(精选3份合集)2020届南京外国语学校高考数学模拟试卷
江苏省南京外国语学校(仙林分校)高三数学下学期高考模拟试卷 文(含解析)
江苏省南京外国语学校（仙林分校）2015届高考数学模拟试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=__________．2．已知复数z=（3﹣4i）•i，则|z|=__________．3．双曲线的离心率是__________．4．若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__________．5．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的__________条件．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个．若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是__________．7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为__________．8．执行如图算法框图，若输入a=3，b=，则输出的值为__________．9．若△A BC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量，，若，则∠C等于__________．10．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=2，a3+a4+a5=8，则a4+a5+a6=__________．11．函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，π]的单调减区间为__________．12．若关于x的不等式（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值集合是__________．13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥60成立，则实数m的最小值为__________．14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f （t）≥kt”是假命题，则正实数k的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明（1）EF∥平面PAD；（2）EF⊥平面PDC．17．数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式．18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．（1）将S表示为x的函数；（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？19．已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．江苏省南京外国语学校（仙林分校）2015届高考数学模拟试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）={2，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，∴∁U B={2，4，6}，A∩（∁U B）={2，4}，故答案为：{2，4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z=（3﹣4i）•i，则|z|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=（3﹣4i）•i=3i+4，则|z|==5．故答案为：5．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．双曲线的离心率是．考点：双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程易知a、b，然后通过其性质c2=a2+b2求得c，最后由其离心率e=得出答案．解答：解：由题意知a2=2，b2=1，所以c2=a2+b2=3，则a=，c=，所以该双曲线的离心率e==．故答案为．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质．4．若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣4，0）．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．解答：解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．点评：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．5．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故答案为：既不必要也不充分条件．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个．若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：常规题型．分析：这是一个古典概型，在大小相同的4个球中任意选取2个球有C42种取法，题目要求所选的2个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色，满足条件的事件数是C21C21种结果，根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知这是一个古典概型，∵在大小相同的4个球中任意选取2个球有C42种取法，∵题目要求所选的2个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色，∴满足条件的事件数是C21C21种结果，∴P==，故答案为：点评：本题是一个古典概型，在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为30．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中所有小长方形的和为1，求出正中间一个小长方形的面积（频率），即可得出频数．解答：解：根据频率分布直方图中，所有小长方形的和（即频率和）为1，设正中间一个小长方形的面积为x，则其它10个小长方形面积的和为3x，∴x+3x=1，解得x=；∴正中间一组的频数为120×=30．故答案为：30．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．8．执行如图算法框图，若输入a=3，b=，则输出的值为．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查的是循环结构程序，我们很难写出程序运行结果对应的数学模型表达式，故可采用模拟试验的方法，即模拟程序运行，将程序运行过程各变量的值用表格表示，逐步分析，最后得到正确的答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环_____a_____b循环前_________/______3_____第一圈_________是__________第二圈_________是__________第三圈_________是__________第四圈_________否故最后输出的a值为．故答案为：点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量，，若，则∠C等于．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：利用向量垂直，求出数量积为0时的关系式，利用余弦定理求解即可．解答：解：向量，，若，所以：=0即：a2﹣c2+b2=ab，所以cosC=，∠C是三角形内角，所以∠C=故答案为：点评：本题考查平面向量的坐标运算，余弦定理的应用，是基础题．10．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=2，a3+a4+a5=8，则a4+a5+a6=±16．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可知==都等于公比q的平方，由已知条件列出关于公比q的方程，求出q的值，然后再根据==都等于公比q的立方，把公比q的值代入即可求出值．解答：解：设等比数列的公比为q，由a1+a2+a3=2，则a3+a4+a5=q2（a1+a2+a3）=2q2=8，即q2=4，q=±2；所以a4+a5+a6=q3（a1+a2+a3）=±8×2=±16．故答案为：±16点评：本题主要考查了等比数列的性质，属基础题．学生做题时注意公比q的值有两个．11．函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，π]的单调减区间为[，π]（也可以写成（））．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的单调性可求出满足条件的所有x的区间，再结合x的范围可求出答案．解答：解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）令，∴，k∈Z∵x∈[0，π]∴所求单调减区间为：[，π]故答案为：[，π]．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性．考查对基础知识的掌握程度和理解程度．三角函数是2015届高考的重点，每年必考，一定要强化复习．12．若关于x的不等式（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值集合是{5}．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得a＞0，x＞0，设f（x）=（ax﹣50）lg，可得当x无限趋近于0时，f （x）无限趋近于﹣∞，当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于﹣∞，把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点，进一步得到=2a，由此求得a的取值集合．解答：解：（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则a＞0，x＞0，设f（x）=（ax﹣50）lg，当x无限趋近于0时，f（x）无限趋近于﹣∞，当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于﹣∞，若f（x）≤0恒成立，需f（x）有唯一的零点，由f（x）=0，得ax﹣50=0或lg=0．解得：x=，x=2a．若f（x）有唯一的零点，则=2a，那么a2=25，即a=5．∴实数a的取值集合是{5}．故答案为：{5}．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点是解答该题的关键，是中档题．13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥60成立，则实数m的最小值为29．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：令y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1=0，可得d n=x2﹣x1=2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式可得S n=2n﹣1．log2（S n+1）≥60化为n（m﹣n2）≥60，，变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：令y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1=0，解得，，∴d n=x2﹣x1=2n﹣1．∴S n==2n﹣1．∴log2（S n+1）≥60化为n（m﹣n2）≥60，∴==90，取n=3时，m取得最小值29．故答案为：29．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f （t）≥kt”是假命题，则正实数k的取值范围是（，1]．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．解答：解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．解答：解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．点评：考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明（1）EF∥平面PAD；（2）EF⊥平面PDC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）若证明EF∥平面PAD，关键是要找到平面PAD内一条可能与EF平行的直线，分别图形后发现PA即为所求，故连接AC后，利用中位线的性质，即可临到结论．（2）若证明EF⊥平面PDC，我们要证明EF与平面PDC中两条相交直线均垂直，已知中底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，结合（1）中结论，易证明出：CD⊥PA 且PA⊥PD，根据线面垂直的判定定理即可得到结论．解答：证明：（1）连接AC，在△CPA中，因为E，F分别为PC，BD的中点，所以EF∥PA．而PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥PA．又因为PA⊥PD，且CD，PD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC．而EF∥PA，所以EF⊥平面PDC．点评：本题考查的知识眯是直线与平面平等的判定及直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面关系的判定定理是解答此类问题的关键．17．数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意知（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，知c=2．（2）由题意知a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，所以．由此可知a n=n2﹣n+2（n=1，2，）解答：解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故a n=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立，所以a n=n2﹣n+2（n=1，2，）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．（1）将S表示为x的函数；（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C点坐标给出来，代入方程求出p的值，然后分两段表示出S的值．（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题．解答：解：（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设曲线段BC所在抛物线方程为y2=2px（p＞0）．将点C（1，1）代入，得2p=1．所以曲线段BC的方程为y=（0≤x≤1）．又由点C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x﹣1（1≤x≤2），而GA=2﹣x，所以，（2）①当0＜x≤1时，因为，所以，令S′=0得．当时，S′＞0，所以此时S递增；当时，S′＜0，所以此时S递减，所以当时，．②当1＜x＜2时，因为．所以当x=时，．综上，因为，所以当米时，．答：当x取值为米时，矩形AEFG的面积最大为．点评：本题充分考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值．19．已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（1）由题易知圆C的圆心为（）而a=，b=2可求出圆心为（﹣4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（﹣3，y G）再代入圆C的方程求出y G进而求出FG的方程为y=（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（﹣4，0）到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．（3）假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0再结G（x0，y0）在圆C即x02+y02+8x0=o可得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0对所有的x0，y0．成立故2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．解答：解：（1）∵a=，b=2∴c=2∴左准线方程为x==﹣4∴圆心为（﹣4，0）∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4∴圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）由题意知，得G（﹣3，y G），代入（x+4）2+y2=16，得y=所以FG的斜率为K=y=，FG的方程为y=（x+2）所以C（﹣4，0）到FG的距离d=，直线FG被圆C截得弦长为2=7 故直线FG被圆C截得弦长为7．（3）设P（s，t），G（x0，y0），则由，得，整理得3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0①又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=o②②代入①得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0又G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0解得s=4，t=0．所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．点评：此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=．第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径，d，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在P （s，t），G（x0，y0）使得=成立，关键是得出（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0后怎么办是难点！实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s，t．20．已知函f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）由已知中函数f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2﹣8lnx﹣14x 与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．解答：解：（1）因为f′（x）=2x﹣，所以切线的斜率k=f′（x）=﹣6又f（1）=1，故所求切线方程为y﹣1=﹣6（x﹣1）即y=﹣6x+7．（2）（x＞0）当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=﹣x2+14x=﹣（x﹣7）2+49如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解有唯一解设h（x）=2x2﹣8lnx﹣14x（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表x （0，4） 4 （4，+∞）h'（x）﹣0 +h（x）↘极小值﹣24﹣16ln2 ↗由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，∴h（x）的最小值为﹣24﹣16ln2，当m=﹣24﹣16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第三部分 2020高考仿真模拟卷(六) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。
2020届江苏省南京市外国语学校高三下学期第一次模拟考试英语试题 (Word版) 听力
南京市外国语学校高三下学期英语一模试题第一部分听力（共两节，满分20 分）第一节(共5小题)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What does the man want to do? :A．Apply for a job.B．Borrow the woman's car.C．Fill out an application for a loan2．When is the baseball game?A．On Thursday. B．On Friday. C．On Saturday.3．What does the man suggest the woman do?A．Hire a tutor. B．Practice more often. C．Join a study group4．What was the original price of the Jacket?A．$50 B．$75 C．$1005．What are the speakers talking about?A．A book. B．A play. C．A role.第二节(共15小题)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6．Why does the man come to town?A．To take some training. B．To see the dentist. C．To do some shopping.7．What does the man think needs improving?A．The lighting. B．The footpaths. C．The trains.听第7段材料，回答第8至9题。
2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x∈N|1≤x≤3}，B={2,3，4，5}，则A∪B=_______．2.复数z=(3+i)⋅i的实部是______．3.如图，茎叶图记录了A,B两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则较为稳定的那组同学成绩的方差为________．4.执行如图所示的伪代码，输出的结果是____________．5.某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________．6.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=1，S4=3，则S8=______．7.设函数f(x)={−x 2,x<0,g(x),x>0,若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．8.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是______．9.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线y=43x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为______．10. 以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD =√2，AB =2，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．12. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ab +ba =6cosC ，则tanCtanA +tanCtanB 的值是______． 13. 已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2,2)，若AP 2+AQ 2=40，则弦PQ的长度的最大值为____________．14. 函数f(x)=x 3−ax 2+3ax +1有极值，则实数a 的取值范围是____． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=b+ca+b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求4sinB −cosC 的取值范围．16. 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ．求证：(1)MN//平面PBC ； (2)MD ⊥平面PAB ．17. 2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O 1、O 2之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，O 1O 2⊥AB 于点M.设∠AO 2M =θ， (1)当θ=π4时，求喷泉ABCD 的面积S ；(2)求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大？18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且点(1,√32)在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ax2+x−1+lnx(a∈R)在点(12,f(12))处的切线与直线x+2y+1=0垂直．(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若f(x)≥m−mx−x2在[1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．20.(本小题满分16分)已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，公比为q(q≠1).令A={k|a k=b k,k∈N∗}．(1)若A={1,2}，①当a n=n，求数列{b n}的通项公式；②设a1>0，q>0，试比较a n与b n(n≥3)的大小？并证明你的结论．(2)问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．21.已知圆C:x2+y2=1在矩阵A=[a00b ](a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆x29+y24=1，求a，b的值．22.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2√2,π4)，圆心为直线ρsin(θ−π3)=−√3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．23.若x>1，求x+1x−1的最小值．24.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PA=AB=√2，点E是棱PB的中点．(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角B−EC−D的余弦值．25.设数列{a n}同时满足以下三个条件：①对任意的n∈N※，a n∈N※，其中a2=2;②对任意的n∈N※，a n<a n+1;③对任意的正整数m，n，a mn=a m·a n(1)求a4，a8的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1,2,3,4,5}解析：本题考查集合的并集运算，属基础题．解：集合，B={2,3，4，5}，则A∪B={1,2,3,4,5}．故答案为{1,2,3,4,5}．2.答案：−1解析：解：∵z=(3+i)i=3i−1，∴z的实部为−1．故答案为：−1．先对复数进行化简，然后根据z=a+bi的实部为a，可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，是基础题．3.答案：83解析：本题考查了茎叶图的数据统计中，求平均数以及方差，关键是熟记公式．由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．解：由已知可得甲的平均成绩为89+92+953=92，方差为13[(89−92)2+(92−92)2+(95−92)2]=6；乙的平均成绩为90+92+943=92，方差为13[(90−92)2+(92−92)2+(94−92)2]=83，。
