平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的基本定理
a 1 e1 2 e2
其实质：同一平面内任一向量都可以用
两个不共线的向量进行表示.
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G ，产生两个效果，一个是下滑力为 F ，一 1 个是木块对斜面的压力为 F2 .
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫
a 2 3i 2j
B a j O i
P A
y
i, j 是分别与 如图， x轴、 y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
对于该平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数x、y，可使 a = xi + y j.
课堂小结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， d b、 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
A A1
同理
b = -2i + 3j = (-2, 3); c = -2i - 3j = (-2, -3); d = 2i - 3j = (2, -3).
三者有何相互关系？
F 1 G
F2
F 1 G
F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用 F ，沿斜面下滑；一是木块产 1 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的 效果等价于F 和F2 得合力效果，即 G = F + F . 1 1 2
平面向量的正交分解及坐标表示
复习:
1.向量旳数乘运算:实数λ与向量a旳积是一种向 量，记作λa， 它旳长度和方向要求如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa旳方向与a方向相同； 当λ<0时,λa旳方向与a方向相反；
尤其地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
，
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差旳坐标分别等于这 两个向量相应坐标旳和与差
（2） 若 A(x1, y1 ) B(x2 , y2 )
则 AB x2 x1, y2 y1
一种向量旳坐标等于表达此向量旳 有向线段旳终点坐标减去始点旳坐 标
（3）若 a (x, y) 和实数
则 a (x, y)
实数与向量旳积旳坐标等于用这个实 数乘原来向量旳相应坐标
例5.已知 a=(2，1)，
b =(例-354，．4)已，知求例6a b
3a 4b 旳坐标.
ab
作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4
尤其地:
()a (a) (a)
(a b) a b
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一种实数λ，使得 b=λa
新课讲解
设e1、e2是同一平面内旳两个不共
线旳向量，a 是这一平面内旳任历来量，
我们研究 a 与 e1、e2之间旳关系.
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。
平面向量的正交分解及坐标表示
学习好资料欢迎下载学习好资料 欢迎下载教材解读：探究一：如图，i,j 为互相垂直的单位向量，请用i , j 表示图中的向量a,b,c,d.请学生动手完成并回答：根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在打的 方向上，就可得到：a =3i • 3j ,同理可得 -i 2j呻 斗屮彳 彳 彳c =3i 3jd =4i -2jI m 我们用i , j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生）由此复习平面向量基本定理：如果© ， e 2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 '2，使a= ■ '2e ＞，其中的e ，e 2称为平面的一组基底概念形成师生互动，抓住函数 概念这一重点，举出 实例来突破理解对应 法则f 这一难点。
\ b4\b3 J a/21j J■4 1 1 1 1 1z/44d5学生独立思考后，分组讨论、 交流，教师巡视，关注学生谈 论的情况。
教师指导学生阅读教材，思考 讨论并解决上述问题，学生讨 论列举与位移一样的一些量 .强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，引导学生思考，请学生尝而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一 试给出定义) 的•推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量\、j 作为基底*任作一个向量a ，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得；=xi + yj .............. O 1我们把(x, y)叫做 向量a 的(直角)坐标， 记作a =(x,y) .............•••O其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 式叫做向量的坐标表示.起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标 相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.屮4 彳*呻彳 一探究二：(1)已知 a =(x 1? y 1), b = (x 2, y 2),求 a + b, a-b 的坐标(2) 已知a= (x, y)和实数¥、,求人a 的坐标•(1) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和与差：a 士b = (X i ±X 2, y i 士 y 2)( 其 中T —ia =(X i , y i ), b= (x 2, y 2))(2) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的相应坐标：概 念 深 化加强学生对概念的理 解T r T 、、若a = (x, y),则扎a =(丸x, Xy);。
平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算
§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算一 学习目标1 .理解平面向量的正交分解及坐标表示2 .理解掌握坐标运算二 学习过程1. 预习新知(1) 正交分解：把一个向量分解成 的向量，叫做把向量正交分解（2） 向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个----------i,j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得a= ,我们把有序数对 叫向量a 的坐标(3) 已知a =(1x ,1y ) b =(2x ,2y ),则a = , a -b = ,m a = . .2 合作探究例1 已知A （1x ,1y ）,B(2x ,2y ),求AB 的坐标变式 你能在图中标出坐标为(2x -1x ,2y -1y )的点吗?例2 已知a =(2,1), b =(-3,4)求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标例3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)为，求顶点D 的坐标.三.总结与疑惑四.达标检测1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )．A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(－1，－2)2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( )．A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )．A ．向量a 的终点坐标为(－2,3)B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称4．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)则BC →＝________.5．已知a ＝(－1,1)且a ＝x i ＋y j ，则x ＝________，y ＝________.6．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点，若a ＝OA →，求x ，y 的值．7．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1)9．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．10．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →，求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由．。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件高中数学
解：由图可知,a AA1 AA2 2i 3 j， ∴ a (2, 3). 同理,可得 b 2i 3 j (2, 3)， c 2i 3 j (2, 3)，
y
A2
b
a
A
A1
j
Oi
x
c
d
d 2i 3 j (2, 3).
