1πsin12k k a a -==，因为[]10,1k a -∈，所以11k a -=，依次类推得，11a =，与已知111[,)32a ∈矛盾，所以A 选项错误．方法二：用数学归纳法证明，当1n 时，总有113n a < ．因为111[,32a ∈，所以1113a < ，设当n k =时，总有113k a < ，则πππ1π,sin 162222k k a a << ，即1113k a +< ，所以，当1n k =+时，总有1113k a +< ，-2-由数学归纳法知，当1n 时，总有113n a < ．所以A 选项错误．B 选项，要证数列{}n a 单调递增，只需证πsin2nn a a >，令()π1sin ([,1))23f x x x x =-∈，则()ππcos 122f x x '=-，()f x '在1[,1)3上单调递减，因为110,(1)1034f f ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在1[,1)3上存在唯一零点0x ，当01[,)3x x ∈时，()0f x '>，当0(,1)x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin 2f x x x =-在01[,)3x 上为增函数，在0(,1)x 上为减函数，因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0f x >，即πsin 2x x >，令n x a =，则有πsin 2n n aa >，B 选项正确．C 选项，要证13144n n a a ++ ，只需证π31sin 244n n a a + ，令()π31124sin ([43g x x x x =--∈，则()cos ππ3224g x x '=-，()g x '在[13,1)上单调递减，因为13(0,(1)034g g ''=>=-<，故()g x '在[13,1)上存在唯一零点1x ，当11[,)3x x ∈时，()0g x '>，当1(,1)x x ∈时，()0g x '<，所以()sin π31244g x x x =--在11[,)3x 上为增函数，在1(,1)x 上为减函数，因为1()(1)03g g ==，所以当1[,1)3x ∈时，总有()0g x ，即s π31244in x x + ，令n x a =，则有π31sin244n n a a + ，C 选项正确．A ，B ，C 三选项可通过数形结合直观观察：如图D 选项，令()π31sin ([,1))223h x x x x =-∈，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1[,1)3上单调递减，因为133()0,(1)0322h h ''=<=-<，所以()π3sin 22h x x x =-在1[,1)3上为减函数，-3-因为1()03h =，所以当π(0,)2x ∈时，总有()1()03h x h = ，即π3sin 22x x ，所以π3sin 22n n a a ，即132n n a a + ，整理得112n n n a a a +- ，其中1,2,3n =所以21132211,21,212n n na a a a a a a a a +---累加后得，1112n n a a S +- ，即1122n n a a S ++ ，D 选项正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省阳江市高中名校2025届高考数学全真模拟密押卷含解析
广东省阳江市高中名校2025届高考数学全真模拟密押卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 2．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1003．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-4．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-5．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论： ①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④6．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．168．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．2D ．479．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-210．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限11．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）A ．-3B ．-1C ．3D ．012．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题(含答案与解析)
山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A34B.38C.14D.182. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 取值为（ ） A. 2或4B. 2或3C. 4或5D. 3或56. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112.的7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ） A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 10. 如图，在直角三角形ABC中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y +=的11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________.13. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠大小； （2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD⊥；的（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积最大值.19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y ，记x y +的取值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p . （i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的.的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A.34B.38C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()4241632C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 故选：B2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()000,,0P x y x ≥，由题意可得02x =，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的准线为=1x -， 设()000,,0P x y x ≥，则024x +=，解得02x =， 所以013PF x =+=. 故选：C.3. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}【答案】D【解析】【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出a 的取值集合. 【详解】因为集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，所以一元二次方程()()210x ax --=有等根时，可得21x a==，即1a =±，当方程有两不相等实根时，20x a ==，即0a =， 综上，实数a 所有取值的集合为{}0,1,1-. 故选：D4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即()()2f x f x +=-， 又()()f x f x -=-，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+， 所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()20245064000f f f =⨯+==. 故选：A5. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3C. 4或5D. 3或5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：点P 的轨迹为以AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，且0a >， 因为PA PB ⊥，可知点P 的轨迹为以线段AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆， 又因为点P 在圆22:1C x y +=上，可知圆C 与圆M 有且仅有一个公共点，则CM r R =+或CM r R =-， 即41a =+或41a =-，解得3a =或5a =. 故选：D.6. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =， 又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =， 且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ）A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设2n n b a =， 则1212242b a a ====-，3213a a =+=，2432682b a a ====-，5417a a =+=，365214162b a a ====-，76115a a =+=，487230322b a a ====-，可归纳得：122n n b +=-，1222n n n a b +==-，所以11201022a b ==-. 故选：B8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据题意可得棱切球球心即为底面正三角形的中点O ，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC 垂直的直线上，又因为底面边长为所以底面正三角形的内切圆的半径为1tan 3012r AB =︒⋅'==， 又因为球的半径1r =，即r r '=，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O ，如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ，则H 为棱切球在PA 上的垂足，的所以1OH r ==，又因为122cos30AB OA ===︒，所以1cos 2OH AOH OA ∠==, 因为()0,πAOH ∠∈，所以60AOH ∠=︒， 又由题意可知，PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥， 所以30POH ∠=︒所以cos30OH PO ===︒所以11232P ABC V -=⨯⨯=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，利用复数模的公式计算可判断A ；由虚部概念可判断B ；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C ；根据复数的减法的几何意义求解可判断D . 【详解】对于A ，因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-，所以z ==，A 正确； 对于B ，由上可知，z 的虚部为32-，故B 错误， 对于C ，因为33i 22z =+，所以13135i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 对于D ，记复数ω对应的点为(),A a b ，复数2z 对应的点为()1,3B -，则由21z ω-=可得1OA OB BA -==，即点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上，所以，OA 的最大值为11OB +=+，即ω的最大值为1+，D 错误.故选：AC10. 如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y += 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得O 为AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A ，建立平面直角坐标系，求出圆O的方程，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用坐标法判断B 、C ，由三点共线得到//BP BO，即可求出θ，从而求出x ，y ，即可判断D.【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，O ，所以()CB =，BO =，则01CB BO ⋅==- ，故B 错误； 又2AC==，所以圆O 的方程为221x y ⎛⎛-+-=⎝⎝， 设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，又)BC =，所以cos 0sin 1BP BC θθθ⎫⎫⋅=+⨯+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭ ，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BP BO，又BO =，cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭ ，sin cos θθ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即sin cos θθ=， 所以π4θ=，所以BP =，又)BC =，(BA =，且BP xBA yBC =+，即())x y=+=，所以==11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数证明πsin2x x >，π31sin 244x x >+和π3sin 22n n a a ≤均成立，从而可得BCD 正确.