2020届江苏省南京外国语学校高考数学四模试卷(含解析)
2020届江苏省南京外国语学校高考数学四模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设P，Q是两个非空，定义集合间的一种运算“⊕”：P⊕Q={x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P={y|y=log2x,1<x<4}，Q={y|y=3x,x>0}，则P⊕Q=______．2.已知2+3i为实数，其中i是虚数单位，则实数m的值为______ ．m−3i3.先后抛掷质地均匀的硬币三次，则恰好出现一次正面朝上的概率是______．4.随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：[50,60)，2；[60,70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2.其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本的人数及x的值；(2)估计样本的众数，并计算频率分布直方图中[80,90)的矩形的高；(3)从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．5.倾斜角为π的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为4______．6.读程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入．7.在锐角△ABC中，tanB+tanC=2tanBtanC，则tan A tan B tan C的最小值为______．8.函数的定义域是9.公差不为零的等差数列{a n}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，则数列{a n}的通项公式为a n=______10.若圆柱的底面半径为1cm，母线长为2cm，则圆柱的体积为______ cm3．11.如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=______ ．12.已知a>1，b>1，且14lna，14，lnb成等比数列，则ab的最小值为_________．13.已知向量a−与b−的夹角为60°，且|a−|=2，|b−|=3，若c−=λa−+b−且c−⊥(a−−b−)，则实数λ的值为______．14.f(x)=cos(ωx−π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω=．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅16.如图所示，四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．17.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2(0<r<b)上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．(1)当r为何值时，OA⊥OB；(2)过椭圆E上任意一点P作(1)中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．18.如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知，路宽，设灯柱高，．(1)求灯柱的高(用表示)；(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记所用材料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．19.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−4n，其中n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n；(Ⅲ)若对于任意正整数n，都有1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1≤λ，求实数λ的最小值．20. 某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x ≤10)之间满足关系：P =110x 2−7715lnx +3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件次品将亏损1万元．(利润=盈利−亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x 的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？21. 选修4−2：矩阵与变换设曲线2x 2+2xy +y 2=1在矩阵M =[m 0n1](m >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1，求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．直线l 的参数方程为{x =3−t,y =5+t(t 为参数)曲线C 的方程为p =4sinθ． (1)求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)判断直线l 与曲线C 的位置关系．23.已知a>0，b>0，且a2+b2=2．(Ⅰ)若对任意的a，b，不等式a+b≤|2x−1|−|x−1|恒成立，求实数x的取值范围；(Ⅱ)证明：(1a +1b)(a5+b5)≥4．24.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．)5．25.已知(2x−√x(Ⅰ)求展开式中的倒数第3项；(Ⅱ)求展开式中含1项的系数；x)5的展开式中前三项的二项式系数之和为M，(1+ax)6的展开式中各项系数之和(Ⅲ)设(2x−√x为N，若4M=N，求实数a的值．【答案与解析】1.答案：(0,1]∪[2,+∞)解析：由题意首先求得集合P，Q，然后结合新定义的运算整理计算即可求得最终结果．本题考查集合的表示方法，集合的运算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．解：由题意可得：P={x|0<x<2}，Q={x|x>1}，结合新定义的运算可得：P⊕Q=(0,1]∪[2,+∞)．故答案为：(0,1]∪[2,+∞)．2.答案：−2解析：解：2+3im−3i =(2+3i)(m+3i)(m−3i)(m+3i)=2m−9+(3m+6)im2+9，已知2+3im−3i为实数，可得3m+6=0，解得m=−2．故答案为：−2．化简复数为a+bi的形式，然后利用复数的概念，求解即可．本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念的应用，考查计算能力．3.答案：38解析：解：根据题意，用树状图表示将一枚质地均匀的硬币先后抛三次的情况，共8种情况；如图所示：分析可得恰好出现一次正面向上的有3种情况，则其概率为：38，故答案为：38．根据题意，用树状图表示将一枚质地均匀的硬币先后抛三次的情况，分析可得全部的情况数目以及恰好出现一次正面向上的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概率的计算，注意用列举法或树状图列举全部的可能情况并进行分析．4.答案：解：(1)由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴样本人数为n=20.08=25(人)，∴x的值为x=25−(2+7+10+2)=4(人)．(2)从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75．由(1)知分数在[80,90)之间的频数为4，频率为425=0.16，∴频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为0.1610=0.016．(3)成绩不低于80分的样本人数为4+2=6(人)，成绩在90分以上(含90分)的人数为2人，∴ξ的取值为0，1，2．∵P(ξ=0)=C42C62=615=25，P(ξ=1)=C41C21C62=815，P(ξ=2)=C22C62=115，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为Eξ=0×615+1×815+2×115=23．解析：(1)由已知条件求出分数在[50,60)之间的频数和频率，由此能求出样本人数和x的值．(2)从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75.求出分数在[80,90)之间的频数和频率，由此能求出频率分布直方图中[80,90)的矩形的高．。
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．2. 已知复数z =1+2i(i 为虚数单位)，则z 2的实部为______．3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为______．4. 运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为______．5. 从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a ，b ，则log a b >0的概率为______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为______．7. 已知cosα+sin(α−π6)=45，则sin(α+7π6)的值为______．8. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 20−S 10S 30−S 20=1310，则数列{a n }的公比为______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，过直线y =2x 上一点P 作圆C ：(x −3)2+(y −1)2=1的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线PA ，PB 关于直线y =2x 对称，则线段PA 的长度为______．10. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2=3π，则S1S 2的值为______． 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ，则不等式f(x −2)>f(x)的解集为______．12. 已知函数f(x)={√1−(x −1)2,0≤x <2f(x −2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N ∗)，直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点，则数列{k n 2}的前n 项和为______．13. 设H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)，且3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cos∠AHB 的值为______． 14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R.已知c =1，且△ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)，则a 的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1=AB ．(1)求证：AB//平面D 1DCC 1；(2)求证：AB 1⊥平面A 1BC ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =35．(1)若△ABC 的面积为3，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)设m ⃗⃗⃗ =(2sin B 2,1)，n ⃗ =(cosB,cos B 2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求sin(B −2C)的值．17. 如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A(大小忽略不计)盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，tan∠ABC =34，∠ACM =π4，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ．(1)求方案①的运输费用；(2)请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过(−1,32)，且右焦点坐标为(1,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A，B为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，P为椭圆上任意一点(异于A，B两点)，直线AC与直线BP相交于点M，直线BC与直线AP相交于点N，求证：MC=NC．19.已知函数f(x)=lnx−a⋅x−1x+1(a∈R)．(1)若x=2是函数f(x)的极值点，求a的值；(2)令g(x)=(x+1)⋅f(x)，若对任意x≥e，有g(x)>0恒成立，求a的取值范围；(3)设m，n为实数，且m>n，求证：e m+n2<e m−e nm−n <e m+e n2．20. 若存在常数m ∈R ，使对任意的n ∈N ∗，都有a n+1≥ma n ，则称数列{a n }为Z(m)数列．(1)已知{a n }是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n .若S n 是Z(1)数列，求a 1的取值范围；(2)已知数列{b n }的各项均为正数，记数列{b n }的前n 项和为R n ，数列{b n 2}的前n 项和为T n ，且3T n =R n 2+4R n ，n ∈N ∗．①求证：数列{b n }是等比数列；②设c n =b n +λn−1b n (λ∈R)，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的λ∈[2,3]，数列{c n }都是Z(m)数列，并求出m 的最大值．21. 已知b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c 2]的属于特征值4的一个特征向量．求矩阵M 及它的另一个特征值．22. 在极坐标系中，设直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)，且直线l 与曲线C ：ρ=acosθ(a >0)有且只有一个公共点，求实数a 的值．23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=5，求a2+b2+2c2的最小值．24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否合格相互独立．(1)记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率为p0，求p0；(2)现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X，求X的分布列和数学期望．25.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．(1)根据恒等式(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(m,n∈N∗)两边x p的系数相同直接写出一个恒等式，其中p∈N，p≤m，p≤n；(2)设m ，n ∈N ∗，p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ，利用上述恒等式证明：C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p ．答案和解析1.【答案】{0,1}【解析】【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M∩N={0,1}．故答案为：{0,1}．2.【答案】−3【解析】解：∵z=1+2i，∴z2=(1+2i)2=−3+4i，∴z2的实部为−3．故答案为：−3．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】32【解析】解：高三学生占的比例为89+8+8=825，则应从高三年级抽取的学生的人数为100×825=32，故答案为：32．用样本容量乘以高三学生占的比例，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】16【解析】解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；T=1，i=3；T=1+3=4，i=5；T=4+5=9，i=7，T=9+7=16，i=9；终止循环，输出T的值为16．故答案为：16．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的T值．本题考查了程序语言的运行问题，是基础题．5.【答案】23【解析】解：从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a，b，基本事件总数n=C42=6，∵log a b>0，∴满足条件的(a,b)有(2,3)，(3,2)，(12,23)，(23,12)，共4个，∴log a b>0的概率为P=46=23．故答案为：23．基本事件总数n=C42=6，由log a b>0，利用列举法求出满足条件的(a,b)有4个，由此能求出log a b>0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】√10【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为3，则b=3，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√1+91=√10，故答案为：√10．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c，a，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，考查计算能力．7.【答案】−45【解析】解：∵cosα+sin(α−π6)=cosα+√32sinα−12cosα=12cosα+√32sinα=45，故sin(α+π6)=45，则sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−45．故答案为：−45由已知结合和差角公式，辅助角公式及诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．8.【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S20−S10S30−S20=1310，∴a1(1−q20)1−q−a1(1−q10)1−qa1(1−q30)1−q−a1(1−q20)1−q=q10−q20q20−q30=1−q10q10(1−q10)=1q10=1310，∵q>0，∴数列{a n}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的前n项和公式直接求解．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】【分析】由题意可知直线与y=2x与直线PC重合或垂直，因为点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，所以k PC=−12，求出点P坐标，从而利用点到直线距离公式求出CP，进而在直角三角形CAP中求得PA．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，注意数形结合思想的应用，难度适中．【解答】解：由切线PA，PB关于直线PC对称，以及切线PA，PB，关于直线y=2x对称知，直线与y=2x与直线PC重合或垂直，由于点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，设P(t,2t)，则2t−1t−3=−12，解得t=1，P(1,2)所以PC=√(3−1)2+(1−2)2=√5，半径r=1，PA =√PC 2−r 2=√(√5)2−12=2，故答案为：2．10.【答案】3√2π【解析】解：圆锥的母线l =√r 2+r 2=√2r.V 1=a 3，S 1=6a 2，V 2=13πr 3，S 2=πrl =√2πr 2．∵V 1V 2=a 313πr 3=3π，∴a =r ． ∴S 1S 2=2√2πr 2=3√2π． 故答案为：3√2π． 根据体积比得出a 和r 的关系，代入面积公式求出面积比即可． 本题考查了圆锥，正方体的体积和表面积计算，属于基础题． 11.【答案】{x|−32<x <72}【解析】解：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ， 所以x <0时，−x >0，所以f(−x)=(−x)2+5x =x 2+5x =−f(x)，所以f(x)=−x 2−5x ，故f(x)={x 2−5x,x ≥0−x 2−5x,x <0， ∵f(x −2)>f(x)，①x −2≥0即x ≥2时，(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，x <72，此时2≤x <72，②x <0时，−(x −2)2−5(x −2)>−x 2−5x ， 解可得，x >−32，此时−32<x <0，③当0≤x <2时，−(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，−1<x <3，此时0≤x <2，综上可得，−32<x <72． 故答案为：{x|−32<x <72}由已知结合奇函数的定义求出f(x)的解析式，然后结合x 的范围代入已知不等式即可求解．本题主要考查了函数的概念，函数的解析式，函数的奇偶性及不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理与数学运输算．12.【答案】n4n+4【解析】解：函数y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆， ∵直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点， ∴直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，∴nn2=1，k n 2=14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴k 12+k 22+⋯+k n 2=n4n+4．故答案为：n4n+4．可知y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，由题意知直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，由此可求k n 2，然后利用裂项相消法可求答案．该题考查数列的求和、直线与圆的位置关系，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点．13.【答案】−√66【解析】解：由题，H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 同理，HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ， ∵3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴HB =√−2x(x <0)，同理可求得HA =√−3x ， ∴cos∠AHB =HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√−2x⋅√−3x=−√66． 故答案为：−√66．由三角形垂心性质及已知条件可求得HB =√−2x ，HA =√−3x ，由向量的夹角公式即可求解．