图论中的圈与块无向图的最小环
第6-8章 图论2
5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（ ）连通的。 答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 （ ）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（ ）连通的，c的可达集为（ ），d(a,b)=（） 答案：单向 ｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（） 答案： １ １ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。 答案： ４ ４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结 点必连通。（ ） 答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（ ） 答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另 一个或互相可达。（ ） 答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（ ） 答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（ ） 答案：F 12.图6-3为无强分图（ ） 答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中，则e是G的割边。（ ） 答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则 所有结点v，有deg(v)<=5.（ ） 答案：F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用， 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。
图论与网络流理论课后答案
图论与网络流理论课后答案图论与网络流理论是计算机科学中非常重要的两门课程。
学生在学习这些课程时，需要掌握各种算法和理论，以便在实际应用中解决各种问题。
然而，在学习课程后，学生需要进行一些练习，以巩固他们所学的内容，并提高他们的技能水平。
一种非常有效的学习方法是通过解答题目来练习。
本文将提供一些图论与网络流理论的练习题答案，帮助学生评估他们自己的能力，发现自己的错误，以及加强自己的学习。
1. 图论（1）给定一个无向图G=(V,E)，其中V为点的集合，E为边的集合。
一个环是一条从一个点出发，经过若干不同的点，最终返回起点的路径。
请问，如何判断一个无向图中是否存在环？答：可以使用深度优先搜索（DFS）算法来判断是否存在环。
在遍历图的过程中，如果遇到一个已经标记为已访问的顶点，且该顶点不是当前顶点的父亲，则该图中存在一个环。
（2）给定一个带权重的图G=(V,E)，其中每条边都有一个权重。
请问，如何找到一个最小生成树？答：可以使用Prim算法或Kruskal算法来找到一个最小生成树。
在Prim算法中，从一个起始节点开始，将其与最短的相邻节点相连，并将其加入到生成树中。
然后，重复此过程，直到所有节点都加入到生成树中。
在Kruskal算法中，首先将所有边按权重排序，然后按照升序逐个添加边，并检查是否形成了环。
如果没有形成环，则将该边添加到生成树中，否则舍弃该边。
2. 网络流理论（1）给定一个网络流G=(V,E)，其中源点为s，汇点为t，每条边都有一个容量和一个费用。
请问，如何找到一个最小费用流？答：可以使用最小费用最大流算法来找到一个最小费用流。
该算法包含两个步骤。
第一步是找到一个最大流，可以使用Ford-Fulkerson 算法或者Edmonds-Karp算法。
第二步是通过增广路径来增加流量，直到达到最小费用。
（2）给定一个有向无环图G=(V,E)，其中每个节点都有一个点权，且每条边都有一个边权。
请问，如何找到从源点s到汇点t的一条最长路径？答：可以使用动态规划来解决该问题。
图论
图论1．图的基本概念图：由一些点和连接两点间的连线组成图1在这个图中，521,,,v v v 称为这个图的顶点，顶点之间的连线621,,,e e e 称为这个图的边。
通常我们用V 表示一个图中所有顶点的集合，用E 表示一个图中所有边的集合。
于是一个图G 通常被定义为()E V G ,=，在上图中{}521,,,v v v V =，{}621,,,e e e E = 图的阶数：一个图中含有的顶点数。
例如上图中含有5个顶点，故上图称为5阶图 有向边（弧）：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是有序的，即前后顺序是不能颠倒的，则称边e 为有向边或弧。
无向边：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是无序的，即前后顺序是可以颠倒的，则称边e 为无向边无向图：如果一个图中的每一条边都是无向边，则称这个图为无向图 有向图：如果一个图中的每一条边都是有向边，则称这个图为有向图 如果图的某个顶点和某条边是相联的，则称它们是相关联的顶点的次数：在无向图中把与某个顶点相关联的边数称为该顶点的次数。
环算两次，顶点v 的次数记为()v d在有向图中从顶点v 出去的边数，称为顶点v 的出度，记为()v d +进入顶点v 的边数，称为顶点v 的入度，记为()v d-，()()()v d v dv d -++=定理：一个图中所有的顶点的次数之和等于边数之和的两倍 推论：任何图中奇数次顶点的总数必为偶数例：一次聚会中，认识奇数个人的人数必为偶数 孤立点：次数为0的顶点。