假设A 选项存在N*k ∈ ，使1k a =，则11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B ，要证数列{}n a 单调递增，只需要证πsin2nn a a >，令()π1sin,,123f x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππcos 122f x x ='-，()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()110,1103f f ''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭， 故()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点0x ，当01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()0,1x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin2f x x x =-在01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为增函数，在()0,1x x ∈上为减函数， 因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0f x >即πsin 2x x >， 令n x a =，则有πsin2n n a a >，故B 正确； 对于A ，假设存在N*k ∈，使得1k a =，则1ππsin sin 122k k a a +===， 所以11k a +=，所以11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，故A 错误； 对于C ，要证+13144n n a a ≥+，只需证π31sin 244n n a a ≥+， 令()π311sin,,12443g x x x x ⎡⎫=--∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 224g x x '=-，()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10344g f ⎛⎫=->=-⎪''< ⎝⎭， 故()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点1x ，当11,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，当()1,1x x ∈时，()0g x '<，所以()π31sin244g x x x =--在11,3x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭为增函数，在()1,1x 上为减函数，因为()1103g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0g x ≥即π31sin 244x x >+， 令n x a =，则有π31sin244n n a a >+，故C 正确； 对于D ，令()π31sin,,1223h x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10322h h ⎛⎫=-<=-⎪''< ⎝⎭， 故()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，因为103h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()103h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即π3sin 22x x ≤， 所以π3sin 22n n a a ≤，即132n n a a +≤， 整理得到：112n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =故21112a a a -≤32212a a a -≤，……112n n n a a a +-≤累加后可得1112n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________. 【答案】2 【解析】【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.【详解】因为43b =，所以3log 4b =， 所以23lg 32lg 2log 3log 42lg 2lg 3ab =⨯=⨯=. 故答案为：213. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,则两组数据混合后，新数据的平均数4267510x ⨯+⨯==，则新数据的方差()()2224662517591010s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：914. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数判断其单调性和最值，令()t f x =，整理得可得()2110t a t a +-+-=，构建()()211g t t a t a =+-+-，结合()f x 的图象分析()g t 的零点分布，结合二次函数列式求解即可.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，则()()11e xf x x -=-'，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；可知()f x 在(),1∞-内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()11f x f ≤=， 且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0； 作出()f x 的图象，如图所示，对于关于x 的方程()()11f x a f x +=+，令()1t f x =≠-，可得11t a t +=+，整理得()2110t a t a +-+-=， 且1-不为方程()2110t a t a +-+-=的根， 可知方程11t a t +=+等价于()2110t a t a +-+-=， 若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，可知()2110t a t a +-+-=有两个不同的实数根1212,,t t t t <， 且1201t t <<<或1201t t <<=或1201t t =<<， 构建()()211g t t a t a =+-+-，若1201t t <<<，则()()0101320g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得312a <<；若1201,1t t <<=，则()1320g a =-=，解得32a =， 此时方程为211022t t --=，解得121,12t t =-=，不合题意；若1201t t =<<，则()010g a =-=，解得1a =， 此时方程为20t =，解得120t t ==，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数值域（最值）问题求解．的（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）=45ADC ∠︒（22+ 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =由等腰三角形可得30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =，然后四边形面积分成BCD ABD S S + 即可求解. 【小问1详解】在ABC 中，AB BC ==，120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =，又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=， 因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒. 【小问2详解】在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD =+=+∠2sin ABD =+∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =+，即四边形ABCD 2+.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】【分析】（1）过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，分析可知PBC 为等边三角形，可得PF BC ⊥，结合面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得结果；（2）取线段AD 的中点N ，连接NF ，建系，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，求平面PAD 的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，由题意知：BCDM 为矩形，可得2,tan 60AMAM BC DM ====︒，由60PC PCB =∠=︒，则PBC 为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则PF BC ⊥， 又因为平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB ⋂平面ABCD BC =，PF ⊂平面PCB ， 可得PF ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PF AD ⊥. 【小问2详解】由（1）可知：PF ⊥平面ABCD ，取线段AD 的中点N ，连接NF ，则FN ∥AB ，2FN =， 又因为AB BC ⊥，可知NF BC ⊥，以F 为坐标原点，,,NF FB FP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()(),1,,0,0,3,A D P B ， 因为E 为线段PF 上一点，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，可得()()()2,,,0,DA DP BE a ==-=，设平面PAD 法向量(),,n x y z =，则2030n DA x n DP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令3x =-，则2y z ==-，可得()2n =--，由题意可得：cos ,n BE n BE n BE ⋅===⋅， 整理得2440a a -+=，解得2a =，所以当2EF =，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥. 【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解 【解析】的【分析】（1）求导可得()221ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x=->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【小问1详解】由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+内恒成立， 可知()f x 在()0,∞+内单调递减； 当0a >时，令()0f x ¢>，解得x >()0f x '<，解得0x <<；可知()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增； 综上所述：当0a ≤时，()f x ()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增. 【小问2详解】构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 由0x >可知10x +>， 构建()1e ,0x h x x x=->， 因为1e ,xy y x==-在()0,∞+内单调递增，则()h x 在()0,∞+内单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭， 在可知()h x 在()0,∞+内存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<； 当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增， 则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0xx -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=， 即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值. 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）设2001,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为20012y x x x =-，与椭圆方程联立，结合韦达定理求AB ，代入02x =即可得结果； （2）根据题意可知：点G 为OAB 的重心，进而可得13GABOAB S S ==△△.【小问1详解】 由²2x y =可得21,2y x y x '==， 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可知直线l 的斜率0k x =， 可知切线方程为()200012y x x x x -=-，即20012y x x x =-，联立方程200221212y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()22340001212202x x x x x +-+-=，可知()()62442000001Δ4421228402x x x x x ⎛⎫=-+-=--->⎪⎝⎭，解得(011x -<<+，设()()1122,,,A x y B x y ，则4300121222001222,2121x x x x x x x x -+==++，则AB == 若P 的坐标为()2,2，即02x =，所以AB ==.【小问2详解】因为点O 到直线2001:02l x x y x --=的距离d =，由题意可知：点G 为OAB的重心，且(()(01,00,1x ∈-+⋃+，可知1111133232GAB OABS S d AB==⨯⋅=⨯=2212⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=x=所以GAB△.【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y，记x y+的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望()E X；（2）记第n秒末粒子回到原点概率为n p.的（i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的. 【答案】（1）见解析 （2）（i ）30p =；4964p =；()()2242!116!n nn p n ⎡⎤⎣⎦=（ii ）见解析 【解析】【分析】（1）求出求X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 分布列，再由数学期望公式求出()E X ； （2）（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii ）利用题目条件可证明()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案. 