本题主要考查三角形的垂心性质以及平面向量夹角公式的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量的灵活应用．14.【答案】√55【解析】解：由正弦定理可得csinC =2R，∴2R=1sinC，△ABC的面积S=2R2sin(B−A)sin(B+A)=12absinC，∴4R2sin(B−A)⋅sinC=ab⋅sinC，∴4R2sin(B−A)=ab=2RsinA⋅2RsinB，即sin(B−A)=sinBsinA，即sinBcosA−cosBsinA=sinBsinA，∴tanA=sinBsinB+cosB．又asinA =csinC=1sinC，∴a=sinAsinC=sinAsin(A+B)=sinAsinAcosB+cosAsinB=tanAtanA⋅cosB+sinB．∴再把tanA=sinBsinB+cosB 代入，可得a=sinBsinB+cosBsinBsinB+cosB⋅cosB+sinB=sinBsinBcosB+sinB(sinB+cosB)=12cosB+sinB，故当sinB+2cosB取得最大值为√5时，a取得最小值为√5=√55．由题意利用正弦定理求出tanA=sinBsinB+cosB .再利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a=tanAtanA⋅cosB+sinB，再把tan A代入，可得a=12cosB+sinB，故当分母取得最大值时，a取得最小值．本题主要考查了三角函数方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】证明：(1)∵AB//CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB//平面D1DCC1；(2)在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，【解析】(1)由AB//CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行的判定定理即可证明AB//平面D1DCC1；(2)证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；本题考查线面垂直的证明，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．16.【答案】解：(1)因为cosA =35，所以sinA =45则S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=152， 又cosA =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×152=92； (2)因为m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，所以2sin B2cos B2=cosB ，即sinB =cosB ，所以B =π4，因为sinA =45，cosA =35，sinB =cosB =√22，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×√22+35×√22=710√2，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×√22+45×√22=√210， 则sin2C =2sinCcosC =2×710√2×√210=725，cos2C =2cos 2−1=2×2100−1=−2425， 所以sin(B −2C)=sinBcos2C −cosBsin2C =√22×(−2425)−√22×725=−31√250．【解析】(1)根据面积公式求得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用夹角余弦的向量表示即可得到答案； (2)根据向量平行的坐标表示得到B =π4，根据三角函数两角和差的公式可求得答案 本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数求值等，数中档题．17.【答案】解：(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC =35，cos∠ABC =45．∴sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)=sin π4cos∠ABC −cos π4sin∠ABC =√22×45−√22×35=√210．由正弦定理可得：BCsin∠BAC =ABsin 3π4，即AB =10×√22√210=50，∴方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ， 设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ． 可得sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6．则总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0].y′=6000⋅2sinx−1cos 2x，x ∈[0,π2−θ0].当x ∈(0,π6)时，y′<0，当x ∈(π6,π2−θ0)时，y′>0， ∴y =8000+6000⋅2−sinx cosx在(0,π6)上单调递减，在(π6,π2−θ0)上单调递增．∴当x =π6时，y =8000+6000⋅2−sinx cosx取得最小值为8000+6000⋅2−12√32=8000+6000√3．此时BP =40−30tanx =40−10√3． ∴P 在点B 正西方方向，BP =40−10√3千米．【解析】(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC 与cos∠ABC ，利用sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)展开两角差的正弦求得sin∠BAC ，再由正弦定理求得AB ，进一步可得方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ，设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ，得到sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6，求得总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0]，再由导数求最值．本题考查函数模型的选择及其应用，考查三角形的解法，训练了利用导数求最值，是中档题． 18.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2解得：a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)， 由{y =√32x +√3y =y 1x 1−2(x −2)，解得x M =1√3x 1√32y −√3x +2√3， 又{y =−√32x +√3y =y 1x 1+2(x +2)，解得x N =−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3， 因为|MC|2=x M 2+(y M −√3)2=74x M 2， |NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ， 令x M −x N =4y 1+2√3x 1−4√32y −√3x +2√3−−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3，=2[(2y 1+√3x 1)2−12]−[12−(√3x 1−2y 1)2](2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，=21212(2y−√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，因为而P 在椭圆上，所以x 124+y 123=1，即3x 12+4y 12=12， 故x M −x N =0，所以|MC|=|NC|．【解析】(1)根据题意解方程组{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2得：a 2，b 2，进而可写出椭圆的标准方程；(2)由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，联立直线AC 和BM 可得|MC|2=74x M 2，同理可得|NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ，用作差法证明x M −x N =0，即可．本题考查直线与椭圆的相交问题，难点在化简计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx −a x−1x+1，所以f′(x)=1x −2a(x+1)2， 令f′(2)=0，所以a =94，检验：当a =94时，f′(x)=1x −92(x+1)2=(x−2)(2x−1)2x(x+1)2，所以a =94．(2)因为g(x)=(x +1)lnx −a(x −1)，因为x ≥e ， 由(x +1)lnx −a(x −1)>0，得a <(x+1)lnx x−1，令t(x)=(x+1)lnx x−1，则t′(x)=x−2lnx−1x(x−1)2，令φ(x)=x −2lnx −1x ，则φ′(x)=1−2x +1x 2=(1x −1)2≥0， 所以φ(x)在[e,+∞)上单调递增，① 故φ(x)≥φ(e)=e −2−1e >0，所以t′(x)>0，故t(x)在[e,+∞)上单调递增， t(x)min =t(e)=e+1e−1． 所以a <e+1e−1．(3)证明：当a =2时，f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，所以f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1，因为m >n ，所以e m−n >1，所以lne m−n >2(e m−n −1)e m−n +1，即m−n 2>e m−n −1e m−n +1=e m −e n e m +e n ，所以e m −e n m−n<e m +e n2，由①知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ， 因为em−n 2>1，所以2lnem−n 2<em−n 2−1e m−n 2．即m −n <e m−n −1e m−n 2=e m −e ne m+n 2，所以e m+n 2<e m −e n m−n，综上，e m+n 2<e m −e n m−n<e m +e n2．【解析】(1)先求导得f′(x)=1x −2a(x+1)2，若x =2是函数f(x)的极值点，则f′(2)=0，解得a 的值，再检验：列表，分析单调性，确定是否x =2是函数f(x)的极值点． (2)问题转化为对任意x ≥e ，a <(x+1)lnx x−1，只需a <((x+1)lnx x−1)min 即可，令t(x)=(x+1)lnx x−1，求导数分析单调性，进而得t(x)min =t(e)=e+1e−1，进而得出结论．(3)求导，分析单调性得f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1，把x =e m−n >1，代入可得e m −e n m−n<e m +e n2，由(2)知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ，把x =em−n2>1代入得em+n2<e m −e n m−n，进而不等式得证．本题考查极值，不等式的证明，导数的综合应用，关键是证明不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可得：S n =n 2+(a 1−1)n,{S n }是Z(1)数列，S n+1≥S n 恒成立，(n +1)2+(a 1−1)(n +1)≥n 2+(a 1−1)n 对任意的n ∈N ∗恒成立， a 1≥−2n 对任意的n ∈N ∗恒成立， 所以a 1≥−2．(2)①由题：3T n =R n2+4R n ， 3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减得 3b 2=R 2−R n−12+4b n ,n ≥2，3b 2=(R n +R n−1)b n +4b n ，n ≥2，数列{b n }的各项均为正数， 所以3b n =R n +R n−1+4，n ≥2，3b n−1=R n−1+R n−2+4，n ≥3，两式相减得：3b n −3b n−1=b n +b n−1，n ≥3，b n =2b n−1，n ≥3，当n =1时,3T n =R n 2+4R n ,n ∈N ∗可得3b 12=b 12+4b 1,n ∈N ∗，数列{b n }的各项均为正数， 所以b 1=2，当n =2时，3b n =R n +R n−1+4，n ≥2可得 3b 2=R 2+R 1+4，3b 2=b 2+2+2+4， 所以b 2=4，综上可得：数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ②由①可得b n =2n ,c n =b n +λn−1b n=2n +λn−12n，c n+1≥mc n ，λ∈[2,3]对任意的n ∈N ∗恒成立， c n+1≥mc n ⇒2n+1+λ(n+1)−12n+1≥m(2n+λn −12n)(∗)，取m =0知，c n+1≥0对任意的λ∈[2,3]，n ∈N ∗恒成立， ∴存在常数m ∈R ，使{C n }是数列Z(m)， 下求m 的最大值， 由(∗)得m ≤2n+1+λ(n +1)−12n+12n +λn−12n=22n+2+λ(n +1)−12(22n +λn −1) =n +1n (22n +λn −1)+(4−n +1n )⋅22n+n +1n −12⋅(22n +λn −1)=n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)，所以m ≤[n+12n +(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)]min ， 因为n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2(22n +λn −1)≥n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2⋅(22n +3n−1)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)，令G(n)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)=4(22n 3n−1)−9n+62⋅(22n +3n−1)=2+6−9n2(22n +3n−1)，则G(n +1)−G(n)=6−9(n+1)2(22n+2+3n+2)−6−9n2⋅(22n +3n−1)=(−3−9n)(22n +3n −1)−(6−9n)(22n+2+3n +2)2(22n +3n −1)(22n+2+3n +2)=(27n−27)⋅22n −92(22n +3n−1)(22n+2+3n+2)，当n =1时，G(2)−G(1)<0，G(2)<G(1)； 当n ≥2时，(27n −27)⋅22n −9≥27×8−9>0， ∴G(n +1)>G(n)∴G(2)<G(3)<⋯<G(n)，∴G(n)min =G(2)=26+6+22(24+6−1)=127， ∴m ≤G(n)min =127，∴m max =127．【解析】(1)写出S n =n 2+(a 1−1)n ，通过S n+1≥S n 恒成立，即可求解；(2)①由题求出首项，根据3T n =R n2+4R n ，3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减，得出递推关系即可证明；②求出{c n }通项公式，根据定义建立不等式，再利用数列单调性求解m 的最大值．此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，作差法求数列单调性，最值，考查综合能力，属于难题．21.【答案】解：∵b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c2]的属于特征值4的一个特征向量． ∴[1b c 2][23]=4[23]，∴{2+3b =82c +6=12，解得b =2，c =3，∴M =[1232]，由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0， 解得λ1=−1，λ2=4． ∴矩阵M 的另一个特征值为−1．【解析】推导出[1b c 2][23]=4[23]，解得b =2，c =3，由此能求出M =[1232]，再由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，能求出矩阵M 的另一个特征值．本题考查矩阵的性质和应用、特征值计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．22.【答案】解：直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)转化为直角坐标为：A(32,√32)，B(3,0)，则直线l 的方程为：x +√3y −3=0．曲线C ：ρ=acosθ(a >0)转化为直角坐标方程为：(x −a2)2+y 2=a 24，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 则：|a 2−3|2=a2解得：a =2(负值舍去)． 实数a 的值为2．【解析】首先把极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转换为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系：点到直线的距离等于半径，求出a 的值．本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线距离公式的应用，直线和曲线的位置关系得应用．23.【答案】解：由柯西不等式，得[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]≥(a +b +c)2=25， 即(a 2+b 2+2c 2)⋅52≥25，∴a 2+b 2+2c 2≥10，当且仅当a =b =2c 时取等号． a 2+b 2+2c 2的最小值为10．【解析】a 2+b 2+2c 2化为[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]，然后利用柯西不等式求出a 2+b 2+2c 2的最小值．本题考查了柯西不等式求最值中，属于中档题．24.【答案】解：(1)20件产品中恰有2件不合格的概率f(p)=C 202⋅p 2⋅(1−p)18，∴f′(p)=C 202⋅2p ⋅(1−p)18+C 202⋅p 2⋅(−18(1−p)17) =C 202(1−p)17[2p(1−p)−18p 2]=C 202(1−p)17(2p −20p 2)，令f′(p)=0，由0<p <1，解得p =110，∴当p ∈(0,110)时，f′(p)>0，当p ∈(110,1)时，f′(p)<0， ∴f(p)在(0,110)上单调递增，在(110,1)上单调递减， ∴当p =110时，f(p)取得最大值，∴p 0=110． (2)由题意得X 的可能取值为30，60，90，120，∴P(X =30)=C 30(1−110)3=7291000， P(X =60)=C 31×110×(1−110)2=2431000， P(X =90)=C 32×(110)2×(1−110)=271000，P(X =120)=C 33×(110)3=11000，∴X 的分布列为：∴EX =30×7291000+60×2431000+90×271000+120×11000=39．【解析】(1)根据二项分布概率公式能求出f(p)，利用导数可确定f(p)单调性，从而能求出f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率p 0．(2)首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列，根据数学期望计算即可．本题考查概率的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由(1+x)m+n 的通项公式T r+1=C m+n rx r ，r =0，1，…，m +n ， (1+x)m 的通项公式T k+1=C m k x k ，k =0，1，…，m ， (1+x)n 的通项公式T t+1=C n t x n，t =0，1，…，n ， 可得C m+n p =C m 0C n p +C m 1C n p−1+⋯+C m p C n0； (2)证明：由iC n i=i ⋅n!i!(n−i)!=n ⋅(n−1)!(i−1)!(n−i)!=nC n−1i−1，可得∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=∑i p i=2C n i C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n p i=2C n−1i−1C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n pi=2C n−1i−1C m p−i−(C n 2C mp−2+C n 3C mp−3+⋯+C n p C m 0)=n ∑C n−1i−1p i=2C m p−i −(C m+n p −C n 0C m P −C n 1C m p−1)， 又C m+n−1p−1=C m 0C n−1p−1+C m 1C n−1p−2+⋯+C m p−1C n−10， 所以∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)−C m+n p +C n 0C m P +C n 1C m p−1， 所以原等式的左边=nC m+n−1p−1−n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)+C m+n p −C n 0C m P −C n 1C mp−1 =C m+n p −C m p=右边．故C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p 成立．【解析】(1)运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，即可得到所求恒等式；(2)由组合数的公式推得iC n i =nC n−1i−1，结合(1)的结论，化简整理，即可得证． 本题考查二项式定理的运用，考查恒等式的证明，注意运用组合数的公式以及二项式展开式的通项公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合M ={−1,1}，N ={−2,1，0}，则M ∩N =________．2. 复数(1−i)(2+3i)(i 为虚数单位)的实部是 ．3. 某高级中学共有学生3200人，其中高二年级与高三年级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一年级学生人数为______． 4. 在伪代码中，_____________________表示将代数式xx+1的运算结果赋给变量y ． 5. 从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是______ ． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线2x +y =0为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ． 7. 已知cos(α+π4)=23，则sin(α−5π4)的值是______ ．8. 已知正项等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，则S 4=______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=1，过x 轴上的一个动点P 引圆C的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围是______ ． 10. 圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为__________．11. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=x 3+2x +1，则当x <0时，f(x)的解析式为__________．12. 已知数列{a n }满足a n =2n +1，设函数f(n)={a n ,n 为奇数f(n 2),n 为偶数且c n =f(2n +4)，n ∈N ∗，则数列{c n }的前n 项和T n = ______ ．13. 已知O 为△ABC 的外心，AB =3，AC =5，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且3x +5y =3，则cos∠BAC 的值为__ .14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，若1+tanAtanB =2cb，则a 2bc的最小值为______ ． 二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =EC =12AA 1．(1)求证：AC 1//平面BDE;(2)求证：A1E⊥平面BDE．16.已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量m⃗⃗⃗ =(2a−b,c)与n⃗=(cosB,cosC)共线．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|=2，求a的大小．17.如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．(Ⅰ)已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆(原线路不变)，经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km.现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；(Ⅱ)如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求总施工费用y的最小值．∠DCE=θ(0≤θ≤π318.在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N.