图2 图3多重边：在图中，如果两个顶点之间的边多于一条，那么这几条边就称为多重边。
多重图：含有多重边的图环：如果图中某条边的起点和终点为同一个顶点，那么称这条边为环 简单图：既没有多重边又没有环的图在图中如果顶点i v 和j v 之间至少存在一条边，那么称顶点i v 和j v 是相邻的。
如果边i e 和j e 之间至少有一个共同顶点，则称边i e 和j e 是相邻的子图：设有图()111,E V G =和()221,E V G =，如果21V V ⊆并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个子图生成子图：，如果21V V =并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个生成子图图4图5链：以顶点开始以顶点结束的顶点和边的非空有限交替序列 例如43152v e v e v 就是一条链，而4312v e v v 却不是一条链圈：如果一条链的起点和终点是同一个顶点，则称这条链是一个圈如21152v e v e v路：当一条链中所有边和所有顶点均不相同时就称这条链为路 回路：如果一个圈中的所有边均不向图并且除第一个顶点和最后一个顶点相同外其余顶点都不相同，则称这个圈为回路连通图：如果某个图中的任何两个顶点之间至少存在一条链，则称这个图为连通图在实际的应用中，经常会涉及到图中各个顶点之间的某种联系，例如，在城市公路交通图中，需要说明两个路口之间的路段的长度，这时就需要给图的边赋以某个数值（称为线权）或给顶点赋以某个数值（称为点权），我们把这种赋以了数值的图称为加权图或网络。
包含给定结点的最小环
包含给定结点的最小环摘要：1.介绍最小环的概念2.讲解如何求解包含给定结点的最小环3.举例说明求解过程正文：在图论中，环是指一个路径最终回到起点的图形。
最小环是指包含给定结点的最小环，也就是说，在所有包含给定结点的环中，这个环的边数最少。
求解包含给定结点的最小环是一个有趣的问题，下面我们来探讨一下如何求解。
假设我们有一个无向图G = (V, E)，其中V 表示顶点集合，E 表示边集合。
给定一个顶点集合S，我们需要找到一个包含S 中的所有顶点的最小环。
求解包含给定结点的最小环可以采用贪心算法。
具体步骤如下：1.将S 中的所有顶点加入到一个队列Q 中。
2.当队列Q 非空时，进行以下操作：a.弹出队列Q 中的任意顶点v，将其标记为已访问。
b.遍历与顶点v 相邻的顶点u，如果顶点u 未被访问，则将边(v, u) 加入到队列Q 中，并将顶点u 标记为已访问。
3.如果队列Q 为空，说明不存在包含S 中的所有顶点的环，返回空。
否则，返回队列Q 中顶点的顺序形成的环。
下面我们通过一个例子来说明求解包含给定结点的最小环的过程。
假设我们有一个图G = (V, E)，其中V = {1, 2, 3, 4, 5}，E = {(1, 2), (1,3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}。
给定顶点集合S = {1, 3, 5}，我们需要找到一个包含S 中的所有顶点的最小环。
按照上述贪心算法，我们首先将S 中的所有顶点加入到队列Q 中，即Q = {1, 3, 5}。
然后依次弹出队列Q 中的顶点，将其标记为已访问，并遍历与该顶点相邻的未访问顶点，将边加入到队列Q 中，并将顶点标记为已访问。
最终，我们得到的队列Q 中的顶点顺序形成的环为{1, 3, 5}，这就是包含给定结点的最小环。
总结一下，求解包含给定结点的最小环可以通过贪心算法实现。
图论--第4讲路和圈
离散数学路和圈第4讲定义4.1(1) G 中顶点与边的交错序列P=v i e j v i e j … e j v i 称为从v i 到v i 的途径。
(2) 其中v i ，v i 为e j 的端点,r=1,2,…,s 。
v i ,v i 分别是P 的始点和终点.(3) P 中边的条数s 称为P 的长度。
设G 为无向标定图，0112s s 0s 0s r-1r r 注：默认s 1定义4.1进一步，①若v i =v i ，则称途径P 为闭的。
②若P 中所有边各异，则称P 为迹。
若还有v i =v i ，则称P 为闭迹。
③若P 中所有顶点各异(必然有所有边也各异），则称P 为路。
0s 0s定义 4.1④若除了v i =v i 外顶点都各异，且所有边也各异,则称P 为圈;将长度为奇数的圈称为奇圈;将长度为偶数的圈称为偶圈。
s 0可类似定义有向图的上述概念，但要保持方向的一致性。
1在定义圈的时候，我们加上了边也各异的条件是为了排除下面的情形：v 0e 1v 1e 1v 02注意环是长为1的圈，两条平行边构成长为2的圈。
3（1）只用边的序列表示途径。
定义4.1中的P 可以表示成e j e j … e j 。
（2）在无平行边的图中也可以只用顶点序列表示途径。
定义中的P 可以表示成v i v i … v i 。
还可以用更简单的表示法表示途径。
412s12s在n 阶图G 中，若顶点v i 和v j (v i ≠v j )存在途径，则v i 和v j 之间存在长度小于或等于（n-1）的途径。
定理4.1推论：在n 阶图G 中，若从顶点v i 到v j (v i ≠ v j )存在途径，则v i 到v j一定存在长度小于或等于n-1的路。
定理4.2在一个n阶图G中，若存在v i到自身的闭途径，则一定存在v i到自身长度小于或等于n的闭途径。
推论：在一个n阶图G中，若存在v i到自身的闭迹，则一定存在长度小于或等于n的圈。
NOIP信息学竞赛初赛-图论算法基础-专题十一-1
专题十一：图论算法基础对于图论算法，NOIP初赛不要求会实现算法，但手工操作还是要会的，复赛是要求会代码实现的。
什么是图一个图是一个序偶<V, E>,记为G =<V, E> 。
