数学中的最优化问题

“数学中的最优化问题”研究性学习

课题名称：数学中的最优化问题

指导老师：蒋行彪

组员：刘露冬漫(组长) 杨瑶万昕张瑞

课题界定：

研究内容：

研究背景：

研究目的：

研究方法：

研究步骤：

研究困难：

预期结果：

研究过程：

（一）利用函数

1、一次函数型

例1、某城市有20个志愿青年，联合开发郊区50亩土地，这些土地适宜种蔬菜、棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表：

请你设计一种方案，使每亩地都种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值最大？并求出这个最大值。

分析：本题以经济问题为背景，若设种水稻、棉花、蔬菜分别为x亩、y亩、z亩，则由题意可将总产值

w= f（x、y、z）转化为w关于x的一次函数关系式，从而利用x的范围，求出w的最大值。

解：设种x亩水稻（0＜x≤50），y亩棉花（0≤y＜50），z亩蔬菜（0≤y＜50）时，总产值为w万元且每个劳力都有工作，则有

由②，③得y=30－ x，z=20+ x。代入①得w=－x + 27。

又依题意可得4≤x≤50，x∈N 。而函数 w关于x在[ 4，50 ]上单调递减。∴当x=4时，w取最大值26.4。此时y=24 ，z = 22，从而x=1，y=8，z=11，

故方案是：安排1人4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时，农作物总产值最大，且所有劳力都有工作，最大总产值为26.4万元。

2.二次函数型

例2、（2003年北京春季高考卷）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?

（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?

解：（１）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为 12辆，以租出了车88辆

答：能租出88辆。

（２）设每辆车的月租金定为x（3000≤x≤8000）元，则租赁公司的月收益为y元

由题得：y=（100-（x-3000）／50）×（x-150）-50×（x-3000）／50，

整理得：y=-

所以当时，最大，其最大值为

答：当每辆车的月租金定为元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是元．

3、分段函数型

例3、（2008年湖北卷理）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.

解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V(t)=(-t2+14t-40)

化简得t2-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t 10，故0＜t＜4.

②当10＜t 12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,

化简得（t-10）（3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t 12,故 10＜t 12.

综合得0

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t)与V (t)的变化情况如下表：

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

【点评】（1）对于所建立的函数关系式是分段函数形式，求最值时其解法是先求在各段上的最大（小）值，然后进行综合比较，取其中较大（小）者，为所求最大（小）值。

4、三角函数型

例4、（09福建卷理）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定 MNP=120

（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最

长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解法一：

（Ⅰ）依题意，有，，又，。

当是，

又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN= ，则0°< <60°

由正弦定理得

,故

0°< <60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=

即故

从而，即，当且仅当时，折线段道MNP最长

点评：（1）本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.

（2）本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等.

例5、（08江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

解：（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，

则，

故

又，所以

所求函数关系式为