记直线AM，AN的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=−1，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)当x>y>e−1时，求证：e x−y>ln(x+1)ln(y+1)．20.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线5ρcosθ+12ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．23.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=4，求3a+4b+5c的最大值．24.某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．2. 已知复数z =1+2i(i 为虚数单位)，则z 2的实部为______．3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为______．4. 运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为______．5. 从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a ，b ，则log a b >0的概率为______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为______．7. 已知cosα+sin(α−π6)=45，则sin(α+7π6)的值为______．8. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 20−S 10S 30−S 20=1310，则数列{a n }的公比为______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，过直线y =2x 上一点P 作圆C ：(x −3)2+(y −1)2=1的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线PA ，PB 关于直线y =2x 对称，则线段PA 的长度为______．10. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2=3π，则S1S 2的值为______． 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ，则不等式f(x −2)>f(x)的解集为______．12. 已知函数f(x)={√1−(x −1)2,0≤x <2f(x −2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N ∗)，直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点，则数列{k n 2}的前n 项和为______．13. 设H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)，且3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cos∠AHB 的值为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R.已知c =1，且△ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)，则a 的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1=AB ．(1)求证：AB//平面D 1DCC 1；(2)求证：AB 1⊥平面A 1BC ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =35．(1)若△ABC 的面积为3，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)设m ⃗⃗⃗ =(2sin B 2,1)，n ⃗ =(cosB,cos B 2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求sin(B −2C)的值．17. 如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A(大小忽略不计)盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，tan∠ABC =34，∠ACM =π4，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ．(1)求方案①的运输费用；(2)请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过(−1,32)，且右焦点坐标为(1,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点(异于A ，B 两点)，直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC =NC ．19. 已知函数f(x)=lnx −a ⋅x−1x+1(a ∈R)．(1)若x =2是函数f(x)的极值点，求a 的值；(2)令g(x)=(x +1)⋅f(x)，若对任意x ≥e ，有g(x)>0恒成立，求a 的取值范围；(3)设m ，n 为实数，且m >n ，求证：em+n 2<e m −e n m−n <e m +e n 2．20. 若存在常数m ∈R ，使对任意的n ∈N ∗，都有a n+1≥ma n ，则称数列{a n }为Z(m)数列．(1)已知{a n }是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n .若S n 是Z(1)数列，求a 1的取值范围；(2)已知数列{b n }的各项均为正数，记数列{b n }的前n 项和为R n ，数列{b n 2}的前n 项和为T n ，且3T n =R n 2+4R n ，n ∈N ∗．①求证：数列{b n }是等比数列；②设c n =b n +λn−1b n (λ∈R)，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的λ∈[2,3]，数列{c n }都是Z(m)数列，并求出m 的最大值．21. 已知b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c 2]的属于特征值4的一个特征向量．求矩阵M 及它的另一个特征值．)，B(3,0)，且直线l与曲线C：ρ=acosθ(a>0)有且只有一个22.在极坐标系中，设直线l过点A(√3,π6公共点，求实数a的值．23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=5，求a2+b2+2c2的最小值．24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否合格相互独立．(1)记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率为p0，求p0；(2)现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X，求X的分布列和数学期望．25. 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．(1)根据恒等式(1+x)m+n =(1+x)m (1+x)n (m,n ∈N ∗)两边x p 的系数相同直接写出一个恒等式，其中p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ；(2)设m ，n ∈N ∗，p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ，利用上述恒等式证明：C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p．答案和解析1.【答案】{0,1}【解析】【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M∩N={0,1}．故答案为：{0,1}．2.【答案】−3【解析】解：∵z=1+2i，∴z2=(1+2i)2=−3+4i，∴z2的实部为−3．故答案为：−3．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】32【解析】解：高三学生占的比例为89+8+8=825，则应从高三年级抽取的学生的人数为100×825=32，故答案为：32．用样本容量乘以高三学生占的比例，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】16【解析】解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；T=1，i=3；T=4+5=9，i=7，T=9+7=16，i=9；终止循环，输出T的值为16．故答案为：16．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的T值．本题考查了程序语言的运行问题，是基础题．5.【答案】23【解析】解：从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a，b，基本事件总数n=C42=6，∵log a b>0，∴满足条件的(a,b)有(2,3)，(3,2)，(12,23)，(23,12)，共4个，∴log a b>0的概率为P=46=23．故答案为：23．基本事件总数n=C42=6，由log a b>0，利用列举法求出满足条件的(a,b)有4个，由此能求出log a b>0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】√10【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为3，则b=3，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√1+91=√10，故答案为：√10．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c，a，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，考查计算能力．7.【答案】−45【解析】解：∵cosα+sin(α−π6)=cosα+√32sinα−12cosα=12cosα+√32sinα=45，故sin(α+π6)=45，则sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−45．故答案为：−45由已知结合和差角公式，辅助角公式及诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．8.【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S20−S10S30−S20=1310，∴a1(1−q20)1−q−a1(1−q10)1−qa1(1−q30)1−q−a1(1−q20)1−q=q10−q20q20−q30=1−q10q10(1−q10)=1q10=1310，∵q>0，∴数列{a n}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的前n项和公式直接求解．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】【分析】由题意可知直线与y=2x与直线PC重合或垂直，因为点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，所以k PC=−12，求出点P坐标，从而利用点到直线距离公式求出CP，进而在直角三角形CAP中求得PA．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，注意数形结合思想的应用，难度适中．【解答】解：由切线PA，PB关于直线PC对称，以及切线PA，PB，关于直线y=2x对称知，直线与y=2x与直线PC重合或垂直，由于点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，设P(t,2t)，则2t−1t−3=−12，解得t =1，P(1,2)所以PC =√(3−1)2+(1−2)2=√5，半径r =1，PA =√PC 2−r 2=√(√5)2−12=2，故答案为：2．10.【答案】3√2π【解析】解：圆锥的母线l =√r 2+r 2=√2r.V 1=a 3，S 1=6a 2，V 2=13πr 3，S 2=πrl =√2πr 2．∵V 1V 2=a 313πr 3=3π，∴a =r ． ∴S 1S 2=2√2πr 2=3√2π． 故答案为：3√2π． 根据体积比得出a 和r 的关系，代入面积公式求出面积比即可． 本题考查了圆锥，正方体的体积和表面积计算，属于基础题． 11.【答案】{x|−32<x <72}【解析】解：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ， 所以x <0时，−x >0，所以f(−x)=(−x)2+5x =x 2+5x =−f(x)，所以f(x)=−x 2−5x ，故f(x)={x 2−5x,x ≥0−x 2−5x,x <0， ∵f(x −2)>f(x)，①x −2≥0即x ≥2时，(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，x <72，此时2≤x <72，②x <0时，−(x −2)2−5(x −2)>−x 2−5x ，解可得，x >−32， 此时−32<x <0，③当0≤x <2时，−(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ， 解可得，−1<x <3， 此时0≤x <2， 综上可得，−32<x <72． 故答案为：{x|−32<x <72}由已知结合奇函数的定义求出f(x)的解析式，然后结合x 的范围代入已知不等式即可求解．本题主要考查了函数的概念，函数的解析式，函数的奇偶性及不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理与数学运输算．12.【答案】n4n+4【解析】解：函数y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆， ∵直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点， ∴直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，∴nn2=1，k n 2=14n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴k 12+k 22+⋯+k n 2=n 4n+4．故答案为：n4n+4．可知y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，由题意知直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，由此可求k n 2，然后利用裂项相消法可求答案．该题考查数列的求和、直线与圆的位置关系，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点．13.【答案】−√66【解析】解：由题，H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 同理，HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ，∵3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴HB =√−2x(x <0)，同理可求得HA =√−3x ， ∴cos∠AHB =HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=x √−2x⋅√−3x=−√66． 故答案为：−√66．由三角形垂心性质及已知条件可求得HB =√−2x ，HA =√−3x ，由向量的夹角公式即可求解． 本题主要考查三角形的垂心性质以及平面向量夹角公式的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量的灵活应用．14.【答案】√55【解析】解：由正弦定理可得c sinC =2R ，∴2R =1sinC ， △ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)=12absinC ， ∴4R 2sin(B −A)⋅sinC =ab ⋅sinC ， ∴4R 2sin(B −A)=ab =2RsinA ⋅2RsinB ，即sin(B −A)=sinBsinA ，即sinBcosA −cosBsinA =sinBsinA ， ∴tanA =sinBsinB+cosB ．又a sinA =c sinC =1sinC ，∴a =sinA sinC =sinA sin(A+B)=sinA sinAcosB+cosAsinB =tanAtanA⋅cosB+sinB ． ∴再把tanA =sinBsinB+cosB 代入，可得a =sinB sinB+cosB sinBsinB+cosB⋅cosB+sinB=sinB sinBcosB+sinB(sinB+cosB)=12cosB+sinB ， 故当sinB +2cosB 取得最大值为√5时，a 取得最小值为√5=√55． 由题意利用正弦定理求出tanA =sinBsinB+cosB .再利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a =tanAtanA⋅cosB+sinB ，再把tan A 代入，可得a =12cosB+sinB ，故当分母取得最大值时，a 取得最小值．本题主要考查了三角函数方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】证明：(1)∵AB//CD ，CD ⊂平面D 1DCC 1，AB ⊄平面D 1DCC 1；∴AB//平面D 1DCC 1；(2)在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∵AA 1=AB ，∴四边形ABB 1A 1为菱形， ∴AB 1⊥A 1B ，∵AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC =B ， ∴AB 1⊥平面A 1BC ，【解析】(1)由AB//CD ，且CD ⊂平面D 1DCC 1，AB ⊄平面D 1DCC 1，由线面平行的判定定理即可证明AB//平面D 1DCC 1；(2)证明AB 1⊥平面A 1BC ，只需证明AB 1⊥A 1B ，利用四边形ABB 1A 1为菱形即可；本题考查线面垂直的证明，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．16.【答案】解：(1)因为cosA =35，所以sinA =45则S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=152，又cosA =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×152=92； (2)因为m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，所以2sin B2cos B2=cosB ，即sinB =cosB ，所以B =π4，因为sinA =45，cosA =35，sinB =cosB =√22，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×√22+35×√22=710√2，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×√22+45×√22=√210， 则sin2C =2sinCcosC =2×710√2×√210=725，cos2C =2cos 2−1=2×2100−1=−2425，所以sin(B −2C)=sinBcos2C −cosBsin2C =√22×(−2425)−√22×725=−31√250．【解析】(1)根据面积公式求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用夹角余弦的向量表示即可得到答案； (2)根据向量平行的坐标表示得到B =π4，根据三角函数两角和差的公式可求得答案 本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数求值等，数中档题．17.【答案】解：(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC =35，cos∠ABC =45．∴sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)=sin π4cos∠ABC −cos π4sin∠ABC =√22×45−√22×35=√210．由正弦定理可得：BC sin∠BAC =AB sin 3π4，即AB =10×√22√210=50，∴方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ， 设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ． 可得sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6．则总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0].y′=6000⋅2sinx−1cos 2x，x ∈[0,π2−θ0].当x ∈(0,π6)时，y′<0，当x ∈(π6,π2−θ0)时，y′>0， ∴y =8000+6000⋅2−sinx cosx在(0,π6)上单调递减，在(π6,π2−θ0)上单调递增．∴当x =π6时，y =8000+6000⋅2−sinx cosx取得最小值为8000+6000⋅2−12√32=8000+6000√3．此时BP =40−30tanx =40−10√3． ∴P 在点B 正西方方向，BP =40−10√3千米．【解析】(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC 与cos∠ABC ，利用sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)展开两角差的正弦求得sin∠BAC ，再由正弦定理求得AB ，进一步可得方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ，设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ，得到sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6，求得总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx ，x ∈[0,π2−θ0]，再由导数求最值．本题考查函数模型的选择及其应用，考查三角形的解法，训练了利用导数求最值，是中档题． 18.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2解得：a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，由{y =√32x +√3y =y 1x 1−2(x −2)，解得x M =1√3x 1√32y −√3x +2√3，又{y =−√32x +√3y =y 1x 1+2(x +2)，解得x N =1√3x 1√32y +√3x +2√3， 因为|MC|2=x M 2+(y M −√3)2=74x M 2， |NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ， 令x M −x N =4y 1+2√3x 1−4√32y −√3x +2√3−−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3，=21√3x 12√3x 112(2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，=26x 12+8y 12−24(2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，因为而P 在椭圆上，所以x 124+y 123=1，即3x 12+4y 12=12， 故x M −x N =0，所以|MC|=|NC|．【解析】(1)根据题意解方程组{1a 2+94b2=1c =1c 2=a 2−b 2得：a 2，b 2，进而可写出椭圆的标准方程；(2)由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，联立直线AC 和BM 可得|MC|2=74x M 2，同理可得|NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ，用作差法证明x M −x N =0，即可．本题考查直线与椭圆的相交问题，难点在化简计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx −a x−1x+1，所以f′(x)=1x −2a(x+1)2， 令f′(2)=0，所以a =94，检验：当a =94时，f′(x)=1x −92(x+1)2=(x−2)(2x−1)2x(x+1)2，x (0,12)12 (12,2)2(2,+∞)f′(x) +0 −0 +f(x)增 极大值减极小值增所以a =94．(2)因为g(x)=(x +1)lnx −a(x −1)，因为x ≥e ， 由(x +1)lnx −a(x −1)>0，得a <(x+1)lnx x−1，令t(x)=(x+1)lnx x−1，则t′(x)=x−2lnx−1x(x−1)2，令φ(x)=x −2lnx −1x ，则φ′(x)=1−2x +1x 2=(1x −1)2≥0， 所以φ(x)在[e,+∞)上单调递增，① 故φ(x)≥φ(e)=e −2−1e >0，所以t′(x)>0，故t(x)在[e,+∞)上单调递增， t(x)min =t(e)=e+1e−1． 所以a <e+1e−1．(3)证明：当a =2时，f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0， 所以f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1， 因为m >n ，所以e m−n >1，所以lne m−n >2(e m−n −1)e m−n +1，即m−n 2>e m−n −1e m−n +1=e m −e n e m +e n ，所以e m −e n m−n<e m +e n2，由①知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ， 因为em−n 2>1，所以2lnem−n 2<em−n 2−1e m−n 2．