【小问1详解】粒子在第2秒可能运动到点()()()1,1,2,0,0,2或()()()0,0,1,1,1,1--或()()()1,1,2,0,0,2----的位置，X 的可能取值为：2,0,2-，()412164P X =-==，()810162P X ===，()412164P X ===， 所以X 的分布列为：X2- 02P141214()()1112020424E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：()a 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有44A 种情形；()b 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有242C 种情形； 于是424444A +2C 9464p ==， 第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，故()()()22222222202!C C C 144!!k k n kn nn n k n kn n n k k n p k n k ---====⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()()()()2222222002!!11C C C 44!!!n nn k n kn n n n n k k n n n k n k -====⋅⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()222222011C C C 44nn k n n n n n n k ==⋅=⋅∑.故()()()()222222422!111C C 41616!n n n n n n nnn p n ⎡⎤⎣⎦=⋅==.（ii146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可知：()()22222!e C!nn nn n n ⎫=>=⎣⎦于是()222211C 46n n n n p n=⋅>， 令()()ln 1,0f x x x x =-+>，()11011x f x x x=-=>++'， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，于是()()ln 10x x x >+>，从而有：()21111111ln 1ln 1666n nn n k k k k S p n k k ===⎛⎫=>>+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 即[]x 为不超过x 的最大整数，则对任意常数0M >，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，6e 1M n >-，于是()1ln 16n S n M >+>, 综上所述，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，n S M >成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii ）的关键点在于利用146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可得()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案.。
河南省中原名校2024届高三下学期高考考前全真模拟考试 数学试题【含答案】
2024届高三考前全真模拟考试数学（120分钟150分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．24(1)x +的展开式中，系数最大的项是（）A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项2．设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量1e ，2e 不共线，实数x ，y 满足1212()()3x y e x y e e e -++=+，则2x y +=（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-4．函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A ．B ．C ．D ．5．若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆221164x y +=的一个顶点，则p 的值为（）．A ．2B ．3C ．4D ．86．已知函数()f x ax x =的图象经过点()2,8，则关于x 的不等式()()2940f x f x +-<的解集为（）A ．()(),41,-∞-+∞UB ．()4,1-C ．()(),14,-∞-⋃+∞D ．()1,4-7．已知()sin f x x =，集合[,22D ππ=-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 与函数()f x 满足：（1）()f x 的定义域为R ；（2）数列{}n a 与函数()f x 均单调递增；（3）*n ∃∈N 使()n n S f a =成立，则称数列{}n a 与函数()f x 具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：①21n a n =+与()f x x =具有“单调偶遇关系”；②2n n a =与()22f x x =-具有“单调偶遇关系”；③与数列{21}n +具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；④与数列{}2n具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.其中所有正确结论的序号为（）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的命题（）A ．回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点B ．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C ．用相关系数||r 来刻画回归效果，||r 越接近0，说明模型的拟合效果越好D ．若随机变量()23,N ξσ~，且()60.84P ξ<=，则()360.34P ξ<<=10．已知曲线()32222:4C x y x y +=，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 只有两条对称轴C ．(){}22,1C x y xy ⊆+≤D ．(),99C x y x y ⎧⎪⊆≤≤⎨⎪⎪⎩⎭11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（）A ．MN 的最小值为2B ．四面体NMBC 的体积为43C ．有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直D ．存在点,M N ，使MBN △为等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为2:3:5，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为.13．设1a ，2a ，3a ，…，7a 是1，2，3，…，7的一个排列．且满足122367a a a a a a -≥-≥≥- ，则122367a a a a a a -+-++- 的最大值是14．关于函数()1sin sin x a x xf =+有如下四个命题：①()f x 的图像关于y 轴对称．②()f x 的图像关于直线π2x =对称．③当a<0时，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．④当0a ∃>，使()f x 在区间()0,π上有两个极大值点．其中所有真命题的序号是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数32()5f x x ax bx =+++（其中常数,R a b ∈），()13f '=，2x =-是函数()f x 的一个极值点.(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在[]0,1上的最值.16．如图，六面体1ABCD EFGD -是直四棱柱1111ABCD A B C D -被过点1D 的平面α所截得到的几何体，1DD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,2, 3.DD AE CG ===₁(1)求证:1AC D F ⊥；(2)求平面.1EFGD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；(3)在线段DG 上是否存在一点P ，使得1//?AP EFGD 平面若存在，求出DPDG的值；若不存在，说明理由.17．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；(2)求甲获得冠军的概率；(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.18．已知椭圆22:12x C y +=，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点.(1)若椭圆上点P 满足212PF F F ⊥，求1PF 的值；(2)点A 为椭圆的右顶点，定点(),0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；(3)已知m 为常数，过点2F 且法向量为()1,m -的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R 满足 OR OM ON λμ=+uuu r uuur uuu r（R λμ∈，），求λμ的最大值.19．对于无穷数列{}n a ，设集合*{|,N }n A x x a n ==∈，若A 为有限集，则称{}n a 为“—T 数列”．(1)已知数列{}n a 满足12a =，*11(2,N 1n n a n n a -=≥∈-），判断{}n a 是否为“—T 数列”，并说明理由；(2)已知()364f x x x =+-+，数列{}n a 满足*1(),N n n a f a n +=∈，若{}n a 为“—T 数列”，求首项1a 的值；(3)已知()sin πn a t n =，若{}n a 为“—T 数列”，试求实数t 的取值集合．1．C【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解.【详解】因为24(1)x +的展开通项公式为24124C rrr T x-+=，又当12r =时，1224C 取最大值，则系数最大的项是第13项12121324C T x =．故选：C.2．C【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C.3．A【分析】由已知结合平面向量基本定理可求x ，y ，进而求出答案.【详解】由1e ，2e 不共线，实数x ，y 满足1212()()3x y e x y e e e -++=+，得13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2x =，1y =，所以24x y +=.故选：A 4．D【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsinππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，故选：D ．5．D【分析】分别求出抛物线的焦点和椭圆的右顶点坐标，得42p=，即可求解.【详解】由题意知，22y px =（0p >）的焦点为(,0)2p，221164x y +=的右顶点为(4,0)，所以42p=，解得8p =.故选：D 6．C【分析】根据图象经过点()2,8得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.【详解】由题意知()248f a ==，解得2a =，所以()2f x x x =，其在R 上单调递增，又因为()()22f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，()()93f x f x =，所以不等式()()2940f x f x +-<可化为()()()22344f x f x f x <--=-，于是234x x <-，即2340x x -->，解得4x >或1x <-.故选：C ．7．A【分析】根据()sin f x x =是奇函数，可以分析出当(),Γx y ∈时(),Γx y --∈，所以集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；结合集合Γ代表的曲线及不等式的范围可以确定集合Ω表示的平面图形，从而求得面积，与2512π进行比较.【详解】对于()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，集合[,]22D ππ=-关于原点中心对称，且函数()sin f x x =是奇函数，若(),Γx y ∈则()()20f x f y +=则()()()()()()2220f x f y f x f y f x f y ⎡⎤-+-=--=-+=⎣⎦，即若(),Γx y ∈则(),Γx y --∈，即集合Γ表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；对于()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈，由()()20f x f y +=即2sin sin 0x y +=知sin 2sin y x =-，设sin ,,22t y y ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，则t 与y 一一对应且t 随y 的增大而增大，[]11t ,∈-，又由2sin t x =-知[]112sin 1,1,sin ,22x x ⎡⎤-∈-∈-⎢⎥⎣⎦，结合,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦知在,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦范围内，t 与x 一一对应且t 随x 的增大而减小，所以在,,,6622x y ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦范围内，y 与一一对应且y 是关于x 的减函数，由①可知2sin sin 0x y +=图象关于原点中心对称，所以可得到2sin sin 0x y +=在,,,6622x y ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的图象，如图代入点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭可得2sin sin 3022ππ+=>，所以2sin sin 0x y +≥的区域是右半部分，面积为正方形面积的一半，即集合Ω表示的平面图形的面积221152212S =⨯π⨯π=π>π，故②是假命题.故选：A.【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.8．