V 为顶点集, E 为V 中结点之间的边的集合。
自环：一条边的两个端点是相同的。
重边：两个端点之间有两条以上的边，称他们是重边。
简单图：没有自环和重边的图。
无向边：边是双向的。
有向边：单向边，有箭头。
无向图：只有无向边的图。
有向图：只有有向边的图。
混合图：既有无向边又有有向边。
顶点的度：无向图中，一个顶点相连的边数称为该顶点的度；有向图中，从一个顶点出发的边数称为该顶点得出度；到达该顶点的边数称为它的入度。
图论基本定理：著名的握手定理。
无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。
有向图中结点入度的和等于出度的和等于边数。
通路：给定图G中结点和边交替出现的一个序列：v0 e1 v1 e2 v2 …ek vk，若每条边ei的两端点是vi-1 和vi ，那么称该序列是从v0到vk的一条通路。
基本通路(路径)：没有重复出现的结点的通路。
图的连通性：若一张无向图的任意两个结点之间都存在通路，那么称该图是连通的。
连通分量：图中连通的顶点与边的集合。
权和网：在图的边给出相关的数，成为权。
权可以表示一个顶点到另一个顶点的距离，耗费等。
带权图一般成为网。
最短路径：对于一张不带权的无向图来说，从s到t的最短路径就是所有从s到t的通路中长度最短的那一条(可能不唯一)，通路上的边数称为路径的长度。
完全图：任何两个顶点之间都有边（弧）相连称为完全图。
稀疏图、稠密图：边（弧）很少的图称为稀疏图，反之为稠密图。
图的存储：邻接矩阵在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。
若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行第j列元素值为1，否则为0 。
例如, 下面为两个无向图和有向图对应的邻接矩阵。
有向图与无向图的性质与算法
有向图与无向图的性质与算法1. 引言在图论中，有向图和无向图是两种最基本的图模型。
它们在表达和解决各类实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍有向图和无向图的性质以及相关算法，以便读者对其有更深入的理解。
2. 有向图的性质有向图是由一系列顶点和有方向的边组成的图模型。
以下是有向图的几个重要性质：2.1 有向边的方向性与无向图不同，有向图中的边是有方向的，它们从一个顶点指向另一个顶点。
这种方向性在描述一些实际问题时非常有用，比如描述物流运输的路径。
2.2 顶点的入度和出度有向图中的每个顶点都有一个入度和一个出度。
顶点的入度是指指向该顶点的边的数量，而出度是指从该顶点出发的边的数量。
通过计算入度和出度，我们可以了解顶点在图中的连接情况。
2.3 有向环和拓扑排序有向图中存在一个重要的概念，即有向环。
有向环是指从一个顶点出发，经过若干个有向边后又回到该顶点的路径。
有向环在一些问题的分析和解决中具有特殊意义。
而拓扑排序是一种常用的对有向无环图进行排序的方法，它可以按照顶点之间的依赖关系进行排序。
3. 无向图的性质无向图是由一系列顶点和无方向的边组成的图模型。
以下是无向图的几个重要性质：3.1 无向边的无方向性与有向图不同，无向图中的边是无方向的，它们连接着两个顶点，代表了两个顶点之间的关系。
无向图可以用来表示一些没有方向性的问题，比如社交网络中的好友关系。
3.2 顶点的度数无向图中的顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
顶点的度数越高，说明该顶点在图中的重要性越高，具有更多的连接关系。
3.3 联通性和连通分量无向图中有一个关键性质，即联通性。
若两个顶点之间存在一条连接它们的路径，则称这两个顶点是连通的。
连通分量则是将图中所有连通的顶点分为若干个集合，每个集合内的顶点都是连通的。
4. 算法与应用4.1 有向图的最短路径算法有向图中的最短路径算法是指寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径的方法。
其中，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的有向图最短路径算法。
图论中的圈与块,无向图的最小环
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嗅探器(4)
题目要求的点一定是图中的割点，但是图中 的割点不一定题目要求的点。如上图中的蓝 色点，它虽然是图中的割点，但是割掉它之 后却不能使a和b不连通 由于a点肯定不是我们所求的点，所以可以以 a为根开始DFS遍历整张图。 对于生成的DFS树，如果点v是割点，如果以 他为根的子树中存在点b，那么该点是问题所 求的点。
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DFS算法
父子边用黑色标记，返祖边用红色标记 如下图，除掉返祖边之后，我们可以把它看 作一棵DFS树
1 2 3 4 5
6
7
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割点
G是连通图，v∈V(G)，G – v 不再连通，则称 v是G的割顶。
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结点个数N≤100000 边数M≤1000000
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关键网线(2)
朴素算法： 枚举每条边，删除它，然后判断是否有独立 出来的连通区域内没有A属性或者没有B属性。 复杂度O(M2) 当然，这个复杂度太大了！
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关键网线(3)