即m −n <e m−n −1e m−n 2=e m −e ne m+n 2，所以e m+n 2<e m −e n m−n，综上，e m+n 2<e m −e n m−n<e m +e n2．【解析】(1)先求导得f′(x)=1x −2a(x+1)2，若x =2是函数f(x)的极值点，则f′(2)=0，解得a 的值，再检验：列表，分析单调性，确定是否x =2是函数f(x)的极值点． (2)问题转化为对任意x ≥e ，a <(x+1)lnx x−1，只需a <((x+1)lnx x−1)min 即可，令t(x)=(x+1)lnx x−1，求导数分析单调性，进而得t(x)min =t(e)=e+1e−1，进而得出结论．(3)求导，分析单调性得f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即lnx>2(x−1)x+1，把x=e m−n>1，代入可得e m−e nm−n <e m+e n2，由(2)知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x>1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx<x−1x ，把x=e m−n2>1代入得e m+n2<e m−e nm−n，进而不等式得证．本题考查极值，不等式的证明，导数的综合应用，关键是证明不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可得：S n=n2+(a1−1)n,{S n}是Z(1)数列，S n+1≥S n恒成立，(n+1)2+(a1−1)(n+1)≥n2+(a1−1)n对任意的n∈N∗恒成立，a1≥−2n对任意的n∈N∗恒成立，所以a1≥−2．(2)①由题：3T n=R n2+4R n，3T n−1=R n−12+4R n−1,n≥2,n∈N，两式相减得3b2=R2−R n−12+4b n,n≥2，3b2=(R n+R n−1)b n+4b n，n≥2，数列{b n}的各项均为正数，所以3b n=R n+R n−1+4，n≥2，3b n−1=R n−1+R n−2+4，n≥3，两式相减得：3b n−3b n−1=b n+b n−1，n≥3，b n=2b n−1，n≥3，当n=1时,3T n=R n2+4R n,n∈N∗可得3b12=b12+4b1,n∈N∗，数列{b n}的各项均为正数，所以b1=2，当n=2时，3b n=R n+R n−1+4，n≥2可得3b2=R2+R1+4，3b2=b2+2+2+4，所以b2=4，综上可得：数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列．②由①可得b n=2n,c n=b n+λn−1b n =2n+λn−12n，c n+1≥mc n，λ∈[2,3]对任意的n∈N∗恒成立，c n+1≥mc n⇒2n+1+λ(n+1)−12n+1≥m(2n+λn−12n)(∗)，取m=0知，c n+1≥0对任意的λ∈[2,3]，n∈N∗恒成立，∴存在常数m∈R，使{C n}是数列Z(m)，下求m的最大值，由(∗)得m ≤2n+1+λ(n +1)−12n+12n +λn−12n=22n+2+λ(n +1)−12(22n +λn −1) =n +1n (22n +λn −1)+(4−n +1n )⋅22n+n +1n −12⋅(22n +λn −1)=n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(2+λn −1)，所以m ≤[n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)]min ， 因为n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2(22n +λn −1)≥n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2⋅(22n +3n−1)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)，令G(n)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)=4(22n 3n−1)−9n+62⋅(22n +3n−1)=2+6−9n2(22n +3n−1)，则G(n +1)−G(n)=6−9(n+1)2(2+3n+2)−6−9n2⋅(2+3n−1)=(−3−9n)(22n +3n −1)−(6−9n)(22n+2+3n +2)2(22n +3n −1)(22n+2+3n +2)=(27n−27)⋅22n −92(22n +3n−1)(22n+2+3n+2)，当n =1时，G(2)−G(1)<0，G(2)<G(1)； 当n ≥2时，(27n −27)⋅22n −9≥27×8−9>0， ∴G(n +1)>G(n)∴G(2)<G(3)<⋯<G(n)， ∴G(n)min =G(2)=26+6+22(24+6−1)=127， ∴m ≤G(n)min =127，∴m max =127．【解析】(1)写出S n =n 2+(a 1−1)n ，通过S n+1≥S n 恒成立，即可求解；(2)①由题求出首项，根据3T n =R n2+4R n ，3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减，得出递推关系即可证明；②求出{c n }通项公式，根据定义建立不等式，再利用数列单调性求解m 的最大值．此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，作差法求数列单调性，最值，考查综合能力，属于难题．21.【答案】解：∵b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c2]的属于特征值4的一个特征向量． ∴[1b c 2][23]=4[23]，∴{2+3b =82c +6=12，解得b =2，c =3，∴M =[1232]，由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，解得λ1=−1，λ2=4． ∴矩阵M 的另一个特征值为−1．【解析】推导出[1b c 2][23]=4[23]，解得b =2，c =3，由此能求出M =[1232]，再由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，能求出矩阵M 的另一个特征值．本题考查矩阵的性质和应用、特征值计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．22.【答案】解：直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)转化为直角坐标为：A(32,√32)，B(3,0)， 则直线l 的方程为：x +√3y −3=0．曲线C ：ρ=acosθ(a >0)转化为直角坐标方程为：(x −a2)2+y 2=a 24，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 则：|a 2−3|2=a2解得：a =2(负值舍去)． 实数a 的值为2．【解析】首先把极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转换为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系：点到直线的距离等于半径，求出a 的值．本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线距离公式的应用，直线和曲线的位置关系得应用．23.【答案】解：由柯西不等式，得[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]≥(a +b +c)2=25， 即(a 2+b 2+2c 2)⋅52≥25，∴a 2+b 2+2c 2≥10，当且仅当a =b =2c 时取等号． a 2+b 2+2c 2的最小值为10．【解析】a 2+b 2+2c 2化为[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]，然后利用柯西不等式求出a 2+b 2+2c 2的最小值．本题考查了柯西不等式求最值中，属于中档题．24.【答案】解：(1)20件产品中恰有2件不合格的概率f(p)=C 202⋅p 2⋅(1−p)18，∴f′(p)=C 202⋅2p ⋅(1−p)18+C 202⋅p 2⋅(−18(1−p)17) =C 202(1−p)17[2p(1−p)−18p 2]=C 202(1−p)17(2p −20p 2)，令f′(p)=0，由0<p <1，解得p =110，∴当p ∈(0,110)时，f′(p)>0，当p ∈(110,1)时，f′(p)<0， ∴f(p)在(0,110)上单调递增，在(110,1)上单调递减， ∴当p =110时，f(p)取得最大值，∴p 0=110． (2)由题意得X 的可能取值为30，60，90，120，∴P(X =30)=C 30(1−110)3=7291000，P(X =60)=C 31×110×(1−110)2=2431000， P(X =90)=C 32×(110)2×(1−110)=271000， P(X =120)=C 33×(110)3=11000，∴X 的分布列为：∴EX =30×7291000+60×2431000+90×271000+120×11000=39．【解析】(1)根据二项分布概率公式能求出f(p)，利用导数可确定f(p)单调性，从而能求出f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率p 0．(2)首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列，根据数学期望计算即可．本题考查概率的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由(1+x)m+n 的通项公式T r+1=C m+n rx r ，r =0，1，…，m +n ， (1+x)m 的通项公式T k+1=C m k x k ，k =0，1，…，m ， (1+x)n 的通项公式T t+1=C n t x n，t =0，1，…，n ， 可得C m+n p =C m 0C n p +C m 1C n p−1+⋯+C m p C n0； (2)证明：由iC n i=i ⋅n!i!(n−i)!=n ⋅(n−1)!(i−1)!(n−i)!=nC n−1i−1，可得∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=∑i p i=2C n i C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n p i=2C n−1i−1C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n pi=2C n−1i−1C m p−i−(C n 2C mp−2+C n 3C mp−3+⋯+C n p C m 0)=n ∑C n−1i−1p i=2C m p−i −(C m+n p −C n 0C m P −C n 1C m p−1)，第21页，共21页 又C m+n−1p−1=C m 0C n−1p−1+C m 1C n−1p−2+⋯+C m p−1C n−10， 所以∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)−C m+n p +C n 0C m P +C n 1C m p−1，所以原等式的左边=nC m+n−1p−1−n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)+C m+n p −C n 0C m P −C n 1C mp−1 =C m+n p −C m p=右边．故C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p 成立．【解析】(1)运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，即可得到所求恒等式；(2)由组合数的公式推得iC n i =nC n−1i−1，结合(1)的结论，化简整理，即可得证． 本题考查二项式定理的运用，考查恒等式的证明，注意运用组合数的公式以及二项式展开式的通项公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020届全国高考仿真模拟考试(二)理科数学
2020届全国高考仿真模拟考试（二）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案：A解析：因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．故选A.2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z 为纯虚数，且(1＋i)z ＝a －i(其中a ∈R )，则|a ＋z |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案：A解析：复数z ＝a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2，根据题意得到a －12＝0⇒a ＝1，z ＝－i ，∴|a ＋z |＝|1－i|＝2，故选A.3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案：B解析：若命题p 为真命题：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max 在x ∈[－1，1]上恒成立，又(3x )2max ＝3，所以a ≥3.若命题q 为真命题：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，则必须使x 2＋ax ＋1能取所有正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 是真命题，p ∧q 为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当p 为真命题，q 为假命题时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅，当q 为真命题，p 为假命题时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3)，故选B.4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π 答案：B解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.5．[2019·湖南岳阳质检]函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象大致为( )答案：A解析：令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，所以点(1，0)在函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象上，所以排除B ，C.当x →＋∞时，f (x )→－∞，排除D ，故选A.6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：C解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{a n }，且首项a 1＝1，公差d ＝12.小鼠前三天打洞长度之和为12＋1＋2＝72，之后每天打洞长度是常数2，令n ·1＋n (n －1)2·12＋72＋(n－3)·2≥2212(n 指天数，且n 是正整数)，则有n 2＋11n －100≥0，即n (n ＋11)≥100，则易知n 的最小值为6.故选C.7．[2019·河南开封定位考试]将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12答案：A 解析：将函数y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝－cos[2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋2m (m >0)，平移后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x ＝k2sin 2x (k >0)的图象重合，所以⎩⎨⎧k2＝1，－π2＋2m ＝2n π(n ∈Z )，得k ＝2，m ＝n π＋π4(n ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为π4，可知k ＋m 的最小值为2＋π4.故选A.8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：D解析：令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b ＝2a ，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z 取得最大值，且z max＝2×1－0＝2.故选D.9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( )A.16B.56C.38D.58 答案：D解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P ＝1－616＝58，故选D. 10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.334或213D.334或736 答案：D解析：由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝3sin 2A ＝6sin A cos A ，即sinB cos A ＝3sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，而C ＝π3，c ＝7，所以B ＝π6，b ＝c tan B ＝7×33＝213，所以此时△ABC 的面积为12bc ＝12×213×7＝736；当cos A ≠0时，可得sin B ＝3sinA ，由正弦定理得b ＝3a ，又c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－(7)26a 2＝cos π3＝12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.综上可知，△ABC 的面积为334或736.故选D.11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．6 3 答案：A解析：连接AM ，由已知可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23m AP →＋13n AQ →.因为P ，M ，Q 三点共线，所以23m ＋13n ＝1，所以mn ＋m ＝2n ＋m 3＋m ＝2n 3＋4m3＝⎝⎛⎭⎫2n 3＋4m 3⎝⎛⎭⎫23m ＋13n ＝109＋4n 9m ＋4m 9n ≥109＋24n 9m ×4m 9n ＝2，当且仅当4n 9m ＝4m 9n ，即m ＝n ＝1时取等号，所以mn ＋m 的最小值为2.故选A. 12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B 两点，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22C. 3D.33答案：B解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(易知k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝4－2k 2k2.又AF →·BF →＝0，易知F (1，0)，所以(1－x 1)(1－x 2)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，即2k 2＋2＋(k 2－1)4－2k 2k 2＝0，解得k ＝22.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sin α·(3－tan 10°)＝1，则α＝________.答案：40°解析：由题意知sin α(3－tan 10°)＝sin α·3cos 10°－sin 10°cos 10°＝sinα·2(sin 60°cos 10°－cos 60°sin 10°)cos 10°＝sin α·2sin 50°sin 80°＝sin α·2cos 40°2sin 40°cos 40°＝sin αsin 40°＝1，即sinα＝sin 40°.因为α为锐角，所以α＝40°.14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：12＝1×2×36；12＋22＝2×3×56；12＋22＋32＝3×4×76；12＋22＋32＋42＝4×5×96；……照此规律，当n ∈N *时，12＋22＋32＋…＋n 2＝________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6解析：第一个式子：12＝1×(1＋1)×[1＋(1＋1)]6；第二个式子：12＋22＝2×(2＋1)×[2＋(2＋1)]6；第三个式子：12＋22＋32＝3×(3＋1)×[3＋(3＋1)]6；第四个式子：12＋22＋32＋42＝4×(4＋1)×[4＋(4＋1)]6；……第n 个式子：12＋22＋32＋…＋n 2＝n ·(n ＋1)·[n ＋(n ＋1)]6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．答案：288解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A 34＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A 33＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________.答案：12解析：由f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，解得a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，若a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)依题意知a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)，且a n >0， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，两式相除，得S n －S n －1＝1(n ≥2)，可知数列{S n }是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)·22n －1，则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1 ①，4T n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1 ②， ①－②得－3T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n－ 2)1－4－(2n－1)×22n ＋1＝－103＋⎝⎛⎭⎫53－2n ×22n ＋1， 所以T n ＝(6n －5)×22n ＋1＋109.18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，且AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又因为AD ∥BC ，所以TN 綊AM ，则四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB . (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题易知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)，|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.故直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI )，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)设重度污染区AQI 的平均值为x ，则74×2＋114×5＋2x ＝118×9，解得x ＝172.(2)①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P ＝1830＝35.②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 318C 012C 330＝2041 015，P (X ＝1)＝C 218C 112C 330＝4591 015，P (X ＝2)＝C 118C 212C 330＝2971 015，P (X ＝3)＝C 018C 312C 330＝11203，则X 的分布列为数学期望EX ＝0×2041 015＋1×4591 015＋2×2971 015＋3×11203＝65.20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A (b ，0)，B ，F 分别为椭圆C 的上顶点和左焦点，且|BF |·|BA |＝2 6.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过定点M (0，2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m ，0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由离心率e ＝12得a ＝2c ①.由|BF |·|BA |＝26，得a ·b 2＋b 2＝26，∴ab ＝23 ②. 又a 2－b 2＝c 2 ③，∴由①②③可得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2(k >0)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，易知Δ>0，∴k >12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，PG →＋PH →＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)，GH→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))．