D【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，()f x kx b =+可判断③；令()n n f a a λ=，通过计算可判断④．【详解】对于①：数列{}n a 中，由21n a n =+可知任意两项不相等，()f x x =定义域为R 满足（1），数列21n a n =+和()f x x =均单调递增满足（2），数列{}n a 的前n 项和2(321)22n n n S n n ++==+，由()n n S f a =得2221n n n +=+，解得1n =，所以*n ∃∈N 使()n n S f a =成立，满足（3），故①正确；对于②：数列{}n a 中，由2n n a =可知任意两项不相等，()22f x x =-定义域为R 满足（1），数列2n n a =和()22f x x =-均单调递增满足（2），n a 的前n 项和122n n S +=-，由()n n S f a =得122222n n +-=⨯-恒成立，所以*n ∃∈N 使()n n S f a =成立满足（3），故2n n a =与()22f x x =-具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；对于③：以一次函数为例，()f x kx b =+，22n S n n =+，()n n S f a =，即22(21)n n k n b +=++，整理得2(22)()0n k n k b +--+=，只要方程有正整数解且0k >即可，如方程中取1n =，则有33k b =+，即13bk =-，对b 进行不同的取值即可保证数列{21}n +具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；对于④：中122n n S +=-令()n n f a a λ=．由()n n S f a =得1222n n λ+-=⨯，取222nλ=-，即可保证()n n S f a =恒有解，故选项④正确．故选：D ．【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令()n n f a a λ=，通过举例达到解决问题的目的.9．BD【分析】利用回归直线的性质判断A ；利用波动性判断B ；利用相关系数的意义判断C ；利用正态分布的对称性计算判断D 作答.【详解】对于A ，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,x y ，不一定过样本点，A 错误；对于B ，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，B 正确；对于C ，用相关系数r 来刻画回归效果，r 越接近1，说明模型的拟合效果越好，C 错误；对于D ，随机变量()23,N ξσ~，则()()3660.50.840.50.34P P ξξ<<=<-=-=，D 正确．故选：BD 10．ACD【分析】根据方程的特征可判断ABC 的正误，利用极坐标和导数可判断D 的正误.【详解】设(),P x y C ∈，则(),Q x y C ±±∈，故曲线C 关于原点对称，且关于,x y 轴对称，又(),Q y x C ±±∈，故曲线C 关于直线y x =±对称，故A 正确，B 错误.因为()322224x yx y +=，故()22322224x y x y⎛⎫+ ⎝+⎪⎭≤，故221x y +≤，故C 正确．对于D ，令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，则曲线C 的极坐标方程为sin 2r θ=．故222cos x r θ=244sin cos θθ=()222222cos cos cos θθθ=-⋅⋅32162327⎛⎫≤⨯=⎪⎝⎭，所以||x ≤||y ≤，故选项D 正确．故选：ACD 11．ABD【分析】由公垂线的性质判断A ；由线面平行的性质判断B ；举反例判断C ；设1D M =(02)λ≤≤，1(02)C N t t =≤≤，由等边三角形三边相等，判断D ．【详解】对于A ：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11C D ⊥平面11ADD A ，11C D ⊥平面11BCC B ，又因为1AD ⊂平面11ADD A ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111C D AD ⊥，1111C D B C ⊥，即11C D 是1AD 与11B C 的公垂线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当,M N 分别与11,D C 重合时，MN 最短为2，故A 正确；对于B ：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且1AD ⊂平面11ADD A ，所以1AD 平面NBC ，可知，当点M 在1AD 上运动时，点M 到平面NBC 的距离不变，距离2h =，由11B C BC ∥可知，当点N 在11B C 上运动时，N 到BC 的距离不变，所以NBC 的面积不变，所以11142223323NB M NBC C V S h -==⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；对于C ：当,M N 分别与11,D C 重合时，1MN AD ⊥；当M 为1AD 中点，N 与1B 重合时，1MN AD ⊥，所以C 错误；对于D ：如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1D M =(02)λ≤≤，1(02)C N t t =≤≤，则(),0,2M λλ-，(),2,2N t ，()12,2,2B ，()2,2,0B ，222(2)4(2)MB λλ=-++-，224(2)BN t =+-，222()4MN t λλ=-++，因为MBN △为等边三角形，由22MB MN =，得2222(2)4(2)()4t λλλλ-++-=-++，得882t λλ-=-，即44t λλ-=，由22BN MB =，得2224(2)(2)4(2)t λλ+-=-++-，则224422(2)λλλ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即22(2(2)0)λλ--=，解得λ=2λ=，即4t λ⎧=⎪⎨=-⎪⎩22t λ=⎧⎨=⎩，故D 正确；故选：ABD ．12．0.047##471000【分析】借助全概率公式计算即可得.【详解】记事件B ：选取的产品为次品，记事件1A ：此件次品来自甲生产线，记事件2A ：此件次品来自乙生产线，记事件3A ：此件次品来自丙生产线，由题意可得()()()12321351,,10510102P A P A P A =====，1(|)0.06P B A =，2(|)0.05P B A =，3(|)0.04P B A =，由全概率的公式可得112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++133111121520470.047550102022510001000++=⨯+⨯+⨯===，从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为0.047.故答案为：0.047.13．21【分析】根据题意，分析可得满足条件的排列可以为1,7,2,63,5,4,，从而可解.【详解】要使122367a a a a a a -+-++- 的值最大，又且122367a a a a a a -≥-≥≥- ，所以排列可以为1,7,2,63,5,4,，则122367a a a a a a -+-++- 的最大值是65432121+++++=.故答案为：2114．②③【分析】对①，根据()()f x f x -=-即可判断①错误，对②，根据()()f x f x π-=即可判断②正确，对③，根据复合函数的单调性即可判断③正确，对④，对a 进行分类讨论，利用导数求解其极值即可判断④错误.【详解】对①，()1sin sin x a x xf =+，定义域为{}|π,Z x x k k ≠∈，()()()()11sin sin sin sin x f x a x a x f x x-=-+=--=--，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故①错误.对②，()()()()11πsin πsin sin πsin f x a x a x f xx x -=-+=+=-，所以()f x 的图像关于直线π2x =对称，故②正确.对③令sin t x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，01t <<，sin t x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，()101y at t t =+<<，a<0，210y a t '=-<，1y at t=+在()0,1为减函数，所以当a<0时，()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确.对④，()22cos 1cos cos sin sin x x a x x a x x f ⎛⎫=-=- ⎝⎭'，当01a <<时，()0,πx ∈，210sin a x-<，所以π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为减函数，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为增函数，则()f x 无极大值，不符合舍去.当1a =时，()21cos 1sin x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，()0,πx ∈，210sin a x -≤，所以π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为减函数，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为增函数，则()f x 无极大值，不符合舍去.当1a >时，210sin a x -=在()0,π上有两个根12,x x ，且12ππ2x x <<<，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为增函数，2π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为减函数，()2,πx x ∈，()0f x ¢>，()f x 为增函数，即函数()f x 在()0,π上存在一个极大值点π2，不符合题意，故④错误.故选：②③15．(1)()32245f x x x x =+-+(2)最大值为5，最小值为9527【分析】（1）求出()f x '，由题意得()20f '-=，结合()13f '=得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可求得()f x 的解析式；（2）利用导数求出函数在[]0,1上的单调性，即可求出()f x 在[]0,1上的最值.【详解】（1）因为32()5f x x ax bx =+++，则()232f x x ax b =++'，则根据题意有：()1323f a b '=++=①，()21240f a b -=-+='②，联立①②有：3231240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：24a b =⎧⎨=-⎩，所以()32245f x x x x =+-+.经验证，()32245f x x x x =+-+满足题设.（2）因为()32245f x x x x =+-+，所以()2344f x x x '=+-，()0f x '=，即()()23443220x x x x +-=-+=，解得123x =，22x =-；所以当[]0,1x ∈时，22x =-不在定义域内，所以有：x 020,3⎛⎫ ⎪⎝⎭232,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()f x '-+()f x 5单调递减9527单调递增4由上表可知，()f x 在[]0,1上的最大值为5，最小值为9527.16．(1)证明见解析(2)23(3)存在，12DP DG =，理由见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得1DD AC ⊥，由AC BD ⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法求面面角即可；（3）设[]()0,1DP DG λλ=∈ ，由向量线性运算的坐标表示可得()2,2,3AP λλ=-，结合0⋅=AP n 计算即可求解.【详解】（1）连接BD ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，1//BF DD ，则点F 在平面1D DB 内.因为1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又1DD BD D =I ，所以AC ⊥平面1D DBF ，1D F ⊂平面1D DBF ，故1AC D F ⊥；（2）因为1DD ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以11,DD DA DD DC ⊥⊥，又底面ABCD 为正方形，所以DA DC ⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则1(2,0,2),(0,2,3),(0,0,4)E G D ，故()()112,0,20,2,1.D E D G =-=-，设平面1EFGD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100n D E n D G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z y z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则2,1x y ==，于是(2,1,2)n = .因为1DD ⊥平面ABCD ，所以()10,0,4DD =是平面ABCD 的一个法向量.设平面1EFGD 与平面ABCD 的夹角为θ，则11182cos cos ,343DD n DD n DD n θ⋅====⨯，所以平面1EFGD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为23；（3）存在一点P 使得//AP 平面1EFGD ，此时12DP DG =，理由如下：设[]()0,1DP DG λλ=∈ ，则()()()2,0,00,2,32,2,3AP AD DP AD DG λλλλ=+=+=-+=-，线段DG 上存在一点P 使得//AP 平面1EFGD 等价于0⋅=AP n ，即4260λλ-++=，解得12λ=，所以12DP DG =.17．(1)38(2)81128(3)37128【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解；（2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案；（3）分乙的决赛对手是甲，丙，丁，分析出各场比赛胜负情况，求出相应的概率，相加后得到答案.【详解】（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，∴乙连负两场的概率为1313428P =⨯=；（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，∴甲获得冠军的概率为：33233181()2()444128P =+⨯⨯=．