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块及其相关知识
DFS算法 割点 (一般对于无向图而言) 割边 (一般对于无向图而言) 块(一般对于无向图而言) 强连通子图(一般对于有向图而言)
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DFS算法
1973年，Hopcroft和Tarjan设计了一个有效的DFS算法 PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign for 寻找一个v的相邻节点u if 边uv没有被标记过 then begin 标记边uv; 给边定向v→u; 如果u被标记过,记uv为父子边,否则记uv为返祖边 if u未被标记 then DFS(u); end; end;
图论第3章
每个图都是它的块的并图。一个图的两个不同块的公共点只 能是割点，即块与块之间只能由割点相联接。 图G的块割点图—bc(G)：顶点由图G（非平凡联通）的块和 割点组成，uv是bc(G)中的一条边当且仅当u，v中有一个是G 的割点，另一个是该割点联结的块。
B1 1 B3 2 B2 B1 1 B4 B2 B6
必要性 G无环是显然的。下证G中任意两点都位于同一个 圈上。我们对任意两点u和v的距离d(u,v)用归纳法。
当d(u,v) = 1时，因G是至少三个点的块，故边uv不是割边。 由定理1，边uv位于某一圈中，于是u和v也位于此圈中。
设对满足d(u,v)< k的任意两点u和v结论成立。 对d(u,v) = k ≥ 2的u和v，取一条长为k的（u, v）路P，设w 是v前面的那一点。因此有d(u, w) = k-1，由归纳假设知u与 w位于同一个圈C中。若v也在C中，则已得到证明。
(2) 若G无环且非平凡，则v是G 的割点当且仅当 ω(G-v)＞ω(G)
(3) 若无环图G连通，则割点是指删去该点使G不 连通的点。 思考：树中的割点满足什么性质？
定理2 设 v 是树的顶点，则 v是G 的割点当且仅当 d(v)>1。 定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当 且仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1 ，y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
u
定理4 设图G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无环并且任意 两点都位于同一个圈上。
证明 充分性 此时G显然连通。若G不是块，则G中存在割点v，由定理3: V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1，y∈V2， 并且点v在每一条(x, y) 路上。 这表明x与y不可能位于同一个圈上, 这与假设矛盾, 所以G是块。
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
图论一：基本概念
图论⼀：基本概念
⼀、图的基本概念
（⼀）图的点和边
1、图的定义：⼀个图G=（V,E）由顶点集V和边集E组成。
2、边：⼀个点对（v,w），分为有向边，和⽆向边；
3、图的分类：有向图（点对是有序的），⽆向图（点对是⽆向的）
4、点与边的关系：顶点v与w邻接，当且仅当（v,w）属于E
5、权：每条边除了有顶点（v,w）有时还有⾃⼰的值或权。
（⼆）图的路径
1、路径定义：图的路径是⼀个顶点序列w1,w2,w3,……,wn，使得（wi，wi+1）属于E，（1<=i<n）
2、路径的长：
（1）⽆权路的路径的长度是该路径上的长度
（2）有权路径的路径的长度是该路径上所有边的权值之和
3、环：⼀个从顶点到它⾃⾝的边（v,v），环的长度是1
4、简单路径：⼀条路径上所有顶点都是互异的，（但第⼀个和最后⼀个可能相同）。
（三）圈
1、有向图的圈满⾜w1=wn且长度⾄少为1的⼀条路径，且每条边都是互异的
（eg：⽆向图的（u，v，u）不是圈，因为（u，v）和（v,u）是同⼀条边）
2、⼀个⽆圈图称为DAG
（四）连通图
1、（⽆向图）连通：如果⼀个⽆向图图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，就称这个图是连通图
2、有向图：
（1）强连通图：⼀个有向图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，这个图就是强连通的
（2）弱连通图：⼀个有向图不是强连通涂，但是去掉⽅向的这个⽆向图是连通图。
图论
Floyd算法 - 代码
������ ������ [������]初始值为无穷大。如果������和������之间有边那么������ ������ [������]为最小的边权。
如果经过，那么������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ − 1 + ������ ������ ������ [������ − 1]； 否则，������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ − 1 。
Dijkstra算法
我们首先来看一些正权图的性质： 1. 如果1到������的最短路上包含������，那么这条路径上1到������的部分为1到������的最短
路。 2. 任意一条最短路的一部分的长度一定不大于整条路径的长度。
Dijkstra算法