∵菱形的对角线互相垂直，∴(PG →＋PH →)·GH →＝0，∴(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，得m ＝－2k4k 2＋3，即m ＝－24k ＋3k，∵k >12，∴－36≤m <0(当且仅当3k ＝4k 时，等号成立)．∴存在满足条件的实数m ，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－36，0.21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f (x )＝2mx 3－3x 2＋1(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值；(2)求证：“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件．解析：(1)由题意得f ′(x )＝6mx 2－6x ＝6x (mx －1)，所以当m ＝1时，f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.当x 在[－1，2]内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：max min 故f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值分别为5和－4.(2)因为m >1，所以由f ′(x )＝6mx ⎝⎛⎭⎫x －1m ＝0得x ＝0或x ＝1m. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为f ⎝⎛⎭⎫1m ＝2m ·1m 3－3·1m 2＋1＝－1m2＋1，且m >1，所以f ⎝⎛⎭⎫1m >0. 又f (－m )＝m 2(－2m 2－3)＋1<0，所以f (x )有唯一零点． 所以“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分条件．当m ＝－2时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f ⎝⎛⎭⎫－12＝12－34＋1>0，f (0)>0，f (3)<0，所以此时f (x )也有唯一零点． 从而可知“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件． 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若|AB |＝8，求α的值． 解析：(1)直线l 的普通方程为x ·sin α－y ·cos α＋cos α＝0，∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ， ∴ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)代入x 2＝4y ，得t 2·cos 2α－4t ·sin α－4＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1·t 2＝－4cos 2α.∵|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝⎝⎛⎭⎫4sin αcos 2α2－4×－4cos 2α＝8， ∴cos α＝±22，α＝π4或α＝3π4.23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲] 已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解析：(1)方法一 当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．方法二 设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示．因为f (x )<4，由图可得，－1<x <1，所以M ＝{x |－1<x <1}． (2)方法一 (综合法)因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0， 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.方法二 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|ab |＋1－|a |－|b |≤0， 只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1|)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．方法三 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以|ab |＋1≥1，|a |＋|b |≥1，所以只需证(|ab |＋1)2≤(|a |＋|b |)2，只需证|ab |2＋2|ab |＋1≤|a |2＋2|ab |＋|b |2， 只需证|ab |2＋1≤|a |2＋|b |2，只需证(|a |2－1)(|b |2－1)≤0， 又|a |2<1，|b |2≥1，所以(|a |2－1)(|b |2－1)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．。
江苏省南京外国语学校高考数学四模试卷解析版
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的最大值．
23. 设 x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z= ，求证：x+y+z= ．
24. 一个暗箱中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球，每次从中取出一只球， 取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分．甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球． （1）求甲三次都取得白球的概率； （2）求甲总得分 ξ 的分布列和数学期望．
二、解答题（本大题共 11 小题，共 150.0 分） 15. 已知函数 f（x）=2sin（x+ ）•cosx．
（1）若 0≤x≤ ，求函数 f（x）的值域； （2）设△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f（A ）= ，b=2，c=3，求 cos（A-B）的值．
12. 已知实数 a，b∈（0，2），且满足
，则 a+b 的值为______．
13. 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC= ，BD=1，P 是 AD 边上的动点（包括端点），
则
的取值范围为______．
14. 在△ABC 中，若 cos2A+cos2B+cos2C＜1，sinB= ，则（tan2A-2）•sin2C 的最小值为 ______．
点，则该抛物线的准线方程为______． 6. 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为______．
的右焦
7. 已知 α∈（0，π），
，则
=______．
8. 函数
的定义域为______．
9. 设数列{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，若对 任意 n∈N*，都有 Sn≤Sk 成立，则正整数 k 的值为______．
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知U={1,2,3,4,6,7,8,9}，A={1,2,3}，B={2,6,7}，则∁U(A∪B)=_____．2.复数z=i1−i在复平面内所对应的点在第______象限．3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为_______________．4.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的准线方程为______．6.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为2，则输出y的值为____________．7.已知α∈(0,3π2),sin(π+α)=√32则cos(α−3π2)=______．8.函数y=√x+5x+2的定义域为______ ．9.已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.已知一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角的大小为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是圆柱底面半径的______倍. 11.在平面直角坐标系xOy中，设P为圆C: (x−1)2+y2=4上的任意一点，点Q(2a,a−3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．12.已知a2−3a=1，b2−3b=1，且a≠b，则1a2+1b2=____.13. 在△ABC 中，已知AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为______ ． 14. 已知tan (α+π4)=−2，则sin 2α+cos 2α=__________． 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =12．(1)求角A 的大小；(2)若b =2，c =3，求a 的值．16. 已知如图P 为平面ABCD 外一点，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF//平面PCE ．17. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，a 2c =2，又离心率为√22，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于A 、B 任意一点． (1)求椭圆的方程；(2)若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM ⋅BN 为定值．18.2012年4月开始，大蒜价格上涨较快．某地准备建一个圆形大蒜储备库(如图所示).它的斜对面是一条公路BC，从中心O处向东走1km是储备中心的边界上的点A，接着向东再走2km到达公路上的点B；从O向正北方向3km到达公路的另一点C．(1)建立适当的坐标系，求圆O及直线BC的方程；(2)现在准备在储备库的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，从成本考虑，使得所修的专用线最短，求DE的长度及点D的位置．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n(n∈N∗).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n+2}是等比数列；(3)求{a n}的通项公式．20.已知函数f(x)=e ax．x(1)若f(x)在区间[1,+∞)单调递增，求实数a的取值范围；(2)当a=1时，求函数f(x)在区间[m,m+1](m>0)上的最小值．221.求曲线y=4x在矩阵[0−1]对应的变换作用下所得到的曲线方程．−1022.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数，r>0).以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线M的普通方程；(2)若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．23. 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x +y +z =3√3.求证：x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥√32．24. 布袋中有六个只有颜色不同，其它都相同的球，其中红球有4个，白球有2个．现在从中随机抽取2个球，设其中白球个数为X ． (1)求X =1时的概率； (2)求E(X)．25. 证明：(1)∑2k n k=0C n k =3n(n ∈N )；(2)2C 2n 0+C 2n 1+2C 2n 2+C 2n 3+⋯+C 2n 2n−1+2C 2n 2n =3·22n−1(n ∈N )；(3)2<(1+1n )n<3(n ∈N )；(4)C n 1·12+C n 2·22+⋯+C n n·n 2=n (n +1)·2n−2-------- 答案与解析 --------1.答案：{4,8,9}解析：【分析】本题考查集合的并集和补集的混合运算，属于基础题．根据条件求A∪B，再求补集即可．【解答】解：因为U={1,2,3,4,6,7,8,9}，A={1,2,3}，B={2,6,7}，则A∪B={1,2,3,6,7}，所以∁U(A∪B)={4,8,9}．故答案为{4,8,9}．2.答案：二解析：解：∵z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴数z=i1−i 在复平面内所对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故答案为：二．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z=i1−i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3.答案：3136解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有5种，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个点数之积不小于4的概率．【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，共5种，∴两个点数之积不小于4的概率p=1−536=3136．故答案为3136．4.答案：100解析：【分析】本题考查频率分布直方图，属于基础题，注意纵坐标的意义．【解答】解：三等品的频率为5×(0.0125+0.0250+0.0125)=0.25，所以样本中三等品的件数为400×0.25=100，故答案为100．5.答案：x=−12解析：解：抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离为：p=1．抛物线的准线方程为：x=−12．故答案为：x=−12利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.答案：7解析：【分析】本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．【解答】解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y−x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y−x|≥4，退出循环;故输出的y值为7，故答案为7．7.答案：√32解析：本题考查三角函数的诱导公式，属容易题． 【解答】解：由诱导公式sin(π+α)=−sinα，即 sinα=−√32，所以 cos(α−3π2)=−sinα=√32， 故答案为√32．8.答案：{x|x ≥−5且x ≠−2}解析：解：要使函数有意义，则{x +5≥0x +2≠0，即{x ≥−5x ≠−2，即x ≥−5且x ≠−2， 即函数的定义域为{x|x ≥−5且x ≠−2}， 故答案为：{x|x ≥−5且x ≠−2}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：n 2解析： 【分析】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题． 利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，a 2+a 3=8， ∴2×1+3d =8，解得d =2． 则数列{a n }的前n 项和S n =n +n(n−1)2×2=n 2．故答案为：n 2．10.答案：2√2解析： 【分析】本题考查了圆柱体与圆锥的几何特征与应用问题，是基础题．设圆锥与圆柱的底面半径为R ，圆柱的高为h ，根据已知条件求得h 与R 的关系．解：画出圆柱、圆锥的轴截面，如图所示：设圆锥与圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的外接球的表面积是(ℎ2+4R2)π；∵圆锥的母线与底面所成角为60°，∴圆锥的母线长为2R，∴圆锥的侧面积是2R2π；由题意得：(ℎ2+4R2)π=6×2R2π，化简得ℎ2=8R2，即ℎR=2√2．故答案为：2√2．11.答案：0解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．根据点Q的坐标可得点Q在直线x−2y−6=0上，求出圆心(1,0)到直线x−2y−6=0的距离，再将此距离减去半径，即得所求．【解答】解：设点Q(x,y)，则x=2a，y=a−3，消去参数a得x−2y−6=0，故点Q在直线x−2y−6=0上．由于圆心(4,0)到直线x−2y−6=0的距离为d=1+4=2√55<2，所以直线x−2y−6=0与圆x相交，故线段PQ长度的最小值为0．故答案为0．12.答案：11解析：【分析】本题考查了二元一次方程根与系数的应用，考查转化思想，是基础题．a ，b 转化为一元二次方程x 2−3x −1=0的两根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：由题意可知a ，b 是方程x 2−3x −1=0的两个实数根， 由根与系数的关系可知a +b =3，ab =−1， 所以1a 2+1b 2=a 2+b 2a 2b 2=(a+b)2−2aba 2b 2=32−2×(−1)=11．故答案为11．13.答案：10解析：解：如图所示，△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)×32+λ×32+3×3×32+32−422×3×3=10． 故答案为：10．根据题意画出图形，结合图形用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )即可． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．14.答案：710解析： 【分析】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求值．把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得tanθ，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：由，得，解得．所以．，．故答案为71015.答案：解：(1)△ABC中，∵cosA=1，0<A<π2∴A=π．3=7，(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bcosA=4+9−12×12∴a=√7．解析：(1)直接根据特殊角的三角函数值即可求出，(2)根据余弦定理即可求出．本题主要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，属于基础题．16.答案：证明：如图，取PC的中点M，连接ME、MF，CD．则FM//CD，且FM=12又∵AE//CD ，且AE =12CD ， ∴FM//AE ，且FM =AE ， 即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF//ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ， ∴AF//平面PCE ．解析：本题考查线面平行的证明，属于简单题．取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，推导出四边形AFME 是平行四边形．从而AF//ME ，由此能证明AF//平面PCE ．17.答案：解：(1)∵离心率为√22，可得ca =√22,a 2c=2 ，又a 2=b 2+c 2 ，解得a =√2，b =1，∴椭圆的方程为：x 22+y 2=1;(2)证明：由(1)知A(−√2,0)，B(0,1)，设P(x 0,y 0)，则x 02+2y 02=2，当x 0=0时，M(0,0)，N(0,−1)，|BN|⋅|AM|=2ab =2√2，当x 0≠0时，直线PA 的方程为：y =0x +√2(x +√2)，令x =0，得：y N =√2y0x +√2，故：|BN|=|1−√2y 0x+√2|， 直线PB 的方程为：y =y 0−1x 0x +1，令y =0，得：x M =x 01−y 0，|AM|=|√2+xy 0−1|， 即|BN|⋅|AM|=|0√2−√2y 02(x+√2)(y −1)|=|0202√2x 00√2x 00x y −x +√2y −√2|=2√2为定值．综上所述，|AM|⋅|BN|为定值为定值2√2．解析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，两点之间的距离公式，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． (1)由离心率为√22，可得a 2c=2,ca =√22解得a ，b 即可．(2)求得直线PA 和PB 的直线方程，求得点M 和N 的坐标，求得|AM|和BN|，即可求得|AM|⋅|BN|为定值．18.答案：解：(1)以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题意可得O(0,0)，A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)， 圆O ：x 2+y 2=1，直线BC ：x3+y3=1，即x +y −3=0；(2)点O 到直线BC 距离d =√2=3√22，由题意可得当中心O 到直线BC 的距离减去半径可得到DE 的最小值， 即 |DE|=d −r =32√2−1(km)．由于直线OE 垂直直线BC ，所以OE 方程为：y =x ． 由{y =x x 2+y 2=1，可得x =y =√22(负值舍去)， ∴D 点坐标为(√22,√22)．解析：本题考查建立适当的坐标系，求圆O 及直线BC 的方程，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，确定O ，A ，B ，C 的坐标，即可求圆O 及直线BC 的方程；(2)由题意可得当中心到直线BC 的距离减去半径得到DE 的最小值，即可求DE 的长度；由直线OE 垂直直线BC ，可得直线OE 方程为：y =x ，与圆的方程联立即可求点D 的位置．19.答案：(1)解：∵a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n=(n −1)S n +2n(n ∈N ∗)， ∴当n =1时，a 1=2×1=2；当n =2时，a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4，∴a 2=4；当n =3时，a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6，∴a 3=8． (2)证明：∵a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗)， ① ∴当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n −1)a n−1 =(n −2)S n−1+2(n −1). ②①−②得na n=(n−1)S n−(n−2)S n−1+2=n(S n−S n−1)−S n+2S n−1+2=na n−S n+2S n−1+2．∴−S n+2S n−1+2=0，即S n=2S n−1+2，∴S n+2=2(S n−1+2)．∵S1+2=4≠0，∴S n−1+2≠0，∴S n+2S n−1+2=2，故{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(3)解：由(2)知S n+2=4·2n−1=2n+1．∴S n=2n+1−2．n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1−2−(2n−2)=2n．n=1时，a1=S1=22−2=2适合上式．∴a n=2n，n∈N∗．解析：本题主要考查数列的递推关系，考查等比数列的证明及通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，对n分别赋值，即可求a2，a3的值；(2)由题意，利用数列的递推关系，化简即可得到结论；(3)由(2)知S n+2=4·2n−1=2n+1，则S n=2n+1−2，进而利用n≥2时，a n=S n−S n−1得出答案，注意检验n=1是否满足该通项公式．20.答案：解：(1)由题知：函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，故(e axx )′=e ax(ax−1)x2≥0在[1,+∞)上恒成立，又由e ax>0，x2>0，则ax−1≥0，即a≥1x在[1,+∞)上恒成立，又(1x)max=1，故a≥1．(2)当a=12时，f(x)=ex2x(x≠0)，f(x)′=ex2(x2−1)x；当x2−1>0时，即x>2时，f′(x)>0；当x2−1<0时，即x<0或0<x<2时，f′(x)<0；则f(x)的增区间是(2,+∞)，减区间是(−∞,0)，(0,2)，由于m>0，则m+1>1，当m+1≤2时，即0<m≤1时，f(x)在[m,m+1]上单调递减，则f(x)min =f(m+1)=em+12m+1；当m <2<m +1时，即1<m <2时，f(x)在[m,2]上单调递减，在(2,m +1]单调递增． 则f(x)min =f(2)=e2；当m ≥2时，f(x)在[m,m +1]上单调递增． 则f(x)min =f(m)=e m2m， 综上可知：当0<m ≤1时，f(x)min =f(m +1)=em+12m+1；当1<m <2时，f(x)min =f(2)=e2； 当m ≥2时，f(x)min =f(m)=e m2m．