（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，∴甲与乙在决赛相遇的概率为：3331113312744224442128P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：4111311111131115((42244424224442128P =⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯=，若乙的决赛对手是丁，和乙的决赛对手是丙情况相同，∴乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：275537128128128128++=．18．(1)322(2)2t ≥(3)224m +【分析】（1）设点()1,P t ，然后代入椭圆方程，即可求出2PF ，再根据椭圆定义求1PF ；（2）设(),S m n ，求出2ST ，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解；（3）设直线l 的方程为10x my --=，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据OR OM ONλμ=+求出R 的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值.【详解】（1）因为212PF F F ⊥，所以设点()1,P t ，则2112t +=，所以t =2PF =，所以12232222PF a PF =-=-=；；（2）设(),S m n ，则2212m n +=，m ⎡∈⎣，则()22222222212122m m ST m t n m tm t tm t =-+=-++-=-++，所以()2221212ST m t t =--+，m ⎡∈⎣，要m =2ST取最小值，则必有2t ≥，所以t ≥（3）设过点2F 且法向量为()1,m -的直线l 的方程为10x my --=，()()1122,,,M x y N x y ，联立221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210m y my ++-=，则12122221,22m y y y y m m --+==++，则()2121222242222m x x m y y m m -+=++=+=++，()222212121222222211222m m m x x m y y m y y m m m ---+=+++=++=+++，又()1212=,OR OM ON x x y y λμλμλμ=+++，又点R 在椭圆C 上，则()()22121212x x y y λμλμ+++=，所以()22222222112211222222x x x x y y y y λλμμλλμμ+++++=，即()()()2222221112122222222xy x x y y x y λλμμ+++++=，所以22222222222222m m m λλμμ⎛⎫-+-+++= ⎪++⎝⎭，所以2222222212222222m m m m m λλμμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以224m λμ+≤，即λμ的最大值为224m +.19．(1){}n a 是“—T 数列”；理由见解析.(2)12a =-；(3)Q t ∈.【分析】（1）由递推公式得到3n n a a +=，判断出12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合“—T 数列”的定义即可证明；（2）先利用单调性判断出()min 2f x =-，结合“—T 数列”的定义，分类讨论求出12a =-；（3）分类讨论：当t 为有理数时，设qt p=，结合“—T 数列”的定义，证明出符合题意；当t 为无理数时，利用反证法证明出不符合题意.【详解】（1）由题意得12a =，21a =-，312a =，42a =，51a =-……因此3n n a a +=.所以{}*1|,N 2,1,2n A x x a n ⎧⎫==∈=-⎨⎬⎩⎭为有限集，因此{}n a 是“—T 数列”；（2）()222,36441042,224x x f x x x x x x x +≥-⎧⎪=+-+=---≤<-⎨⎪--<-⎩所以在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，所以()()min 22f x f =-=-.当2x >-时，()22f x x x =+>（*），因此当12a =-时，()212a f a ==-，()322a f a ==-，即*2,N n a n =-∈，此时{}n a 为“—T 数列”，当12a ≠-时，()212a f a =>-，由（*）得()3222a f a a =>>-，()4332a f a a =>>-，因此1n n a a +>，{}n a 显然不是“—T 数列”，综上所述：12a =-；（3）当t 为有理数时，必存在*N ,Z p q ∈∈，使得q t p =，则()2sin π2sin π2πsin πn p n q q qa n p n qn a p p p+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈中元素个数不超过2p ，为有限集；当t 为无理数时，对任意*,N ,m n m n ∈≠，下用反证法证明m n a a ≠，若m n a a =，即()()sin πsin πt n t m =，则ππ2πt n t m k =+或πππ2πt n t m k =-+，其中Z k ∈，则2Q kt n m =∈-或22Q k t n m+=∈+，矛盾，所以m n a a ≠，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈必为无限集.综上，t 的取值集合是全体有理数，即Q t ∈．。
重庆市高中名校2025届高考数学一模试卷含解析
重庆市高中名校2025届高考数学一模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．32．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈3．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞5．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．226．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 8．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭10．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+11．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±12．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省严州名校2024届高三下第一次测试数学试题含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥3．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <5．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．357．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±8．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,29． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．18510．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．311．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=12．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届黑龙江省名校联盟高考模拟测试数学试题及答案
黑龙江名校联盟2024届高三模拟测试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足23i z z +=--，则z =（ ）A.2C.32.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（ ）A.1C.2D.3.已知集合,A B ，若{}3log 1A xx =∣…，且(]0,2A B ⋂=，则集合B 可以为（ ）A.{}24xx <∣ B.02x x x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∣…C.{yy =∣D.{x y =∣4.已知函数()()cos ,02,(0)x x f x x x π⎧⎪=⎨<⎪⎩…，则43f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A.2B.-2C.-4D.45.已知()()1,,,2a m b n == ，向量b 在向量a 方向上的投影向量为12a - ，且ab + 与向量()2,1--共线且方向相反，则（ ）A.1mn=- B.2m n +=C.2m n -= D.1mn =6.若,,A B C 分别为ABC 的三个内角，则“sin sin A B >”是“()cos cos 0A A C ++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若正四棱柱1111ABCD A B C D -与以正方形ABCD 的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）A.2πD.2π8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a a ==，且*2,n n ∀∈N …都有()114n n n S S S -+--=0，则（）A.{}12n n S S --是等比数列B.13,121,2n n n a n -=⎧=⎨+⎩…C.3,121,2n n n a n =⎧=⎨-⎩… D.548S =二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202320240,0S S <>，则下列结论正确的是（ ）A.{}n a 是递增数列B.10131012a a <C.1012n S S …D.10151008S S >10.关于函数()121cos 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，下列说法正确的是（ ）A.58x π=是函数()f x 的一条对称轴B.7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C.将曲线1sin22y x =向左平移38π个单位可得到曲线()y f x =D.函数()f x 在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知直线:220l ax y a -+-=与圆222:(4)(1)(0)C x y r r -+-=>相交于不同的两点,,M N O 为坐标原点，则（）A.直线l 过定点()2,2-B.()2,r ∞∈+C.当3r =时，[]4,6MN ∈D.当5r =时，CM CN ⋅最小值为-2512.在正四棱柱中11111,4,2,,ABCD A B C D AA AB E F -==分别为棱1,AB CC 的中点，记α为过1D EF 三点所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）A.异面直线EF 与直线1AA 所成角的余弦值为23B.α与平面11BCC B 的交线与1BC 平行C.截面α为五边形D.D 点到截面α三､填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos 1f x x x =-+，则当0x …时，()f x =__________.14.在平行四边形ABCD 中，()3,,,2BE ED CE AB AD λμλμλμ==+∈+=R__________.15.已知球O 的体积为323π，其内接三棱锥D ABC -的底面ABC 为直角三角形，且90ACB ∠= ，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为__________.16.已知()f x '为函数()f x 的导函数，且定义域均为R ，若函数12x f ⎛⎫+⎪⎝⎭'与()f x x -都是偶函数，写出函数()f x x的一个对称中心为__________；()()()()()()()()1121213131412023120241f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-++-+++-+='''''''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ __________.四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 公差与等比数列{}n b 公比相同，12361,4,3a b b a ==-=-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n c 是将数列{}n a 和{}n b 中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列{}n c 前60项的和60S .18.（本小题满分12分）已知函数()e ,xf x x x =∈R .（1）求函数()e xf x x =单调区间；（2）若过点()()1,P t t ∈R 可以作曲线()y f x =的3条切线，求实数t 的取值范围.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，,45,PB AD DAB CDA AD ∠∠⊥== ∥BC ，且24,AD PB AB ===，PD =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAB ；（2）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知圆()22:2210,R C x mx y m y m m -++-+-=∈.（1）证明：圆C 过定点；（2）当0m =时，点P 为直线:163x yl +=上的动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 面积最小值，并写出此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A ，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，且100m BD =，在B 处测得,46ABD CBD ππ∠∠==，在D 处测得23,34BDC ADC ππ∠∠==（,,,A B C D 均处于间一测量的水平面内）（1）求,A C 两处景点之间的距离；（2）栈道BD 所在直线与,A C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e ln,02xxf x a a =+<.