由这两个性质，我们有： 1. 假设1到 ������ 的最短路路径依次经过 ������1, ������2, … , ������������ （其中 ������1 = 1 ， ������������ = ������ ），
Dijkstra算法 – 代码
定义������[]为源点到每个点 的最短路距离。
初始化。
找到尚未处理的最短路 距离最小的点。
标记为已处理。 用这个点更新其他点的
������[]。
Dijkstra算法 – 优化
首先得改变存储图的方式。
瓶颈在于哪里？ 外层循环无法优化。 内层循环：
离散数学第七章图论习题课件
解此不等式可得n≥7，即G中至少有7个结点，7个结点时，其度数列为2,2,2,3,3,4,4，△=4,δ=2。
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？ (1)证明中关键步骤是握手定理： 2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G) ⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于最小度δ(G)，小于或等于最大度△(G)。 (2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
信息科学与工程学院
离 散 数 学
河南工业大学
第7章 图 论 习题课
1
复 习 时 注 意
2
准确掌握每个概念
5
证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问题，再按正向思维写出证明过程。
4
注意解题思路清晰
3
灵活应用所学定理
图
通路与回路
图的连通性
欧拉图
汉密尔顿图
无向树及其性质
平面图的基本性质
欧拉公式
平面图的对偶图
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。
环跳和秩边的简易取法
环跳和秩边的简易取法环跳和秩边，是图论算法中的两个重要概念。
环跳，是指从一个点出发，经过若干个边后回到原点的行为；秩边，则是指一个无向图中，度数最小的那些边的度数。
环跳和秩边，在很多图算法中都有广泛应用，因此我们有必要深入理解这两个概念，并学习它们的简易取法。
一、环跳环跳指从一个点出发，经过若干个边后回到原点的行为。
在无向图和有向图中均有应用，具体表现为在图中形成的环路上进行遍历。
环跳可以大致分为两种，即深度优先搜索的回溯过程和弦图的最大团的求解过程。
深度优先搜索中的回溯过程深度优先搜索是一种重要的图搜索算法，通常用于遍历图中的所有节点。
其核心思想是从一个节点开始，依次深入每个子节点，直至图中所有节点都被探索过。
当遇到无法继续深入的节点时，算法会进行回溯，将当前节点出栈，回到上一个符合条件的节点。
这一过程中，会形成环路，也就是环跳。
在深度优先搜索的回溯过程中，我们可以通过检查某个节点是否在回溯路径上出现过，从而确定是否形成了环路。
弦图的最大团的求解过程弦图是一种特殊的图，其中任意长度大于等于4的简单环都存在至少一个弦，也就是连接环内任意两个不相邻节点的边。
根据弦图的特点，我们可以通过对其进行最大团的求解，来获得所需的环路信息。
在弦图上，最大团指的是一个点集，使得其中任意两个点之间都存在一条边，且该点集不能再添加其他节点。
通过求解弦图的最大团，我们可以得到环路的信息，从而实现环跳。
二、秩边秩边指的是一个无向图中，度数最小的那些边的度数。
在图论算法中，秩边通常用于解决一些网络最大流和网络最小割问题。
它的基本原理是，在图中寻找一个最短的割集，将该割集中的节点分为两个独立集合，然后计算该割集的最大流量。
在最小割问题中，秩边用于选择合适的边集来形成最短割。
对于秩边的求解，通常可以使用一些现成的算法来实现。
其中，最简单的方法之一是通过遍历所有的节点和边，计算每个边的度数，然后选取其中度数最小的边即为秩边。
这一方法虽然效率较低，但实现较为简单，适用于一些节点数量较少的情况。
3图论-图基本概念9-14
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。 有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用 ｜V(G)｜ ，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似） 若｜V(G)｜ ＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø ，则称G为零图 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图) 5）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的 顶点的相邻： 若∃et∈E，使得et = < vi，vj>， 则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
二、图的同构 定义 设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)， 若存在双射函数f：V1 → V2 顶点的一一对应 对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1) 当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)， 边的对应 并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同， 则称G1与G2是同构的，记作Gl ≅ G2
图论基础：图的基本概念和应用
图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。
