平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
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（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由
9.在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
8.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． ，且EF交正方形外角 的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 并延长交 于 连接
请问：四边形 是什么特殊平行四边形？为什么？
3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋ PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
（3）在旋转过程中，四边形 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 绕点 顺时针旋转的度数．
6.如图，已知平行四边形 中，对角线 交于点 ， 是 延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求证：四边形 是正方形．
7.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
平行四边形及特殊的平行四边形
1．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AMΒιβλιοθήκη BaiduDM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
2.如图所示，在 中， 将 绕点 顺时针方向旋转 得到 点 在 上，再将 沿着 所在直线翻转 得到 连接
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.
4.如图， 为直角，点 为线段 的中点，点 是射线 上的一个动点（不与点 重合），连结 ，作 ，垂足为 ，连结 ，过点 作 ，交 于 ．
（1）求证： ；
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 ，所以 ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2） 在什么范围内变化时，四边形 是梯形，并说明理由；
（3） 在什么范围内变化时，线段 上存在点 ，满足条件 ，并说明理由
5.如图15，平行四边形 中， ， ， ．对角线 相交于点 ，将直线 绕点 顺时针旋转，分别交 于点 ．
（1）证明：当旋转角为 时，四边形 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段 与 总保持相等；
9.在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
8.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． ，且EF交正方形外角 的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 并延长交 于 连接
请问：四边形 是什么特殊平行四边形？为什么？
3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋ PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
（3）在旋转过程中，四边形 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 绕点 顺时针旋转的度数．
6.如图，已知平行四边形 中，对角线 交于点 ， 是 延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求证：四边形 是正方形．
7.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
平行四边形及特殊的平行四边形
1．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AMΒιβλιοθήκη BaiduDM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
2.如图所示，在 中， 将 绕点 顺时针方向旋转 得到 点 在 上，再将 沿着 所在直线翻转 得到 连接
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.
4.如图， 为直角，点 为线段 的中点，点 是射线 上的一个动点（不与点 重合），连结 ，作 ，垂足为 ，连结 ，过点 作 ，交 于 ．
（1）求证： ；
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 ，所以 ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2） 在什么范围内变化时，四边形 是梯形，并说明理由；
（3） 在什么范围内变化时，线段 上存在点 ，满足条件 ，并说明理由
5.如图15，平行四边形 中， ， ， ．对角线 相交于点 ，将直线 绕点 顺时针旋转，分别交 于点 ．
（1）证明：当旋转角为 时，四边形 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段 与 总保持相等；