（1）当e a =-时，求函数()f x 的极值；（2）证明：()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-⎪⎝⎭….参考答案与解析1.【答案】B【解析】依题意，令i,,z x y x y R =+∈，则i z x y =-，所以23i 3i z z x y +=-=--，所以1,1x y =-=，即1i z =-+，所以z == B.2.【答案】A【解析】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选A.3.【答案】D【解析】因为3log 1x ≤，所以03x <≤，所以集合(]0,3A =，对于A 选项，不等式24x <的解为(]2,0,2x A B <⋂≠，所以A 选项不合题意；对于B 选项，不等式02xx ≤-等价于()2020x x x -≠⎧⎨-≤⎩，解得[)(]0,2,0,2B A B =⋂≠，所以B 选项不合题意；对于C选项，{[)(]0,,0,2yy A B ∞==+⋂≠∣，所以C 选项不合题意；对于D选项，{(](],2,0,2x y A B ∞==-⋂=∣，符合题意，故选D.4.【答案】C【解析】依题意，44112cos cos cos ,413333222f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-=--==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，故选C 5.【答案】A【解析】依题意12a ba a aa ⋅⋅==- ，所以22112n m m +=-+①，又a b + 与向量()2,1--共线，()1,2a b n m +=++，所以()()1220n m -+++=②，由①②联立，解得11m n =-⎧⎨=⎩或711m n =-⎧⎨=-⎩，又a b + 与向量()2,1--方向相反，所以711m n =-⎧⎨=-⎩舍去，所以11m n =-⎧⎨=⎩，故选A6.【答案】C【解析】依题意可知，在ABC 中，由正弦定理可知sin sin a bA B=，若sin sin A B >，则a b >，于是A B >，且(),0,A B π∈，函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，又()cos cos A C B +=-，则()cos cos cos A A C B <-+=，所以满足充分性；且以上过程可逆，因此也满足必要性，故选C.7.【答案】B【解析】依题意，设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为a ，高为1h ，圆柱的高为2h ，则圆柱的底面，则有2212a h h π⎫=⎪⎪⎭，整理得122h h π=，正四棱柱与圆柱的侧面积之比= B.8.【答案】D【解析】依题意，因为()1140n n n S S S -+--=，即()11122422,2n n n n n S S S S S S n +---=-=-≥，又()21122230S S a a -=+-⨯=，所以12,2n n S S n -=≥，又113S a ==，所以数列{}n S 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以132n n S -=⨯，所以51234523,1,33612244832,2n n n a S a a a a a n -=⎧==++++=++++=⎨⋅≥⎩，故选D.9.【答案】AC【解析】依题意，()12023202310122023202302a a S a +==<，所以10120a <，()()1202410121013202420242024022a a a a S ++==>，所以101210130a a +>，所以101310120a a >->，所以数列{}n a 的公差大于0，且10131012a a >，所以A 选项正确，B 选项不正确；所以1012S 最小，即1012n S S ≤，所以C 选项正确；101510081015101410131012101110101009101270S S a a a a a a a a -=++++++=<，所以D 选项不正确，故选AC.10.【答案】ABD【解析】依题意，因为()121121cos 2cos 22424f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1515cos 24cos 22424x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令552,,,428k x k k Z x k Z ππππ-=∈=+∈，当0k =时，58x π=，所以58x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A 选项正确（另解：因为5121511cos 2cos4824822f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即当58x π=时，函数()f x 取得最大值，所以58x π=是函数()f x 的一条对称轴）；令572,,,4228k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈，当70,8k x π==，所以7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，所以B 选项正确（另解：因为7121717cos 2cos 0824822f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即78x π=是函数()f x 的零点，所以7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心）.对于C 选项，因为()15151313cos 2sin 2sin 2sin 2242422428f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又将曲线1sin22y x =向左平移38π个单位可得到曲线1313sin 2sin 22824y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项不正确；因为()1211313cos 2cos 26cos 2242424f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当,02x π⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则332,444x πππ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以函数()f x 的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以D 选项正确，故选ABD11.【答案】CD【解析】由直线220ax y a -+-=，可化为()()220a x y -+-+=，即直线l 过定点()2,2P ，所以A 选项不正确；因为直线l 与圆C 有总有两个公共点，可得点()2,2P 在圆C 内部，所以222(24)(21)r -+-<，解得r >，所以B 不正确；当3r =时，圆C 的方程为22(4)(1)9x y -+-=，可得圆心()4,1C ，又()2,2P则CP =，可得MN 长的最小值为4=，最大值即为直径6，所以C 选项正确；当5r =时，圆C 的方程为22(4)(1)25x y -+-=，则cos 25cos CM CN CM CN MCN MCN∠∠⋅=⋅=当直线l 过圆心()4,1C ，此时cos 1MCN ∠=-，可得cos AOB ∠的最小值-1，所以CM CN ⋅的最小值为-25故选CD.12.【答案】ACD 【解析】如图，对于A 选项，异面直线EF 与直线1AA 所成的角，即为直线EF 与直线1CC 所成角，连接EC ，则EFC ∠即为直线EF 与直线1CC 所成的角，在Rt EFC 中，1122FC CC ==，EC ==，则3EF ==，所以2cos 3FC EFC EF ∠==，所以A 选项正确；延长DC 交1D F 延长线于H ，连接EH 交BC 于I ，延长HE 交DA 延长线于K ，连接1D K 交1AA 于J ，则五边形1D FIEJ 即为平面1D EF 截该四棱柱得到的截面.即截面α为五边形，所以C 选项正确；α与平面11BCC B 的交线即为FI ，则FI ∥1D K ，又1BC ∥1111,AD AD D K D ⋂=，所以FI 与1BC 不平行，所以B 选项不正确；对于D 选项，由于1112HC HF FC HD HD DD ===，所以2HC CD ==，又14AE KA KE HD KD KH ===，所以23KA =，111ΔKD KH D H KD H ====为等腰三角形，KF ==，所以1ΔKD H的面积为1Δ112KD H S D H KF =⨯==设D 点到截面α的距离为h ，则11D DHK D D KH V V --=，11Δ111323D KH DK HD DD S h ⨯⋅⨯=⨯⨯即1181443233h ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⎪⎝⎭，解得h =D 点到截面α，所以D 选项正确，故选ACD.13.【答案】()cos 1f x x x =+-【解析】当()()0,0,cos 1x x f x x x >-<-=---+，又因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()cos 1f x f x x x -=-=---+，解得()cos 1f x x x =+-，又()00cos010f =+-=，所以当()0,cos 1x f x x x ≥=+-.14.【答案】54-【解析】依题意，可知4BD BE =，则()4CD CB CE CB -=- ，整理得13134444CE CD CB BA BC =+=- ，1344CE AB AD =-- 所以524λμ+=-15.【答案】25681【解析】设AB 的中点为1O ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，因为90ACB ∠= ，所以1O 为ACB 外接圆的圆心，即点1O 为四面体ABCD 的外接球过,,A B C 三点的截面圆的圆心，圆1O 的半径为r ，则2AB r =，因为22224AC BC AB r +==，所以22211222ABCAC BC S AC BC r +=⋅≤⋅=，当且仅当AC BC =时，取等号，即当且仅当ACB 为等腰直角三角形时，ACB 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设[)1,0,2OO x x =∈，则有2214,2x r DO x +==+，则()()()2232111112482423333333ABC ABCD V S DO r x x x x x x =⋅≤+=-+=--++四面体，令()321248(02)3333f x x x x x =--++≤<，则()()()2441232333f x x x x x ='--+=-+-，当203x <<时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 2256()381f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为25681.故答案为25681.16.【答案】()0,1；0【解析】依题意，因为()f x x -为偶函数，所以()()f x x f x x -=-+，即()()2f x f x xx-+=-，令()()f x h x x=，则()()2h x h x +-=，所以()h x 关于点()0,1对称，所以函数()f x x的一个对称中心为()0,1，因为12x f ⎛⎫+⎪⎝⎭'均为偶函数，所以1122x x f f ⎪''⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x '的图象关于直线1x =对称，即()()()()11,2f x f x f x f x '+=-+=''-'，又因为()()f x x f x x -=-+，所以()()11f x f x -=--'+'，所以()()2f x f x '+-='，()()()()22,422f x f x f x f x ''++''=+++=，所以()()4f x f x ='+'，即函数()f x '是周期为4的周期函数，()()411f f -='-'，即()()()()31,04f f f f =''-=''()()()()()()112,222,22f f f f f f ''+-=+-=='''-'，所以()()221f f '=-='()()312f f '+='，所以()()041f f '=='，所以()()242f f '+='所以()()1f x f x ⋅'+'也是周期为4的周期函数，()()()()()()112121313141f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-++-+++''''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'()()2023120241f f '='⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()1212123231f f f f f f f f =⋅+--+⋅+--+''''''''()()()()()()()()3434120232024202320241f f f f f f f f '⋅+--++⋅+-''''''-'()()()()()()()()1223202320244120242023f f f f f f f f =⋅'''''⋅+⋅+++-'''-()()()()()()()()()()5061223344520242025f f f f f f f f f f ⎡⎤='⋅+'''''''+''+-⎣⎦()()120242023f f '--'+()()()()()()()()()()()()506122334450110f f f f f f f f f f f f ⎡⎤=''''''''+'⋅+++'-'-'⎣⎦2023-()()()()()()()()()()506132*********f f f f f f f f ⎡⎤=⎦'''''''++-+-'-⎣()()()506221102023f f f =⨯⨯-+-'''-0=17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比为()0t t ≠，因为()362153b a b t a t -=⋅-+=-，即()4153t t -+=-，解得2t =，所以()2212121,22n n n n a n n b b -=+-=-==.（2）数列{}n b 中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,，而506099,119a a ==依题意可知新数列{}n c 的前60项中，数列{}nb 的项只有前6项，数列{}n a 有54项，所以()()601357107248163264S =+++++++++++()5411071262+=+3042=.18.【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()1x x x f x e xe e x =+=+'，令()0f x '>，解得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,∞-+令()0f x '<，解得1x <-，所以函数()f x 的单调递减区间是(),1∞--（2）由题意可得()()1e xf x x =+'，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e xk x =+⋅，所以切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+⋅-，将()1,P t 代入得()2001x t exx =-++.