图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。
通常顶点表示为V，边表示为E。
2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。
3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。
权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。
有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。
4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。
环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。
5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。
二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。
2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。
这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。
3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。
图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。
4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。
这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。
5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。
通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。
与图论相关的算法
广度优先搜索
procedure bfs(i:integer); var p:arcptr;
closed,open:integer; q:array[1..maxn] of integer; begin 访问并处理顶点i; map[i].visited:=true; 顶点i进入队列q; closed:=0; open:=1; repeat
编号都不超过k的路径。 递推公式：
t(k)[i,j]= t(k-1)[i,j] or (t(k-1)[i,k] and t(k-1)[k,j])
Johnson算法
Johnson算法常用于求顶点个数较多的稀 疏图的每对点间最短路问题。
感兴趣的同学请参阅《国际信息学奥林 匹克竞赛指导——实用算法的分析与程 序设计》
inc(closed); v:=q[closed]; p:=map[v].firstarc; while p<>nil do begin
if map[p^.v].visited=false then begin 访问并处理顶点q^.v; map[q^.v].visited=true; inc(open); q[open]:=q^.v; end;
q:=q^.nextarc; end; until closed=open; end;
计算连通分支数
count:=0; for i:=1 to n do
map[i].visited:=false; for i:=1 to n do
if map[i].visited=false do begin inc(count); dfs(i); end;
最小环 计数 -回复
最小环计数-回复【最小环计数】是一个数学问题，主要涉及到图论和组合数学的知识。
在解决这个问题时，需要运用一些基础的数学原理和算法。
下面将为您逐步解答这个问题。
首先，让我们来了解一下什么是“最小环”。
在图论中，一个“环”是由顶点和边组成的一个闭合路径，其中每个顶点只出现一次，且起点和终点相同。
而“最小环”则是指连接图中最少顶点数的环。
那么，如何计算最小环的数量呢？步骤一：确定问题的具体情境和图表模型首先需要明确问题的背景和具体情境，以及如何将其表示为一个图。
一般而言，最小环问题可以通过无向图或有向图来表示。
在无向图中，边没有方向，可以随意穿越；而在有向图中，边有方向，只能按照箭头指示的方向进行遍历。
步骤二：遍历图，找到所有环的起始点为了解决最小环计数的问题，我们需要遍历整个图，找到所有可能成为最小环起点的顶点。
具体的算法可以是深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)。
这样能确保我们不会漏掉任何一个潜在的最小环起点。
步骤三：从每个起始点出发，寻找最小环一旦找到所有可能成为最小环起点的顶点，我们就可以从每个起始点开始进行搜索，寻找形成一个环的路径。
我们需要记录已访问的顶点和经过的边，以此避免进入无效路径和陷入死循环。
在找到一个最小环后，我们可以将其存储起来，然后继续寻找下一个最小环。
步骤四：计数最小环的数量在找到所有的最小环后，我们可以计算其数量。
由于每个最小环都是基于一个起始点进行搜索的，因此可以使用一个简单的计数器来记录找到的最小环个数。
步骤五：输出结果并进行验证最后，我们需要将结果输出并进行验证。
我们可以将最小环的数量打印出来，或将其存储在一个数据结构中，以便后续分析和使用。
此外，我们还可以通过手动计算或使用其他方法来验证我们的计算结果是否准确。
综上所述，通过以上步骤，我们可以解决最小环计数的问题。
无论是使用DFS还是BFS，或者其他图论算法，都可以实现这一目标。