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，综合性逻辑性强，属于较难题． (1)函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，故(e ax x)′=e ax (ax−1)x 2≥0在[1,+∞)上恒成立，即可解得；(2)利用导数判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，注意对m 的讨论．21.答案：解：设P(x,y)为y =4x 上任一点，在[0−1−10]变换作用下的对应点为P′(x′,y′)，则[0−1−10][xy ]=[x′y′]得[−y −x ]=[x′y′]， y =−x′，x =−y′代入y =4x 中，得−x′=−4y′，所以曲线y =4x 在矩阵[0−1−10]对应的变换作用下所得到的曲线方程y =14x ．解析：本题给出矩阵变换，求直线y =4x 在矩阵对应变换作用下得到的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．利用[0−1−10]可得坐标之间的关系，代人直线y =4x 整理，即可求曲线的方程．22.答案：解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ.∴ρ2=8ρsinθ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−8y =0，即x 2+(y −4)2=16， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −4)2=16．∵曲线M 的参数方程为{x =1+rcosαy =1+rsinα(α为参数，r >0)，∴曲线M 的普通方程为(x −1)2+(y −1)2=r 2． (2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2， ∵圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8， ∴直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)，则2×0−6×4=2−r 2，r 2=26， 又r >0，∴r =√26．解析：本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查圆的半径的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)圆C 的极坐标方程化为ρ2=8ρsinθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；曲线M 的参数方程消去参数，能求出曲线M 的普通方程．(2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2，由圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8，得到直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)，由此能求出r 的值．23.答案：证明：由柯西不等式及题意得，(x 2+y 2+z 2)· [(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2=27．又(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y) =6(x +y +z)=18√3， 所以x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥18√3=√32， 当且仅当x =y =z =√3时，等号成立．解析：本题考查柯西不等式的应用，由柯西不等式得到(x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y )·[(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2，即可证明．24.答案：解：(1)从六个球中随机抽取2个球，抽法总数为C 62=15， 其中一个白球，一个红球的抽法总数有C 21⋅C 41=8，P(X =1)=C 21⋅C 41C 62=815．(2)由题意知X =0，1，2， P(X =0)=C 42C 62=615=25，P(X =1)=815， P(X =2)=C 22C 62=115，∴E(X)=0×25+1×815+2×115=23．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于基础题．(1)从六个球中随机抽取2个球，抽法总数为C 62，其中一个白球，一个红球的抽法总数有C 21C 41，由此能求出X =1时的概率．(2)由已知条件知X =0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)．25.答案：解：(1)由二项式定理可得3n =(1+2)n=C n 020+C n 121+C n 222+⋯…+C n n 2n =∑2k n k=0C n k；(2)原式左边=(C 2n 0+C 2n 1+C 2n 2+⋯…+C 2n 2n )+(C 2n 0+C 2n 2+C 2n 4+⋯…+C 2n 2n )=(1+1)2n +12(1+1)2n =22n +22n−1=22n−1(2+1)=3·22n−1．(3)(1+1n )n=1+C n 11n +C n 21n +⋯C n n 1n =2+C n 21n +⋯C n n 1n >2，另一方面，1+C n 11n +C n 21n 2+⋯C n n1n n<1+1+12！+13！+1n ！<1+1+12+122+⋯+12n−1<1+11−12=3.则原式得证．(4)C n k ·k 2=C n k ·[k (k −1)+k ]=k (k −1)C n k +kC n k=k (k −1)n!()+k n!()=n (n −1)C n−2k−2+nC n−1k−1(k ≤2) 原式左端=C n 1+[n (n −1)C n−20+nC n−11]+[n (n −1)C n−21+nC n−12]+⋯+[n (n −1)C n−2n−2+nC n−1n−1]=n +n (n −1)(C n−20+C n−21+⋯+C n−2n−2)+n (C n−11+C n−12+⋯+C n−1n−1)=n +n (n −1)2n−2+n (2n−1−1)=n (n +1)2n−2．解析：本题考查组合数公式和放缩法证明不等式以及二项式定理的应用，属于难题． (1)由二项式定理展开3n =(1+2)n 可证；(2)原式左边=(C 2n 0+C 2n 1+C 2n 2+⋯…+C 2n 2n )+(C 2n 0+C 2n 2+C 2n 4+⋯…+C 2n 2n )，分别由二项式定理逆用可得；(3)由二项式定理展开，然后由放缩法可证不等式；(4)由组合数的性质可得C n k ·k 2=n(n −1)C n−2k−2+nC n−1k−1，代入不等式的左边化简可得答案．。
2020-2021南京育英外国语学校高三数学上期末模拟试卷(带答案)
2020-2021南京育英外国语学校高三数学上期末模拟试卷(带答案)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为32，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．3 D ．13．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1764．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．26．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．338- B ．334- C ．338+ D ．33+ 7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．29．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1310．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3211．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201912．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______. 14．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.15．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________． 17．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．18．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________．20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222sin sin sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()5A C -=，求线段DC 的长．22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，c =b ； （2）若sin B =a =b ． 23．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.25．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值． 26．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．3．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．5．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10sin 10A =， 由正弦定理sin sin a c A C=得sin 10sin 210a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=+， 23302b b +-=，33b -+=（33b --= ∴113333sin 122ABC S ab C ∆--==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．7．D解析：D【解析】n阶幻方共有2n个数，其和为()2221 12...,2n nn n++++=Q阶幻方共有n行，∴每行的和为()()2221122n nn nn++=，即()()2210110101,50522nn nN N+⨯+=∴==，故选D. 8．D解析：D【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，得(a＋c)·(a＋b)＝4－23.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤22b c2a++⎛⎫⎪⎝⎭(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2423－＝2(3－1)＝23－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9．C解析：C【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z=-+在y轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y=+取最大值时，1122y x z=-+在y轴截距最大平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.10．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．11．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-，∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．二、填空题13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填解析：15【解析】由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以1111111()1001005xy x y x y x y ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填15. 14．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正【解析】 【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=， 在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =，又0B π<<，所以sin B == 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =.故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 277S ac B c B c B ======. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．16．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的 解析：2210a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得2210a << ∴实数a 的取值范围是(22,10)． 答案：(22,10)点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．17．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定 解析：4【解析】【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值.【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以故AC 的最大值为四边形外接圆的直径.当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒，所以30ACD ACB ∠=∠=︒.在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB =︒︒，解得：4AC =. 故答案为：4【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.18．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考 解析：8【解析】【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可. 【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3116【解析】【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可.【详解】由题意可知：12221S a =-=，且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =． 【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos 5A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B=∠．故512x x =⇒=．所以5AD DC ==． 22．（1）b =2）b =【解析】【分析】（12b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B，由余弦定理可得2224a c ac =+-g，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】（1）Q 22sin 1cos sin A C B B =-=．∴2b =，2a =Q，c =b ∴=（2）sin 4B =Q，cos 4B ∴=，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222224ac ac ac =+-⋅， 又3a =，解得6c =或6， 6b ∴=或3，经检验，6b =或3为所求．【点睛】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．23．当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元.【解析】【分析】设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，根据题意列出关于x 、y 的约束条件以及线性目标函数，利用平移直线法得出线性目标函数取得最大值的最优解，并将最优解代入线性目标函数即可得出该企业所获利润的最大值.【详解】设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，目标函数为712z x y =+.则变量x 、y 所满足的约束条件为31030094360452000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：作出一组平行直线712z x y =+，当该直线经过点()20,24M 时，直线712z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 7201224428z =⨯+⨯=（万元）. 答：当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.24．（1）6π；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C=+-+- 222sin ab Ca b c =+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan 10A B A B +=-⨯=--. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.25．(1) 6A π=;(2) 2a =. 【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan A =． 进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =．解析：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以tan A =． 又因为 ()0,A π∈，所以 6A π=．（II）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-， 即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =.26．（1）证明见解析；（2）24222n n n n n S +++=-. 【解析】试题分析：（1）对121n n n a a a +=+两边取倒数得111111222n n n na a a a ++==+⋅，化简得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112n n a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222n n n n n S +++=-. 试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又 11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112n n a =+，设23123 (2222)n n n T =++++， ① 则2311121...22222n n n n n T +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)nn n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222n n n n T -∴=--. 又()1123...2n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-. 考点：配凑法求通项，错位相减法.。
2020年江苏省南京市外国语学校高三数学文模拟试题含解析
2020年江苏省南京市外国语学校高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（）A．B．C．D．参考答案：B2. 等差数列{a n}中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，由题意可得a2、a4030是对应方程的实根，由韦达定理可得a2+a4030的值，然后由等差数列的性质可得a2016的值，代入化简即可．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4030是函数的两个极值点，∴a2+a4030=8，∴，∴log2（a2016）=log24=2．故选：A．3. 设变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．4 B．－6 C．6 D．－4参考答案：B 由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC，当直线经过点B（2,4）时，直线的纵截距最大，z的值最小，所以，故选B.4.tan15o＋cot15o的值为 ( )A、 B、 C、1 D、4参考答案：答案：D5. 若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、4参考答案：C6. 椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得a，b，结合隐含条件求得c，则椭圆离心率可求．【解答】解：由+=1，得a2=16，b2=9，∴a=4，，则e=．故选：A．7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）A y=cos2x， x R B. y=log2|x| ， x R且x≠0C.， x RD. y=+1， x R参考答案：B8. 《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到0.1，参考数据: ，)A. 2.2天B. 2.4天C. 2.6天D. 2.8天参考答案：C【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n；莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出．【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=. 莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式，若在两边同乘以，并令，则左边.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则（）A．-2 B．1 C. -1 D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.10. 已知函数满足对任意的实数都有成立,则实数a的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计__________.（用分数表示）参考答案：【知识点】几何概型；简单线性规划E5 K3由题意，120对都小于l的正实数对（x，y）；，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=94，所以，所以π=．故答案为：．【思路点拨】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．12. 从3名男生和2名女生中选出2名参加某项活动，则选出的2名学生中至少有1名女生的概率为_______参考答案：13. 已知平面向量的夹角为120°，且，若，则n= ．参考答案：1【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义，利用两向量垂直，数量积为0列出方程求解即可．【解答】解：平面向量的夹角为120°，且，∴?=2×4×cos120°=﹣4；又，∴（n+）?=0，∴n+=0，即22?n﹣4=0，解得n=1．故答案为：1．14. 已知sin α＝，α∈，tan β＝，则tan(α＋β) ________．参考答案：1略15. 已知向量和的夹角为，则 .参考答案：1316. （文）若实常数，则不等式的解集为．参考答案：因为，得，解得，即不等式的解集为。
2020-2021南京玄武区外国语学校高三数学下期末一模试卷(带答案)