因为存在三条切线，即方程()2001x t e xx =-++有三个不等实数根，则方程()2001x t exx =-++有三个不等实数根等价于函数()0200,1x y t y e x x ==-++的图像有三个交点，设()()21e xg x x x =-++，则()()()12e xg x x x =--+'，当()2,1x ∈-时，()()0,g x g x '>单调递增；在(),2∞--和()1,∞+上，()()0,g x g x '<单调递减，()252e g -=-，当x <或x >时，()0g x <，画出()()21e xg x x x =-++的图象如图，要使函数()20,1x y t y exx ==-++的图像有三个交点，需()20g t <<，即250t e -<<，即实数t 的取值范围25,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，19.【解析】（1）连接BD ，因为45,4BAD AB AD ∠=== ，由余弦定理可得21622410BD =+-⨯= ，所以BD =，在PBD 中，2,PD PB BD ===，则222PD PB BD =+，所以PB BD ⊥，又,PB AD AD BD D ⊥⋂=所以PB ⊥底面ABCD ，依题意可知ABCD 为等腰梯形，AB =，可得2BC =，取AD 中点H ，连接BH ，则2,BC DH BC ==∥DH ，所以四边形BCDH 为平行四边形，DC ∥BH又2BH BA AH ===，所以BH AB ⊥，又,BH PB PB AB B⊥⋂=所以BH ⊥平面PAB ，所以DC ⊥平面PAB ，又DC ⊂平面PCD ，所以面PCD ⊥平面PAB .（2）解法1：如图，建立空间直角坐标系，())()()0,0,0,,,0,0,2B C D P ，)())2,,PC DC BC =-==，设平面PCD 法向量为(),,m x y z =，则20,0PC m z DC m ⋅=--=⋅==，取1z =-，得()1m =-同理，设面PBC 法向量为(),,n a b c =，则20,0PC m c BC n ⋅=-=⋅==，取1a =，得()1,1,0n =，由题意，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===设平面PCD 与平面PCB 的夹角为θ，则cos |cos ,|m n θ=〈〉=解法2：由（1）可知，PB ⊥平面,ABCD PB ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面ABCD ，过D 作DH BC ⊥，则DH ⊥平面PBC 垂足为,H PC ⊂平面PBC ，则DH PC ⊥，过H 作PC 的垂线，垂足为E ，连DE ，由于,,,,HE PC DH PC HE DH H HE DH ⊥⊥⋂=⊂平面DEH ，所以PC ⊥平面,DEH DE ⊂平面DEH ，故PC DE ⊥，则DEH ∠.2,PB BC AB CD ====，所以4BCP π∠=，sin1,1,sin44DH CD CH DH HE HC ππ======，cos HE DEH DE ∠===所以平面PCD 与平面PBC20.【解析】（1）依题意，将圆C 的方程()222210x mx y m y m -++-+-=化为()2241120x y y x y m ++-+--=令120x y --=，即12x y =-，则22(12)410y y y -++-=恒成立，解得1,0x y ==，即圆C 过定点()1,0（2）当0m =时，圆22:(2)5C x y ++=，直线:163x y l +=设(),P s t ，依题意四边形PACB的面积22PAC S S == ，当PA 取得最小值时，四边形PACB 的面积最小，又PA =，即当PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，圆心()0,2C -到直线:163x yl +=的距离即为PC 的最小值，即min min ||PC ==min S ==PACB面积最小值为，此时直线PC 与直线l 垂直，所以直线PC 的方程为22y x =-，与直线l 联立，解得()2,2P ，以PC 为直径的圆的方程为()()()2220x x y y -++-=即22240x y x +--=，又圆22:410C x y y ++-=，两式作差可得直线AB 方程2430x y ++=21.【解析】（1）由题意可知，在BCD 中，2,,10063CBD BDC BD ππ∠∠===所以2366BCD πππ∠π=--=，所以BCD 为等腰三角形，所以100BD DC ==，在ABD 中，2377,2,434121246ABD ADB BAD πππππππ∠∠π∠π==--==--=，100BD =，由正弦定理：sin sin BD ADBAD ABD∠∠=，即10012=，解得AD =在ACD中，3100,4AD DC ADC π∠===，由余弦定理：AC ==所以,A C两处景点之间的距离为（2）在BCD中，由余弦定理BC ==，在ABD 中，因为712ADB π∠=，71sin sinsin 12432ADB πππ∠⎛⎫==+== ⎪⎝⎭由正弦定理：sin sin sin BD AD ABBAD ABD ADB∠∠∠==，即10012=，解得50AB =()BD AC BD BC BA BD BC BD BA⋅=⋅-=⋅-⋅10010050=⨯-⨯(100150100501=⨯-⨯+0≠所以栈道BD 所在直线与,A C 两处景点的连线不垂直.注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.22.【解析】（1）当a e =-时，()()ln,0,2xxf x e e x ∞=-∈+所以()(),0,xef x e x x∞=-∈+'令()20xef x e x=+'>'在()0,∞+恒成立，所以函数()f x '在()0,∞+单调递增，且()10f '=，所以当()()0,1,0x f x ∈'<，函数()f x 在()0,1上单调递减；当()()1,,0x f x ∞∈+'>，函数()f x 在()1,∞+上单调递增；所以函数()f x 在1x =处取得极小值()()11ln2f e =+，无极大值；..（2）当0a <时，()()ln,0,2xxf x e a x ∞=+∈+所以()(),0,xaf x e x x∞=+∈+'.令()()()2,0xa g x f x g x e x==-'>'在()0,∞+恒成立所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，且当0x →时，()xa f x e x ∞=+→-'；当x ∞→+时，()x af x e x∞=+→+'，所以函数()xaf x e x=+'在()0,∞+存在唯一零点0x ，即()000000,x x a a f x e e x x '=+==-，且当()()00,,0x x f x ∈'<，函数()f x 在()00,x 上单调递减；当()()0,,0x x f x ∞∈+'>，函数()f x 在()0,x ∞+上单调递增所以函数()f x 在0x x =处取得极小值()000ln2xx f x e a =+要证不等式()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭成立，即证()022ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭成立，即000022ln2ln ln ln 222xx x a e a a a a a a x a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+++-=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦002ln x a a a x a -⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()002aa x a x -=+-+()0012a x ax ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()220a a ≥-+=当且仅当001x x =时，即01x =时，等号成立，所以()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.。
四川省南充市示范名校2025届高考数学倒计时模拟卷含解析
四川省南充市示范名校2025届高考数学倒计时模拟卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．513．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．1ln3,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7B ．14C ．28D ．846．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．612428．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1009．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) AB．12CD10．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．111．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞12．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广西南宁市部分名校高考模拟数学试卷(解析版)
广西名校高考模拟试卷数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.在试卷上答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知是等比数列，32a =，718a =，则5a =（）A ．10B ．10-C ．6D ．6-2．若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数a =（）A ．1B ．1-C ．1±D ．03．如图，有三个相同的正方形相接，若ABC α∠=，ACD β∠=，则αβ+=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π124．已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边AD 和BC 上，则该椭圆的离心率为（）A B C D 5．小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为23，走2级台阶的概率为13．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A ．49B ．427C ．913D ．36616．已知圆()22:44C x y -+=，点M 在线段y x =（03x ≤≤）上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（）.A ．πB ．2πC ．5π2D ．3π7．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，22PA AB BC ===，以CPAB 的交线长为（）A B ．4C D ．28．若函数()()222ln ln 2xf x a x e x a =--++存在零点，则a 的最小值为（）A ．1e -B ．eC ．2e -D ．2e 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，下列结论一定成立的有（）.A ．222sin sin sin ABC +<B ．()sin sin A B C +=C ．若A B >，则sin sin A B>D ．若π4A =，则ππ42B <<10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对(),0,x y ∞∀∈+，()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，则（）A ．1=0B ．()f x 有2个零点C ．()f x 在(),0∞-上单调递增D ．不等式()()210x f x -<的解集是()(),10,1∞--⋃11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，过棱,AB BC 的中点,E F 作正方体的截面，下列说法正确的是（）A ．该正方体外接球的表面积是48πB ．若截面是正六边形，则直线1B D 与截面垂直C ．若截面是正六边形，则直线1D B 与截面所成角的正弦值的3倍为2D ．若截面过1D 点，则截面周长为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．集合{(,)|2,N,N}x y x y x y +≤∈∈子集的个数是．13．设n 为正整数，()2na b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n =.14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，P 点为抛物线上任意一点，M 为圆()22:64E x y -+=上任意一点，则2PM MF +的最小值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos 1A B bC c-=+．(1)证明：2C A =；(2)记边AB 和BC 上的高分别为c h 和a h ，若:c a h h =，判断ABC V 的形状．16．已知函数2()ln (21)1f x x x ax a x =+-++，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对任意[)x a ∈+∞，，都有31()8f x a a --≥，求实数a 的取值范围.17．如图，在AOP 中，OA OP ⊥，2OA =，OP =将AOP 绕OP 旋转60︒得到BOP △，D ，E 分别为线段OP ，AP 的中点．(1)求点D 到平面ABP 的距离；(2)求平面OBE 与平面ABP 所成锐角的余弦值．18．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点(2,P (1)求C 的方程；(2)过点P 且斜率为()110k k ≠的直线l 交双曲线左支于点Q ，平行于l 的直线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，点A 在第一象限，直线AP 的斜率为2k .若四边形ABQP 为平行四边形，证明：12k k 为定值.19．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复．(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(2)记该同学第n 天选择绿豆汤的概率为n P ，证明：37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．。