对于复杂的图，可能需要更高级的算法和数据结构来提高计算效率。
图论中的圈与块,无向图的最小环
关键网线(4)
下图中，蓝色的边表示题目要求的边，黄色 的边表示虽然是图中的割边，但不是题目要 求的边。 A
B B A A B
2011-1-28
A A A A
35
A
浙江省2006年集训讲义
块
没有割点的图叫2-连通图，亦称做块，G中成 块的极大子图叫做G的块。把每个块收缩成 一个点，就得到一棵树，它的边就是桥。
结点个数N≤100000 边数M≤1000000
2011-1-28
浙江省2006年集训讲义
32
关键网线(2)
朴素算法： 枚举每条边，删除它，然后判断是否有独立 出来的连通区域内没有A属性或者没有B属性。 复杂度O(M2) 当然，这个复杂度太大了！
2011-1-28
浙江省2006年集训讲义
33
关键网线(3)
11
最小环问题
虽然涉及到要求最小环的题目并不多 (Ural1004 Sightseeing trip)，但是下面介绍 的一些求最小环的算法也会对你有一定的启 示意义
有向带权图的最小环问题(直接用floyd算法可解) 无向带权图的最小环问题
2011-1-28
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12
朴素算法
令e(u,v)表示u和v之间的连边，再令min(u,v) 表示，删除u和v之间的连边之后，u和v之间 的最短路 最小环则是min(u,v) + e(u,v) 时间复杂度是EV2
图论中的圈与块
绍兴县柯桥中学 黄劲松
基本概念
圈(环) 割点 割边(桥) 块 强连通子图(强连通分量(支,块))
2011-1-28
浙江省2006年集训讲义
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1973年，Hopcroft和Tarjan设计了一个有效的DFS算法 PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign for 寻找一个v的相邻节点u if 边uv没有被标记过 then begin 标记边uv; 给边定向v→u; 如果u被标记过,记uv为父子边,否则记uv为返祖边 if u未被标记 then DFS(u); end; end;
结点个数N≤100000 边数M≤1000000
2018/10/14
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关键网线(2)
朴素算法：
枚举每条边，删除它，然后判断是否有独立
出来的连通区域内没有A属性或者没有B属性。 复杂度O(M2) 当然，这个复杂度太大了！
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
2018/10/14 浙江省2006年集训讲义 29
嗅探器(5)
时间复杂度是O(M)的
如图，蓝色的点表示问题的答案，黄色的点
虽然是图的割点，但却不是问题要求的答案
a
b
2018/10/14
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30
关键网线(1)
无向连通图中，某些点具有A属性，某些点具
有B属性。请问哪些边割掉之后能够使得某个 连通区域内没有A属性的点或者没有B属性的 点。(CEOI2005) 数据范围约定
浙江省2006年集训讲义 14
2018/10/14
块及其相关知识
DFS算法
割点 (一般对于无向图而言) 割边 (一般对于无向图而言)
块(一般对于无向图而言)
强连通子图(一般对于有向图而言)
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
15
DFS算法
2018/10/14 浙江省2006年集训讲义 33
关键网线(4)
下图中，蓝色的边表示题目要求的边，黄色
的边表示虽然是图中的割边，但不是题目要 求的边。 A
B B A A A B
2018/10/14
A
A
A
A
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浙江省2006年集训讲义
你的任务是对于每个询问，输出min(u,v)的值。
(WC2006)
2018/10/14 浙江省2006年集训讲义 4
水管局长(பைடு நூலகம்)
数据范围约定
结点个数N≤1000 图中的边数M≤100000
询问次数Q≤100000
删边次数D≤5000
2018/10/14
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5
水管局长(3)
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
23
程序代码
PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign lowlink[v] := sign; //给lowlink[v]赋初始值 for 寻找一个v的相邻节点u if 边uv没有被标记过 then begin 标记边uv; 给边定向v→u; if u未被标记过 then begin DFS(u); //uv是父子边，递归访问 lowlink[v] := min(lowlink[v],lowlink[u]); if lowlink[u] > dfn[v] then vu是割边 end else lowlink[v] := min(lowlink[v],dfn[u]); //uv是返祖边 end; end;
令e(u,v)表示u和v之间的连边，再令min(u,v)
表示，删除u和v之间的连边之后，u和v之间 的最短路 最小环则是min(u,v) + e(u,v) 时间复杂度是EV2