如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量 i ,j ，{i ,j }作为基底，分别用i ,j 表示 OA,OB, AB ，并求出它们的坐标.
a
定理可知，有且只有一对实数x, y，使得
a ห้องสมุดไป่ตู้i yj
j
Oi
x
这样，平面内的任一向量 a 都可以由x, y唯一确定，我们把有序数对(x, y) 叫做向量a 的坐标，记作 a (x, y) ，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y 轴上的坐标，a (x, y)叫做向量 a 的坐标表示．显然，i (1, 0), j (0,1),0 (0, 0).
6.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
CONTENTS
01
新知讲解
02
课堂达标
1. 正交分解
给定平面内两个不共线的向量e1, e2 ，由平面向量基本定理可知，平面 上的任意向量 a，均可以分解成两个向量 1e1, 2e2 ，即 a 1e1 2e2 ，其中 向量1e1与 e1 共线，向量2e2 与e2 共线.
如图示，以原点O为起点作OA a ，则点A的位置由向量 a 唯一确定.
设 OA xi yj ，则向量OA 的坐标(x, y)就是终点 a y
A的坐标；反之，终点A的坐标(x, y)也就是向量OA 的坐标. 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间 的联系.
a
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
斜面使木块沿斜面下滑的力F1, 垂直于斜面的 压力F2 .
O
G F1 F2
F1
G F2
课文精讲
➢ 平面向量的正交分解 1.（重点）
注意： 正交分解可看成是平面向量基本定理的特 例，平面向量基本定理是把平面内的任意一 个向量分解为两个不共线的向量，正交分解 则是这两个不共线向量互相垂直的特殊形式.
平面向量的正交 分解及坐标表示
授课教师：
学习目标
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的 正交分解及坐标表示.（重难点）
温故知新
问题提出与研究
平面向量基本定理
对于这一平面内的
任一向量 a，有且只 有一对实数λ1,λ2,使
a 1e1 2 e2 .
用平面向量基本定理 求解平面几何问题
课文精讲
➢ 导入 1.（重点）
母表示后的又一表示方法，向量的坐标表 示实际上是向量的代数表示.
课文精讲
➢ 向量的坐标表示 1.（重点）
注意：
(3)在向量的坐标表示中含有等号，即a (x, y) 不能写成a(x, y).
(4)由向量的坐标定义知，两向量相等等价于
它们的坐标相等，即a b x1 x2,且
y1=y2，其中a x1, y1 ,b x2, y2 .
就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标
(x,y)也就是向量OA 的坐标.因为OA a,所以 终点A的坐标(x,y)就是向量 a 的坐标，这样
就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
课文精讲
➢ 向量的坐标表示 1.（重点）
注意：
(1)a (x, y) 中的x,y实际上是由平面向量基本
定理得出来的，所以x,y的值是唯一确定的. (2)向量的坐标表示是继向量的几何表示，字
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示1.引言平面向量是二维空间中的一个重要概念，它由起点和终点两个点确定，可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
在二维空间中，向量的正交分解是一个重要的概念，它可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。
本文将介绍平面向量的正交分解及其坐标表示。
2.平面向量的概念平面向量是二维空间中的一个重要概念，它可以表示为一个有向线段，具有大小和方向。
平面向量通常用字母a、b、c等表示，其大小通常用模来表示，记作|a|。
方向通常用角度或者有向角表示。
3.平面向量的坐标表示平面向量可以用坐标来表示，通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
例如，向量a可以表示为(a1,a2)，其中a1表示向量在x轴上的投影，a2表示向量在y轴上的投影。
4.向量的正交分解向量的正交分解是指将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。
设向量a的坐标表示为(a1,a2)，则可以将向量a分解为两个坐标分别为(a1,0)和(0,a2)的向量的和。
这两个向量分别表示了向量a在x轴和y轴上的投影。
5.正交分量与投影在向量的正交分解中，正交分量表示了向量在两个相互垂直的方向上的投影，投影表示了向量在某个方向上的投影。
在二维空间中，向量的正交分量就是向量在x轴和y轴上的投影，这两个向量之间是相互垂直的。
6.向量的坐标表示与正交分解的关系向量的坐标表示与向量的正交分解有密切的联系。
通过向量的坐标表示，我们可以很容易地进行正交分解，将向量表示为两个垂直向量的和，分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
7.向量正交分解的应用向量的正交分解在实际问题中有很多应用。
例如，在物理学中，做功可以分解为沿着路径方向和垂直于路径方向的力的分量，这就是一个向量的正交分解。
在工程学中，力的分解、速度的分解等问题都可以用到向量的正交分解。
8.总结平面向量的正交分解是一个重要的概念，通过正交分解，我们可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和，这对于我们理解向量在空间中的运动和变化具有重要意义。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(优秀经典公开课比赛课件).
