第一讲函数极限连续(学生用).docx

高等数学

第一讲函数、极限、连续

I •考试要求

1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

H.考试内容

—.函数

（-）函数的概念对应关系，定义域

（二）函数的性质

1・有界性3M>0, 均有\f（x）\

/（x） < ,有上界；/（x） > M2有下界

/（兀）有界o /（兀）有上界II有下界

2.单调性Xfx i .f （兀2）），单调增加（减

少）.

3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x + T) = /(x)侧称/⑴为周期函数

4.奇偶性 VXG (-/,/),均有/(-%) = f(x) ( -/(X )),则于(兀)为偶(奇)函数. 【例1】设F\x) = f(x),则下列结论正确的是(

)•

(A) 若/'(X )为奇函数，则尸(兀)为偶函数. (B) 若/⑴ 为偶函数，则F ⑴为奇函数.

(C) 若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数. (D) 若/(X )为单调函数，则F(x)为单调函数.

(三)函数的类型

1. 基本初等函数 y = C, y - x ,u , y - a x , y = y = sinx , y = cos , y = arcsinx f y = arccos .

2. 复合函数

名合一

y 二 /(w), u =(p{x)「：〉y 二 /(0(x))

一拆多

3•反函数)，=/(兀)，x=

4. 初等函数

5. 隐函数 F(x, y) = 0 (x+y = 0, y = sinxy ). 6・幕指函数 f(xY (x) = ^(x),n/(v),/(x) >0.

隐含的分段函数

①,y=|/(兀)|,② y =[/(兀)],③ y = sgn /(%) ④y = max {/(x),g(x)}=心巴心网,

_

\x = rcos3

9・极坐标方程r = 询,\ .八

[y =厂 sm&

二.极限

(一) 极限定义

7.分段函数:

/；(%),%< x 0

f (x\x>x

y = mm{f(x\g(x)} =

/(兀)+ g(x)-|/(x)-gCr)|

2 &参数方程(数一.二要求)

x =(p(t) y = 0(/)

\imx H = A <=> Vr>(),mN >0,当n>N 时, "T8

若记 /(n) = x n , lim /(n) = lim

HT8

n —>oo

|x|>X

lim /(X ) = A«V£>0,3X>0,当(兀>X)时，\f(x)-A\

0< x-x 0

lim f(x) = A<=> V£>0,3^>0,当0

~8 v x —x ()v 0

(二) 极限的性质

1. 唯一性

2. 局部保号性

若 lim /(x) = A>0,贝!j3t/(x 0)(|x|>X),使得在其内有 /(x) > 0 Xf0

(XT8)

3. 局部有界性

若lim /(x) = A 存在，贝iJ3(/(,(x ())(|x|>X),使得在其内/(兀)是有界的，

(XT8)

【例2】设/(兀)在x = 0的某邻域内连续，且/(0) = 0, lim /⑴ =2,则/(兀)在 XT0 1

一 COS X

x = 0 处 _________ .

(4)有最大值. (3)有最小值. (C)有极大值. (D)有极小值. 答案：(C)

(三) 无穷大量无穷小量

1. 定义lim/(兀)=0 无穷小，lim/(x) = oo 无穷大

2. 无穷小的主要运算

(1)任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小 (2打有界量与无穷小之积仍是无穷小

(3) lim/(x) = A 存在 o /(x) = A+a(a —> 0) 3. 无穷小的比较

设lima (兀)= O,lim0(兀)=0,且lim "兀=1,贝!| 0(兀)

(i) ZHOjHoo, 0(兀)与 0(兀)同阶 (ii) / = 1, a(x) ~ 0(兀)

X n -A <£.

兀

TXo .V —»x 0 + XTX°-

(iii) / = O, G(x)是0(x)的高阶无穷小，o(x) = o(0(x)) (iv) / = OO , 0(兀)=o(a(x))

注：（1） lima （兀）= lim0（兀）=0,若lim 竽=1」$0,1壬8, a （兀）是0（兀）的

£阶 0 （兀）

无穷小.

⑵lim 虫込0

a(x)

4. 等价无穷小的应用（*）

若 a （兀）〜a\x ） , 0（兀）~ 0'（兀）WJlima （x ）/（x ） = lima'（Qf （x ）

a （x ） a\x ） lim ----- f （x ） = hm ---- f （兀）,

0⑴八 0⑴八

注：一般只在乘除法中应用.

常用等价无穷小

当 XT 0 时，兀〜sin x 〜tan 兀〜arcsin x 〜arctan x 〜e x -1 〜ln(l + x),

9

1 -cosx ------- ,

2 ci x — 1 ~ 无 In a (a > 0) > (1 + x)k — 1 ~ kx , ”1 + x — 1 ~ —

等.

k

【例3】当兀TO 时，惭数-4sin-是 X X

（A ）无穷小量.

（B ）无穷大量.

（C ）有界但非无穷小量.

（D ）无界但非无穷大量.

【例 4】lim

--- ~— (5sinx + 6arctan x)

—X 3+2X -100

-- .. + 1

［例 5】lim ------- /

^°l-cosVl-cosx

【解】当20时，济-I 迁

.

r

1 -COSX JT 1 -cosvl -COSX 〜

（四）极限存在准则

1. 单调有界数列必有极限

注：单增+上界

单减+下界=>极限存在

2. 如果 ^(%) < /(%) < //(%), xe (7°(%0),且 lim g(x) = lim h(x) = A , =>lim f(x) = A

XT 心 Xfb

X 2 +X

1-COSXT O , lim 启「= x

^°l -COS A /1 - COS%

X 2

lim-—— -- --------- XT

O 1 一 cos x

x 2

=lim-^- = 2.

XT

O X~

z