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高考模拟试卷数学卷（本卷满分150分 考试时间120分钟 ）参考公式： 球的表面积公式柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径V =31h (S 1+21S S +S 2)锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =I ðA ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ． {}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23a =，3A π=，ABC ∆的面积为23，则b c += A ．4B ．6C ．8D ．105．设实数,x y 满足20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩1y z x +=，则 A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是A ．80-B ．40-C ．5D ． 107．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是 A ．120B ．110C ．310D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是A ．218πB ．518πC ．718πD ．1118π10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时，A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，zz=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；数列{}n a 的前n 项和n S =___________．13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是___________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．14．已知函数()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABC BC α=I 平面，1AB =，3BC =，56ABC ∠=π，平面α内一动点P 满足6PAB π∠=，则PC 的最小值是___________．三、 解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ．（Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC C A B A A A ===111，︒=∠90ABC ，︒=∠45BAC ，N M ,分别是B A CC 11,的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．20．（本题满分15分）已知函数()()21504a f x x x x=++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在点()14，处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．21．（本题满分152 个焦点与1个（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足113a =，212n n n a a a n +=+，*n ∈N ．证明：（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；（Ⅲ）212121n n n a n n -≤≤++，*n ∈N ． 2018年高考（或中考）模拟试卷数学参考答案与评分标准1．（原创）答案：B ．解析：因为{}|1A x x =>，所以{}|1U A x x =≤ð，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}|01UA B x x =<<Ið．2．（原创）答案：D ．解析：因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．（原创）答案：C ．解析：该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803+⋅⋅=．4．（原创）答案：B ．解析：由1sin 232S bc A ==得8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．5．（原创）答案：C ．解析：不等式组20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域影为如图的阴影部分，目标函数1y z x+=表示阴最部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有小值，无最大值．6．（原创）答案：A ．解析：二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()555315521221rrr rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()11452180C ⋅⋅-=-． 7．（原创）答案：D ．解析：从10个数中任取3个共有310120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有331C =种取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有331C =种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020+++=．8．（原创）答案：D ．解析：如图，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-u u u u r u u u u r，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22x y l y x y -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”． 9．（原创）答案：B ．解析：如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原点，则其终点在射线()()tan115y x x π=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫π ⎪⎝⎭，． 10．（原创）答案：A ．解析：因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x mn m--<=---，因此()f x x m n +<+．11．（原创）答案：12i -；1．解析：12i z =-，1z zz z==． 12．（原创）答案：2；21n -．解析：由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，1212112nn n S -=⋅=--．13．（原创）答案：()34，，5；()()225225x y -+-=． 解析：由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是()()225225x y -+-=．14．（原创）答案：2；10,ln 22⎡⎫+⎪⎢⎣⎭． 解析：()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x -'=-=，因此()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故11ln 222f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数()y f x a =-有一个零点．15．（原创）答案：120．解析：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310120C =组自然数解，故共有120种不同的排法．16．（原创）答案：222-．解析：令2a b x a b y +=⎧⎨+=⎩，显然,0x y >，则2a y xb x y =-⎧⎨=-⎩，所以2222222a b y x x y y x a b a b x y x y--+=+=+-≥-++，当2x y =，即2a b =时，等号成立． 17．（原创）答案：5．解析：如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为6π的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ∆为底角为6π的等腰三角形，所以33OB AB ==，当PB ABC ⊥平面时，3tan6PB AB π=⋅=，此时点P 的坐标为33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因此抛物线的方程为23y x =，点C 的坐标为⎫⎪⎭，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为222216534x y x x ⎛⎛-+=-+=-+ ⎝⎝，故PC ．18．（原创）（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．（2分）由sin 233y f x x ϕπ⎛π⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象过()0,1点得22,32k k ϕππ+=+π∈Z ．（4分） 又由0ϕ-π<<得6ϕπ=-．（6分）所以函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（8分） （Ⅱ）解：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,666x ππ5π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．（10分） 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（14分） 19．（原创）（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且MC AA NP ==121， 故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又⊂PC 平面ABC ，⊄MN 平面ABC ，因此//MN 平面ABC ． (6分)（Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形，故MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为︒=∠90ABC ，Q 是AC 的中点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以CQ A BQ A AQ A 111∆≅∆≅∆，则︒=∠=∠9011QC A QB A ，所以BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H，连结PMPH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角．设41=A A ．在APH ∆中，︒=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17=PH ．在MPH Rt ∆中，3,17==MH PH ，所以1085cos =∠MPH ．因此，直线1CN 与平面ABC． （15分）20．（原创）（Ⅰ）解：由()1g x x'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，处的切线方程为3y x =+．（2分）设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()0003()1f x x f x ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩得2000020153,4101,a x x x a x x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01.21.x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（6分）（Ⅱ）证明：令()()()2111354F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，所以函数()y F x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x >时，()102F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =时等号成立．（10分）令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()111x G x x x-'=-=，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．（13分）因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．（15分）21．（原创）c ，b =由2122S c b =⋅⋅==a =b （6分）（Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+，()2122113k AB x x k +=-=+．（8分）点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++．（10分）由以线段AB 为直径的圆截直线1x =得2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．（15分）22．（原创）（Ⅰ）解：2114399a =+=，2342409981a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭．（2分）（Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103a =>；（2）假设n k =时，0k a >，2120kk k a a a k+=+>；所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ．所以2120nn n a a a n+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列．（7分）（Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111111111422n n a a n n n n +-<<=---+，所以1111212na a n -≤--，故2121n n a n -≤+．（11分）由21121n n a n -≤<+得2122n nn n n a a a a a n n +=+<+，所以221n n a n >+，故211221n n n n n a a a a a n n ++-=>+，所以22111111111n n a a n n n n n +->≥=-+++， 因此11111n a a n-≥-，故21n n a n ≥+．（15分）。