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
Hale Waihona Puke y a（x，y）叫做向量a的坐标，记作
j
a=xi + yj
那么i =（1 ，0）
j =( 0 ，1 )
O 0 =（ 0 ，0）
i
x
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
作业
❖谢谢
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
平面向量的正交分解及坐标表示
(1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
2 4 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例５.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y C
解法２
A
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
• 小结2 :
平面向量的坐标运算：
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(含加减运算)
x1i x2i y1 j y2 j
x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2, y1 y2
x2 x1, y2 y1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点坐标减去起点坐标
例5：如图所示，已知平行四边形ABCD的
三个顶点A, B,C的坐标分别是 - 2，1，-1，3，3，4 y
求顶点D的坐标
B
解：设顶点 D的坐标为x, y
AB 1 2,31 1,2
r
r
（1）| i | ___1__,| j | ___1___,
uuur
| OC | ___5___;
rr
uuur uuur
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
uuur
uuur
OC _3_i __4__j __,OD _5_i___7_j___ .
y
7
D
4
B
j
o iA
C P
的单位向量，若以
rr i, j
为基底，则
y
D
a
C
A
j
x
o iB
这里，我们把（x,y）叫r 做向量a 的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
r a (x, y)
y
D
a
C
A
j
x
o iB
思考：i, j,0这三个向量的坐标分别是什么？
i 1i 0 j i 1，0 j 0i 1 j i 0，1
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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点一：平面向量的坐标表示1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2.已知起点和终点求向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。
变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求→AB的坐标。
⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。
⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，∠x0A=60°,求向量→OA的坐标。
⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。
考点二：相等向量的坐标表示例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______.⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______. ⑶已知向量i=(1,0),j=(0,1)，a=(3i+3j),则a的坐标是______.⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量→OA 的坐标是______,向量→OB 的坐标是______,向量→AB 的坐标是______.⑸已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，∣OM ∣=4，∠M0y=30°,则向量→OM 的坐标是_______.⑹已知向量→AB =(22246,3m m n -+-),向量→CD=(22,3n+7),向量→EF=(m,n),且→AB=→CD ，求向量→EF 的坐标。
例3：在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标。
⑴向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度。
⑵向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度。
⑶向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度。
变式3：已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2), F(-5,-6),M(2,-2),N(4,-6),求向量→AC ，→BD ，→EF ，→MN 的坐标。
考点三：平面向量的坐标运算1.若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a- ),(2121y y x x --=2.λa＝(λx 1，λy 1).3.已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，则AB =(2121,x x y y --)例4:已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).变式4：⑴已知(3,2)a =，(0,1)b =-，求24a b -+，43a b +的坐标；⑵已知A （-1，5）和向量a =(2,3)，若AB =3a，则点B 的坐标为__________。
⑶已知→a +→b =(2,-8),→a －→b =(－8,16),求→a 和→b .⑷已知点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =，2AD AB =，12AE AB =-，求点C 、D 、E 的坐标。