2018/10/14
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12
一个错误的算法
预处理出任意两点之间的最短路径，记作
min(u,v) 枚举三个点w,u,v，最小环则是min(u,w) + min(w,v) + e(u,v)的最小值 如果考虑min(u,w)包含边u-v的情况？ 讨论：是否有解决的方法？
7.7
19
浙江省2006年集训讲义
三个定理
定理1：DFS中，e=ab是返祖边，那么要么a
是b的祖先，要么a是b的后代子孙。
证明？
定理2：DFS中，e=uv是父子边，且dfn[u]>1，
lowlink[v]≥dfn[u]，则u是割点。
证明？
定理3：DFS的根r是割点的充要条件是：至
少有2条以r为尾(从r出发)的父子边
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
28
嗅探器(4)
题目要求的点一定是图中的割点，但是图中
的割点不一定题目要求的点。如上图中的蓝 色点，它虽然是图中的割点，但是割掉它之 后却不能使a和b不连通 由于a点肯定不是我们所求的点，所以可以以 a为根开始DFS遍历整张图。 对于生成的DFS树，如果点v是割点，如果以 他为根的子树中存在点b，那么该点是问题所 求的点。
基本概念
圈(环)
割点 割边(桥)
块
强连通子图(强连通分量(支,块))
2018/10/14
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1
圈及其相关知识
MST(最小生成树)另类算法
最小环问题
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
2
MST另类算法
任意构造一棵原图的生成树，然后不断的添
边，并删除新生成的环上的最大边。
浙江省2006年集训讲义 21
2018/10/14
割边
G是连通图，e∈E(G)，G – e 不再连通，则称
e是G的割边，亦称做桥。
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
22
求割边的算法
与割点类似的，我们定义lowlink和dfn。父子
边e=u→v ，当且仅当lowlink[v] > dfn[u]的时 候，e是割边。 我们可以根据割点算法的证明类似的证明割 边算法的正确性。
a
b
2018/10/14
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26
嗅探器(2)
数据范围约定
结点个数N≤100 边数M≤N*(N-1)/2
2018/10/14
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27
嗅探器(3)
朴素算法：
枚举每个点，删除它，然后判断a和b是否连
通，时间复杂度O(NM) 如果数据范围扩大，该算法就失败了！
浙江省2006年集训讲义 16
2018/10/14
DFS算法
父子边用黑色标记，返祖边用红色标记
如下图，除掉返祖边之后，我们可以把它看
作一棵DFS树
1 2 3 4 5
6
7
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
17
割点
G是连通图，v∈V(G)，G – v 不再连通，则称
v是G的割顶。
32
关键网线(3)
正如嗅探器一样，题目要求的边一定是原图
中的割边，但是原图中的割边却不一定是题 目中要求的边。 设A种属性总共有SUMA个，B中属性总共有 SUMB个。和嗅探器类似的，如果边e=u→v 是割边，且以v为根的子树中，A种属性的数 目为0或者为SUMA，或者B种属性的数目为0 或者为SUMB，那么e就是题目要求的边。
1
10 7 5
3
算法证明? 2
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
3
水管局长(1)
给定一张带权无向连通图，定义max(p)为路
径p上的最大边，min(u,v)为连接u和v的所有 路径中，max(p)的最小值。动态的做如下两 个操作：
1：询问某两个点之间的min(u,v) 2：删除一条边
2018/10/14 浙江省2006年集训讲义
证明？
20
程序代码
PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign lowlink[v] := sign; //给lowlink[v]赋初始值 for 寻找一个v的相邻节点u if 边uv没有被标记过 then begin 标记边uv; 给边定向v→u; if u未被标记过 then begin DFS(u); //uv是父子边，递归访问 lowlink[v] := min(lowlink[v],lowlink[u]); if lowlink[u] >= dfn[v] then v是割点 end else lowlink[v] := min(lowlink[v],dfn[u]); //uv是返祖边 end; end;
最小生成树 根据刚才提到的MST的另类做法，我们反向 处理它的每个操作，也就是先删除所有要删 的边，然后再逆向添边并回答min(u,v) 于是该问题就可以用另类MST算法解决了
2018/10/14
浙江省2006年集训讲义
7
水管局长(5)
这里涉及到一些图与树的存储操作，如何在
O(N)的时间内找到环上最大边，并维护一棵 最小生成树呢？ 如果采取邻接表的存储方式来记录一棵最小 生成树，从添加的边的某个点开始遍历整棵 树，寻找出环上的最大边，虽然理论复杂度 是O(N)的，但是有很多的冗余
浙江省2006年集训讲义 24
2018/10/14
割点与割边
猜想：两个割点之间的边是否是割边?割边的
两个端点是否是割点？ 都错！