2020-2021南京玄武区外国语学校高三数学下期末一模试卷(带答案)一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．3．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．234．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 5．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-6．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13 C ．12D ．237．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =IA ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}8．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{1,3,5,6}D ．{1,2,3,4}9．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④10．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]11．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 312．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =，则AC =（ ） A ．3 B ．3 C ．23 D ．43二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.16．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．17．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________．20．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.22．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．25．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）．（1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛12nn a +｝的前n 项和Tn . 26．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：()()()()1i1i1i2i2i 1i1i1iz---=+=+ +-+i2i i=-+=，则1z=，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B解析：B【解析】【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.4．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.9．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】 ①中()32f x x =-的定义域为(),0∞-，()2f x x x =-(),0∞-，但()322f x x x x =-=--与()2f x x x =-②中()f x x =与()2g x x =R ，但()2g x x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.11．B解析：B 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．12．C解析：C 【解析】 【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】 解：在ABC ∆中， 可得sin sin BC ACA B=, 即32sin 60sin 45AC 鞍=3232= 解得23AC = 故选C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率解析：13【解析】试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率15．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立 解析：15【解析】 【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa exx-=⇒=-求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的解析：64【解析】【分析】将AC平移到和1BC相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B作//BD AC，过C作//CD AB，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD是平行四边形，故//BD AC，所以1C BD∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D中，1122,23BC C D BD===，故16cos22223C BD∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据解析：30°【解析】【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =.在ABC V 中,)22210103103cos 210103ACB +-∠==⨯⨯,∴30ACB ∠=︒.故答案为：30°【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.18．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S--==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n=，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：(2,3)【解析】【分析】【详解】因为ABC∆为锐角三角形，所以0222B AA Bπππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以463AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64Aππ∈，所以sin2cossinb BAa A==，所以(2,3)ba∈.20．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．三、解答题21．(1)见解析；(2)3sin7α=【解析】试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA⊥面DMB，所以PA BD⊥，（2）以,,MP MB MD所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量()13,1,3n =--u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v =()3,1,3-，121212•1cos ,7n n n n n n ==u v u u v u v u u v u v u u v ，即43sin α=. 试题解析：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ，∵DA DP =，BA BP =∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，3BM =.∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D 从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()3,0DC AB ==u u u v u u u u u v ，()1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即1111030x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴(13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v ，由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，得2222030x z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴23,1,3n =-u u v ∴121212•1cos ,7n n n n n n ==u v u u v u v u u v u v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,n n α=-=u v u u v点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．（Ⅰ）B=4π（Ⅱ）21+ 【解析】【分析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B 24=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos4π≥2ac ﹣2ac 2 整理得：ac 22≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为121222222⨯=-（22+2=1． 23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝()()22200222-++=. ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.24．（1）见解析；（2）13 【解析】【分析】（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结合()1及棱锥体积公式求解．【详解】（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=， MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S V V ∴==⨯⨯=， 由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=V ．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n nn T -=--【解析】【分析】 （1）运用数列的递推式：11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得1322n n n a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12n n a +｝的前n 项和n T . 【详解】 （1）因为11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈ 所以114a S ==-, 1n >时,()()22 515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈（2）因为1322n n n a n +-=， 所以12121432222n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=--， 所以112n n n T -=--. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.26．（1）340x y -+=；（2）5【解析】【分析】 （1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B=r 的值为5． 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．。
2020-2021南京秦淮外国语学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021南京秦淮外国语学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题 1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )A ．22y x =-B ．1()2x y =C ．2y log x =D ．()2112y x =- 2．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-113．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．354．函数()()2ln 1f x x x =+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,45．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 6．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）A ．14B ．12C ．22D 28．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ）A ．1318B ．322C ．1322D ．3189．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13 C ．-3 D ．310．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）AB ．2 CD11．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥；②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥；④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ． 16．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.17．若45100a b ==，则122()a b +=_____________．18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a的取值范围是__________．19．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.20．()sin 5013tan10+=o o ________________.三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.22．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为223sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t l y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望. 24．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥25．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =u u u v u u u v（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】 本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.2．C解析：C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断3．C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.4．B解析：B【解析】【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解.【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->， 所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．B解析：B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．6．A解析：A【解析】【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．7．C解析：C【解析】由题得(1)111122222i i i i z i z i -+====+∴==+. 故选C. 8．B解析：B【解析】【分析】 由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题9．A解析：A【解析】【分析】 由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tan tan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±． 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．11．A解析：A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可.【详解】①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行；④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题.综上，为真命题的是②③④.故选A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.12．A解析：A【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=取1a =，∴2a =，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．14．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线 解析：6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322z y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．15．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.16．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++17．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2【解析】 【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】45100a b ==Q ，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故答案为2 【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：【解析】 【分析】 【详解】因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以0463A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A==，所以ba ∈. 19．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径解析：4【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到323sin 60= 3.在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到131331333224⨯⨯⨯⨯⨯=或者1319333 3.3224⨯⨯⨯⨯⨯= 3393【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1【解析】利用弦化切的运算技巧得出()sin 50sin 501an10+=ooo利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】 原式()2sin 1030sin502sin 40cos 40sin50cos10cos10+===o o o o o ooo()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o oo o o o o . 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．(1) ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）()0,1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22．（1）P，22(4x y ++=；（21-. 【解析】 【分析】（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，36P x π===，6P y π=＝12= ∴点P的直角坐标(，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=，即(224x y ++=，所以曲线C的直角坐标方程为(224x y ++=（2）曲线C的参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的距离，()11d θϕ-+===111≥=，所以点M 到直线l的最小距离为110-. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②.【解析】 【分析】（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。
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B．HCl在水溶液中能电离出 ，因此属于离子化合物
C．碘单质的升华过程中，只需克服分子间作用力
D．在 、 和 都是由分子构成的
【答案】C
【解析】
【分析】
据常见物质的组成、结构、变化的本质分析判断。
【详解】
A.金刚石为原子晶体，足球烯分子（ ）之间靠分子间作用力结合成分子晶体，A项错误；
2021届新高考化学模拟试卷
一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．新冠疫情暴发，消毒剂成为紧俏商品，下列常用的消毒剂中，消毒原理与氧化还原无关的是（）
选项
A
B
C
D
消毒剂
双氧化水
臭氧
医用酒精
84消毒液
A．AB．BC．CD．D
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
B．两个不同原子的1s、2s、2p、3s、3p各亚层中电子的能量相同
C．短周期主族元素原子最外层电子数一定等于其最高化合价
D．CO2通入Na2SiO3溶液中可以得到硅酸
【答案】D
【解析】
【详解】
A.35Cl和37Cl的核外电子数均为17，它们的原子结构示意图、电子式、核外电子排布式、轨道表达式都相同，A项错误；
B.根据分子结构的对称性可知，萘分子中含有2种H原子，如图示： ，则其一氯代物有2种，而菲分子中含有5种H原子，如图示： ，则其一氯代物也有5种，芘分子中含有3种H原子，如图示： ，则其有3种一氯代物，故B项正确；
C.三种分子均有对称性，且为非极性分子，而水为极性键组成的极性分子，则萘、菲、芘中均难溶于水，故C项错误；
D.铁在碱性或者接近中性电解质溶液中主要发生吸氧腐蚀，正极得电子生成氢氧根，电极方程式为：O2+4e- +2H2O→4OH-，故D正确；
正确答案是D。
3．当冰醋酸固体变成液体或气体时，一定发生变化的是
A．分子内化学键B．共价键键能
C．分子的构型D．分子间作用力
【答案】D
【解析】
【详解】
A．冰醋酸固体变成液体或气体为物理变化，化学键未断裂，A错误；
D.苯环为平面结构，则两个或两个以上的苯环通过共用环边构成的多元有机化合物也一定共平面，即所有的原子一定在同一个平面上，故D项错误；
答案选B。
【点睛】
本题的难点是B选项，找稠环的同分异构体，进而判断其一氯代物的种类，结合等效氢法，可采用对称分析法进行判断等效氢原子，该方法的关键是根据分子的对称性找出所有的对称轴或对称中心。
B. HCl是分子构成的物质，属于共价化合物。它电离出 需在水的作用下才能发生，B项错误；
C.碘的升华是物理变化，分子间距离变大只需克服分子间作用力，C项正确；
D. 、 是由分子构成的，但 是原子构成的，D项错误。
本题选C。
9．下列实验操作、现象和所得结论都正确的是
选项
实验Байду номын сангаас
现象
结论
A
向滴有酚酞的Na2CO3溶液中加入少量氯化钡固体，振荡
C．萘、菲、芘中只有萘能溶于水D．萘、菲、芘的所有原子不可能处于同一平面
【答案】B
【解析】
【分析】
A.同系物是组成相似，结构上相差n个CH2，依据定义作答；
B．根据等效氢原子种类判断；
C．依据相似相容原理作答；
D．依据苯的结构特征分析分子内原子共平面问题。
【详解】
A.萘的结构中含两个苯环，菲的结构中含三个苯环，芘的结构中含四个苯环，组成不相似，则三者不是同系物，故A项错误；
双氧水、臭氧、84消毒液均具有强氧化性，氧化病毒和细菌，达到消毒杀菌的目的；酒精消毒的原理是使蛋白质变性，故答案为C。
2．用如图装置进行实验，1小时后观察到生铁明显锈蚀，由此得出的结论是
A．属于化学腐蚀
B．O2未参与反应
C．负极反应2Fe-6e+3H2O→Fe2O3+6H+
D．正极反应O2+4e-+2H2O→4OH-
5．已知有机物M在一定条件下可转化为N。下列说法正确的是
A．该反应类型为取代反应
B．N分子中所有碳原子共平面
C．可用溴水鉴别M和N
D．M中苯环上的一氯代物共4种
【答案】C
【解析】
【详解】
A. M中碳碳双键变成单键，该反应类型为加成反应，故A错误；
B.异丙基中的碳是四面体结构，N分子中所有碳原子不能平面，故B错误；
【答案】A
【解析】煮豆持作羹,漉豉以为汁意思是煮熟豆子来做豆豉而使豆子渗出汁水。所以漉豉以为汁采用了过滤的方法把豆豉和豆汁分开。故A符合题意， B C D不符合题意。所以答案为A。
7．根据原子结构或元素周期律的知识，下列说法正确的是（）
A．35Cl和37Cl中子数不同，所以它们的原子结构示意图、电子式、核外电子排布式、轨道表达式都不相同
【答案】D
【解析】
【详解】
A.铁在碱性或者接近中性电解质溶液中主要发生吸氧腐蚀，属于电化学腐蚀，故A错误；
B.铁在碱性或者接近中性电解质溶液中主要发生吸氧腐蚀，虽然苯可使NaCl溶液隔绝外界空气，但溶液中有溶解氧，氧气参与了反应，故B错误；
C.铁在碱性或者接近中性电解质溶液中主要发生吸氧腐蚀，负极失电子形成Fe2+，方程式为：Fe-2e-= Fe2+，故C错误；
B.同原子的原子同、原子半径越等不同，两不同原子各亚层中电子的能量不相同，B项错误；
C.氧元素、氟元素没有最高正化合价，除氧、氟外，短周期其它主族元素原子最外层电子数等于其最高化合价，C项错误；
D.碳酸的酸性比硅酸强，CO2通入Na2SiO3溶液中可以得到硅酸，D项正确；
答案选D。
8．下列说法正确的是
B．化学键未断裂，则共价键类型未变，键能不变，B错误；
C．物理变化分子本身未变化，分子构型不可能变化，C错误；
D．冰醋酸固体变成液体或气体，分子间间隔增大，需克服分子间作用力，因此分子间作用力被破坏，D正确。
答案选D。
4．稠环芳烃如萘 、菲 、芘 等均为重要的有机化工原料。下列说法正确的是
A．萘、菲、芘互为同系物B．萘、菲、芘的一氯代物分别为2、5、3种
C. M中碳碳双键可与溴水发生加成反应，使溴水褪色，可用溴水鉴别M和N，故C正确；
D. M中苯环上的一氯代物共有邻、间、对3种，故D错误；
故选C。
6．三国时期曹植在《七步诗》中这样写到“煮豆持作羹,漉豉以为汁。萁在釜下燃，豆在釜中泣。……”，文中“漉”涉及的化学实验基本操作是
A．过滤B．分液C．升华D．蒸馏
溶液红色变浅
Na2CO3溶液存在水解平衡
B
向X溶液中滴加几滴新制氯水，振荡，再加入少量KSCN溶液