例5：已知→a =(－1,2)，→b =(1,－1),→c =(3,－2),且有→c =p →a +q →b ,试求实数p,q 的值。
变式5：⑴已知→a =(2,1)，→b =(1,－3),→c =(3,5)，把→a ，→b 作为一组基底，试用→a ，→b 表示→c 。
⑵若点A ，B ，C 三点的坐标分别为(2,－4),(0,6),(-8,10),则2AB BC +的坐标为______.12BC AC -的坐标为______.⑶已知点A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4),且3CM CA =，2CN CB =，且M,N 及MN 的坐标。
⑷下列说法正确的有（ ）个 ①向量的坐标即此向量终点的坐标 ②位置不同的向量其坐标可能相同③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 ④相等的向量坐标一定相同 A ．1 B ．2 C ．3 D ．41.设a=(x 1, y 1),b =(x 2, y 2)（ b ≠0）,其中b ≠a ,由a =λb ，(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=02.结论：a ∥b (b≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.2︒充要条件不能写成2211x yx y = ∵x 1, x 2有可能为0.3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔12210a b x y x y λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩.例6:已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =． 变式6：⑴已知向量a =(1, 4),b =(-2, -8),→c =(3,6),试找出其中共线的向量。
⑵下列各组向量中，共线的一组是( )A.a =(-2, 3),b =(4, 6)B.a=(2, 3),b =(3, 2)b =(7, 14) D.a=(-3, 2),b =(6, -14)⑶已知向量a =(1, 2),b =(λ, 1),若(a +2b )//(2a -2b),则λ的值等于( )⑷已知向量a =(1, 2),b =(λ, 1),若(a +2b )与(2a -b)共线,则λ的值等于( )例7: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=，又26340⨯-⨯=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。
变式7：⑴O 是坐标原点，→OA =(k,12),(4,5)OB =,(10,)OC k =,当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？⑵若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________.⑶已知三点A (1，-3)，B (8，12)，C (9，1)，证明：A 、B 、C 三点共线。
⑷证明下列各组点共线①A=(1,2),(3,4)B =-,(2,1.5)C = ②P=(-1,2),(0.5,0)Q =,(5,6)R =-⑸已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D(5,-3),判断AB 与CD 是否共线？如果共线，是同向还是反向？⑹已知A (4，5)，B (1，2)，C (12，1)，D11,6),求直线AC 与直线BD 的交点P 的坐标。
考点六：平面向量共线的坐标运算的应用例8：已知向量a =(1, 2),b =(1, 0),→c =(3,4),若λ为实数，(a b λ+)//c ,则λ=( )变式8：⑴已知向量a=(1, 1),b =(2,x),若a b +与42b a-平行，则实数x 的值为（ ）⑵已知三点A (4，2)，B (-6，-4)，C (x ，154-)三点共线，且AC CB λ=，求λ及x 的值。
⑶已知ΔABC 中，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M 、N 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF 向量。
⑷已知如图，点(4,0)A ，B(4,4)，(2,6)C ，求AC 和BO 的交点P 的坐标。
例9：已知平面上的三点(2,1)A -，B(1,3)-，(3,4)C ，求点D 的坐标，使得四个点构成平行四边形的四个顶点。
变式9：⑴已知四点(5,1)A ，B(3,4)，(1,3)C ，(5,3)D -，求证：四边形ABCD 是梯形。
⑵在平行四边形□ABCD 中，(6,7)AD =--，(2,3)AB =-，若□ABCD 的对称中心为E ，则CE 的坐标为( ) ⑶已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于F ，证明：AF=AE 。
⑷已知四边形ABCD 是正方形，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量的方法证明PA=EF 。
考点七：线段的定比分点1.定义：设12,p p 是直线l 上两点，点P 是l 上不同于12,p p 的任意一点，则存在一个实数λ，使12p p pp λ=，λ叫做P 分有向线段12p p 所成的比，P 点叫做有向线段12p p 的以定比为λ的定比分点。
2.线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP 所成的比为λ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--.特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1） 3.P 点位置与λ的取值范围：（p 为p p 的中点） P 点位置21p p 延长线上 与1p 重合 10p p 之间与0p 重合02p p 之间与2p 重合12p p 延长线上 λ的范围10λ- 0λ= 01λ1λ=1λλ不存在1λ-例10.如果(1,1)P ，(2,3)A ，(8,3)B -，且C ，D 顺次为AB 的三等分点，求PC 和PD 的坐标。
变式10：已知1(2,1)P -，2(0,5)P ，点P 在12p p 的延长线上，且122p p PP =，求点P 的坐标。
例11：已知点(3,3)A ，(1,5)B -，一次函数1y kx =+的图像与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。